La Montagne Mouvement 1 - Chute, Flux Et Chaleur

Christoph Schiller
LA
MONTAGNE MOUVEMENT
l’aventure de la physique – vol. i
chute, flux et chaleur
www.motionmountain.net
Christoph Schiller
La Montagne Mouvement
L’Aventure de la Physique
Volume I
Chute, Flux et Chaleur
Traduit de l’anglais par Benoît CLENET
23e édition, disponible gratuitement sur

www.motionmountain.net
Editio vicesima tertia.
Proprietas scriptoris © Christophori Schiller

secundo anno Olympiadis vicesimae nonae.
Omnia proprietatis iura reservantur et vindicantur.

Imitatio prohibita sine auctoris permissione.
Non licet pecuniam expetere pro aliquo, quod
partem horum verborum continet ; liber
pro omnibus semper gratuitus erat et manet.
Vingt-troisième édition.
Copyright © 2009 Christoph Schiller,

deuxième année de la 29e Olympiade.
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dont le texte peut être consulté en intégralité sur la page
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Toute personne est libre de consulter, enregistrer et imprimer
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des moyens électroniques, mais uniquement sous sa forme originale
et de manière entièrement gratuite.
À Britta, Esther et Justus Aaron
τῷ ἐµοὶ δαὶµονι
Die Menschen stärken, die Sachen klären.
PR É FAC E
La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

“
Primum movere, deinde docere*.
Antiquité
Ce livre s’adresse à toute personne curieuse de la nature et du mouvement. La curio-

sité portant sur la manière dont se meuvent les gens, les animaux, les choses, les images
”
et l ’espace nous entraîne dans de multiples aventures. Ce volume présente les meilleures
d ’entre elles dans le domaine du mouvement familier. L’observation du mouvement de
Traduit de l’anglais par Benoît Clénet disponible gratuitement sur www.motionmountain.net Copyright © Christoph Schiller Novembre 1997–Mai 2010
tous les jours nous permet de déduire six propositions fondamentales : le mouvement
quotidien est continu, conservé, relatif, réversible, invariant par réflexion, et... fainéant.
Oui, la nature est vraiment paresseuse : dans chacun de ses mouvements, elle minimise
le changement. Ce texte explore comment ces résultats sont déduits et comment ils s’ac-
commodent de toutes les observations qui semblent les contredire.
La majorité des points de départ de la physique moderne, dont la structure est indi-
quée sur la Figure 1, est constituée des résultats issus du mouvement quotidien. Le présent
volume – le premier d ’une collection qui en compte six – propose un tour d ’ horizon de
la physique ; il résulte d ’une triple aspiration que j’ai poursuivie depuis 1990 : présenter
le mouvement d ’une manière simple, moderne et vivante.
Afin d ’être simple, le texte se focalise sur les concepts, tout en donnant aux mathé-
matiques le niveau minimum nécessaire. La priorité est donnée à la compréhension des
concepts de la physique plutôt qu ’à l ’utilisation des formules dans les calculs. Tout ce
texte est à la portée d ’un étudiant qui accède au premier niveau universitaire.
Afin d ’être moderne, ce texte est enrichi par les nombreux joyaux – aussi bien théo-
riques qu ’empiriques – qui parsèment la littérature scientifique.
Afin d ’être vivant, ce texte tente de surprendre le lecteur autant que possible. Lire un
livre de physique générale, ce devrait être comme assister à un spectacle de magie. Nous
observons, nous nous étonnons, nous n’en croyons pas nos yeux, nous réfléchissons, et
finalement nous comprenons le truc. Lorsque nous observons la nature, nous faisons sou-
vent cette même expérience. C ’est pourquoi chaque page propose au moins une surprise
ou une provocation qui mettra la sagacité du lecteur à l ’épreuve. Un grand nombre de
défis intéressants sont proposés.
La devise de ce texte, die Menschen stärken, die Sachen klären, une phrase célèbre sur
la pédagogie due à Hartmut von Hentig, se traduit ainsi : « Fortifier les hommes, clarifier
les choses ». Clarifier les choses nécessite du courage, puisque changer les habitudes de
pensée engendre la peur, souvent masquée par la colère. Mais en surpassant nos peurs
* « D’abord émouvoir, ensuite enseigner ». Dans les langues modernes, ce type mentionné de mouvement
(celui du cœur) est souvent appelé motivation : ces deux termes sont issus de la même racine latine.
8 préface
PHYSIQUE : Description unifiée du mouvement Pourquoi le mouve-

Décrire le mouvement Aventures : comprendre le ment se produit-il ?
à l’aide de l’action. mouvement, joie intense Que sont l’espace,
avec la pensée, saisir le temps et les par-
une lueur d’extase, ticules quantiques ?
calculer les

masses.
Théorie quantique
Mécanique quan-
des champs
tique et gravitation
Aventures : bâtir des
Relativité Générale Aventures : neutrons
accélérateurs, compren-
Aventures : le qui rebondissent, com-
dre les quarks, étoiles,
ciel nocturne, me- prendre la crois-
bombes et fondements
surer la courbure sance des
de la vie, la matière,
de l’espace, explo- arbres.
le rayonnement.
rer les trous noirs
et l’univers, Comment se déplacent
l’espace et le les objets minuscules ?
temps.
Que sont les choses ?
Comment les Relativité restreinte

Gravitation Aventures : lumière, Mécanique quantique
objets familiers
classique magnétisme, contrac- Aventures : mort,
rapides et massifs
Aventures : tion des longueurs, sexualité, biologie,
se déplacent-ils ?
randonnée en montagne, dilatation du admirer l’art et les
ski, voyage dans l’espace, temps et couleurs, toute la
les prodiges de l’astronomie E0 = mc2 . technologie de pointe,
et de la géologie. médecine, chimie
G c h, e, k et évolution.
Physique galiléenne, chaleur et électricité

Aventures : sport, musique, navigation, cuisine,
décrire la beauté et comprendre son origine,
utiliser l’électricité et les ordinateurs,
comprendre le cerveau et l’être humain.
F I G U R E 1 Une carte complète de la physique : les connexions sont définies par la vitesse de la lumière
c, la constante de la gravitation G, la constante de Planck h, la constante de Boltzmann k et la charge
élémentaire e.
nous gagnons en force. Nous ressentons alors des émotions intenses et enivrantes. Toutes
les grandes aventures de la vie – et explorer le mouvement en est une – mènent à cela.
Munich, 10 Janvier 2009.
R emerciement
Je remercie Benoît Clénet pour sa traduction de ce volume. Sa patience, son énergie

et son professionnalisme sont exemplaires.
préface 9
C onseil au lecteur
D’après mon expérience d ’enseignant, je connais une méthode d ’apprentissage qui

est toujours parvenue à transformer des élèves en échec en élèves gagnants : si vous lisez
un livre pour l ’étudier, résumez chaque section que vous lisez, dans vos propres termes,
à voix haute. Si vous n’y arrivez pas, lisez la section une nouvelle fois. Recommencez

jusqu ’à ce que vous puissiez résumer clairement ce que vous avez lu avec vos propres
mots, à voix haute. Vous pouvez le faire tout seul dans votre chambre, ou avec des amis,
ou tout en marchant. Si vous faites cela avec tout ce que vous lisez, vous réduirez votre
temps d ’apprentissage et de lecture de manière significative. De surcroît, vous prendrez
beaucoup plus de plaisir à apprendre avec des bons ouvrages et détesterez nettement
moins les mauvais manuels. Les prodiges de cette méthode peuvent même l ’utiliser tout
en écoutant un cours, à voix basse, évitant ainsi de prendre constamment des notes.
C omment u tiliser ce livre ?
Le texte en vert, que l ’on trouve dans un grand nombre de notes en marge, signale un
lien sur lequel on peut cliquer dans un lecteur pdf. Ces liens en vert sont soit des réfé-
rences bibliographiques, des notes de bas de page, des références croisées vers d ’autres
pages, des solutions aux défis ou des pointeurs vers des sites Web.
Les indices et solutions des défis sont donnés dans l ’annexe. Les défis sont classés
ainsi : niveau recherche (r), difficile (d), niveau étudiant standard (s) et facile (e). Les
défis des types r, d ou s pour lesquels aucune solution n’a encore été incorporée dans le
livre sont marqués (pe).
Appel à contribu tion
Ce texte est et demeurera librement téléchargeable depuis Internet. En échange,

envoyez-moi s’ il vous plaît un bref courriel à fb@motionmountain.net, à propos des
questions suivantes :
— Qu ’est-ce qui n’était pas clair ?
— Quelle histoire, sujet, énigme, image ou film n’avez-vous pas compris ?
Défi 1 s — Qu ’est-ce qui devrait être amélioré ou corrigé ?
Vous pouvez également ajouter votre retour directement sur www.motionmountain.net/
wiki. Au nom de tous les lecteurs, merci par avance pour votre collaboration. Si votre
contribution est particulièrement pertinente, et si vous le souhaitez, votre nom sera men-
tionné dans les remerciements, ou bien vous recevrez une récompense, ou les deux. Mais
par-dessus tout, très bonne lecture !
Table des Matières
14 1 Pourquoi s ’ intéresser au mouvement ?
Le Mouvement existe-t-il ? 15 • Comment devrions-nous parler du mouve-

ment ? 17 • Quels sont les différents types de mouvements ? 19 • Perception,
continuité et changement 23 • Le monde a-t-il besoin d ’états ? 25 • Curiosités et
défis amusants sur le mouvement 26
30 2 De la mesure du mouvement à la continuité
Qu ’est-ce que la vitesse ? 31 • Qu ’est-ce que le temps ? 32 • Pourquoi les horloges
tournent-elles dans le sens des aiguilles d ’une montre ? 38 • Est-ce que le temps
s’écoule ? 38 • Qu ’est-ce que l ’espace ? 39 • L’espace et le temps sont-ils abso-
lus ou relatifs ? 42 • La taille – pourquoi les surfaces existent-elles, mais pas les
volumes ? 43 • Qu ’est-ce qu ’une ligne droite ? 47 • Une Terre creuse ? 48 • Cu-
riosités et défis amusants sur l ’espace et le temps quotidiens 49
57 3 Comment décrire le mouvement – la cinématique
Le jet et le tir 59 • Qu ’est-ce que le repos ? 61 • Les objets et les particules ponc-
tuelles 64 • Des jambes et des roues 67
70 4 Des objets et des images à la conservation
Mouvement et contact 71 • Qu ’est-ce que la masse ? 72 • Le mouvement est-il
éternel ? 79 • Appendice sur la conservation – l ’énergie 81 • La vitesse est-elle
absolue ? – La théorie de la relativité quotidienne 84 • La rotation 87 • Des roues
en rotation 90 • Comment marchons-nous ? 91
94 5 De la rotation de la Terre à la relativité du mouvement
Comment la terre tourne-t-elle ? 99 • La Terre se déplace-t-elle ? 102 • La rota-
tion est-elle relative ? 105 • Curiosités et défis amusants sur le mouvement quoti-
dien 106 • Des jambes ou des roues ? – Suite 116
120 6 Dynamique due à la gravitation
Propriétés de la gravitation 123 • La dynamique – Comment les choses bougent-
elles dans plusieurs dimensions ? 128 • La gravitation dans le ciel 129 • La Lune 131
• Les orbites 133 • Les Marées 136 • La lumière peut-elle tomber ? 139 • Qu ’est-ce
que la masse ? – Suite 140 • Curiosités et défis amusants sur la gravitation 142
155 7 La mécanique classique et la prédictibilité du mouvement
Devrait-on employer la force ? 156 • États complets – conditions initiales 162 •
Les surprises existent-elles ? L’avenir est-il déjà tout tracé ? 164 • Une conclusion
étrange sur le mouvement 168 • Descriptions générales du mouvement 168
173 8 Mesurer le changement avec l ’ action
Le principe de moindre action 177 • Pourquoi le mouvement est-il si souvent li-
mité ? 182 • Curiosités et défis amusants sur les lagrangiens 186
189 9 Mouvement et symétrie
Pourquoi pouvons-nous réfléchir et discuter ? 189 • Points de vue 191 • Symétries
et groupes 192 • Représentations 193 • Symétries, mouvement et physique gali-
léenne 196 • Reproductibilité, conservation et théorème de Noether 200 • Curio-
sités et défis amusants sur la symétrie du mouvement 205
12 table des matières
206 10 Mouvements élémentaires des corps étendus – vibrations et

ondes
Les ondes et leur mouvement 208 • Pourquoi pouvons-nous nous parler ? – Le
principe de Huygens 214 • Signaux 215 • Ondes solitaires et solitons 217 • Curio-
sités et défis amusants sur les ondes et les corps étendus 220

227 11 Les corps étendus existent-ils ? – les limites de la continuité
Montagnes et fractales 227 • Une barre de chocolat peut-elle durer pour tou-
jours ? 228 • À quelle hauteur les animaux peuvent-ils sauter ? 230 • Élagage
d ’arbres 230 • L’écho du silence 231 • Des petites billes dures 232 • Le mou-
vement des fluides 235 • Curiosités et défis amusants sur les fluides 238 • Curio-
sités et défis amusants sur les solides 244 • Qu ’est-ce qui peut bouger dans la na-
ture ? 247
250 12 De la chaleur à l ’ invariance temporelle
Température 250 • Entropie 254 • Courant d ’entropie 256 • Les systèmes isolés
existent-ils ? 257 • Pourquoi les ballons ont-ils besoin d ’espace ? – La fin de la conti-
nuité 257 • Mouvement brownien 259 • Entropie et particules 261 • L’entropie
minimale de la nature – le quantum d ’ information 263 • Pourquoi ne pouvons-
nous pas nous souvenir du futur ? 264 • Est-ce que tout est fait de particules ? 265
• Pourquoi les pierres ne peuvent être ni continues ni fractales, ni faites de petites
billes dures 267 • Curiosités et défis amusants sur la chaleur 268
275 13 Auto-organisation et chaos – l ’ élégance de la complexité
Curiosités et défis amusants sur l ’auto-organisation 282
285 14 Des frontières de la physique aux limites du mouvement
Thèmes de recherche en dynamique classique 285 • Qu ’est-ce que le contact ? 285
• Précision et exactitude 286 • Est-ce que toute la nature peut être décrite dans
un livre ? 287 • Pourquoi la mesure est-elle possible ? 287 • Le mouvement est-il
illimité ? 288
289 a Notation et conventions
L’alphabet latin 289 • L’alphabet grec 291 • Alphabet hébreu et autres écri-
tures 293 • Chiffres et nombres 294 • Les symboles utilisés dans ce texte 295
• Calendriers 297 • Abréviations et éponymes ou concepts ? 299
300 b Unités, Mesures et Constantes
Unités naturelles de Planck 303 • Autres systèmes d ’unités 305 • Curiosités et
défis amusants sur les unités 306 • Précision et exactitude des mesures 312 •
Constantes physiques fondamentales 313 • Nombres utiles 318
320 c Sources d ’ information sur le mouvement
327 Bibliographie
353 Indices et solutions des défis
391 Crédits
Remerciements 391 • Crédits filmographiques 392 • Crédits photogra-
phiques 392
Chu te, Flux et Chaleur
Dans notre apprentissage du mouvement des objets,

l ’aventure de la randonnée et d ’autres expériences
nous conduisent à introduire les concepts de
vitesse, temps, longueur, masse et température,
et d ’en tirer parti pour mesurer le changement.
Nous découvrons comment flotter librement dans l ’espace,
pourquoi nous avons des jambes au lieu de roues,
pour quelle raison le désordre ne peut être supprimé,
et pourquoi l ’une des questions les plus ardues
de la science concerne l ’écoulement de l ’eau dans un tube.
Chapitre 1
P OU RQU OI S ’ I N T É R E S SE R AU

MOU V E M E N T ?
“
Tout mouvement est une illusion.
B
Zénon d ’ Élée*
raoum ! L’éclair, frappant l ’arbre situé à proximité, interrompt brutalement notre

elle et paisible randonnée forestière : nos cœurs se mettent soudainement à battre
”
plus rapidement. À la cime de l ’arbre, nous voyons le feu apparaître une nouvelle fois,
puis s’éteindre. Le léger vent agitant les feuilles autour de nous ramène ce lieu à son
apaisement initial. À côté, l ’eau d ’une petite rivière suit son chemin tortueux vers le bas
de la vallée, réfléchissant sur sa surface les silhouettes mouvantes des nuages.
Le mouvement est partout : amical et menaçant, terrible et magnifique. Il est fonda-
mental pour notre existence humaine. Nous avons besoin du mouvement pour grandir,
pour apprendre, pour penser et pour profiter de la vie. Nous utilisons le mouvement
pour marcher à travers une forêt, pour écouter ses bruitages et pour parler de tout cela.
Comme tous les animaux, nous comptons sur le mouvement pour chercher de la nourri-
ture et pour survivre aux dangers. Comme tous les êtres vivants, nous avons besoin du
mouvement pour nous reproduire, pour respirer et pour digérer les aliments. Comme
pour tous les objets, le mouvement nous réchauffe.
Le mouvement est l ’observation la plus fondamentale que nous puissions faire sur la
nature en général. Cette remarque fait apparaître l ’ idée que tout ce qui se produit dans
le monde est un certain type de mouvement. Il n’y a aucune exception. Le mouvement
est une partie si fondamentale de nos observations que l ’origine même du mot se perd
dans l ’obscurité de l ’ histoire linguistique indo-européenne. La fascination pour le mou-
vement a toujours fait de lui un objet favori de curiosité. Durant le cinquième siècle av.
Réf. 1 J.-C. dans la Grèce ancienne, son étude lui avait attribué un nom : la physique.
Le mouvement est également important pour l ’existence humaine. Qui sommes-
nous ? D’où venons-nous ? Qu ’allons-nous faire ? Que devrions-nous faire ? Qu ’est-ce
que nous réserve l ’avenir ? D’où viennent les gens ? Où vont-ils ? Qu ’est-ce que la mort ?
D’où vient le monde ? Comment la vie est-elle apparue ? Toutes ces questions sont en rap-
port avec le mouvement. L’étude du mouvement fournit des réponses qui sont à la fois
profondes et surprenantes.
Le mouvement est étrange. Bien qu ’ il soit omniprésent – dans les étoiles, dans les
Réf. 3 marées, dans nos paupières –, ni les penseurs antiques et ni les milliers d ’autres qui se
sont succédé depuis 25 siècles n’ont pu lever le voile sur le mystère central : Qu ’est-ce
que le mouvement ? Nous découvrirons que la réponse classique, « le mouvement est la
* Zénon d ’ Élée (v. 450 av. J.-C.), fut un des principaux représentants de l ’ École éléatique de philosophie.
pourquoi s ’ intéresser au mouvement ? 15
ASTRONOMIE
tdm
SCIENCES DE LA MATIÈRE

CHIMIE SCIENCES DE LA
partie III : tm
TERRE
MÉDECINE
partie II : tq Montagne
Mouvement
partie I : mc, rg & em

BIOLOGIE
PHYSIQUE
baie de l’émotion
MATHÉMATIQUES
L’HUMANITÉ
océan social
F I G U R E 2 L’Île de l’Expérience, avec la Montagne Mouvement et la piste à suivre (mc : mécanique

classique, rg : relativité générale, em : électromagnétisme, tq : théorie quantique, tm : théorie M, tdm :
théorie du mouvement).
variation de la position dans le temps », est inappropriée. Ce n’est que récemment qu ’une
réponse a finalement été trouvée. Ceci est l ’ histoire du cheminement de cette découverte.
Le mouvement fait partie de l ’expérience humaine. Si nous imaginons l ’expérience
humaine comme une île, alors le destin, représenté par les vagues de l ’océan, nous a
portés jusqu ’à son rivage. Près du centre de l ’ île une montagne particulièrement haute
émerge. Depuis son sommet nous pouvons survoler le paysage tout entier et avoir la
sensation que toutes les expériences humaines ont un lien de parenté, en particulier les
divers exemples de mouvement. Ceci est un guide vers le sommet de ce que j’ai nommé la
Montagne Mouvement. Son parcours est une des plus belles aventures de l ’esprit humain.
Clairement, la première question à poser est :
Le Mouvement existe-t-il ?
“
Das Rätsel gibt es nicht. Wenn sich eine Frage
überhaupt stellen läßt, so kann sie beantwortet
werden*.
Réf. 2
Ludwig Wittgenstein, Tractatus, 6.5
Pour aiguiser l ’esprit sur le problème de l ’existence du mouvement, regardez la Fi-

gure 3 et suivez les instructions. Dans les deux cas les figures semblent tourner. Nous
”
pouvons ressentir les mêmes effets lorsque nous marchons sur les pavés italiens en forme
* Le mystère n’existe pas. Si une question peut être posée, alors elle peut trouver une réponse.
16 1 pourquoi s ’ intéresser au mouvement ?

F I G U R E 3 Illusions du mouvement : regardez la figure de gauche et déplacez légèrement la page, ou
regardez le point blanc au centre de la figure de droite et bougez votre tête d’avant en arrière.
de vagues ou lorsque nous jetons un œil sur les illusions de la page Web www.ritsumei.
ac.jp/~akitaoka/. Comment pouvons-nous être sûrs que le mouvement réel est différent
Défi 2 s de ceux-ci ou d ’autres illusions similaires ?*
Plusieurs savants ont simplement avancé que le mouvement n’existe pas du tout. Leurs
Réf. 4 arguments ont profondément influencé la recherche sur le mouvement. Par exemple, le
philosophe grec Parménide (né vers 515 av. J.-C. à Élée, une petite ville près de Naples,
dans le sud de l ’ Italie) a émis l ’ idée que, puisque rien ne peut provenir du vide, le chan-
gement ne peut pas exister. Il a mis l ’accent sur la constance de la nature et a donc logi-
Réf. 5 quement affirmé que tout mouvement et donc tout changement est une illusion.
Héraclite (v. 540 à v. 480 av. J.-C. ) a tenu le point de vue opposé. Il l ’a exprimé dans
sa célèbre expression πάντα ῥεῖ « panta rhei » ou « tout se meut sans cesse »**. Il imagi-
nait le changement comme étant l ’essence de la nature, contrairement à Parménide. Ces
deux opinions également célèbres ont incité plusieurs savants à rechercher plus précisé-
ment si, dans la nature, il y a des quantités conservées ou si la création est possible. Nous
découvrirons la réponse plus tard ; en attendant, vous pouvez méditer sur l ’alternative
Défi 3 s que vous préférez.
Le collaborateur de Parménide, Zénon d ’ Élée (né vers 500 av. J.-C.), a débattu avec
tant d ’ intensité contre le mouvement que certains ont toujours un doute à ce propos
aujourd ’ hui. Dans un de ses arguments il prétendit – dans un langage simple – qu ’ il
est impossible de gifler quelqu ’un, étant donné que la main doit premièrement parcou-
rir la moitié du trajet vers le visage, puis parcourir la moitié de la distance qu ’ il reste,
puis encore une fois et ainsi de suite. Par conséquent, la main ne pourra jamais atteindre
le visage. L’argument de Zénon se concentre sur le lien entre l ’ infini et son opposé, le
fini, dans la description du mouvement. Dans la théorie quantique moderne, un sujet
Réf. 6 similaire préoccupe encore aujourd ’ hui des scientifiques.
Zénon a également affirmé qu ’en observant un objet en mouvement durant un court
instant, nous ne pouvons pas dire qu ’ il bouge. Zénon argumenta que, durant un court
instant, il n’y a aucune différence entre un corps en mouvement et un corps au repos. Il
en déduisit alors que, s’ il n’y a pas de différence durant un court instant, il ne peut y en
* Les solutions des défis sont données soit à la page ??, soit plus loin dans le texte. Les défis sont classés en :
niveau approfondi (r), difficile (d), niveau étudiant normal (n) ou facile (e). Les défis qui n’ont pas encore
de solution sont marqués (ny).
** L’ Annexe A explique comment lire un texte grec.

F I G U R E 4 Combien faut-il d’eau pour faire en sorte que le seau soit suspendu verticalement ? À partir
de quel angle la bobine tirée change-t-elle sa direction de mouvement ? (© Luca Gastaldi)
avoir non plus pour un temps plus long. Zénon a donc douté que le mouvement puisse
clairement être distingué de son opposé, le repos. En réalité, dans l ’ histoire de la physique,
les penseurs ont alterné plusieurs fois entre réponse positive et négative. Ce fut cette vraie
question qui conduisit Albert Einstein au développement de la relativité générale, un
des points culminants de notre voyage. Nous suivrons les principales réponses données
par le passé. Ensuite, nous serons bien plus audacieux : nous nous demanderons en fin
de compte si les courts instants de temps existent réellement. Cette question, qui nous
emmènera loin, est essentielle pour la dernière partie de notre aventure.
Lorsque nous examinerons la théorie quantique, nous découvrirons que le mouve-
ment est en réalité – dans une certaine mesure – une illusion, comme Parménide l ’avait
affirmé. Plus précisément, nous montrerons que nous observons le mouvement parce
que notre existence humaine a un caractère limité. Nous trouverons que nous ressentons
le mouvement uniquement parce que nous évoluons sur la Terre, avec une taille finie,
avec un nombre d ’atomes très grand mais limité, avec une température finie et modérée,
parce que nous sommes électriquement neutres, très grands comparés à un trou noir de
même masse, énormes par rapport à notre longueur d ’onde de la mécanique quantique,
très petits comparés à l ’univers, avec une mémoire limitée, contraints par notre cerveau
d ’estimer l ’espace et le temps comme des choses continues, et contraints par notre cer-
veau de décrire la nature comme étant constituée de parties distinctes. Si une seule de ces
conditions n’était pas vérifiée, nous n’observerions pas le mouvement. Le mouvement,
alors, n’existerait pas. Chacune de ces conclusions peut être découverte plus efficacement
si nous commençons avec la question suivante :
C omment devrions-nous parler du mouvement ?
“
Je hais le mouvement, qui déplace les lignes,
Et jamais je ne pleure et jamais je ne ris.
Réf. 7 * Charles Baudelaire (n. Paris 1821, d. Paris 1867).

Charles Baudelaire, La Beauté*
”
Anaximander Empedocles Eudoxus Ctesibius Strabo Frontinus Cleomedes

Anaximenes Aristotle Archimedes Varro Maria Artemidor
the Jew
Pythagoras Heraclides Konon Athenaius Josephus Sextus Empiricus
Almaeon Philolaos Theophrastus Chrysippos Eudoxus Pomponius Dionysius Athenaios Diogenes
of Kyz. Mela Periegetes of Nauc. Laertius
Heraclitus Zeno Autolycus Eratosthenes Sosigenes Marinus
Xenophanes Anthistenes Euclid Dositheus Virgilius Menelaos Philostratus

Thales Parmenides Archytas Epicure Biton Polybios Horace Nicomachos Apuleius
Alexander Ptolemaios II Ptolemaios VIII Caesar Nero Trajan
600 BCE 500 400 300 200 100 1 100 200
Socrates Plato Ptolemaios I Cicero Seneca
Anaxagoras Aristarchus Asclepiades Livius Dioscorides Ptolemy

Leucippus Pytheas Archimedes Seleukos Vitruvius Geminos Epictetus
Protagoras Erasistratus Diocles Manilius Demonax Diophantus
Oenopides Aristoxenus Aratos Philo Dionysius Diodorus Valerius Theon Alexander
of Byz. Thrax Siculus Maximus of Smyrna of Aphr.
Hippocrates Berossos
Herodotus Herophilus Apollonius Theodosius Plinius Rufus Galen
Senior
Democritus Straton Hipparchus Lucretius Aetius Arrian
Hippasos Speusippos Dikaiarchus Poseidonius Heron Plutarch Lucian
F I G U R E 5 Une chronologie des scientifiques et des personnalités politiques dans l’Antiquité (la dernière
lettre du nom est alignée avec l’année du décès).
Comme toute science, l ’approche de la physique est double : nous progressons grâce
à la précision et grâce à la curiosité. La précision donne aux échanges d ’ informations tout
leur sens, et la curiosité fait qu ’ ils en valent la peine*. Toutes les fois que nous parlons du
mouvement et que nous souhaitons avoir une meilleure précision ou une connaissance
plus détaillée, nous sommes engagés, sciemment ou non, dans l ’ascension de la Mon-
tagne Mouvement. À chaque augmentation dans la précision de la description, nous
gagnons de l ’altitude. Les exemples de la Figure 4 le pointent du doigt. Lorsque vous
remplissez un seau avec une petite quantité d ’eau, il n’est pas suspendu verticalement.
(Pourquoi ?) Si vous continuez à ajouter de l ’eau, il commence à se tenir verticalement à
Défi 4 pe partir d ’un certain moment. Combien faut-il d ’eau ? Lorsque vous tirez sur le fil d ’une
bobine de la manière indiquée, la bobine se déplacera en avant ou en arrière, en fonction
de l ’angle selon lequel vous tirez. Quel est l ’angle limite entre les deux possibilités ?
Une grande précision implique d ’explorer jusqu ’aux détails les plus fins. Cette mé-
thode augmente en fait le plaisir pour l ’aventure**. Plus nous gagnons de l ’altitude sur
la Montagne Mouvement, plus nous voyons loin et plus notre curiosité est récompensée.
Les vues offertes sont à couper le souffle, surtout depuis le point culminant. Le chemin
que nous suivrons – un parmi tous les itinéraires possibles – commence du côté de la
Réf. 9 biologie et entre directement dans la forêt qui se trouve au pied de la montagne.
* Pour une série d ’exemples intéressants sur le mouvement dans la vie de tous les jours, voir l ’excellent livre
Réf. 8 de Walker.
Défi 5 s ** Méfiez-vous de quiconque voudrait vous parler sans examiner les détails. Il essaie de vous tromper. Les
détails sont importants. Ainsi, soyez vigilants durant cette promenade.
TA B L E AU 1 Contenus de livres relatifs au mouvement sélectionnés dans une bibliothèque publique.
Thè me s s u r l e mou v e me n t Thè me s s u r l e mou v e me n t
photographies du mouvement le mouvement comme thérapie pour le traitement

du cancer, du diabète, de l ’acné et de la dépression

perception du mouvement Réf. 21 cinétose (mal des transports)
le mouvement comme aide à la méditation exercices physiques pour la forme et le bien-être
maîtrise du mouvement en sport aptitude à bouger à l ’examen de santé
mouvement perpétuel chorégraphie dans la danse, la musique et autres arts
le mouvement des étoiles et des anges Réf. 11 le mouvement comme preuve de l ’existence de di-
vers créateurs Réf. 10
efficacité bénéfique du mouvement lien entre les habitudes changeantes et émotion-
nelles
le mouvement en psychothérapie Réf. 12 le mouvement pour surmonter un traumatisme
troubles du mouvement locomotion des insectes, chevaux et robots
les agitations au Parlement les changements dans l ’art, les sciences et la poli-
tique
les mécanismes dans les montres les gesticulations à la Bourse
développement de la marche chez les apprentissage et enseignement du mouvement
enfants
mouvements musicaux mouvements de troupes Réf. 13
mouvements religieux mouvements intestinaux
déplacements aux échecs tours de passe-passe au casino Réf. 14
rapport entre le produit national brut et la mobilité des citoyens
Une vive curiosité nous conduit en ligne droite aux extrêmes : comprendre le mouve-
ment nécessite d ’explorer les distances les plus grandes, les vitesses les plus élevées, les
particules les plus petites, les forces les plus fortes et les idées les plus étranges. Commen-
çons.
Q uels sont les différents t ypes de mouvements ?
“
Chaque mouvement naît d ’une volonté de
changement.
Le lieu le plus approprié pour avoir une vue d ’ensemble générale sur les types de
mouvement est une grande bibliothèque, comme indiqué dans le Tableau 1. Les domaines
Antiquité
”
dans lesquels le mouvement, les agitations et les déplacements jouent un rôle sont en
réalité variés. Dans la Grèce ancienne les gens soupçonnaient déjà que tous les types de
mouvement, et aussi plusieurs autres types de changement, étaient relatifs. Il est commun
de distinguer au moins trois catégories.
La première catégorie de changement est celle du déplacement matériel, tels un indi-
vidu en marche ou une feuille tombant d ’un arbre. Le déplacement est le changement de
position ou d ’orientation des objets. Au sens large, l ’ activité humaine se place également

F I G U R E 6 Un exemple de déplacement.
dans cette catégorie.

Une deuxième catégorie de changement regroupe les observations telles que la dissolu-
tion du sel dans l ’eau, la formation de glace par congélation, la décomposition du bois, la
cuisson des aliments, la coagulation du sang et la fusion et l ’alliage des métaux. Ces chan-
gements de couleur, luminosité, dureté, température et autres propriétés matérielles sont
appelés transformations. Les transformations sont des changements apparemment non
reliés aux déplacements. Dans cette catégorie, quelques penseurs anciens y ajoutèrent
l ’émission et l ’absorption de la lumière. Durant le vingtième siècle, on a prouvé que ces
deux effets étaient des cas particuliers de transformations, comme le sont l ’apparition
et la disparition de matière récemment découvertes, que l ’on observe dans le Soleil et
dans la radioactivité. Le changement d’esprit, comme le changement d ’ humeur, de santé,
Réf. 15 d ’éducation et de caractère, est également (principalement) un type de transformation.
Réf. 16 La troisième catégorie particulièrement importante de changement est la croissance.
Elle est observée chez les animaux, les plantes et les bactéries, mais aussi dans les cristaux,
les montagnes, les étoiles et les galaxies. Au cours du dix-neuvième siècle, les change-
ments dans les populations de systèmes, l ’ évolution biologique, et, au cours du vingtième
siècle, les changements dans la taille de l ’univers, l ’ évolution cosmique, ont été ajoutés
à cette catégorie. Traditionnellement, ces phénomènes furent étudiés par des sciences
distinctes, qui aboutirent toutes indépendamment à la conclusion que la croissance est
une combinaison du déplacement et de la transformation. La différence est pour l ’une
la complexité et pour l ’autre l ’échelle de temps.
Pendant la Renaissance, au début de la science moderne, seule l ’étude du déplacement
a été perçue comme faisant partie du champ de la physique. Le mouvement était assimilé
au déplacement. Les deux autres domaines furent ignorés des physiciens. Malgré cette res-
triction, le champ de la recherche restait large, recouvrant une grande partie de l ’ Île de
l ’ Expérience. La tentation évidente est de structurer ce domaine en distinguant les diffé-

F I G U R E 7 Déplacement, croissance et transformation. (© Philip Plisson)
rents types de déplacement en fonction de leur origine. Les mouvements, tels que ceux
des jambes lorsque nous marchons, sont volontaires parce qu ’ ils sont commandés par
notre volonté, tandis que les déplacements d ’objets externes, telle la chute d ’un flocon
de neige, que nous ne pouvons influencer par notre volonté, sont qualifiés de passifs. Les
enfants sont capables de faire cette distinction à partir de 6 ans environ, et ceci marque
une étape importante pour chaque personne dans le développement de sa compréhen-
sion précise de l ’environnement*. À partir de cette distinction, la définition historique
mais aujourd ’ hui périmée de la physique persiste comme une science du mouvement
des objets inertes.
Puis, un jour, les machines sont apparues. À partir de ce moment-là, la distinction
entre mouvements volontaire et passif s’est invitée dans le débat. Comme les êtres vivants,
les machines peuvent se déplacer toutes seules et de cette façon imitent le mouvement vo-
lontaire. Toutefois, une observation méticuleuse nous montre que chaque élément dans
une machine est déplacé par un autre, de telle sorte que leur mouvement est en fait passif.
Les êtres vivants sont-ils également des machines ? Les activités humaines sont-elles aussi
des exemples de mouvements passifs ? L’accumulation des observations durant les cent
dernières années a rendu évident le fait que le déplacement volontaire** a, en réalité, les
* La réalisation complète de cet apprentissage peut échouer chez des individus ayant diverses convictions
étranges, comme la croyance sur la capacité à agir sur la bille du jeu de la roulette, tel que découvert chez
des joueurs compulsifs, ou sur la capacité à déplacer des objets distants par la pensée, tel que découvert
chez de nombreuses autres personnes apparemment en bonne santé. Un récit divertissant et instructif sur
toutes les duperies et illusions impliquées par l ’apparition et la préservation de ces croyances est donné par
James R andi, The Faith Healers, Prometheus Books, 1989. Prestidigitateur professionnel, il présente de
nombreux sujets similaires dans plusieurs de ses autres ouvrages. Voir également le site Web http://www.
randi.org pour plus de détails.
** En anglais, mouvement se dit motion [N.d.T.]. Le terme anglais « movement » est plutôt récent : il fut
importé dans la langue anglaise à partir de l ’ancien français et devint populaire seulement à la fin du dix-
huitième siècle. Il ne fut jamais utilisé par Shakespeare.
mêmes propriétés physiques que le mouvement passif des systèmes inertes. (Bien sûr, sur
le plan émotionnel, les différences restent importantes, par exemple, le pardon ne peut
Réf. 17 être attribué qu ’au mouvement volontaire.) La distinction entre les deux types n’est donc
pas nécessaire et sera omise par la suite. Puisque les mouvements passif et volontaire
ont les mêmes propriétés, nous pouvons apprendre des choses sur l ’ homme lui-même

à travers l ’étude du mouvement des objets inertes. Cela sera plus flagrant lorsque nous
évoquerons les thèmes du déterminisme, de la causalité, de la probabilité, de l ’ infini, du
temps et du sexe, pour ne citer que quelques-uns des sujets que nous rencontrerons sur
notre chemin.
Avec l ’accumulation des observations durant les dix-neuvième et vingtième siècles,
les barrières historiques sur l ’étude du mouvement furent encore plus mises en exergue.
Des observations étendues montrèrent que toutes les transformations et tous les phéno-
mènes de croissance, y compris le changement et l ’évolution du comportement, sont
aussi des exemples de déplacement. En d ’autres termes, plus de 2 000 ans d ’études ont
prouvé que l ’ancienne classification des observations était inutile : tout changement est
un déplacement. Au milieu du vingtième siècle, cela culmina même avec la confirma-
tion d ’une idée encore plus précise, déjà formulée dans la Grèce ancienne : chaque type
de changement est causé par le mouvement de particules. Il a fallu beaucoup de temps et
d ’efforts pour arriver à cette conclusion, qui s’est présentée uniquement parce que nous
avons avancé sans relâche vers la plus haute précision possible dans la description de
la nature. Les deux premières parties de cette aventure retracent le chemin jusqu ’à ce
Défi 6 s résultat. (Êtes-vous d ’accord pour cela ?)
La dernière décennie du vingtième siècle a bouleversé cette vision. L’ idée de particule
s’est révélée fausse. Ce nouveau résultat, déjà suggéré par la théorie quantique avancée,
apparaît dans la troisième partie de notre aventure à travers une combinaison d ’observa-
tions et de déductions attentives. Mais nous aurons encore beaucoup de chemin à faire
avant d ’y arriver.
Pour l ’ instant, au début de notre promenade, nous retiendrons simplement que l ’ his-
toire a montré que la classification des différents types de mouvement n’est pas utile.
C ’est en essayant d ’atteindre la précision maximale que l ’on peut espérer arriver aux pro-
priétés fondamentales du mouvement. La précision, et non la classification, est la règle
à suivre. Comme Ernest Rutherford le disait : « All science is either physics or stamp
collecting. »*
Pour atteindre la précision nécessaire dans notre description du mouvement, nous
avons besoin de choisir des exemples particuliers de mouvement et de les étudier pleine-
ment en détail. Il est intuitivement clair que la description la plus précise est réalisable
pour les exemples les plus simples possibles. Dans la vie de tous les jours, c ’est le cas
du mouvement de tous les corps inertes, solides et rigides, dans notre environnement,
telle une pierre lancée en l ’air. En réalité, comme tous les hommes, nous avons appris
Réf. 18 à lancer des objets bien avant d ’avoir appris à marcher. Le lancer est une des premières
expériences physiques que nous ayons accomplies par nous-mêmes**. Durant notre plus
tendre enfance, en lançant des pierres, des jouets et d ’autres objets, nous explorions la
* « Toute science est soit de la physique soit une collection de timbres. » [N.d.T.]
** L’ importance du lancer apparaît également à partir des termes qui en dérivent : en latin, des mots comme
subjicio (subicio), sujet, mettre sous ou « jeter dessous », adversus, objet, protester ou « jeter en face », interjicio
(interjacio), interjection, insérer ou « jeter entre ». En grec, il a mené à des termes comme symbole ou « jeter
perception et les propriétés du mouvement, jusqu ’à ce que nos parents aient eu peur
pour les appareils ménagers. Nous allons faire la même chose.
“
Die Welt ist unabhängig von meinem Willen*.
”

Perception, continuité et changement
“
Il n’y a que les mauviettes qui n’étudient que le
cas général, les vrais scientifiques courent après
les exemples.
Les êtres humains adorent percevoir les choses. La perception commence avant la
naissance, et nous continuons à y prendre plaisir aussi longtemps que nous le pouvons.
Beresford Parlett
”
C ’est pourquoi la télévision est si populaire, même quand elle est dépourvue de contenu.
Pendant notre promenade à travers la forêt, au pied de la Montagne Mouvement, nous
ne pouvons pas nous empêcher de percevoir. La perception est en premier lieu la ca-
pacité à distinguer. Nous utilisons l ’opération cognitive élémentaire de la distinction à
chaque instant de notre vie. Par exemple, durant notre enfance, nous avons tout d ’abord
appris à faire la distinction entre les objets familiers et inconnus, une aptitude rendue
possible par l ’association avec une autre capacité élémentaire, celle de mémoriser les ex-
périences. La mémoire nous donne la possibilité d ’expérimenter, de parler de la nature et
donc de l ’explorer. La perception, la classification et la mémorisation forment ensemble
l ’ apprentissage. Dépourvus de l ’une de ces trois aptitudes, nous ne pourrions pas étudier
le mouvement.
Les enfants apprennent rapidement à distinguer la continuité de l ’ instabilité. Ils s’ ha-
bituent à reconnaître les visages humains, même si un visage n’est jamais totalement le
même à chaque fois qu ’ il est perçu. À partir de l ’ identification des visages, les enfants
prolongent la reconnaissance à tout ce qui est observable. La reconnaissance fonctionne
assez bien dans la vie quotidienne. Il est agréable de reconnaître ses amis, même dans
la nuit, et même après plusieurs bières (ceci n’est pas un défi). L’action de reconnaître
utilise donc toujours une forme de généralisation. Lorsque nous observons, nous avons
toujours une idée générale dans notre esprit. Nous allons en préciser les principales.
Toutes les forêts nous rappellent l ’essence de la perception. Assis sur l ’ herbe dans
une clairière de la forêt au pied de la Montagne Mouvement, entourés par les arbres et le
silence caractéristique de ces endroits, une sensation de tranquillité et de sérénité nous
envahit. Soudain, quelque chose s’agite dans les buissons. Nos yeux se détournent sur-
le-champ et notre attention se concentre. Les cellules nerveuses qui ont détecté le mou-
vement font partie de la région la plus ancienne de notre cerveau, que nous partageons
Réf. 19 avec les oiseaux et les reptiles : le tronc cérébral. À partir de ce moment, le cortex, ou cer-
veau récent, prend le relais pour analyser le type de mouvement et pour en déterminer
l ’origine. En surveillant le mouvement autour de notre champ de vision, nous observons
deux entités invariantes : le paysage immobile et l ’animal qui bouge. Après avoir identifié
l ’animal comme étant une biche, nous nous relâchons à nouveau.
ensemble », problème ou « jeter en avant », emblème ou « jeter dedans » et – le petit dernier – démon ou « jeter
à travers ».
* Le monde est indépendant de ma volonté.
Comment avons-nous fait la différence entre le paysage et la biche ? Plusieurs étapes

dans la vision et dans le cerveau sont impliquées. Le mouvement joue un rôle important
dans celles-ci, comme nous le voyons mieux à partir du petit film saccadé placé dans
Réf. 20 les coins inférieurs gauches de ces pages. Chaque image montre seulement un rectangle
comblé par un motif mathématiquement aléatoire. Mais, lorsque nous faisons défiler ces

pages, nous discernons une forme en mouvement sur un fond immobile. À un instant
donné, la forme ne peut être dissociée du fond : aucun objet n’est visible sur chacune de
ces images. Néanmoins il est facile de percevoir son mouvement*. Des expériences de
perception comme celle-ci ont été effectuées avec de nombreuses variantes. Dans l ’une
d ’elle, on a constaté que le fait de détecter un tel objet en mouvement n’est pas quelque
chose de spécifique aux humains. Les mouches ont la même aptitude, comme, en fait,
tous les animaux qui ont des yeux.
Le petit film saccadé sur le coin inférieur gauche, comme toutes les expériences simi-
laires, fait apparaître deux relations primordiales. Premièrement, le mouvement est perçu
uniquement si un objet peut être distingué d ’un arrière-plan ou d ’un milieu ambiant.
Beaucoup d ’ illusions sur le mouvement se focalisent sur ce point**. Deuxièmement, le
mouvement exige de définir à la fois l ’objet et l ’environnement, et de les différencier
l ’un de l ’autre. En fait, la notion d ’espace est – entre autres – une abstraction de l ’ idée
d ’arrière-plan. Ce fond est étendu, l ’objet animé est localisé. Tout cela vous semble en-
nuyeux ? Ça ne l ’est pas : attendez juste une seconde.
Appelons l ’ensemble des propriétés localisées qui restent invariantes ou constantes
pendant le mouvement, comme la taille, la forme, la couleur, etc., pris ensemble, objet
(physique) ou corps (physique). Nous restreindrons ensuite la définition, puisque sinon
les images pourraient aussi bien être des objets. En d ’autres termes, exactement comme
au début, nous ressentons le mouvement comme un processus relatif. Il est perçu en rela-
tion avec l ’environnement et par opposition à lui. La notion d ’objet est par conséquent
aussi une notion relative. Mais la distinction théorique élémentaire entre les objets loca-
lisés, isolés et l ’environnement étendu n’est pas insignifiante ou sans importance. Pre-
mièrement, cela donne l ’ impression d ’une définition qui se mord la queue. (Êtes-vous
Défi 7 s d ’accord ?) Plus tard, ce problème nous occupera énormément. Deuxièmement, nous
utilisons tellement fréquemment notre capacité à isoler des systèmes localisés de leur en-
vironnement que nous l ’acceptons sans l ’ombre d ’un doute. Toutefois, comme nous le
verrons dans la troisième partie de notre promenade, cette distinction se révèle logique-
Page ?? ment et expérimentalement impossible*** ! Notre promenade nous amènera à découvrir
la raison de cette impossibilité et ses conséquences importantes. Finalement, mis à part
* L’ œil humain est très performant pour détecter le mouvement. Par exemple, l ’ œil peut déceler le mouve-
ment d ’un point lumineux même si la variation de l ’angle est plus petite que celle qui peut être distinguée
sur une image fixe. Les détails de ce phénomène et d ’autres thèmes analogues pour les autres sens font partie
Réf. 21 du domaine de la recherche sur la perception.
** Le thème de la perception du mouvement est plein d ’aspects intéressants. Le chapitre 6 du magnifique
ouvrage de Donald D. Hoffman, Visual Intelligence – How We Create What We See, W.W. Norton &
Co., 1998. en est une excellente introduction. Sa série d ’ illusions sur le mouvement élémentaire peut être ex-
périmentée et approfondie en association avec le site Web http://aris.ss.uci.edu/cogsci/personnel/hoffman/
hoffman.html.
*** Contrairement à ce que l ’on peut fréquemment lire dans la littérature populaire, la distinction est possible
dans la théorie quantique. Elle devient impossible seulement lorsque la théorie quantique est unifiée avec la
relativité générale.
TA B L E AU 2 Arbre généalogique des notions physiques fondamentales.
le mouvement
la forme fondamentale du changement
éléments relations arrière-plan

stable inconstant stable
limité illimité étendu
formé sans forme mesurable
objets images états interactions E des phases espace-temps

impénétrable pénétrable global local composé simple
Les aspects correspondants :
masse intensité instant source dimension courbure
taille couleur position répartition distance topologie
charge apparition moment grandeur volume distance
spin disparition énergie direction sous-espaces surface
etc. etc. etc. etc. etc. etc.
monde – nature – univers – cosmos

l ’assemblage de tous les éléments, relations et arrière-plans
les entités mobiles et le fond immobile, nous avons besoin d ’un troisième concept, tel
qu ’ indiqué dans le Tableau 2.
“
II n’y a qu ’une chose sage, c ’est de connaître la
pensée qui peut tout gouverner partout.
Réf. 22
Le monde a-t-il besoin d ’ états ?

Héraclite d ’ Éphèse
”
“
Das Feste, das Bestehende und der Gegenstand
sind Eins. Der Gegenstand ist das Feste,
Bestehende ; die Konfiguration ist das
Wechselnde, Unbeständige*.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus, 2.027 – 2.0271
Qu ’est-ce qui différencie les divers dessins dans les coins en bas à gauche de chaque
page ? Dans la vie quotidienne, nous dirions la position ou la configuration des objets
”
concernés. La configuration décrit d ’une certaine manière tous ces aspects qui peuvent
être différents d ’un cas à l ’autre. On a coutume d ’appeler la liste de tous les aspects
* Les objets, l ’ immuable et le perpétuel sont une seule et même chose. Les objets sont ce qui est immuable
et durable ; leur configuration est ce qui est changeant et instable.
variables d ’un ensemble d ’objets leur état de mouvement (physique), ou plus simplement
leur état.
Les configurations dans les coins en bas à gauche diffèrent de tous les autres d ’abord
par le temps. Le temps est ce qui rend les opposés possibles : un enfant est dans une
maison et le même enfant est en dehors de la maison. Le temps rend compte de ce

type de contradiction et le résout. Mais l ’état ne distingue pas seulement des configu-
rations différentes dans le temps : l ’état contient tous les aspects d ’un système (c ’est-à-
dire d ’un groupe d ’objets) qu ’on ne retrouve pas dans les systèmes stationnaires. Deux
objets peuvent avoir les mêmes masse, forme, couleur, composition et être indiscer-
nables par rapport à toutes les autres propriétés intrinsèques, néanmoins ils seront diffé-
rents par rapport à leur position, ou leur vitesse, ou leur orientation. L’état met le doigt
sur l ’ originalité d ’un système physique* et nous permet de le distinguer de ses copies
conformes. Par conséquent, l ’état décrit également la relation d ’un objet ou d ’un sys-
tème avec son environnement. Ou pour résumer : l ’état décrit tous les aspects d’un sys-
tème qui dépendent de l ’observateur. Ces propriétés ne sont pas inintéressantes – réflé-
Défi 9 s chissez juste à ceci : l ’univers possède-t-il un état ?
Décrire la nature comme un ensemble d ’entités stables et d ’états variables est le point
de départ de l ’étude du mouvement. Les divers aspects des objets et de leurs états sont
appelés des observables. Toutes ces définitions approximatives et préliminaires seront af-
finées pas à pas par la suite. En utilisant les termes précédemment introduits, nous pou-
vons stipuler que le mouvement est le changement d’état des objets**.
Les états sont nécessaires pour la description du mouvement. Afin de progresser et de
réaliser une description exhaustive du mouvement, nous avons besoin d ’une description
complète des objets et d ’une description complète de leurs états possibles. La première
approche, appelée physique galiléenne, consiste à caractériser notre environnement quo-
tidien le plus précisément possible.
Curiosités et défis amusants sur le mouvement

Le mouvement n’est pas toujours un sujet simple***.
∗∗
Défi 10 s Est-ce que le déplacement d ’un fantôme est un exemple de mouvement ?
∗∗
* Un système physique est un objet d ’étude localisé. Dans la classification du Tableau 2, le terme « système
physique » est (à peu près) la même chose que « objet » ou « corps physique ». Les images ne sont habituel-
lement pas considérées comme des systèmes physiques (bien que le rayonnement lumineux en soit un). Les
Défi 8 s trous sont-ils des systèmes physiques ?
** La séparation exacte entre ces aspects propres à l ’objet et ceux appartenant à l ’état dépendent de la préci-
sion des observations. Par exemple, la longueur d ’un morceau de bois n’est pas constante : le bois se rétrécit
et se courbe avec le temps, en raison des processus en œuvre au niveau moléculaire. Pour être précis, la
longueur d ’un morceau de bois n’est pas une caractéristique de l ’objet, mais de son état. Les observations
méticuleuses renversent alors la distinction entre l ’objet et son mouvement, la distinction elle-même ne dis-
paraît pas – du moins pas pour le moment.
*** Les sections intitulées « curiosités » sont des séries de sujets et de problèmes qui permettent de vérifier
et d ’approfondir l ’utilisation des notions récemment introduites.

F I G U R E 8 Une poulie composée et une poulie différentielle.
Un homme escalade une montagne de 9 heures du matin jusqu ’à 13 heures. Il se couche
au sommet et redescend le jour suivant, descendant encore une fois de 9 heures du matin
jusqu ’à 13 heures. Y a-t-il un endroit sur le chemin où il passe à la même heure les deux
Défi 11 s jours ?
∗∗
Défi 12 s Est-ce que quelque chose peut s’arrêter de bouger ? Comment pouvez-vous le montrer ?
∗∗
Est-ce qu ’un corps se déplaçant pour toujours en ligne droite démontre que la nature est
Défi 13 s infinie ?
∗∗
Défi 14 s L’univers peut-il bouger ?
∗∗
Pour discuter de la précision avec précision, nous avons besoin de la mesurer. Comment
Défi 15 s vous y prendriez-vous ?
∗∗
Défi 16 s Pourrions-nous observer le mouvement si nous n’avions pas de mémoire ?
∗∗
Défi 17 s Quelle est la vitesse minimale que vous avez pu observer ? Y a-t-il une vitesse minimale
dans la nature ?
∗∗
Selon la légende, le brahmane Sissa Ben Dahir, l ’ inventeur indien du jeu d ’échecs, de-
manda au roi Sherham la récompense suivante pour son invention : il souhaita que l ’on
dépose un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troi-
sième, huit sur la quatrième, et ainsi de suite. Combien de temps tous les champs de blé
Défi 18 s du monde mettront-ils pour produire la quantité de grains nécessaire ?
∗∗
Lorsqu ’une bougie allumée est déplacée, la flamme a du mal à suivre le mouvement de

la bougie. Comment la flamme se comportera-t-elle si la bougie, toujours allumée, est
Défi 19 s placée dans une cage en verre et que l ’ensemble est mis en mouvement ?
∗∗
Une bonne façon de gagner de l ’argent est de construire des détecteurs de mouvement.
Un détecteur de mouvement est une petite boîte dotée de quelques connecteurs métal-
liques. La boîte produit un signal électrique à chaque fois qu ’elle bouge. Des détecteurs
de quels types de mouvement pouvez-vous imaginer ? À quel prix pouvez-vous fabriquer
Défi 20 d une telle boîte ? Avec quelle précision ?
∗∗
Une boule parfaitement lisse et sphérique est posée près du bord d ’une table parfaite-
Défi 21 d ment plate et horizontale. Que va-t-il se passer ? Au bout de combien de temps ?
∗∗
Vous marchez dans une boîte fermée dépourvue de fenêtre. La boîte est déplacée par
des forces extérieures inconnues pour vous. Pouvez-vous déterminer, de l ’ intérieur de
Défi 22 s la boîte, comment vous vous déplacez ?
∗∗
Quelle longueur de corde devons-nous tirer pour soulever une masse d ’une hauteur h à
Défi 23 s l ’aide d ’une poulie composée de quatre roues, comme indiqué sur la Figure 8 ?
∗∗
Lorsqu ’un bloc est roulé sur un plancher sur un ensemble de tubes, quelles sont les vi-
Défi 24 s tesses du bloc et des tubes relativement au bloc ?
∗∗
Vous n’aimez pas les formules ? Si c ’est le cas, utilisez la méthode suivante, qui ne prend
Réf. 15 que 3 minutes, pour inverser la situation. Cela vaut la peine de l ’essayer, car elle va vous
Défi 25 s rendre la lecture de ce livre encore plus amusante. La vie est courte : elle devrait être,
autant que possible, un plaisir, comme celui de lire cet ouvrage.
1 - Fermez les yeux et rappelez-vous une expérience qui fut absolument merveilleuse,
une situation où vous vous êtes senti excité, curieux et optimiste.
2 - Ouvrez vos yeux pendant une seconde ou deux et regardez la page 68 – ou toute
autre page qui contient de nombreuses formules.
3 - Fermez alors une nouvelle fois vos yeux et repensez à votre expérience mer-
veilleuse.
4 - Répétez l ’observation des formules et la visualisation de votre souvenir – étapes 2
et 3 – trois fois encore.
Sortez alors de votre souvenir, regardez autour de vous pour revenir à l ’ instant présent
et au lieu présent, puis testez-vous. Regardez une nouvelle fois la page 68. Comment
trouvez-vous les formules maintenant ?
∗∗
Durant le seizième siècle, Niccolo Tartaglia* proposa l ’énigme suivante. Trois jeunes

couples veulent traverser une rivière. Seule une petite barque pouvant transporter deux
personnes est disponible. Les hommes sont extrêmement jaloux et ne voudront jamais
laisser leur fiancée seule avec un autre homme. Combien d ’allers-retours sont-ils néces-
Défi 26 s saires pour traverser la rivière ?
* Niccolo Fontana Tartaglia (1499–1557), important mathématicien vénitien.

Chapitre 2
DE L A M E SU R E DU MOU V E M E N T À

L A C ON T I N U I T É
“
Physic ist wahrlich das eigentliche Studium des
Menschen*.
Georg Christoph Lichtenberg
La description la plus simple du mouvement est celle que nous utilisons tous incons-
ciemment, comme les chats ou les singes, dans la vie de tous les jours : une seule chose
”
peut se trouver en un lieu donné à un instant donné. Cette description générale peut être
séparée en trois hypothèses : la matière est impénétrable et se déplace, le temps est fait
d ’ instants et l ’espace est fait de points. Sans ces trois hypothèses (êtes-vous d ’accord
Défi 27 s pour les accepter ?) il est impossible de définir la vitesse dans la vie quotidienne. Cette
description de la nature est appelée physique galiléenne ou newtonienne.
Galileo Galilei (1564–1642), professeur toscan de mathématiques, fut un fondateur
de la physique moderne et est célèbre pour avoir défendu l ’ importance des observations
comme moyens de vérification des hypothèses sur la nature. En exigeant et en accomplis-
sant ces vérifications durant toute sa vie, il fut amené à améliorer constamment l ’exac-
titude de la description du mouvement. Par exemple, Galilée étudia le mouvement en
mesurant les variations de positions avec un chronomètre qu ’ il confectionna lui-même.
Sa méthode remplaça la description spéculative de la Grèce ancienne par la physique
expérimentale de la Renaissance italienne**.
Isaac Newton, alchimiste, mystique, théologien, physicien et politicien anglais (1643–
1727), fut un des premiers à défendre avec vigueur l ’ idée selon laquelle les différents
types de mouvement ont les mêmes propriétés. Il franchit des étapes importantes dans
la mise en place des concepts utiles à la démonstration de cette idée***.
* « La Physique est vraiment l ’étude appropriée de l ’ homme. » Georg Christoph Lichtenberg (1742–1799)
fut un important physicien et essayiste.
** Le meilleur et le plus instructif des livres sur la vie de Galilée et sur son époque est celui de Pietro Re-
dondi (voir la note de la page 229). Galilée naquit l ’année où le crayon fut inventé. Avant sa naissance, il
était impossible de faire des calculs avec un crayon et du papier. Pour les curieux, le site Web http://www.
mpiwg-berlin.mpg.de vous permettra de lire un manuscrit original de Galilée.
*** Newton naquit un an après la mort de Galilée. Une autre activité de Newton, comme maître de la Mon-
naie royale, fut de surveiller personnellement la pendaison des faux-monnayeurs. Sur l ’engouement de New-
Réf. 23 ton pour l ’alchimie, voyez le livre de Dobbs. Entre autres, Newton croyait lui-même avoir été choisi par Dieu :
il prit son nom latin, Isaacus Neuutonus, et forma l ’anagramme Jeova sanctus unus. Sur Newton et son rôle
Réf. 24 dans la mécanique classique, lisez l ’ouvrage de Clifford Truesdell.
de la mesure du mouvement à la continuité 31

F I G U R E 9 Galileo Galilei.
Q u ’ est-ce que la vitesse ?
“
Il n’y a absolument rien d ’autre de semblable.
La vitesse fascine. Pour les physiciens, non seulement les rallyes automobiles sont in-
téressants, mais aussi tous les objets qui se déplacent. Par conséquent, ils ont d ’abord
Jochen Rindt*
”
évalué autant d ’exemples que possible. Une sélection en est donnée dans le Tableau 4 et
le Tableau 5. Les préfixes et les unités utilisés sont décrits en détail dans l ’ Annexe B.
La vie quotidienne nous apprend beaucoup de choses sur le mouvement : les objets
peuvent se devancer les uns les autres et peuvent se déplacer dans des directions diffé-
rentes. Nous remarquons également que les vitesses peuvent être augmentées ou modi-
fiées de façon continue. La liste exhaustive de ces propriétés, fournie dans le Tableau 3,
est résumée par les mathématiciens dans une expression particulière : ils disent que les
vitesses forment un espace vectoriel euclidien**. Nous donnerons plus de détails sur cette
Page 64 expression bizarre sous peu. Pour l ’ instant, notons simplement que, pour décrire la na-
ture, les concepts mathématiques se présentent comme l ’ instrument le plus précis.
On qualifie la vitesse de galiléenne lorsqu ’elle est présumée être un vecteur eucliden.
La vitesse est un concept fondamental. Par exemple, la vitesse ne nécessite pas de mesures
d ’espace et de temps pour être définie. Êtes-vous capable de trouver une méthode pour
Défi 28 d mesurer les vitesses sans mesurer l ’espace et le temps ? Si c ’est le cas, vous avez vraisem-
blablement envie de sauter à la page 15, passant par-dessus 2 000 ans de recherches. Si
vous ne trouvez pas, lisez bien ceci : toutes les fois que nous mesurons une quantité, nous
supposons implicitement que n’ importe qui est capable d ’en faire autant et que tout le
monde trouvera le même résultat. En d ’autres termes, nous définissons la mesure par
rapport à une valeur standard. Nous supposons alors implicitement qu ’un tel standard
existe, c ’est-à-dire qu ’un exemple de vitesse « parfaite » peut être découvert. Historique-
* Jochen Rindt (1942–1970), célèbre pilote autrichien de rallye automobile de Formule 1, parlant à propos de
la vitesse.
** Ainsi nommé d ’après Euclide, ou Eukleidês, le grand mathématicien grec qui vivait à Alexandrie aux alen-
tours de l ’an 300 av. J.-C. Euclide écrivit un traité monumental sur la géométrie, Στοιχεῖα ou les Éléments,
qui est une des œuvres majeures de la pensée humaine. L’ouvrage expose toute la connaissance de l ’époque
sur la géométrie. Pour la première fois, Euclide introduisit deux approches qui sont maintenant utilisées
communément : tous les énoncés sont déduits à partir d ’un nombre réduit d ’ « axiomes » de base et, pour
chaque énoncé, une « preuve » en est donnée. Le livre, encore édité aujourd ’ hui, fut l ’œuvre de référence en
géométrie pendant 2 000 ans. Sur le Web, on peut le trouver à l ’adresse http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/
java/elements/elements.html.
32 2 de la mesure du mouvement à la continuité
TA B L E AU 3 Propriétés de la vitesse au sens quotidien – ou vitesse galiléenne.
Les vitesses P r o p r i é t é D é n o m i n at i o n Définition

peuvent p h ys i q u e m at h é m at i q u e
Être distinguées discernement élément d ’un ensemble Page ??
Changer graduellement continuité espace vectoriel réel Page 64,Page ??

Pointer quelque part direction espace vectoriel, dimensionalité Page 64
Être comparées mesurable métrique Page ??
Être cumulées additivité espace vectoriel Page 64
Avoir des angles définis direction espace vectoriel euclidien Page 64
Dépasser toute limite infini infinitude Page ??
ment, l ’étude du mouvement n’examina pas cette question au premier abord, parce que
pendant plusieurs siècles personne ne put trouver un tel standard de vitesse. Vous êtes
donc en bonne compagnie.
Quelques chercheurs se sont spécialisés dans l ’étude des vitesses les plus faibles que
Réf. 28 l ’on rencontre dans la nature : ils sont appelés géologues. Ne manquez jamais l ’occasion
de traverser un site tout en écoutant parler l ’un d ’entre eux.
La vitesse est un sujet profond pour une deuxième raison : nous découvrirons que
toutes les propriétés du Tableau 3 sont uniquement approchées, aucune n’est exacte en
réalité. Des expériences perfectionnées nous dévoileront les limites de chaque propriété
de la vitesse galiléenne. La faillite des trois dernières propriétés nous conduira à la relati-
vité restreinte et générale, l ’échec des deux du milieu à la théorie quantique et l ’échec des
deux premières propriétés à la description unifiée de la nature. Mais, pour l ’ instant, nous
resterons accrochés à la vitesse galiléenne, et nous poursuivons avec un autre concept ga-
liléen qui en dérive : le temps.
Sans les concepts de lieu, de vide et de temps, le
“ changement ne peut se produire. [...] Il est donc

clair [...] que leur compréhension doit être
réalisée, en étudiant chacun d ’entre eux
séparément.
Q u ’ est-ce que le temps ?

Aristote* Physique, Livre III, partie 1.
”
“
Le temps n’existe pas intrinsèquement, mais
seulement à travers les objets perçus, dont
découlent les notions de passé, de présent et de
futur.
Lucrèce**,De rerum natura, lib. 1, v. 460 ss.
Pendant les premières années de leur vie, les enfants passent beaucoup de temps à
jeter des objets autour d ’eux. Le terme « objet » est un mot latin qui signifie « la chose
”
qui peut être jetée en face ». La psychologie évolutive a montré expérimentalement qu ’à
* Aristote (384/3–322), savant et philosophe grec.

** Titus Lucretius Carus (v. 95 à v. 55 av. J.-C. ), poète et érudit latin.
TA B L E AU 4 Quelques valeurs mesurées de vitesse.
O b s e r va t i o n Vi t e s s e
Croissance des stalagmites 0,3 pm/s

Pouvez-vous trouver quelque chose de plus lent ?

Défi 29 s
Croissance d ’un nodule de manganèse en plaine abyssale 80 am/s
Croissance du lichen ≥ 7 pm/s
Déplacement caractéristique des continents 10 mm/a = 0,3 nm/s
Croissance humaine pendant l ’ enfance, croissance capillaire 4 nm/s
Croissance des arbres ≤ 30 nm/s
Déplacement des électrons dans un fil métallique 1 µm/s
Déplacement d ’un spermatozoïde de 60 à 160 µm/s
Vitesse de la lumière au centre du Soleil 0,1 mm/s
Déplacement du ketchup 1 mm/s
Plus petite vitesse de la lumière mesurée dans la matière sur Terre 0,3 m/s Réf. 25
Chute des flocons de neige de 0,5 m/s à 1,5 m/s
Vitesse du signal dans les cellules nerveuses humaines 0,5 m/s à 120 m/s Réf. 26
Vitesse du vent à 1 degré Beaufort (très légère brise) moins de 1,5 m/s
Vitesse de la pluie qui tombe, en fonction du rayon de la goutte de 2 m/s à 8 m/s
Poisson le plus rapide à la nage, le voilier (Istiophorus platypterus) 22 m/s
Record de vitesse en navigation maritime (par le véliplanchiste 25,1 m/s
Finian Maynard)
Animal le plus rapide à la course, le guépard (Acinonyx jubatus) 30 m/s
Vitesse du vent à 12 degrés Beaufort (ouragan) plus de 33 m/s
Vitesse de l ’air dans la gorge lors de l ’éternuement 42 m/s
Le lancer mesuré le plus rapide : la balle du jeu de cricket 45 m/s
Homme en chute libre de 50 à 90 m/s
Oiseau le plus rapide en vol, au piqué, le faucon pèlerin 60 m/s
(Falco peregrinus)
Service le plus rapide au badminton 70 m/s
Vitesse moyenne des molécules d ’oxygène dans l ’air à 280 m/s
température ambiante
Vitesse du son dans l ’air sec au niveau de la mer et à 330 m/s
température ordinaire
Claquement de l ’extrémité du fouet 750 m/s
Vitesse d ’une balle de fusil 3 km/s
Vitesse de la propagation de la fissure dans la brisure du 5 km/s
silicium
Réf. 18 partir de cette toute première expérience les enfants extraient les notions de temps et
d ’espace. Les physiciens adultes en font de même lorsqu ’ ils étudient le mouvement à
l ’université.
TA B L E AU 5 Quelques valeurs mesurées de vitesse (suite).
O b s e r va t i o n Vi t e s s e
La plus haute vitesse macroscopique accomplie par l ’ homme : 14 km/s

le satellite Voyager

Vitesse moyenne (et de pointe) de l ’extrémité de l ’éclair 600 km/s (50 000 km/s)
Vitesse de la Terre à travers l ’univers 370 km/s
La plus haute vitesse macroscopique mesurée dans notre galaxie 0,97 ⋅ 108 m/s Réf. 27
Vitesse des électrons dans un téléviseur couleur 1 ⋅ 108 m/s
Vitesse des messages radio dans l ’espace 299 792 458 m/s
La plus haute vitesse de groupe de la lumière jamais mesurée 10 ⋅ 108 m/s
Vitesse d ’un point lumineux émis par une tour de lumière 2 ⋅ 109 m/s
lorsqu ’ il franchit la Lune
La plus haute vitesse propre pour des électrons jamais 7 ⋅ 1013 m/s
réalisée par l ’ homme
La plus haute vitesse possible pour un point lumineux ou infinie
une ombre
F I G U R E 10 Une trajectoire typique suivie par une pierre jetée en l’air.
Lorsque nous jetons une pierre en l ’air, nous pouvons définir une succession d ’ob-
servations. Notre mémoire et nos sens nous donnent cette aptitude. L’ouïe enregistre les
divers sons durant la montée, la chute et l ’arrivée de la pierre. Nos yeux traquent l ’empla-
cement de la pierre d ’un point à l ’autre. Toutes les observations ont leur emplacement
dans la succession, avec certaines observations qui les précèdent, certaines observations
qui leur sont simultanées, et d ’autres encore qui les suivent. Nous disons que les obser-
vations sont perçues comme survenant à divers instants et nous appelons la succession
des instants le temps.
Une observation qui est considérée comme étant la plus petite partie d ’une succes-
sion, c ’est-à-dire qui n’est pas elle-même une succession, est appelée un événement. Les
événements sont primordiaux pour la définition du temps. En particulier, déclencher ou
arrêter un chronomètre sont des événements. (Mais les événements existent-ils réelle-
Défi 30 s ment ? Gardez cette question dans un coin de votre tête pendant que nous progressons.)
Les phénomènes successifs ont une autre propriété, connue comme étant la période,
l ’étendue ou la durée. Quelques valeurs mesurées sont données dans le Tableau 6*. La
* Une année est abrégée par a (« annus » en latin).
TA B L E AU 6 Quelques mesures sélectionnées de temps.
O b s e r va t i o n Te mps
Le plus petit temps mesurable 10−44 s

Le plus petit temps jamais mesuré 10−23 s

Temps mis par la lumière pour traverser un atome typique 10−18±1 s
Période de la transition hyperfine de l ’état fondamental 108,782 775 707 78 ps
du césium
Battement d ’aile de la mouche du vinaigre (drosophile) 1 ms
Période du pulsar (étoile à neutrons en rotation) PSR 1913+16 0,059 029 995 271(2)s
« Instant » humain 20 ms
La plus petite durée de vie d ’un être vivant 0,3 j
Durée moyenne du jour il y a 400 millions d ’années 79 200 s
Durée moyenne du jour aujourd ’ hui 86 400,002(1) s
Durée écoulée depuis votre naissance jusqu ’à votre 31,7 a
1 000 millionième seconde de vie
Âge du plus ancien arbre vivant 4 600 a
Apparition du langage humain 2 ⋅ 105 a
Âge de l ’ Himalaya de 35 à 55 ⋅ 106 a
Âge de la Terre 4,6 ⋅ 109 a
Âge des plus vieux astres 13,7 Ga
Âge de la plupart des protons de votre corps 13,7 Ga
Durée de vie du noyau de tantale 180 Ta 1015 a
Durée de vie du noyau de bismuth 209 Bi 1,9(2) ⋅ 1019 a
durée reflète l ’ idée que les successions prennent du temps. Nous disons qu ’une opéra-
tion prend du temps pour exprimer l ’ idée que d ’autres opérations peuvent avoir lieu
parallèlement à celle-ci.
Qu ’est exactement le concept de temps, comportant des successions et des durées, in-
féré par les observations ? Beaucoup de gens ont examiné cette question : les astronomes,
les physiciens, les horlogers, les psychologues et les philosophes. Ils ont tous trouvé que
le temps est déduit en comparant des mouvements. Les enfants, dès leur plus jeune âge,
développent la notion de « temps » à partir de la comparaison des mouvements dans
Réf. 18 leur voisinage. Les grandes personnes considèrent le mouvement du Soleil comme une
référence et nomment le type de temps qui en résulte le temps local. À partir de la Lune
ils ont construit un calendrier lunaire. En prenant une horloge particulière dans un vil-
lage d ’une île européenne, ils l ’appellent le temps universel coordonné (TUC, en anglais
Coordinated Universal Time, UTC), autrefois connu sous le nom de « temps moyen de
Greenwich »*. Les astronomes utilisent le déplacement des astres et nomment ce résultat
* Le temps TUC officiel est utilisé pour déterminer la phase du courant électrique, les flux de transmission
des compagnies de téléphone et le signal du système GPS utilisé par de nombreux systèmes de navigation
dans le monde, notamment dans les navires, avions et camions. Pour plus d ’ informations, voir le site Web
http://www.gpsworld.com. L’ infrastructure de la gestion du temps est également importante pour d ’autres
Défi 31 s pans de l ’économie moderne. Pouvez-vous en repérer les plus importants ?
le temps des éphémérides (ou un de ses succédanés). Un observateur qui se réfère à sa

montre personnelle désigne la lecture de celle-ci comme étant son temps propre, il est
couramment utilisé dans la théorie de la relativité.
Tout mouvement n’est pas forcément une bonne référence de temps. En l ’an 2000
Page 309 une rotation de la Terre ne prenait pas 86 400 secondes, comme en l ’an 1900, mais

86 400,002 secondes. Pouvez-vous deviner en quelle année votre anniversaire sera dé-
Défi 32 s calé d ’une journée entière par rapport au temps prévu de 86 400 secondes ?
Toutes les méthodes de définition du temps sont donc fondées sur des comparaisons
entre mouvements. Dans le but de rendre ce concept aussi précis et aussi utile que pos-
sible, un standard de mouvement de référence est choisi, et avec celui-ci sont établies
une succession standard et une durée standard. L’appareil qui réalise cette tâche est ap-
pelé une horloge. Nous pouvons alors répondre à la question du titre de cette section :
le temps est ce que nous lisons sur une horloge. Remarquez que toutes les définitions du
temps utilisées dans les diverses branches de la physique sont équivalentes à celle-ci. Au-
cune définition « plus profonde » ou plus fondamentale n’est possible*. Notez que le mot
« moment » est en fait dérivé du mot « mouvement ». Dans ce cas précis, le langage suit la
physique. De façon étonnante, la définition du temps qui vient d ’être donnée est défini-
tive. Elle ne changera plus jamais, même au sommet de la Montagne Mouvement. Cela
peut surprendre au premier abord, car beaucoup de livres ont été écrits sur la nature du
temps. Ils devraient plutôt examiner la nature du mouvement ! Mais c ’est de toute façon
le but de notre promenade. Nous sommes donc résignés à découvrir tous les secrets du
temps comme une conséquence annexe de notre aventure. Chaque horloge nous rappelle
qu ’afin de comprendre le temps nous devons d ’abord comprendre le mouvement.
Une horloge est un système en mouvement dont la position peut être lue. Bien sûr,
une horloge précise est un système qui bouge le plus régulièrement possible, avec la plus
petite perturbation extérieure possible. Y a-t-il une horloge parfaite dans la nature ? Les
horloges existent-elles réellement en fin de compte ? Nous continuerons d ’examiner ces
questions dans tout ce travail et nous parviendrons pour finir à une conclusion étonnante.
Pour l ’ instant, toutefois, nous énonçons un résultat intermédiaire ordinaire : puisque
les horloges doivent exister, il existe d ’une manière ou d ’une autre dans la nature un
Défi 33 s procédé fondamental, naturel et idéal pour mesurer le temps. Pouvez-vous le découvrir ?
Le temps n’est pas seulement un aspect des observations, il est également une facette
de notre expérience personnelle. Même dans notre vie intime la plus secrète, dans nos
pensées, nos émotions et nos rêves, nous éprouvons les notions de succession et de durée.
Les enfants apprennent à associer cette expérience intérieure du temps aux observations
extérieures, et à faire usage de la propriété de diachronie des événements dans leurs acti-
vités. Les études sur l ’origine du temps psychologique montrent qu ’ il coïncide – excepté
par son manque d ’exactitude – avec le temps des horloges**. Chaque personne vivante
se sert inévitablement de la notion de temps dans sa vie de tous les jours comme d ’une
* Les plus anciennes horloges sont les gnomons (ancêtres des cadrans solaires [N.d.T.]). La technique
de leur construction s’appelle la gnomonique. Une introduction exhaustive et excellente dans ce domaine
quelque peu insolite peut être consultée sur le site Web http://www.sundials.co.uk.
Page ?? ** Le cerveau contient une multitude d ’ horloges. L’ horloge la plus précise pour les intervalles de temps
courts, le compteur d ’ intervalle interne, est plus fiable que ce que l ’on pense souvent, surtout avec de l ’entraî-
Réf. 29 nement. Pour les périodes de temps comprises entre quelques dixièmes de seconde, nécessaires en musique,
et quelques minutes, les hommes peuvent atteindre une exactitude de quelques pour cent.
TA B L E AU 7 Propriétés du temps galiléen.
L e s i ns ta nt s d u t e mp s P r o p r i é t é D é n o m i n at i o n Défini-
physique m at h é m at i q u e tion
Peuvent être distingués distinction élément d ’un ensemble Page ??

Peuvent être ordonnés succession ordre Page ??
Définissent la durée mesurable métrique Page ??
Peuvent avoir une durée infinitési- continuité compacité, complétude Page ??
male
Autorisent l ’addition des durées additivité métrique Page ??
Ne cachent aucune singularité invariance par homogénéité Page 164
translation
N ’ont pas de fin infini infinitude Page ??
Sont équivalents pour tous les obser- absolu unicité
vateurs
combinaison de succession et de durée. Cette réalité a été établie dans de multiples re-
Réf. 30 cherches. Par exemple, le terme « quand » existe dans toutes les langues.
Le temps est une notion cruciale pour dissocier différentes observations. Dans n’ im-
porte quelle séquence, nous constatons que les événements succèdent les uns aux autres
continûment, apparemment sans fin. Dans ce contexte, « continûment » signifie que des
observations qui ne sont pas trop éloignées dans le temps tendent à ne pas être trop
différentes. Malgré tout, entre deux instants, aussi contigus qu ’ ils soient pour l ’observa-
teur, il y a toujours de la place pour d ’autres événements. Les durées, ou intervalles de
temps, consignées par des individus différents avec des horloges distinctes, concordent
dans la vie quotidienne. Qui plus est, tous les observateurs s’accordent sur l ’ordre des
événements dans une séquence. Le temps est donc unique.
Les propriétés mentionnées du temps ordinaire, listés dans le Tableau 7, corres-
pondent à l ’ interprétation fidèle de notre apprentissage quotidien du temps. Il est appelé
temps galiléen. Toutes les propriétés peuvent être formulées collectivement en assignant
au temps des nombres réels. En réalité, les nombres réels ont été forgés pour avoir préci-
Page ?? sément les mêmes propriétés que le temps galiléen, tel qu ’ il est expliqué dans l ’entracte.
Chaque instant du temps peut être désigné par un nombre réel, fréquemment noté t,
et la durée d ’une succession d ’événements est donnée par l ’écart entre les valeurs des
événements final et initial.
Lorsque Galilée étudia le mouvement au cours du dix-septième siècle, les chrono-
mètres n’existaient pas encore. En conséquence, il dut en construire un lui-même pour
pouvoir mesurer des temps compris entre une fraction et quelques secondes. Pouvez-
Défi 34 s vous deviner comment il s’y est pris ?
Nous aurons justement beaucoup de divertissement avec le temps galiléen dans les
deux premiers chapitres. Pourtant, des centaines d ’années d ’examen très minutieux
ont montré que chaque propriété du temps que nous venons de lister est approxima-
tive, qu ’aucune n’est strictement exacte. Cette histoire est relatée dans les chapitres qui
suivent.
Pourquoi les horlo ges tournent-elles dans le sens des aiguilles

d ’ une montre ?
Défi 35 s
“
Quelle heure est-il en ce moment au pôle Nord ?
Tous les mouvements de rotation dans notre société, comme les courses d ’athlétisme,
”

de chevaux, de vélo ou les courses de patins à glace, tournent dans le sens inverse de celui
des aiguilles d ’une montre. De façon analogue, chaque supermarché guide ses clients
dans le sens inverse des aiguilles d ’une montre à travers les allées. Les mathématiciens
nomment cela le sens de rotation positif. Pourquoi ? La majorité des gens sont droitiers,
et la main droite a plus de liberté lorsqu ’elle est située vers l ’extérieur du cercle. C ’est
également pour cela qu ’ il y a plusieurs centaines d ’années les courses de chars dans les
arènes se déroulaient dans le sens inverse des aiguilles d ’une montre. Ainsi, toutes les
courses en font toujours de même aujourd ’ hui. C ’est pour cela aussi que les coureurs
se déplacent dans le sens inverse des aiguilles d ’une montre. Pour le même motif, les
escaliers en colimaçon dans les châteaux sont édifiés de telle manière que les défenseurs
droitiers, depuis les marches plus élevées, aient cette main vers l ’extérieur.
À l ’ inverse, les horloges imitent l ’ombre des cadrans solaires. Évidemment, cela est
vrai seulement dans l ’ hémisphère Nord, et uniquement pour des cadrans solaires posés
à même le sol, qui sont les plus répandus. (La vieille astuce pour localiser le sud en diri-
geant l ’aiguille des heures d ’une montre horizontale vers le Soleil et en divisant par deux
l ’angle entre celle-ci et la direction de midi ne fonctionne pas dans l ’ hémisphère Sud.)
Donc le fonctionnement de l ’ horloge indique tacitement dans quel hémisphère elle fut
inventée. En plus, ceci nous indique également que les cadrans solaires fixés aux murs
furent utilisés après ceux posés au sol.
Est-ce que le temps s ’ écoule ?
“
Wir können keinen Vorgang mit dem ‘Ablauf
der Zeit ’ vergleichen – diesen gibt es nicht –,
sondern nur mit einem anderen Vorgang (etwa
dem Gang des Chronometers)*.
L’expression « l ’ écoulement du temps » est souvent utilisée pour exprimer le fait que
dans la nature les changements se succèdent d ’une manière régulière et continue. Mais
”
bien que les aiguilles d ’une horloge « glissent », le temps lui-même ne le fait pas. Le temps
est une abstraction introduite spécialement pour décrire l ’écoulement des événements
autour de nous. Il ne s’écoule pas lui-même, il définit l ’écoulement. Le temps n’avance
pas. Le temps n’est ni linéaire ni cyclique. L’ idée que le temps s’écoule constitue une
entrave à la compréhension de la nature, comme l ’ idée que les miroirs intervertissent la
Page ?? droite et la gauche.
L’usage fallacieux de l ’expression « l ’écoulement du temps », diffusée d ’abord par
Réf. 31 quelques penseurs grecs puis par Newton, persiste. Aristote (384/3–322 av. J.-C. ), at-
tentif au raisonnement logique, pointa du doigt ce malentendu, et d ’autres le firent éga-
* Nous ne pouvons pas comparer un processus avec « le passage du temps » – il n’existe pas de telle chose –
mais seulement avec un autre processus (tel que le fonctionnement d ’un chronomètre).
lement après lui. Néanmoins, des expressions telles que « le renversement du temps »,
« l ’ irréversibilité du temps », et le trop usité « la flèche du temps » sont encore d ’usage
Défi 36 e courant. Lisez simplement une revue scientifique populaire choisie au hasard. Le fait est
le suivant : le temps ne peut pas être renversé, seul le mouvement peut l ’être, ou plus
précisément les vitesses des objets. Le temps n’a pas de flèche, seul le mouvement en

a une. Ce n’est pas l ’écoulement du temps que les hommes ne peuvent arrêter, mais le
mouvement de tous les objets dans la nature. Incroyablement, il y a même des livres
Réf. 32 écrits par d ’éminents physiciens qui étudient différents types de « flèches du temps » et
les comparent les unes aux autres. Comme on peut le prévoir, aucun résultat tangible ou
nouveau n’en est issu. Le temps ne s’écoule pas.
De la même façon, les expressions verbales comme « le début (ou la fin) du temps »
devraient être bannies. Un spécialiste du mouvement les traduit immédiatement par « le
début (ou la fin) du mouvement ».
Q u ’ est-ce que l ’ espace ?
“
L’ introduction des nombres comme
coordonnées [...] est un acte de violence [...].
Hermann Weyl, Philosophie der Mathematik
und Naturwissenschaft*.
À chaque fois que nous distinguons deux objets l ’un de l ’autre, par exemple deux
étoiles, nous distinguons en tout premier lieu leur position. La distinction des positions
”
est la capacité principale de notre sens visuel. La position est par conséquent une pro-
priété importante de l ’état physique d ’un objet. Une position donnée est occupée par
un seul objet à un instant donné. Les positions sont limitées. L’ensemble de toutes les
positions disponibles, désigné par espace (physique), agit à la fois comme un contenant
et un arrière-plan.
La taille est une notion étroitement apparentée à l ’espace et à la position, c ’est l ’en-
semble des positions qu ’un objet occupe. Des petits objets occupent uniquement des
sous-ensembles de positions accaparées par ceux qui sont plus grands. Nous allons bien-
tôt discuter de la taille.
Comment mettons-nous en évidence l ’espace à partir des observations ? Pendant
l ’ enfance, les hommes (et la plupart des animaux supérieurs) apprennent à rassembler
les diverses perceptions de l ’espace – visuelle, tactile, auditive, kinesthésique, vestibulaire,
etc. – dans un ensemble cohérent d ’expériences et de descriptions. L’aboutissement de
ce processus d ’apprentissage est une certaine « forme » de l ’espace dans le cerveau. En
fait, la question « où ? » peut être posée et on peut y répondre dans toutes les langues
du monde. Pour être plus précis, les adultes tirent l ’origine de l ’espace des mesures de
distance, grâce auxquelles les notions de longueur, de superficie, de volume, d ’angle
et d ’angle solide sont toutes déduites. Les géomètres (mathématiciens et de terrain),
les architectes, les astronomes, les vendeurs de moquette et les fabricants de doubles-
décimètres fondent leur métier sur les mesures de distance. L’espace est un concept fa-
* Hermann Weyl (1885–1955) fut l ’un des plus importants mathématiciens de son époque, aussi bien qu ’un
physicien théoricien éminent. Il fut un des derniers savants ayant embrassé les deux domaines, un contribu-
teur de la théorie quantique et de la relativité, inventeur du terme théorie de « jauge », et auteur de nombreux
ouvrages populaires.

F I G U R E 11 Deux preuves que l’espace possède trois
dimensions : un nœud et l’oreille interne d’un
mammifère.
çonné pour synthétiser toutes les relations de distance entre objets pour une description
précise des observations.
Les doubles-décimètres fonctionnent bien uniquement s’ ils sont droits. Mais, lorsque
les hommes vivaient dans la forêt vierge, ils n’avaient pas d ’objets droits autour d ’eux.
Aucune règle droite, aucun outil droit, rien. Aujourd ’ hui, la vue d ’une ville est princi-
palement une collection de lignes droites. Pouvez-vous expliquer comment les hommes
Défi 37 s ont pu accomplir cela ?
Une fois les hommes sortis de la jungle avec leur règle fraîchement construite, ils ras-
semblèrent une foison de résultats. Les principaux d ’entre eux sont énoncés dans le Ta-
bleau 8. Ils sont facilement confirmés par l ’expérience personnelle. Les objets peuvent
prendre des positions d ’une manière apparemment continue : il y a sûrement davantage
de positions que ce qui peut être dénombré*. La notion de taille est comprise en défi-
nissant la distance entre diverses positions, appelée longueur, ou en utilisant le champ
de vision qu ’un objet occupe lorsqu ’ il est observé, appelé sa surface. Longueur et sur-
face peuvent être mesurées à l ’aide d ’une règle plate. Quelques mesures effectuées sont
données dans le Tableau 9. La longueur des objets est indépendante de la personne qui
les mesure, de leur position et de leur orientation. Dans la vie quotidienne la somme des
angles de n’ importe quel triangle est égale à deux angles droits. Il n’y a aucune exception
dans l ’espace.
L’expérience nous montre que l ’espace possède trois dimensions. Nous pouvons défi-
nir des séries de positions dans précisément trois directions différentes. En fait, l ’ oreille
interne de (pratiquement) tous les vertébrés possède trois canaux semi-circulaires qui
perçoivent la position du corps dans les trois dimensions de l ’espace, comme indiqué sur
la Figure 11**. De la même manière, chaque œil humain est commandé par trois paires
Défi 38 s de muscles. (Pourquoi trois ?) Une autre preuve que l ’espace possède trois dimensions
est alléguée par les lacets : si l ’espace avait plus de trois dimensions, les lacets seraient
inutiles, parce que les nœuds n’existent que dans un espace tridimensionnel. Mais pour-
quoi l ’espace a-t-il trois dimensions ? Il s’agit probablement de la question la plus ardue
de la physique. Elle ne trouvera une réponse que dans la toute dernière étape de notre
excursion.
* Pour une définition de l ’ indénombrabilité, voir la page ??.

** Remarquez que le fait de stipuler que l ’espace a trois dimensions implique que l ’espace est continu. Le
mathématicien et philosophe néerlandais Luitzen Brouwer (n. Overschie 1881, d. Blaricum 1966) montra
que la dimensionalité est un concept nécessaire uniquement pour les ensembles continus.
TA B L E AU 8 Propriétés de l’espace galiléen.
Les points Propriété Dénomina- Défini-

physique tion tion
m at h é m a -
tique

Peuvent être distingués distinction élément d ’un Page ??
ensemble
Peuvent être ordonnés s’ ils sont succession ordre Page ??
alignés
Peuvent façonner des formes forme topologie Page ??
Se disposent dans trois directions existence des nœuds tri-dimensionalité Page ??
indépendantes
Peuvent avoir une distance continuité compacité, Page ??
infinitésimale complétude
Définissent les distances mesurable métrique Page ??
Permettent d ’additionner des additivité métrique
Page ??
translations
Définissent les angles produit scalaire espace euclidien Page 64
Ne masquent aucune singularité invariance par homogénéité
translation
Peuvent dépasser toutes les infini infinitude Page ??
frontières
Sont définis pour tous les absolu unicité Page 42
observateurs
Il est souvent dit qu ’ il est impossible d ’ imaginer quatre dimensions. C ’est faux. Es-
Défi 39 s sayez seulement. Par exemple, pouvez-vous approuver que les nœuds sont impossibles à
faire en quatre dimensions ?
Comme les intervalles de temps, les intervalles d ’espace peuvent êtres décrits avec
plus de précision à l ’aide des nombres réels. Afin de simplifier la communication, des uni-
tés de référence sont utilisées, de telle façon que tout le monde utilise les mêmes nombres
pour des longueurs identiques. Les unités nous permettent d ’explorer empiriquement les
propriétés générales de l ’ espace galiléen : l ’espace, le contenant des objets, est continu,
tridimensionnel, isotrope, uniforme, infini, euclidien et unique ou « absolu ». En mathé-
matiques, une structure ou concept mathématique qui possède toutes les propriétés men-
tionnées ci-dessus est appelé un espace euclidien tridimensionnel. Ses éléments, les points
(mathématiques), sont décrits par trois paramètres réels. Ils sont communément notés
(x, y, z) (1)
et dénommés coordonnées. Ils désignent et quantifient l ’emplacement d ’un point dans

l ’espace. (Pour la définition exacte des espaces euclidiens, voir page 64.)
Ce qui vient d ’être dit en seulement une demi-page a pris en réalité 2 000 ans pour
être développé, principalement parce qu ’ il fallut d ’abord découvrir les concepts de

F I G U R E 12 René Descartes.
« nombre réel » et de « coordonnée ». La première personne qui décrivit les points de l ’es-
pace de cette façon fut le célèbre mathématicien et philosophe René Descartes*. d ’après
qui les coordonnées de l ’expression (1) furent appelées cartésiennes.
Comme le temps, l ’espace est un concept indispensable pour décrire le monde. En
réalité, l ’espace est implicitement introduit lorsque nous décrivons des situations avec
plusieurs objets. Par exemple, quand plusieurs boules sont posées sur une table de billard,
nous ne pouvons échapper à l ’emploi de l ’espace pour détailler les relations entre elles. Il
n’existe aucune manière d ’éviter l ’utilisation des concepts d ’espace quand nous traitons
de la nature.
Bien que nous ayons de toute manière besoin de l ’espace pour parler de la nature,
il est quand même intéressant de se demander pourquoi c ’est comme ça. Par exemple,
depuis que des méthodes de mesures de longueur existent, il doit y avoir une manière
naturelle ou idéale pour mesurer des distances, des tailles et des rectitudes. Pouvez-vous
Défi 40 s la trouver ?
De même que pour le temps, chacune des propriétés de l ’espace listées ci-dessus doit
être vérifiée. Et à nouveau, des observations méticuleuses nous montreront que chaque
propriété est approximative. En termes plus abrupts et plus concis, elles sont toutes erro-
nées. Cela entérine la déclaration de Weyl au début de cette section. En fait, l ’ histoire de
cette violence liée à l ’ introduction des nombres est contée par chaque forêt du monde,
et bien entendu également par celle située au pied de la Montagne Mouvement. Pour
l ’écouter, nous devons simplement prêter l ’oreille attentivement à ce que les arbres ont à
nous dire.
“
Μέτρον ἄριστον**.
L’ espace et le temps sont-ils absolus ou relatif s ?

Cléobule
”
Dans la vie de tous les jours, les notions d ’espace et de temps galiléens renferment
deux points de vue antagonistes. Cette dissonance a attisé les débats pendant plusieurs
siècles. D’un côté, l ’espace et le temps expriment quelque chose d ’ invariable et de per-
manent, ils agissent ensemble comme de grands récipients pour tous les objets et les
* René Descartes ou Cartesius (1596–1650), mathématicien et philosophe français, auteur de la célèbre ex-
pression « je pense, donc je suis », traduction de « cogito ergo sum ». De son point de vue c ’est la seule
formulation que nous pouvons tenir pour certaine.
** « La mesure est la meilleure des choses. » Cléobule (Κλεοβουλος) de Lindos, (v. 620–550 av. J.-C. ) fut
un des sept sages très connus.
TA B L E AU 9 Quelques valeurs de mesures de distance.
O b s e r va t i o n D i s ta nce
Longueur d ’onde de Compton d ’une galaxie 10−85 m (calculé seulement)

Longueur de Planck, la plus petite longueur mesurable 10−32 m

Diamètre du proton 1 fm
Longueur d ’onde de Compton de l ’électron 2,426 310 215(18) pm
Taille de l ’atome d ’ hydrogène 30 pm
Plus petite oscillation du tympan détectable par l ’ oreille hu- 50 pm
maine
Taille d ’une petite bactérie 0,2 µm
Longueur d ’onde de la lumière visible de 0,4 à 0,8 µm
Le point : diamètre du plus petit objet visible à l ’œil nu 20 µm
Diamètre du cheveu humain (du plus fin au plus épais) de 30 à 80 µm
Longueur totale de l ’ ADN dans chaque cellule humaine 2m
La plus grande créature vivante, le champignon Armillaria os- 3 km
toyae
Longueur de l ’équateur terrestre 40 075 014,8(6) m
Longueur totale des cellules nerveuses humaines 8 ⋅ 105 km
Distance moyenne au Soleil 149 597 870 691(30) m
Une année-lumière 9,5 Pm
Distance à une étoile ordinaire 10 Em
Taille de la galaxie 1 Zm
Distance à la galaxie d ’Andromède 28 Zm
L’objet visible le plus lointain 125 Ym
événements découverts dans la nature. En suivant cette voie, l ’espace et le temps ont une
réalité propre. En ce sens nous pouvons dire qu ’ ils sont fondamentaux ou absolus. D’un
autre côté, l ’espace et le temps sont des outils descriptifs qui nous permettent de par-
ler des relations entre objets. Selon cette idée, ils n’ont plus aucun sens lorsqu ’ ils sont
dissociés des objets et résultent uniquement des rapports entre ceux-ci. Ils sont dérivés,
Défi 41 e apparentés ou relatifs. Lequel de ces points de vue adopteriez-vous ? Les résultats de la
physique ont alternativement privilégié une position puis l ’autre. Nous renouvellerons
Réf. 33 cette hésitation tout au long de notre aventure, jusqu ’à ce que nous trouvions la réponse.
Et à l ’évidence il s’agira d ’une troisième solution.
L a taille – pourquoi les surfaces existent-elles, mais pas les

volumes ?
La taille est un aspect primordial des objets. Comme un petit enfant qui n’a pas en-
core l ’âge scolaire, chaque homme, dans ses agissements, découvre comment utiliser les
propriétés de la taille et de l ’espace. Comme des adultes qui cherchent la précision, la
définition de la distance comme étant la différence entre des coordonnées nous permet
de définir la longueur d ’une manière fiable. Il a fallu plusieurs centaines d ’années pour

F I G U R E 13 Un curvimètre ou odomètre.
n=1 n=2 n=3 n = infini
F I G U R E 14 Une fractale : une courbe auto-similaire de longueur infinie (complètement à droite), et sa

construction.
s’apercevoir que quelque chose ne collait pas. Plusieurs recherches en physique et en
mathématiques aboutirent à des complications.
Les problèmes physiques se déclenchèrent avec une question étonnamment simple
posée par Lewis Richardson* : quelle est la longueur de la côte ouest de l ’Angleterre ?
En suivant la ligne du littoral sur une carte à l ’aide d ’un odomètre, un appareil re-
présenté sur la Figure 13, Richardson trouva que la longueur l du littoral dépendait de
l ’échelle s (supposons 1 : 10 000 ou 1 : 500 000) de la carte utilisée :
l = l 0 s 0,25 (2)
(Richardson découvrit d ’autres nombres pour d ’autres côtes.) Le nombre l 0 est la lon-
gueur à l ’échelle 1 : 1. Le résultat principal est que plus la carte est grande, plus la côte est
longue. Qu ’arriverait-il si l ’échelle de la carte était agrandie au-delà même de la taille de
l ’original ? La longueur croîtrait au-delà de toutes limites. Un littoral peut-il réellement
avoir une longueur infinie ? Oui, il le peut. En fait, les mathématiciens ont décrit un grand
nombre de ces courbes : ils les ont nommées des fractales. Il en existe un nombre infini,
Défi 42 e et la Figure 14 en montre un exemple**. Pouvez-vous en construire d ’autres ?
La longueur possède d ’autres caractéristiques étranges. Le mathématicien italien Giu-
seppe Vitali fut le premier à découvrir qu ’ il est possible de couper un segment de droite
de longueur 1 en morceaux qui peuvent être ré-assemblés – simplement en les alignant
dans la direction du segment – en un segment de droite de longueur 2. Êtes-vous capable
* Lewis Fray Richardson (1881–1953), psychologue et physicien anglais.

** La plupart de ces courbes sont auto-similaires, c ’est-à-dire qu ’elles suivent des « lois » d ’échelle similaires
à celle mentionnée ci-dessus. Le terme « fractale » est dû au mathématicien polonais Benoît Mandelbrot et se
réfère à une propriété étrange : dans un certain sens, elles ont un nombre de dimensions D non entier, bien
qu ’elles soient unidimensionnelles par construction. Mandelbrot remarqua que la dimension non entière
était liée à l ’exposant e de Richardson par D = 1 + e, donnant ainsi D = 1, 25 dans l ’exemple ci-dessus. La
longueur des côtes et d ’autres fractales sont merveilleusement présentées dans Heinz-Otto P eitgen,
Hartmut Jürgens & Dietmar Saupe, Fractals for the Classroom, Springer Verlag, 1992, pp. 232–245.
Cet ouvrage est également disponible dans plusieurs autres langues.
de découvrir une telle division en vous servant de l ’astuce que cela n’est réalisable qu ’en
Défi 43 d utilisant un nombre infini de morceaux ?
Pour résumer, la longueur est bien définie pour des lignes qui sont droites ou incur-
vées de manière régulière, mais pas pour des lignes compliquées ou pour des lignes consti-
tuées d ’une infinité de morceaux. Nous allons par conséquent éviter les fractales et autres

courbes bizarrement formées par la suite, et nous allons prendre toutes nos précautions
lorsque nous parlerons de segments infiniment petits. Cela fait partie des hypothèses
principales des deux premières étapes de cette destinée, et nous ne devrons jamais les
oublier. Nous reviendrons sur ces hypothèses dans la troisième partie.
En réalité, toutes ces complications s’estompent lorsqu ’elles sont confrontées au pro-
blème subséquent. Ordinairement, les aires et les volumes sont définis en recourant à
la longueur. Vous pensez que c ’est enfantin ? Vous êtes dans l ’erreur, de même que vous
êtes une victime des préjugés répandus par les écoles à travers le monde. Pour caractériser
l ’aire et le volume avec précision, leurs définitions doivent inclure deux propriétés : les
valeurs doivent être additives, c ’est-à-dire que, pour des ensembles finis ou infinis d ’ob-
jets, l ’aire et le volume total doivent être la somme des aires et des volumes de chaque
élément de l ’ensemble, et ils doivent être inflexibles, c ’est-à-dire que, si l ’on coupe une
surface ou un volume en morceaux et qu ’ensuite on remet ces morceaux en place, la
valeur résultante doit demeurer identique. De telles définitions existent-elles ? Dit autre-
ment, ces concepts d ’aire et de volume existent-ils ?
Pour des aires dans une surface plane, nous procédons de la manière classique sui-
vante : nous définissons l ’aire A d ’un rectangle de côtés a et b comme A = ab. Puisque
n’ importe quel polygone peut être transformé en un rectangle avec un nombre fini de
Défi 44 s coupes droites, nous pouvons alors évaluer l ’aire de tous les polygones. Ensuite, nous
pouvons définir l ’aire des figures régulièrement courbées comme étant la limite de la
somme de celles d ’une infinité de polygones. Cette méthode, nommée intégration, est
Page 174 présentée en détail dans la section sur l ’action physique.
Toutefois, l ’ intégration ne nous permet pas de définir l ’aire de domaines ayant des
Défi 45 s frontières arbitraires. (Pouvez-vous vous figurer un tel domaine ?) Pour une définition
complète, des outils plus sophistiqués sont nécessaires. Ils furent découverts en 1923 par
le célèbre mathématicien Stefan Banach*. Il démontra que nous pouvons malgré tout dé-
finir une aire pour tous les ensembles de points quels qu ’ ils soient, même si la limite
n’est pas continûment courbée mais extrêmement complexe, telle la courbe fractale pré-
cédemment mentionnée. Aujourd ’ hui cette notion généralisée de l ’aire, techniquement
une « mesure dénombrablement additive et invariante par isométrie », est appelée une
mesure de Banach en son honneur. Les mathématiciens résument cette explication en di-
sant que, puisqu ’ il existe une mesure de Banach en deux dimensions, il y a une manière
de définir le concept d ’aire – une mesure additive et rigide – pour tous les ensembles de
points quels qu ’ ils soient**.
* Stefan Banach (Cracovie 1892–Lvov 1945) fut un important mathématicien polonais.

** En fait, cela est vrai uniquement pour des ensembles d ’une surface plane. Pour des surfaces courbées telles
que la surface d ’une sphère, existent des difficultés que ne seront pas exposées ici. En plus, les problèmes
soulevés dans la définition de la longueur des fractales surgissent également pour l ’aire si la surface à mesurer
n’est pas plate mais pleine de collines et de vallées. Un exemple typique est la superficie du poumon humain :
en fonction de l ’échelle de précision de l ’examen, nous trouvons une valeur qui varie de cent mètres carrés
jusqu ’à beaucoup plus.

Angle
Dièdre
F I G U R E 15 Un polyèdre avec un de ses angles dièdres. (©

Luca Gastaldi)
Quelle est la situation en trois dimensions, c ’est-à-dire pour le volume ? Nous pouvons
commencer de la même façon que pour l ’aire, en définissant le volume V d ’un polyèdre
rectangulaire de côtés a, b, c comme V = abc. Mais nous rencontrons alors le premier
écueil : un polyèdre en général ne peut pas toujours être réduit à un cube par des coupes
droites ! Cet achoppement fut découvert en 1900 et 1902 par Max Dehn*. Il remarqua que
cette possibilité dépend des valeurs des angles des arêtes, ou angles dièdres, comme les
mathématiciens les nomment. Si nous assignons à chaque arête d ’un polyèdre en général
un nombre donné par sa longueur l multipliée par une fonction particulière д(α) de son
angle dièdre α, alors Dehn montra que la somme de tous les nombres pour toutes les
arêtes d ’un solide ne change pas après découpage, pourvu que la fonction satisfasse la
relation д(α + β) = д(α) + д(β) et д(π) = 0. Un exemple d ’une telle fonction д étrange
est celle qui attribue la valeur 0 à n’ importe quel multiple rationnel de π et la valeur 1 à un
ensemble de base des multiples irrationnels de π. Les valeurs pour tous les angles dièdres
du polyèdre peuvent alors être obtenues par une combinaison de multiples rationnels de
Défi 46 s ces angles de base. En utilisant cette fonction, vous devez alors déduire par vous-même
qu ’un cube ne peut pas être découpé en un tétraèdre régulier parce que leurs invariants
de Dehn respectifs sont différents**.
En dépit de ces difficultés relatives aux invariants de Dehn, nous pouvons définir un
concept rigide et additif du volume pour les polyèdres, puisque pour tous les polyèdres
et, plus généralement, pour toutes les formes « régulièrement courbées », nous pouvons
encore utiliser l ’ intégration pour la définition de leur volume.
À présent considérons les formes générales et les découpages généraux en trois di-
mensions, et plus seulement les « réguliers » décrits plus haut. Nous butons alors sur
le célèbre théorème (ou paradoxe) de Banach-Tarski. En 1924, Stefan Banach et Alfred
Réf. 34 Tarski*** prouvèrent qu ’ il est possible de découper une sphère en cinq morceaux qu ’on
peut ré-assembler pour donner deux sphères, chacune de la taille de l ’original. Ce résul-
tat contre-intuitif est le théorème de Banach-Tarski. Pis encore, une autre variante du
théorème affirme ceci : prenez deux formes quelconques qui ne se prolongent pas à l ’ in-
* Max Dehn (1878–1952), mathématicien allemand, élève de David Hilbert.

** Cela est également expliqué dans le magnifique livre de M. Aigler & G. M. Z iegler, Proofs from the
Book, Springer Verlag, 1999. Le titre est attribuable à la célèbre habitude qu ’avait le grand mathématicien
Paul Erdös d ’ imaginer que toutes les belles démonstrations mathématiques pouvaient être assemblées dans
un « recueil des démonstrations ».
*** Alfred Tarski (n. Varsovie 1902, d. Berkeley 1983), mathématicien polonais.
fini et contenant chacune une sphère solide, alors il est toujours possible de transformer
l ’une en l ’autre en un nombre fini de découpages. En particulier il est possible de trans-
former un petit pois en la Terre, ou vice versa. La taille ne compte pas* ! Le volume n’est
donc pas du tout un concept utile.
Le théorème de Banach-Tarski soulève deux questions : premièrement, ce résultat

peut-il s’appliquer à l ’or ou au pain ? Cela permettrait de résoudre de nombreux pro-
blèmes. Deuxièmement, peut-il être appliqué à l ’espace vide ? En d ’autres termes, la ma-
Défi 47 s tière et l ’espace vide sont-ils continus ? Ces deux sujets seront étudiés plus tard dans
notre exploration ; chaque résultat aura sa propre conséquence. Pour le moment, nous
faisons l ’ impasse sur ce problème déroutant en restreignant notre intérêt aux formes
continûment courbées (et aux découpages). Avec cette restriction, les volumes de ma-
tière et d ’espace vide se conduisent merveilleusement bien : ils sont additifs et rigides,
et ne soulèvent aucune contradiction. En réalité, les découpages requis pour le paradoxe
de Banach-Tarski ne sont pas uniformes : il est impossible de les réaliser avec un cou-
teau classique, puisqu ’ ils exigent un nombre infini d ’angles infiniment aigus découpés
avec un couteau infiniment tordu. Un tel couteau n’existe pas. Cependant, gardons dans
un coin de notre tête l ’ idée que la taille d ’un objet ou d ’un morceau d ’espace vide est
une quantité subtile – et que nous avons besoin d ’être prudent à chaque fois que nous
discutons de cela.
Q u ’ est-ce qu ’ une ligne droite ?

Lorsque vous regardez un objet massif possédant une arête droite, il est sûr à 99 %
qu ’ il a été fabriqué par l ’ homme**. La discordance entre les objets observés dans une
ville – les immeubles, les bureaux, les voitures, les poteaux électriques, les boîtes, les livres
– et les objets rencontrés dans une forêt – les arbres, les plantes, les cailloux, les nuages –
est flagrante : dans la forêt rien n’est droit ou plat, dans la ville la majorité des objets le
sont. Comment est-il envisageable que les hommes aient pu fabriquer des objets droits
alors que l ’on n’en rencontre aucun dans la nature ?
Chaque forêt nous renseigne sur l ’origine de la rectitude. Elle présente des troncs
d ’arbre de haute taille et des rayons de lumière du jour qui filtrent du haut à travers le
feuillage. Pour cette raison nous qualifions une ligne de droite si elle est en contact avec
un fil à plomb ou un rayon de lumière sur toute sa longueur. En fait, les deux définitions
sont équivalentes. Pouvez-vous confirmer cela ? Pouvez-vous trouver une autre défini-
Défi 48 s tion ? Indubitablement, nous qualifions une surface de plate si, pour n’ importe quelles
direction et position, elle est en contact avec un fil à plomb ou un rayon de lumière le
long de toute son étendue.
* La démonstration de ce résultat ne nécessite pas de connaître beaucoup de mathématiques : elle est admira-
blement expliquée par Ian Stewart dans Paradox of the spheres, New Scientist, 14 janvier 1995, pp. 28–31. Le
paradoxe de Banach-Tarski existe également en quatre dimensions, ainsi que dans n’ importe quel nombre
de dimensions plus élevé. Vous trouverez davantage de précisions mathématiques dans le magnifique livre
Réf. 35 de Stan Wagon.
** Les contre-exemples les plus courants sont les nombreux minéraux cristallins, où la rectitude est liée
à la structure atomique. Une autre exception célèbre est la formation géologique irlandaise bien connue
dénommée la Chaussée des Géants. D’autres cas qui pourraient venir à l ’esprit, comme certaines bactéries
Réf. 36 ayant des formes (approximativement) carrées ou (approximativement) triangulaires ne sont pas des contre-
exemples, puisque ces formes ne sont qu ’approximatives.

F I G U R E 16 Une photographie de la Terre – vue depuis la direction du Soleil.
En résumé, la notion de rectitude – et ainsi également celle de platitude – est définie

à l ’aide de corps matériels ou de rayonnement. En réalité, tous les concepts spatiaux, de
même que tous les concepts temporels, ont besoin du mouvement pour leur définition.
Une Terre creuse ?

L’espace et la ligne droite posent de délicats défis. Certaines personnes excentriques
soutiennent que tous les hommes vivent à l ’ intérieur d ’une sphère. Ils nomment (habi-
tuellement) cela la théorie de la Terre creuse. Ils prétendent que la Lune, le Soleil et les
astres sont tous proches du centre de la sphère creuse. Ils expliquent aussi que la lumière
suit des trajets courbés dans le ciel et ainsi que, lorsque les physiciens classiques parlent
de la distance r au centre de la Terre, la distance réelle au centre de la Terre creuse est
Défi 49 s rtc = R Terre
2
/r. Pouvez-vous montrer que ce modèle est faux ? Roman Sexl* posait régu-
lièrement cette question à ses étudiants et collègues physiciens. La réponse est simple :
si vous pensez détenir un argument pour montrer que cette idée est erronée, vous vous
fourvoyez ! Il n’y a aucune manière de montrer qu ’un tel point de vue est faux. Il est pos-
sible de décrire l ’ horizon, l ’apparition du jour et de la nuit, ainsi que les photographies
Défi 50 e de satellites de la Terre ronde, comme celle de la Figure 16. Expliquer ce qui se produi-
rait pendant un vol vers la Lune serait également amusant. Le point de vue logique sur
* Roman Sexl (1939–1986), physicien autrichien renommé, auteur de plusieurs ouvrages influents sur la
gravitation et la relativité.

F I G U R E 17 Une image illustrant la théorie de la Terre creuse, montrant comment le jour et la nuit
apparaissent. (© Helmut Diehl)
la Terre creuse est complètement équivalent à l ’ image familière d ’un espace infiniment
Page 263 étendu. Nous reviendrons sur ce problème dans la section sur la relativité générale.
Curiosités et défis amusants sur l ’ espace et le temps quotidiens

L’espace et le temps conduisent à de nombreuses questions stimulantes pour la ré-
flexion.
∗∗
Comment mesure-t-on la vitesse d ’une balle de pistolet avec un chronomètre, dans un
Défi 51 s espace de 1 m3 , sans électronique ? Indice : la même méthode peut aussi être utilisée pour
mesurer la vitesse de la lumière.
∗∗
Imaginez un point noir sur une surface blanche. Quelle est la couleur de la ligne séparant
Défi 52 s le point du fond ? Cette question est couramment appelée énigme de Peirce.
∗∗
Le pain est aussi (approximativement) une fractale irrégulière. La dimension fractale du
Défi 53 s pain se situe autour de 2,7. Essayez de la mesurer.
∗∗
d b

L
F I G U R E 18 Quitter un emplacement de stationnement.
La conduite automobile soulève de nombreux problèmes mathématiques. Un des plus

importants est le problème du stationnement suivant : quelle est la distance d la plus
courte jusqu ’au véhicule d ’en face, nécessaire pour quitter un emplacement de station-
Défi 54 s nement sans utiliser la marche arrière ? (Admettez que vous connaissez la géométrie de
votre véhicule, comme indiqué dans la Figure 18, ainsi que son plus petit rayon de virage
extérieur R, qui est connu pour chaque voiture.) Question suivante : quel est le plus petit
espacement requis lorsque vous avez la possibilité de manœuvrer d ’avant en arrière aussi
Défi 55 s souvent que vous le voulez ? Maintenant un problème pour lequel aucune solution ne
semble être donnée dans la littérature : comment cet espacement dépend-il du nombre n
Défi 56 s de fois que vous utilisez la marche arrière ? (L’auteur offre 50 euros à la première solution
correctement exposée qui lui sera envoyée.)
∗∗
Combien de fois en 24 heures les aiguilles des heures et des minutes d ’une horloge se
Défi 57 s trouvent-elles l ’une sur l ’autre ? Pour les horloges qui ont également une aiguille des
secondes, combien de fois les trois aiguilles se trouvent-elles superposées ?
∗∗
Combien de fois en douze heures les deux aiguilles d ’une horloge peuvent-elles être per-
Défi 58 s mutées avec comme conséquence que la nouvelle situation indique un temps valide ?
Que se passe-t-il pour des horloges qui ont également une troisième aiguille pour les
secondes ?
∗∗
Défi 59 s De combien de minutes la Terre tourne-t-elle en une minute ?
∗∗
Quelle est la vitesse la plus élevée atteinte par un lancer (avec ou sans raquette) ? Quel
Défi 60 s projectile fut utilisé ?
∗∗
Une corde est posée tout autour de la Terre, sur l ’équateur, aussi serrée que possible. La
Défi 61 s corde est ensuite rallongée de 1 m. Une souris peut-elle se faufiler sous celle-ci ?
∗∗
Jacques rame dans son bateau sur une rivière. Lorsqu ’ il se trouve sous un pont, il lâche
TA B L E AU 10 La notation exponentielle : comment écrire des petits et des grands nombres.
N o m b r e N o tat i o n N o m b r e N o tat i o n
exponentielle exponentielle
1 100

0,1 10−1 10 101
0,2 2 ⋅ 10−1 20 2 ⋅ 101
0,324 3, 24 ⋅ 10−1 32,4 3, 24 ⋅ 101
0,01 10−2 100 102
0,001 10−3 1 000 103
0,000 1 10−4 10 000 104
0,000 01 10−5 etc. 100 000 105 etc.
un ballon dans la rivière. Jacques continue à ramer dans la même direction pendant 10
minutes après qu ’ il a lâché le ballon. Il fait alors demi-tour et rame dans l ’autre sens.
Lorsqu ’ il parvient au ballon, le ballon a flotté sur 600 m depuis le pont. Quelle est la
Défi 62 s vitesse du courant de la rivière ?
∗∗
Adam et Bert sont frères. Adam a 18 ans. Bert est deux fois plus vieux qu ’au temps où
Adam avait l ’âge qu ’a Bert maintenant. Quel est l ’âge de Bert ?
∗∗
Les scientifiques utilisent une manière particulière pour écrire des petits et des grands
nombres, elle est illustrée dans le Tableau 10.
Réf. 37 En 1996 la plus petite distance vérifiée expérimentalement fut 10−19 m, atteinte entre
des quarks au Fermilab. (Pour savourer l ’ importance de cette distance, écrivez tous les
chiffres sans l ’exposant.) Que signifie cette mesure par rapport à la continuité de l ’es-
Défi 63 s pace ?
∗∗
« Où suis-je ? » est une question usuelle. « Quand suis-je ? » n’est jamais posée, pas plus
Défi 64 s que dans d ’autres langues. Pourquoi ?
∗∗
Défi 65 s Y a-t-il un intervalle de temps minimum dans la nature ? Une distance minimale ?
∗∗
En supposant que vous savez ce qu ’est une ligne droite, comment caractériseriez-vous
ou définiriez-vous la courbure d ’une ligne incurvée en utilisant des nombres ? Et celle
Défi 66 s d ’une surface ?
∗∗
Défi 67 s Quelle est la vitesse de votre battement de paupière ?
a
r A
α Ω
r
A

a Ω = −2
α=− r
r
F I G U R E 19 La définition des angles plan et solide.
∗∗
L’aire de la surface du corps humain est d ’environ 200 m2 . Pouvez-vous dire d ’où vient
Défi 68 s ce nombre gigantesque ?
∗∗
Les fractales en trois dimensions donnent naissance à de nombreuses surprises. Prenez
un tétraèdre régulier, collez alors sur chacune de ses faces triangulaires un tétraèdre régu-
lier plus petit, de telle façon que la surface du solide soit à nouveau constituée de plusieurs
triangles réguliers égaux. Répétez cette opération, en collant toujours des tétraèdres plus
petits sur ces nouvelles surfaces triangulaires (plus nombreuses). Quelle est la forme de
Défi 69 s la fractale résultante après un nombre infini d ’opérations ?
∗∗
Zénon méditait sur ce qui arriverait à un objet en mouvement à un instant donné du
temps. Pour discuter avec lui, vous décidez de construire l ’ obturateur pour appareil pho-
tographique le plus rapide possible que vous puissiez imaginer. Vous avez tout l ’argent
Défi 70 s que vous désirez. Quel est le plus petit temps d ’obturation que vous puissiez réaliser ?
∗∗
Pouvez-vous démontrer le théorème de Pythagore de manière géométrique seulement,
Défi 71 s sans utiliser des coordonnées ? (Il y a plus de 30 solutions.)
∗∗
Défi 72 s Pourquoi la plupart des planètes et des lunes sont-elles (à peu près) sphériques ?
∗∗
Un fil élastique joint les extrémités des deux aiguilles d ’une horloge. Quel est le chemin
Défi 73 s suivi par le point situé au milieu du fil ?
∗∗
Il existe deux grandeurs importantes reliées aux angles. Comme indiqué sur la Figure 19,
ce qui est communément appelé un angle (plan) est défini comme étant le rapport entre
les longueurs de l ’arc et du rayon. Un angle droit est égal à π/2 radian (ou π/2 rad) ou
90°. L’ angle solide est le rapport entre l ’aire et le carré du rayon. Un huitième d ’une
sphère est égal à π/2 steradian ou π/2 sr. En conséquence, un petit angle solide en forme

ciel yks
horizon noziroh
terre htrae
F I G U R E 20 Comment la taille apparente de la Lune et celle du Soleil changent.
de cône et l ’angle de l ’extrémité du cône sont différents. Pouvez-vous trouver la relation
Défi 74 s liant ces deux grandeurs ?
∗∗
La définition de l ’angle permet de déterminer la taille de l ’explosion d ’un feu d ’artifice.
Évaluez le temps T, en secondes, entre le moment où vous voyez la fusée exploser dans
le ciel et le moment où vous entendez l ’explosion, mesurez l ’angle (plan) α de la boule
avec votre main. Le diamètre D est
D ≈ 6 s/° T α . (3)
Défi 75 e Pourquoi ? Pour en savoir plus sur les feux d ’artifice, consultez le site Web http://cc.oulu.
fi/~kempmp. Autre exemple : la distance angulaire entre les osselets d ’un poing situé à
bout de bras sont à peu près de 3°, 2° et 3°, la taille d ’une main étendue, 20°. Pouvez-vous
Défi 76 s déterminer les autres angles en rapport avec votre main ?
∗∗
Il est difficile d ’évaluer la taille angulaire uniquement avec l ’œil. Par exemple, pouvez-
vous dire si la Lune est plus grande ou plus petite que l ’ongle situé sur votre pouce à
Défi 77 e l ’extrémité de votre bras tendu ? La taille angulaire n’est pas une grandeur intuitive. Elle
nécessite d ’utiliser des instruments de mesure.
Un exemple célèbre, indiqué sur la Figure 20, illustre la difficulté d ’estimer des angles.
Le Soleil et la Lune semblent tous les deux plus grands lorsqu ’ ils sont à l ’ horizon. Dans
l ’ancien temps, Ptolémée expliqua cette illusion par une modification inconsciente de la
distance apparente opérée par le cerveau humain. En réalité, la Lune est même beaucoup
plus éloignée de l ’observateur lorsqu ’elle est juste au-dessus de l ’ horizon, et donc son
image est plus petite que celle qu ’elle avait quelques heures plus tôt, quand elle était haute
Défi 78 s dans le ciel. Pouvez-vous confirmer cela ?

F I G U R E 21 Comment la taille apparente de la Lune est modifiée durant son trajet orbital. (© Anthony
Ayiomamitis)
F I G U R E 22 Un vernier/nonius/clavius.
En fait, la taille de la Lune change beaucoup plus à cause d ’un autre effet : l ’orbite de
la Lune est elliptique. Un exemple de tout cela est montré sur la Figure 21.
∗∗
Des cylindres peuvent être utilisés pour faire rouler un objet plat sur le sol. Ils gardent
l ’objet plat toujours à la même distance du sol. Quelle figure dont la coupe transversale
est autre que circulaire vous permet de réaliser la même prouesse ? Combien d ’exemples
Défi 79 s pouvez-vous trouver ?
∗∗
Galilée fit aussi des erreurs. Dans son livre célèbre, les Dialogues, il affirma que la courbe
formée par une fine chaînette suspendue entre deux clous est une parabole, c ’est-à-dire
Défi 80 d la courbe définie par y = x 2 . Cela n’est pas exact. Quelle est la véritable courbe ? Vous
pouvez observer (approximativement) cette forme dans la figure des ponts suspendus.
∗∗
Comment fonctionne un vernier ? Il est appelé nonius dans d ’autres langues. Le premier
nom est dérivé d ’un ingénieur militaire français* qui ne l ’ inventa pas, le second est un
mot dérivé du nom latinisé de l ’ inventeur portugais d ’un appareil plus élaboré** et du
terme latin désignant « neuf ». En réalité, le dispositif tel qu ’ il est connu aujourd ’ hui –
* Pierre Vernier (1580–1637), officier militaire français passionné de cartographie.

** Pedro Nuñes ou Peter Nonnius (1502–1578), mathématicien et cartographe portugais.

F I G U R E 23 Rayons anticrépusculaires. (© Peggy Peterson)
montré sur la Figure 22 – fut conçu autour de 1600 par Christophorus Clavius*, le même
astronome qui fit des recherches qui établirent le fondement de la réforme du Calendrier
grégorien de 1582. Êtes-vous capable de concevoir un vernier/nonius/clavius qui, au lieu
Défi 81 s d ’augmenter la précision d ’un facteur 10, le fait d ’un facteur arbitraire ? Y a-t-il une
limite à la précision accessible ?
∗∗
Dessinez trois cercles, de tailles différentes, qui se touchent les uns les autres. Maintenant
dessinez un quatrième cercle dans l ’espace du milieu, qui touche les trois à l ’extérieur.
Défi 82 s Quelle relation simple vérifie l ’ inverse du rayon des quatre cercles ?
∗∗
Prenez un tétraèdre OABC dont les côtés OAB, OBC, OAC sont rectangles en O. En
d ’autres termes, OA, OB et OC sont tous perpendiculaires les uns aux autres. Dans le
tétraèdre, les aires des triangles OAB, OBC, OAC sont respectivement 8, 4 et 1. Quelle
Défi 83 s est l ’aire du triangle ABC ?
∗∗
Avec deux règles, vous pouvez additionner et soustraire des nombres en les couchant
l ’une près de l ’autre. Êtes-vous capable de réaliser des règles qui vous permettent de
Défi 84 s multiplier et diviser de la même façon ? Des dispositifs plus élaborés utilisant ce principe
sont appelés règles de calcul et furent les précurseurs des calculateurs électroniques. Ils
furent utilisés partout dans le monde jusqu ’aux années 1970.
∗∗
Combien de jours compterait une année si la Terre tournait dans l ’autre sens avec la
Défi 85 s même vitesse de rotation ?
∗∗
Défi 86 s Où se trouve le Soleil dans la situation spectaculaire montrée sur la Figure 23 ?
* Christophorus Clavius ou Schlüssel (1537–1612), astronome bavarois.

∗∗
Réf. 38 Un univers bidimensionnel peut-il exister ? Alexander Dewdney décrivit un tel univers
dans un livre. Pouvez-vous expliquer pourquoi un univers bidimensionnel ne peut pas
Défi 87 d exister ?

Chapitre 3
C OM M E N T DÉ C R I R E L E MOU V E M E N T

– L A C I N É M AT IQU E
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro
“ che continuamente ci sta aperto innanzi agli

occhi (io dico l ’universo) ... Egli è scritto in
lingua matematica*.
Galileo Galilei, Il saggiatore VI.
Les expériences dévoilent que la plupart des animaux supérieurs et les jeunes enfants
”
extraient les propriétés de l ’espace et du temps galiléens de leur environnement. Plus tard,
lorsque les enfants apprennent à parler, ils transposent ces expériences dans des concepts,
de même que nous venons de faire ci-dessus. À l ’aide de ces concepts, les enfants qui
ont grandi disent alors que le mouvement est le changement de position dans le temps.
Cette représentation est illustrée par le feuilletage rapide des coins inférieurs gauches
de ce livre, en commençant à la page 169. Chaque page simule un instant du temps, et
le seul changement qui a lieu durant le mouvement est celui de la position de l ’objet,
représenté par le point sombre. Les autres fluctuations d ’une image à la suivante, qui
sont imputables aux imperfections des techniques d ’ impression, peuvent être assimilées
aux erreurs inévitables des mesures.
Il est manifeste qu ’appeler « mouvement » le changement de la position dans le temps
n’est ni une explication ni une définition puisque les deux notions de temps et de position
sont déduites du mouvement lui-même. C ’est seulement une description du mouvement.
En revanche, la description est opportune parce qu ’elle permet d ’obtenir une précision
élevée, comme nous le découvrirons en explorant la gravitation et l ’électrodynamique.
Après tout, la précision est notre fil conducteur durant cette excursion. De plus, la des-
cription précise des changements de position possède une dénomination appropriée :
elle est nommée cinématique.
L’ensemble de toutes les positions prises par un objet dans le temps forme un trajet ou
une trajectoire. La source de ce concept est flagrante lorsque nous regardons un feu d ’ar-
tifice** ou encore le film saccadé précédemment mentionné situé dans les coins en bas
à gauche après la page 169. Avec la description de l ’espace et du temps par des nombres
réels, une trajectoire peut être décrite en spécifiant ses trois coordonnées (x, y, z) – une
pour chaque dimension – comme des fonctions continues du temps t. (Les fonctions
* La science est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux (je veux dire
l ’univers) ... Il est écrit en langage mathématique.
** Sur le monde des feux d ’artifice, consultez la liste des questions fréquemment posées sur le forum de
discussion rec.pyrotechnics, ou cherchez sur le Web. Une introduction simple se trouve dans l ’article de
J. A. Conkling, Pyrotechnics, Scientific American pp. 66–73, juillet 1990.
58 3 comment décrire le mouvement – la cinématique

collision
F I G U R E 24 Deux manières de tester le fait que la durée de la chute libre ne dépend pas de la vitesse
horizontale.
sont précisées en détail à la page ??.) Elles sont généralement notées de la manière sui-
vante x = x(t) = (x(t), y(t), z(t)). Par exemple, l ’observation montre que la hauteur z
de n’ importe quelle pierre jetée ou en chute varie comme
z(t) = z 0 + v 0 (t − t 0 ) − 21 д(t − t 0 )2 (4)
où t 0 est l ’ instant où la chute commence, z 0 est la hauteur initiale, v 0 est la vitesse initiale
dans la direction verticale et д = 9,8 m/s2 est une constante qui est établie comme étant
la même, dans la limite d ’une partie pour 300, pour tous les corps chutant sur tous les
Réf. 39 points de la surface de la Terre. D’où vient la valeur 9,8 m/s2 et ses variations ténues ?
Une réponse préliminaire sera donnée sous peu, mais l ’éclaircissement complet nous
accaparera pendant la plus grande partie de cette promenade.
L’équation (4) nous permet de déterminer la profondeur d ’un puits, sachant le temps
Défi 88 s que met une pierre pour parvenir au fond. L’équation nous donne également√la vitesse v
avec laquelle nous atteignons le sol après avoir sauté d ’un arbre, à savoir v = 2дh . Une
hauteur de 3 m engendre une vitesse de 27 km/h. La vitesse est donc proportionnelle à
la racine carrée de la hauteur seulement. Cela signifie-t-il que notre forte crainte de la
Défi 89 s chute résulte d ’une surestimation de ses véritables effets ?
Galilée fut le premier à établir un résultat primordial à propos de la chute libre : les
mouvements dans les directions horizontale et verticale sont indépendants. Il montra que
le temps que met un boulet de canon tiré exactement horizontalement pour chuter est
indépendant de la vigueur de la poudre à canon, comme indiqué sur la Figure 24. Beau-
coup de grands savants ne furent pas d ’accord avec cette affirmation, même après sa
Réf. 40 mort : en 1658, l ’ Academia del Cimento organisait encore une expérience pour vérifier
cette assertion, en confrontant un boulet de canon tiré en l ’air avec un autre qui tom-
bait seulement verticalement. Pouvez-vous imaginer comment ils contrôlèrent la simul-
Défi 90 s tanéité ? La Figure 24 montre également comment vous pouvez vérifier ceci chez vous.
Dans cette expérience, quelle que soit la charge de la poudre dans le canon, les deux
projectiles entreront toujours en collision entre ciel et terre (si la table est assez haute),
démontrant ainsi l ’assertion.
En d ’autres termes, un boulet de canon n’est pas accéléré dans la direction horizon-
tale. Sont mouvement horizontal reste simplement inchangé. En étendant la description
comment décrire le mouvement – la cinématique 59
espace des diagrammes hodographe diagrammes

configurations d’espace-temps d’espace des phases
z z vz mv z

x t vx z
x mv x
t x
F I G U R E 25 Divers types de graphiques décrivant la même trajectoire d’une pierre jetée.
F I G U R E 26 Trois images superposées d’une boulette d’excréments tirée par une chenille. (© Stanley
Caveney)
de l ’équation (4) aux deux expressions des coordonnées horizontales x et y, soit
x(t) = x 0 + v x0 (t − t 0 )
y(t) = y0 + v y0 (t − t 0 ) , (5)
une description exhaustive des trajectoires suivies par les pierres lancées en résulte. Une
trajectoire de cette forme est nommée une parabole. Elle est présentée sur les Figures 10,
24 et 25*. Une figure parabolique est également utilisée pour les réflecteurs lumineux
Défi 91 s dans les lampes de poche ou les phares de voiture. Pouvez-vous montrer pourquoi ?
Le jet et le tir
La description cinématique du mouvement est utile pour répondre à un pan entier
d ’ interrogations.
* Excepté pour les graphiques représentés sur la Figure 25, il y a également l ’ espace des configurations occupé
par les coordonnées de toutes les particules d ’un système. Pour une particule seule uniquement il est égal à
l ’espace réel. Le diagramme de l ’espace des phases est également appelé diagramme d ’espace des états.
∗∗
De nombreuses chenilles d ’espèces de papillons de nuit et de jour projettent leurs dé-
Réf. 41 jections – pour le dire plus grossièrement : leur merde – de telle façon que leurs odeurs
n’aident pas les prédateurs à les localiser. Stanley Caveney et son équipe ont pris des pho-
tos de ce comportement. La Figure 26 montre une chenille (jaune) de l ’espèce Calpodes

ethlius (Hesperiidae) à l ’ intérieur d ’une feuille verte enroulée prise sur le fait. Sachant
que le record de la distance observée est 1,5 m (bien qu ’ il s’agisse d ’une autre espèce,
Défi 92 s Epargyreus clarus), quelle est la vitesse d ’éjection ? Comment les chenilles accomplissent-
elles cela ?
∗∗
Quelle est la distance horizontale que nous pouvons atteindre avec une pierre, connais-
Défi 93 s sant la vitesse et l ’angle par rapport à l ’ horizontale avec lesquels elle est lancée ?
∗∗
Comment la vitesse de la pluie tombante peut-elle être mesurée en utilisant un para-
Défi 94 s pluie ? Cette méthode peut également être utilisée pour évaluer la vitesse de la lumière.
Page 17
∗∗
Défi 95 s Quel est le nombre maximum de balles avec lesquelles on peut jongler en même temps ?
∗∗
La découverte d ’une limite maximale pour le saut en longueur est intéressante. Le re-
cord mondial de la vitesse du sprint en 1997 était de 12 m/s ≈ 43 km/h par Ben John-
Réf. 42 son, et le record féminin était de 11 m/s ≈ 40 km/h. En réalité, les athlètes du saut en
longueur ne courent jamais plus vite qu ’environ 9,5 m/s. Quelle distance supplémen-
taire de saut pourraient-ils atteindre s’ ils pouvaient courir à la vitesse maximale ? Com-
ment pourraient-ils réaliser cette performance ? De plus, les athlètes du saut en longueur
Réf. 43 s’élancent d ’un angle d ’environ 20°, puisqu ’ ils ne sont pas capables d ’atteindre un angle
supérieur à cause de la vitesse à laquelle ils courent. De quelle longueur supplémentaire
Défi 96 s pourraient-ils bénéficier s’ ils pouvaient atteindre 45° ?
∗∗
Est-il vrai que la chute d ’une averse pourrait tuer s’ il n’y avait pas la résistance de l ’air
Défi 97 s de l ’atmosphère ? Qu ’en est-il pour la glace ?
∗∗
Les balles tirées par un revolver qui tombe à la renverse dans le vide sous l ’effet de la
Défi 98 s détonation sont-elles dangereuses ?
Les deux derniers problèmes se posent parce que l ’équation (4) ne s’applique pas dans
tous les cas. Par exemple, la chute des feuilles ou des chips ne la vérifie pas. Comme Gali-
lée l ’avait déjà compris, c ’est une conséquence de la résistance de l ’air. Nous en parlerons
bientôt. En réalité, même sans la résistance de l ’air, le trajet suivi par une pierre n’est pas
Défi 99 s toujours une parabole : pouvez vous découvrir une telle situation ?
y
dérivée :
dy/dt
pente : ∆y
∆y/∆t

∆t
t
F I G U R E 27 Dérivées.
Q u ’ est-ce que le repos ?

Dans le tableau que Galilée brosse de la nature, le mouvement et le repos sont antago-
nistes. Dit autrement, un corps est au repos lorsque sa position, c ’est-à-dire ses coordon-
nées, ne varie pas au cours du temps. De cette façon, le repos (galiléen) est défini comme
suit :
x(t) = const . (6)
Plus tard, nous verrons que cette définition, contrairement à notre première impression,
n’est pas très fructueuse et nécessite d ’être retouchée. La définition du repos implique
que les objets non stationnaires peuvent être discernés en comparant la rapidité de leur
déplacement. Nous pouvons donc définir la vitesse v d ’un objet comme étant la variation
de sa position x dans le temps t. Elle est communément écrite
dx
v= . (7)
dt
Dans cette relation, valable pour chaque coordonnée prise séparément, d/dt signifie
« variation par rapport au temps ». Nous pouvons alors avancer que la vitesse est la dé-
rivée de la position par rapport au temps. La vitesse v est égale à la grandeur du vecteur
vitesse v. Les dérivées sont écrites comme des fractions pour rappeler au lecteur qu ’elles
proviennent de la notion de pente. L’expression
dy ∆y
est prise dans le sens d ’une forme raccourcie de lim , (8)
dt ∆t→0 ∆t
c ’est une manière abrégée pour signifier que la dérivée en un point est la limite des pentes
au voisinage de ce point, comme indiqué sur la Figure 27. Cette définition implique les
Défi 100 e règles de dérivation suivantes :
d(y + z) dy dz d(c y) dy d dy d2 y d(yz) dy

= + =c = 2 , = z+y
dz
, , , (9)
dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt
c étant n’ importe quel nombre. C ’est tout ce que nous aurons besoin de connaître sur
les dérivées. Les quantités dt et dy, parfois elles-mêmes utiles, sont appelées des diffé-

F I G U R E 28 Gottfried Leibniz.
rentielles. Ces concepts sont dus à Gottfried Wilhelm von Leibniz*. Les dérivées sont à
la base de tous les calculs fondés sur la continuité de l ’espace et du temps. Leibniz fut
la personnalité qui rendit possible la description et l ’utilisation de la vitesse dans la for-
mulation physique et, en particulier, l ’application aux calculs de l ’ idée de vitesse en un
point donné dans le temps ou dans l ’espace.
La définition de la vitesse présuppose qu ’ il y a un sens à considérer la limite ∆t → 0.
En d ’autres termes, il est admis que des intervalles infiniment petits de temps existent
dans la nature. La définition de la vitesse avec les dérivées est possible uniquement parce
que l ’espace et le temps sont tous deux décrits par des ensembles qui sont continus ou,
en langage mathématique, connexes et complets. Dans la suite de notre promenade, nous
devrons nous rappeler que, depuis la naissance de la physique classique, les infinis se ma-
nifestent dans la représentation de la nature. L’ infiniment petit fait partie intégrante de
notre définition de la vitesse. En fait, le calcul différentiel peut être défini comme étant
l ’étude de l ’ infini et de ses applications. Nous nous apercevons alors que l ’apparition de
l ’ infini n’ implique pas systématiquement qu ’une description soit irréalisable ou impré-
cise. Afin de rester précis, les physiciens emploient seulement ces deux espèces les plus
petites des divers infinis possibles. Leur définition concise et un aperçu des autres types
Page ?? sont introduits dans l ’entracte qui suit ce chapitre.
L’avènement de l ’ infini dans la description classique du mouvement fut d ’abord vili-
Réf. 44 pendé par Zénon d ’ Élée (vers 445 av. J.-C.), un disciple de Parménide, dans ses célèbres
paradoxes sarcastiques. Dans son troisième paradoxe, ainsi nommé, Zénon explique que,
puisque à chaque instant un objet donné séjourne dans une région de l ’espace correspon-
dant à sa taille, la notion de vitesse à un instant donné n’a aucun sens ; il conclut alors de
manière ahurissante que le mouvement n’existe pas. De nos jours nous ne l ’appellerions
pas un paradoxe sur la réalité du mouvement, mais sur sa description classique, en par-
Défi 102 e ticulier sur l ’usage de l ’espace et du temps infiniment divisibles. (Êtes-vous d ’accord ?)
Et pourtant, la description critiquée par Zénon fonctionne effectivement très bien dans
la vie de tous les jours. La raison en est simple mais profonde : dans la vie quotidienne,
les changements sont réellement continus.
De grands changements dans la nature sont constitués d ’un grand nombre de petits
changements. Cette propriété de la nature n’est pas intuitive. Par exemple, nous notons
* Gottfried Wilhelm von Leibniz (n. Leipzig 1646, d. Hanovre 1716), historien, diplomate, philosophe, ma-
thématicien, physicien et homme de loi allemand. Il fut un des grands esprits de l ’ humanité, il inventa le
calcul différentiel (avant Newton) et publia beaucoup d ’ouvrages à succès dans les divers domaines qu ’ il
explora, dont De arte combinatoria, Hypothesis physica nova, Discours de métaphysique, Nouveaux essais sur
l ’entendement humain, Essais de théodicée et Monadologie.
TA B L E AU 11 Quelques valeurs d’accélérations mesurées.
O b s e r va t i o n Accéléra-
tion
Quelle est la plus petite accélération que vous puissiez trouver ? Défi 101 s
10 fm/s2

Accélération de la galaxie M82 due à son jet de matière
Accélération d ’une jeune étoile par un jet interstellaire 10 pm/s2
Accélération du Soleil sur son orbite autour de la Voie lactée 0,2 nm/s2
Décélération inexpliquée des satellites Pioneer 0,8 nm/s2
Accélération à l ’équateur due à la rotation de la Terre 0,34 mm/s2
Accélération centrifuge due à la rotation de la Terre 33 mm/s2
Accélération des électrons dans un câble électrique domestique due au 50 mm/s2
courant alternatif
Accélération gravitationnelle sur la Lune 1,6 m/s2
Accélération gravitationnelle à la surface de la Terre, dépendant de la 9,8 ± 0,1 m/s2
localisation précise
Accélération gravitationnelle standard 9,806 65 m/s2
L’accélération la plus élevée pour une voiture ou une motocyclette avec des 15 m/s2
roues motorisées
Accélération gravitationnelle à la surface de Jupiter 240 m/s2
Accélération du guépard 32 m/s2
Accélération au déclenchement des airbags dans les voitures 360 m/s2
L’accélération la plus rapide fournie par des pattes (par l ’ aphrophore, 4 km/s2
Philaenus spumarius, un insecte)
Balle de tennis contre un mur 0,1 Mm/s2
Accélération d ’une balle dans un fusil 5 Mm/s2
Centrifugeuse la plus rapide 0,1 Gm/s2
Accélération de protons dans les grands accélérateurs de particules 90 Tm/s2
Accélération de protons à l ’ intérieur du noyau atomique 1031 m/s2
La plus grande accélération possible dans la nature 1052 m/s2
que nous avons considéré tacitement que le trajet suivi par un objet n’est pas une fractale
ou toute autre entité d ’apparence complexe. Dans la vie quotidienne cela est juste mais,
dans d ’autres domaines de la nature, cela ne l ’est pas. La méfiance de Zénon sera par-
tiellement réhabilitée plus tard dans notre excursion, et de plus en plus encore à mesure
Page ?? que nous progresserons. Ce retournement de situation ne sera que partiel, au sens où la
réponse sera différente de celle qu ’ il envisageait. D’un autre côté, le doute concernant
l ’ idée de « vitesse instantanée » s’avérera bien fondé. Pour le moment, nous n’avons mal-
gré tout pas le choix : nous continuons avec le postulat fondamental que, dans la nature,
les changements se produisent de manière continue.
Pourquoi la vitesse est-elle un concept indispensable ? Pour aspirer à plus de précision
dans la description du mouvement, nous avons besoin d ’établir la liste complète des as-
pects nécessaires pour caractériser l ’état d ’un objet. La notion de vitesse est évidemment
dans cette liste. En poursuivant sur notre lancée, nous appelons accélération a d ’un corps
la variation de sa vitesse v par rapport au temps, soit
dv d2 x
a= = . (10)
dt dt 2
L’accélération est ce que nous ressentons lorsque la Terre tremble, qu ’un avion décolle

ou qu ’une bicyclette tourne au coin d ’une rue. Le Tableau 11 cite davantage d ’exemples.
Comme la vitesse, l ’accélération possède à la fois une grandeur et une direction, proprié-
tés signalées par l ’utilisation des caractères gras pour leur notation*.
Des dérivées d ’ordre plus élevé que l ’accélération peuvent aussi être définies de la
Défi 105 s même manière. Elles sont sans intérêt pour la description de la nature, parce que, comme
nous le verrons bientôt, ni celles-ci ni l ’accélération elle-même ne sont utiles pour la
description de l ’état de mouvement d ’un système.
Les objets et les particules ponctuelles

Wenn ich den Gegenstand kenne, so kenne ich
auch sämtliche Möglichkeiten seines
Vorkommens in Sachverhalten**.
Une perspective de l ’étude du mouvement est de forger une description complète et

précise des états et des objets à la fois. Grâce à la notion d ’espace, la description des ob-
”
jets peut être considérablement affinée. En particulier, nous savons par expérience que
tous les objets observés dans la vie quotidienne possèdent une propriété importante :
Défi 106 e ils peuvent être divisés en parties. Cette observation est souvent exprimée en disant que
tous les objets, ou tous les corps, ont deux propriétés. Premièrement, ils sont constitués
* De telles quantités physiques sont appelées des vecteurs. Plus précisément, en langage mathématique, un
vecteur est un élément d ’un ensemble, appelé espace vectoriel, dans lequel les propriétés suivantes sont va-
lables pour tout vecteur a et b et pour tout nombre c et d :
c(a + b) = ca + cb , (c + d)a = ca + da , (cd)a = c(da) et 1a = a . (11)
Un autre exemple d ’espace vectoriel est l ’ensemble de toutes les positions d ’un objet. L’ensemble de toutes
Défi 103 s les rotations forme-t-il un espace vectoriel ? Tous les espaces vectoriels permettent la définition d ’un unique
vecteur nul et d ’un seul vecteur opposé pour chaque vecteur de l ’ensemble.
Remarquez que les vecteurs n’ont pas de points définis pour leur origine : deux flèches de même direction
et même longueur sont deux vecteurs identiques, même si elles prennent leur départ en des points différents
dans l ’espace.
Dans de nombreux espaces vectoriels, la notion de longueur (caractérisant la « grandeur ») peut être intro-
duite, généralement par le biais d ’une étape intermédiaire. Un espace vectoriel est appelé euclidien si nous
pouvons définir pour celui-ci un produit scalaire entre deux vecteurs, comme un nombre ab vérifiant
′ ′ ′ ′
aa ⩾ 0 , ab = ba , (a + a )b = ab + a b , a(b + b ) = ab + ab et (ca)b = a(cb) = c(ab) . (12)
Dans la notation en coordonnées cartésiennes, le produit scalaire standard est donné par ab = ax b x + ay b y +
az b z . À chaque fois qu ’ il s’annule, les deux vecteurs sont orthogonaux. La longueur ou norme d ’un√ vecteur
peut alors être définie comme la racine carrée du produit scalaire d ’un vecteur par lui-même : a = aa .
Le produit scalaire est également utile pour déterminer les directions. En fait, le produit scalaire entre
Défi 104 s deux vecteurs encode l ’angle qu ’ ils font entre eux. Pouvez-vous déduire cette relation importante ?
** Si je connais un objet, je connais aussi toutes les occurrences possibles de ses états d ’occupations.
α γ
Bételgeuse
Bellatrix
ε δ Mintaka
ζ

Alnilam
Alnitak
Taille de l’étoile
β Taille de l’orbite terrestre
κ
Rigel Orbite de Jupiter
Saiph
F I G U R E 29 Orion (en couleurs naturelles) et Bételgeuse.
de matière*, définie comme étant cet aspect d ’un objet responsable de son impénétra-
bilité, c ’est-à-dire la propriété qui empêche deux objets de se trouver au même endroit.
Deuxièmement, les corps possèdent une certaine forme ou silhouette, définie comme
étant la manière précise avec laquelle cette impénétrabilité est distribuée dans l ’espace.
Afin de rendre compte du mouvement aussi fidèlement que possible, il est opportun
de commencer avec les corps qui sont les plus élémentaires possible. En général, plus
un corps est petit, plus il est simple. Un corps qui est si minuscule que ses parties ne
nécessitent pas forcément d ’être prises en compte est appelé une particule. (L’ancienne
dénomination corpuscule est tombée aux oubliettes.) Les particules sont donc matériali-
sées comme de minuscules cailloux. Le cas extrême, une particule dont la taille est né-
gligeable par rapport à la grandeur de son mouvement, de telle façon que sa position
soit entièrement décrite par un unique triplet de coordonnées, est appelée une particule
ponctuelle ou une masse ponctuelle. Dans l ’équation (4), la pierre était assimilée à une
particule ponctuelle.
Les objets assimilés à des points, c ’est-à-dire les objets plus petits que tout ce que
nous pouvons mesurer, existent-ils dans la vie quotidienne ? Oui et non. Les exemples les
plus flagrants sont les étoiles. Aujourd ’ hui, des tailles angulaires aussi petites que 2 µrad
peuvent être mesurées, cette limite étant fixée par les fluctuations de l ’air dans l ’atmo-
sphère. Dans l ’espace, comme pour le télescope Hubble en orbite autour de la Terre, la
limite angulaire est fixée par le diamètre du télescope et est de l ’ordre de 10 nrad. Prati-
quement toutes les étoiles vues depuis la Terre sont plus petites que cette résolution et
sont donc effectivement « comparables à des points », même lorsqu ’elles sont observées
avec les télescopes les plus performants.
Comme une exception à la règle générale, la taille de quelques grandes étoiles proches,
de type géante rouge, peut être évaluée à l ’aide d ’ instruments appropriés**. Bételgeuse,
Réf. 45 * Matière est un mot dérivé du Latin « materia », qui signifie à l ’origine « bois » et est dérivé via des étapes
intermédiaires de « mater » qui signifie « mère ».
** Le site Web http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/sowlist.html fournit une introduction aux différents
types d ’ étoiles. Le site Web http://www.astro.wisc.edu/~dolan/constellations/constellations.html donne des
précisions et des informations intéressantes sur les constellations.
Pour un tour d ’ horizon sur les planètes, lisez le magnifique livre de K. R. L ang & C. A. Whitney,
Vagabonds de l ’espace – Exploration et découverte dans le système solaire, Springer Verlag, 1993. Les plus
belles images d ’étoiles peuvent être dénichées dans D. Malin, A View of the Universe, Sky Publishing and
la plus brillante des deux épaules d ’Orion, montrée dans la Figure 29, Mira dans la Ba-
leine, Antarès du Scorpion, Aldébaran du Taureau et Sirius dans le Grand Chien sont
des exemples d ’étoiles dont la taille a été mesurée. Elles sont toutes à quelques années-
Réf. 46 lumière seulement de la Terre. Évidemment, comme le Soleil, toutes les autres étoiles ont
une taille finie, mais nous ne pouvons pas démontrer cela en mesurant les dimensions

Défi 107 s sur les photographies. (Est-ce vrai ?)
La différence entre des sources « ponctuelles » et celles de taille finie peut être remar-
Défi 108 e quée à l ’œil nu : la nuit, les étoiles scintillent, mais pas les planètes. (Vérifiez-le !) Cet effet
est dû à la turbulence de l ’air. La turbulence a un effet sur la plupart des étoiles assimilées
à des points parce qu ’elle dévie les rayons lumineux d ’une petite quantité. D’un autre
côté, la turbulence de l ’air est trop faible pour provoquer le clignotement des sources de
taille angulaire plus importante, telles que les planètes ou les satellites artificiels*, parce
que la déviation est en moyenne compensée dans ce cas.
Un objet est ponctuel pour l ’œil nu si sa taille angulaire est plus petite qu ’environ
Défi 109 s 2 ′ = 0,6 mrad. Pouvez-vous estimer la taille d ’une particule de poussière « ponctuelle » ?
En fait, un objet est invisible à l ’œil nu s’ il est ponctuel et si sa luminosité, c ’est-à-dire
l ’ intensité de la lumière provenant de l ’objet jusqu ’à l ’œil, est inférieure à une certaine
valeur critique. Pouvez-vous deviner s’ il existe des constructions humaines visibles de-
Défi 110 s puis la Lune ou depuis la navette spatiale ?
La définition ci-dessus de « ponctuel » est manifestement trompeuse dans la vie quo-
tidienne. Les particules ponctuelles véritablement réelles existent-elles ? En réalité, est-il
vraiment possible de montrer qu ’une particule possède une taille évanescente ? Cette
question sera primordiale dans les deux dernières parties de notre promenade. De la
même manière, nous avons besoin de nous demander et de vérifier si les points dans
l ’espace existent. Notre excursion nous mènera au résultat étourdissant que toutes les
Défi 111 s réponses à ces questions sont négatives. Pouvez-vous imaginer pourquoi ? Ne soyez pas
déçus si vous trouvez cette conclusion dure à avaler : de nombreux esprits brillants ont
eu la même difficulté.
Cependant, beaucoup de particules, tels les électrons, les quarks ou les photons, sont
considérées comme ponctuelles dans un but pratique. Une fois que nous savons com-
ment décrire le mouvement des particules ponctuelles, nous pouvons également décrire
le mouvement des corps plus volumineux, rigides ou déformables, en admettant qu ’ ils
sont constitués de parties. C ’est la même démarche que de décrire le mouvement en-
tier d ’un animal comme une combinaison du mouvement de ses différentes parties. La
description la plus simple, l ’ approximation du continu, définit les corps étendus comme
un assemblage infini de particules ponctuelles. Elle nous permet de comprendre et de
prédire le mouvement de toutes les choses agréables, le mouvement de l ’air dans les ou-
ragans et du parfum dans une pièce. Le mouvement du feu et de tous les autres corps
gazeux, le fléchissement du bambou sous le vent, le changement de forme du chewing-
gum, et la croissance des plantes et des animaux peuvent être également expliqués de
Réf. 47 cette manière.
Une description plus précise que celle de l ’approximation du continu est donnée ci-
Cambridge University Press, 1993.

* Un satellite est un objet tournant autour d ’une planète, comme la Lune. Un satellite artificiel est un système
mis en orbite par l ’ homme, tels que les Spoutnik.

F I G U R E 30 Comment un objet peut tourner continuellement sans embrouiller la liaison avec un
second objet.
Page ?? dessous. Néanmoins, toutes les observations ont confirmé jusqu ’à présent que le mouve-
ment des corps volumineux peut être décrit avec une grande précision comme la consé-
quence du mouvement de leurs parties. Cette approche nous dirigera à travers les deux
premières étapes de notre ascension montagnarde. C ’est seulement à la troisième partie
que nous découvrirons que cette décomposition est impossible à une échelle fondamen-
tale.
Des jambes et des roues
Les membres du corps humain déterminent sa silhouette. La forme est une caractéris-
tique importante des corps : elle nous indique, entre autres, comment les considérer. En
particulier, les êtres vivants sont tous constitués d ’un corps d ’un seul tenant. Ce n’est
pas une affirmation vide de sens : à partir de cette remarque nous pouvons déduire que
les animaux ne peuvent avoir des roues ou des hélices, mais uniquement des jambes, des
nageoires ou des ailes. Pourquoi ?
Les êtres vivants n’ont qu ’une seule surface. Dit plus simplement, ils n’ont qu ’un
Appendix ?? seul morceau d ’ épiderme. Mathématiquement parlant, les animaux sont connexes. Cela
Réf. 48 est souvent supposé être incontestable, et on fait régulièrement allusion au fait que
lacirculation sanguine, les nerfs et les connexions lymphatiques reliées à une partie ro-
tative s’emmêleraient. Toutefois, cet argument n’est pas si simple, comme le montre la
Figure 30. Elle indique qu ’ il est malgré tout possible de faire tourner continuellement
un corps par rapport à un second, sans emmêler les liaisons. Pouvez-vous trouver un
Défi 112 s exemple de ce type de mouvement sur votre propre corps ? Êtes-vous capable de voir
comment plusieurs fils peuvent être attachés au corps rotatif de la figure sans entraver la
Défi 113 s rotation ?
En dépit de la possibilité pour les animaux de posséder des parties rotatives, la mé-
thode de la Figure 30 ne peut toutefois pas être appliquée pour rendre une roue ou une
Défi 114 s hélice utilisable. Pouvez-vous imaginer pourquoi ? L’évolution n’a pas eu le choix : elle a
évincé les animaux possédant des parties tournant autour d ’essieux. C ’est la raison pour
laquelle les hélices et les roues n’existent pas dans la nature. Bien sûr, cette limitation
n’empêche pas les corps vivants de se déplacer de manière générale en roulant : les buis-
Réf. 49 sons épineux (ceux que l ’on voit dans les westerns), les graines de divers arbres, quelques
insectes, certains autres animaux, les enfants et les danseurs se déplacent à l ’occasion en
roulant ou en tournant leur corps tout entier.
Les corps uniques, et donc tous les êtres vivants, ne peuvent se déplacer qu ’au moyen
d ’une contorsion de leur forme : par conséquent ils sont contraints de marcher, cou-
rir, ramper ou agiter leurs ailes ou leurs nageoires, comme indiqué sur la Figure 31. Au

F I G U R E 31 Les jambes et les « roues » chez les êtres vivants.
contraire, les systèmes constitués de plusieurs corps, tels que les bicyclettes, les pédalos
ou autres machines, peuvent se déplacer sans aucun changement de forme de leurs consti-
tuants, autorisant ainsi l ’usage de roues avec essieux, d ’ hélices ou autres appareils rota-
tifs*.
En résumé, à chaque fois que nous observons une construction dans laquelle une cer-
taine partie tourne continuellement (et sans le « montage » de la figure), nous devinons
immédiatement qu ’ il s’agit d ’un artefact : c ’est une machine et non pas un être vivant
(mais pourtant construite par lui). Cependant, comme tant de déclarations concernant
les créatures vivantes, la nature possède également des exceptions. La distinction entre
un et deux corps est beaucoup moins claire si le système tout entier est constitué de
quelques molécules, ce qui se produit clairement dans les bactéries. Des organismes tels
que Escherichia coli, la bactérie bien connue hôte de l ’ intestin humain, ou les bactéries
issues de la famille Salmonella nagent toutes en utilisant des flagelles. Les flagelles sont
des filaments minces, du même acabit que les fins poils qui émergent de la membrane
cellulaire. Il fut montré dans les années 1970 que chaque flagelle, constitué d ’une ou plu-
sieurs molécules allongées d ’un diamètre de quelques dizaines de nanomètres, tourne
* Malgré l ’ inconvénient de ne pas pouvoir utiliser des parties rotatives et d ’être réduites à un seul morceau,
les constructions mobiles de la nature, généralement appelées des animaux, surpassent fréquemment les
machines construites par l ’ homme. Par exemple, comparez la taille des plus petits systèmes volants bâtis
par l ’évolution à ceux construits par les hommes. (Consultez par exemple http://pixelito.reference.be.) Il y
a deux explications à cet écart. Premièrement, les systèmes naturels ont incorporé des dispositifs de répa-
ration et d ’entretien. Deuxièmement, la nature peut bâtir de vastes structures à l ’ intérieur de contenants
dotés d ’ouvertures réduites. En fait, la nature est très astucieuse, à l ’ image de ce que les gens font lorsqu ’ ils
construisent des voiliers à l ’ intérieur de bouteilles en verre. Le corps humain est plein d ’exemples analogues,
Défi 115 s pouvez-vous en citer quelques-uns ?
Page ?? en réalité autour de son axe. Une bactérie est capable de faire tourner ses flagelles à la
fois dans le sens horaire et antihoraire, elle peut réaliser plus de 1 000 rotations par se-
Réf. 50 conde, et peut faire tourner tous ses flagelles en parfaite synchronisation. (Ces roues sont
si minuscules qu ’elles n’exigent pas de connexion mécanique.) Par conséquent les roues
existent effectivement chez les êtres vivants, bien qu ’elles soient très petites. Mais conti-

nuons dorénavant avec notre étude des objets ordinaires.
Chapitre 4
DE S OB J ET S ET DE S I M AG E S À L A

C ON SE RVAT ION
En marchant à travers une forêt nous remarquons deux formes assez distinctes de
mouvement : la brise déplace les feuilles et, en même temps, leurs ombres bougent sur le
Réf. 51 sol. Les ombres sont une forme élémentaire d ’ image. Les objets et les images sont tous les
deux capables de bouger. Les tigres qui s’élancent, les flocons de neige qui chutent et la
matière recrachée par les volcans sont des exemples de mouvement, puisqu ’ ils changent
tous de position au cours du temps. Pour la même raison, l ’ombre qui suit notre corps,
le rayon de lumière qui tourne autour de la tour d ’un phare durant une nuit brumeuse,
et l ’arc-en-ciel qui conserve constamment la même distance apparente pour un randon-
neur sont des exemples de mouvement.
Toute personne qui a déjà visionné un dessin animé sait que les images peuvent bou-
ger de façon plus surprenante que les objets. Les images peuvent modifier leur taille, leur
forme et même leur couleur, une prouesse qu ’un nombre restreint d ’objets est capable
de réaliser*. Les images peuvent apparaître et disparaître sans laisser de traces, se mul-
tiplier, s’ interpénétrer, aller en arrière dans le temps et braver la gravité ou toute autre
force. Les images, et même les ombres ordinaires, peuvent se déplacer plus vite que la
lumière. Les images peuvent flotter dans l ’espace et conserver la même distance par rap-
Réf. 53 port aux objets qui s’approchent. Les objets ne peuvent presque rien faire de tout cela. En
général, les « lois de la physique des dessins animés » sont assez différentes de celles de la
nature. En réalité, le mouvement des images ne semble pas suivre une quelconque règle,
par opposition au mouvement des objets. D’un autre côté, les objets et les images se dif-
férencient de leur environnement par le fait qu ’ ils possèdent tous les deux des frontières
qui définissent leur taille et leur forme. Nous sentons la nécessité d ’avoir des critères
précis permettant de discerner ces deux cas.
Le fait de procéder à une distinction claire et nette entre les images et les objets est
exécuté de la même façon lorsque les enfants ou les animaux se trouvent face à un miroir
* Hormis les changements très lents tels que le changement de couleur des feuilles en automne, seuls certains
cristaux, la pieuvre, le caméléon et quelques autres espèces animales réalisent cela dans la nature. Parmi les
objets construits par l ’ homme, la télévision, les écrans d ’ordinateurs, les appareils chauffants et certains la-
Défi 116 s sers peuvent également le faire. Connaissez-vous d ’autres exemples ? Le livre de K. Nassau, The Physics
and Chemistry of Colour – the fifteen causes of colour, J. Wiley & Sons, 1983, est une excellente source d ’ infor-
mations sur le thème des couleurs. Dans le domaine des sciences populaires, le livre le plus admirable est le
travail exemplaire de l ’astronome flamand Marcel G. J. Minnaert, Light and Colour in the Outdoors,
Springer, 1993, une version revue et corrigée de sa splendide série de livres De natuurkunde van ‘t vrije veld,
Réf. 52 Thieme & Cie, Zutphen. Tous les scientifiques qui étudient la nature doivent lire ce livre. Sur le Web, voyez
aussi le site, plus succinct, http://webexhibits.org/causesofcolour.
des objets et des images à la conservation 71
poussée
F I G U R E 32 Dans quelle direction la bicyclette tourne-t-elle ?

pour la première fois : ils essaient de toucher ce qu ’ ils voient. En fait, si nous sommes ca-
pables de toucher ce que nous voyons – ou, plus précisément, si nous sommes capables de
le déplacer – nous l ’appelons un objet, sinon c ’est une image*. Les images ne peuvent pas
Page ?? être palpées, alors que les objets peuvent l ’être. Les images ne peuvent se heurter l ’une
l ’autre, alors que les objets le peuvent. Et comme chacun le sait, toucher quelque chose
permet d ’appréhender sa résistance au mouvement. Certains corps, tels que les papillons,
opposent une faible résistance et sont facilement déplacés, d ’autres, tels que les bateaux,
résistent beaucoup plus, et sont déplacés avec beaucoup de peine. Cette opposition au
mouvement – ou plus exactement à la variation du mouvement – est appelée l ’ inertie, et
la difficulté avec laquelle un corps peut être déplacé est appelée sa masse (inertielle). Les
images ne possèdent ni inertie ni masse.
En conclusion, pour la description du mouvement, nous devons distinguer les corps,
qui peuvent être palpés et qui sont impénétrables, des images, qui ne le peuvent et qui
ne le sont pas. Toute chose visible est soit un objet, soit une image. Il n’y a pas de tierce
Défi 117 s possibilité. (Êtes-vous d ’accord ?) Dans le cas où l ’objet est si lointain qu ’ il ne peut être
touché, comme une étoile ou une comète, il peut être ardu de convenir si celui-ci est
associé à une image ou à un objet. Nous rencontrerons à plusieurs reprises cette question
épineuse. Par exemple, comment montreriez-vous que les comètes sont des objets et non
Défi 118 s des images ?
De la même manière que les objets sont constitués de matière, les images sont consti-
tuées de rayonnement. Les images font partie du royaume du théâtre d ’ombres, du ci-
Réf. 54 néma, de la télévision, du graphisme numérique, des organisations croyantes et du do-
maine des spécialistes en substances hallucinogènes. Les photographies, les films ciné-
matographiques, les fantômes, les anges, les rêves et de nombreuses hallucinations sont
des images (parfois provoquées par un dysfonctionnement psychique). Pour comprendre
les images, nous avons besoin d ’étudier le rayonnement (et également l ’œil et le cer-
veau). Malgré cela, en raison de l ’ importance des objets – après tout, nous sommes nous-
mêmes des objets – nous allons d ’abord étudier ceux-ci.
Mouvement et contact
Démocrite soutient qu ’ il n’existe qu ’une seule
Réf. 55
“ espèce de mouvement : celui qui résulte de la
collision.
Aetius, Opinions.
”
Lorsqu ’un enfant monte sur un vélo à une roue, il ou elle tire profit d ’une loi fonda-
mentale dans notre univers : un corps agissant sur un autre le met en mouvement. En
* Nous pourrions suggérer d ’y ajouter la nécessité que nous puissions faire tourner les objets sur eux-mêmes.
Toutefois, cette exigence pose des problèmes dans le cas des atomes, tel qu ’expliqué à la page ??, et des
particules élémentaires, ainsi la rotation ne constitue pas une nécessité supplémentaire.
72 4 des objets et des images à la conservation

v1 v2
v'2
v'1
F I G U R E 33 Les collisions F I G U R E 34 Le kilogramme standard. (©
déterminent la masse. BIPM)
fait, en à peu près six heures, n’ importe qui peut apprendre à monter sur un monocycle
et s’amuser avec. Comme dans tous les divertissements de la vie, tel que s’amuser avec
des jouets, des animaux, des femmes ou des hommes, des appareils, des enfants, la mer,
le vent, aller au cinéma, jongler, faire une randonnée et faire l ’amour, quelque chose
exerce une action sur autre chose. Donc notre premier défi est de décrire ce transfert de
mouvement de manière plus approfondie.
Le contact n’est pas la seule manière de mettre en mouvement quelque chose : une
pomme qui tombe d ’un arbre ou un aimant qui en attire un autre en sont des contre-
exemples. Les influences à distance sont plus fascinantes : il n’y a rien de dissimulé, et
cependant quelque chose d ’obscur se produit. Le mouvement par contact semble plus
facile à appréhender, et c ’est pourquoi nous commençons généralement par celui-ci. Ce-
pendant, en dépit de ce parti pris, les forces sans contact ne peuvent pas être esquivées.
En choisissant cette option nous nous représentons l ’expérience commune de tous les
cyclistes (voir la Figure 32). Si vous roulez à vélo à une vitesse suffisamment élevée et que
vous tentez de tourner à gauche en poussant la poignée droite du guidon, vous tournerez
à droite*. En d ’autres termes, malgré notre choix, le restant de notre promenade nous
amènera rapidement à étudier également les interactions à distance.
Q u ’ est-ce que la masse ?

∆ός µοι ποῦ στω καὶ κινῶ τὴν γῆν.
“ Da ubi consistam, et terram movebo**.

Archimède
”
* Cet effet impressionnant ne fonctionne évidemment qu ’au-dessus d ’une certaine vitesse minimale. Pouvez-
Défi 119 s vous déterminer quelle est cette vitesse ? Soyez prudents ! Une poussée trop forte vous fera chuter.
** « Donnez-moi un point fixe et un levier et je soulèverai la Terre. » Archimède (v. 283–212), scientifique et
Réf. 56 ingénieur grec. Cette citation lui fut attribuée par Pappus d ’Alexandrie. Déjà, Archimède avait connaissance
du fait que la distinction utilisée par les juristes entre propriété mobile et immobile n’avait aucun sens.

F I G U R E 35 Antoine Laurent de Lavoisier.
Lorsque nous repoussons quelque chose, c ’est parce que nous ne sommes pas fami-
liers avec cette chose. De la même façon, lorsque nous donnons un coup de pied dans
un objet dans la rue, nous prêtons immédiatement attention à la même notion que les
enfants explorent quand, pour la première fois, ils se trouvent face à un miroir ou qu ’ ils
aperçoivent un point rouge dessiné par un laser. Nous vérifions si cette entité inconnue
peut être poussée et nous notons comment cet objet non identifié réagit à notre influence.
Une version de haute précision de cette expérience est donnée dans la Figure 33. En ré-
pétant ce procédé avec divers couples d ’objets, nous découvrons – comme dans la vie
quotidienne – qu ’une certaine quantité fixe m i peut être assignée à chaque objet i. Plus
l ’objet est difficile à déplacer, plus cette quantité est grande ; elle est déterminée par la
relation
=−
m2 ∆v 1
(13)
m1 ∆v 2
où ∆v représente la variation de vitesse produite par la collision. Le nombre m i est appelé

masse de l ’objet i.
Dans le but de manipuler des valeurs de masses qui soient communes à tout le monde,
la valeur de la masse pour un objet sélectionné en particulier doit être fixée au préalable.
Cet objet spécifique, montré sur la Figure 34 est appelé le kilogramme standard et est
conservé avec beaucoup de soin dans un récipient en verre sous vide à Sèvres, à proximité
de Paris. Il n’est utilisé que très occasionnellement afin que la poussière, l ’ humidité ou les
égratignures ne risquent pas de modifier sa masse. C ’est grâce au kilogramme standard
que nous pouvons estimer la valeur de la masse de chaque objet dans le monde.
La masse quantifie ainsi la difficulté à faire bouger quelque chose. Les masses élevées
sont plus dures à déplacer que les masses plus petites. Manifestement, seuls les objets
sont dotés d ’une masse, les images n’en ont pas. (Par ailleurs, le mot « masse » est dérivé,
Réf. 45 via le latin, du mot grec µαζα – pain – ou de l ’ hébreu « mazza » – pain sans levain – de
signification complètement différente.)
Les expériences avec les objets quotidiens ont également montré que, à tout moment

F I G U R E 36 Christiaan Huygens.
dans n’ importe quelle collision, la somme de toutes les masses en jeu est conservée :
∑ m i = const . (14)
i
Le premier à avoir formulé la loi de conservation de la masse fut Antoine Laurent de

Lavoisier*. La conservation de la masse implique que la masse d ’un système composé
soit égale à la somme des masses des constituants. En résumé, la masse galiléenne est une
mesure de la quantité de matière.
Ainsi, la définition de la masse peut être formulée d ’une autre manière. Nous pouvons
attribuer un nombre m i à chaque objet i de telle façon que, pour des collisions libres de
toute influence extérieure, la somme suivante reste invariante pendant la collision :
∑ m i vi = const . (15)
i
Le produit de la vitesse vi par la masse m i est nommé la quantité de mouvement** du

corps. La somme, ou quantité de mouvement totale du système, reste identique avant et
après la collision : c ’est une quantité conservée. La conservation de la quantité de mouve-
ment définit la masse. Les deux lois de conservation (14) et (15) furent exprimées de cette
manière pour la première fois par le grand physicien hollandais Christiaan Huygens***.
* Antoine Laurent de Lavoisier (1743–1794), chimiste français et homme de talent. Lavoisier fut le premier
à comprendre que la combustion est une réaction qui se produit en présence d ’oxygène. Il découvrit les
constituants de l ’eau et introduisit des méthodes de mesure de masse en chimie. Lorsqu ’ il fut (injustement)
condamné à la guillotine lors de la Révolution française, il se résigna à réaliser une expérience pour la re-
cherche scientifique : il décida de cligner des paupières aussi longtemps que possible après que sa tête fut
tranchée, afin de dévoiler aux autres combien de temps la perte de conscience met à survenir. Lavoisier
parvint à cligner onze fois des yeux.
** Le terme anglais est momentum, et parfois on emploie en français le terme moment (d ’une force). La
quantité de mouvement ne doit pas être confondue avec l ’ impulsion (en anglais impulse), cette dernière
étant l ’ intégrale de la force en fonction de la durée. Par abus de langage, nous parlerons dans les sections sur
la relativité du « tenseur énergie–impulsion » alors qu ’en toute rigueur nous devrions dire « tenseur énergie–
quantité de mouvement » [N.d.T.].
*** Christiaan Huygens (n. La Haye 1629, d. Hofwijck 1695) fut un des principaux physiciens et mathémati-
ciens de son époque. Huygens élucida les concepts de base de la mécanique, il fut également un des premiers
à montrer que la lumière est une onde. Il rédigea des ouvrages prépondérants sur la théorie des probabilités,
les mécanismes horlogers, l ’optique et l ’astronomie. Parmi ses nombreuses découvertes, Huygens s’évertua
à montrer que la nébuleuse d ’Orion est constituée d ’étoiles, il découvrit Titan, une lune de Saturne (la seule

F I G U R E 37 Est-ce dangereux ?
TA B L E AU 12 Quelques valeurs mesurées de quantités de mouvement.
O b s e r va t i o n Q ua nt it é
de mouve-
ment
Quantité de mouvement d ’un photon de couleur verte 2 ⋅ 10−28 Ns

Quantité de mouvement moyenne d ’une molécule d ’oxygène dans 10−26 Ns
l ’air
Quantité de mouvement d ’un photon de rayon X 10−23 Ns
Quantité de mouvement d ’un photon γ 10−17 Ns
La plus grande quantité de mouvement d ’une particule dans les ac- 1 f Ns
célérateurs
Quantité de mouvement de Planck 6,5 Ns
Boule de billard élancée 3 Ns
Balle de pistolet au vol 10 Ns
Coup de poing de 15 à 50 Ns
Homme marchant tranquillement 80 Ns
Véhicule sur autoroute 40 kNs
Impact d ’une météorite de 2 km de diamètre 100 TNs
Quantité de mouvement d ’une galaxie dans une collision galactique jusqu ’à 1046 Ns
Quelques valeurs caractéristiques de quantités de mouvement sont données dans le Ta-

bleau 12.
La conservation de la quantité de mouvement sous-tend implicitement que, lors-
qu ’une boule en mouvement heurte une autre boule au repos et de même masse, une
formule simple permet de déterminer l ’angle entre les directions que les boules em-
Défi 120 s pruntent après la collision. Pouvez-vous trouver cette formule ? Elle est particulièrement
utile lorsque nous jouons au billard. Nous nous apercevrons plus tard qu ’elle n’est pas
valide en relativité restreinte.
Une autre conséquence est indiquée sur la Figure 37 : un homme est allongé sur une
planche à clous avec deux gros blocs de béton posés sur son abdomen. Un autre homme
frappe les blocs à l ’aide d ’une lourde masse. L’ homme allongé ne ressent aucune dou-
leur puisque le choc est principalement absorbé par le béton – à moins qu ’ il soit retiré.
visible à l ’époque [N.d.T.]), et montra que les anneaux de Saturne sont composés de rochers. (Cela paraît
contradictoire avec Saturne lui-même, dont la masse volumique est inférieure à celle de l ’eau.)
Défi 121 s Pourquoi ?

La définition précédente de la masse a été généralisée par le physicien et philosophe
Ernst Mach* de façon à ce qu ’elle reste valide même si les deux objets interagissent à
distance, et aussi longtemps que dure cette interaction le long de la ligne joignant leurs
positions. Le rapport des masses de deux corps est défini comme étant l ’opposé du rap-

port inverse des accélérations respectives, ainsi donc
=− ,
m2 a1
(16)
m1 a2
où a est l ’accélération de chaque corps pendant l ’ interaction. Cette définition a été

examinée en détail par la communauté des physiciens, principalement durant le dix-
neuvième siècle. Quelques remarques résument ces résultats :
— La définition de la masse implique la conservation de la quantité de mouvement ∑ mv.
La conservation de la quantité de mouvement n’est pas une loi distincte. Elle ne peut
pas être vérifiée expérimentalement, puisque la masse est définie de telle manière que
ce principe puisse être formulé.
— La définition de la masse implique l ’égalité entre les produits m 1 a 1 et −m 2 a 2 . De tels
produits sont appelés des forces. L’égalité entre les forces d ’action et de réaction n’est
pas un principe à part : la masse est définie de telle manière que ce principe puisse
être formulé.
— La définition de la masse est indépendante du fait qu ’un contact est établi ou non, et
du fait que les accélérations sont dues à l ’électricité, à la gravitation ou à toute autre
interaction**. Puisqu ’une interaction n’entre pas dans la définition de la masse, les
valeurs de masses définies à partir de l ’ interaction électrique, nucléaire ou gravita-
tionnelle sont toutes équivalentes tant que la quantité de mouvement est conservée.
Toutes les interactions connues conservent la quantité de mouvement. Pour certaines
raisons historiques malheureuses, la valeur de la masse mesurée avec les interactions
électrique et nucléaire est appelée masse « inertielle » et la masse mesurée en utili-
sant la gravité est appelée masse « gravitationnelle ». Comme cela apparaîtra plus loin,
cette distinction artificielle ne possède aucune signification intrinsèque. Cela devien-
dra particulièrement clair lorsque nous prendrons du recul par rapport aux corps en
question.
— La définition de la masse est valide uniquement pour des observateurs au repos ou en
* Ernst Mach (Chirlitz–Turas 1838-Haar 1916), physicien et philosophe autrichien. Le mach, unité de mesure
pour la vitesse des avions, défini comme étant un multiple de la vitesse du son dans l ’air (environ 0,3 km/s),
est nommé en son honneur. Il développa l ’ interféromètre de Mach-Zehnder, il étudia également les fon-
dements de la mécanique. Ses réflexions concernant la masse et l ’ inertie ont influencé la construction de
la relativité générale, et aboutirent au principe de Mach, qui apparaîtra un peu plus loin. Il fut également
le dernier scientifique à renier orgueilleusement – avec humour, et contre toute évidence – l ’existence des
atomes.
** Tel qu ’ indiqué ci-dessus, seules les forces centrales vérifient la relation (16) utilisée pour définir la masse.
Les forces centrales agissent entre les centres de masse des corps. Nous en donnerons une définition plus
Page 88 précise plus tard. Cependant, puisque toutes les forces fondamentales sont qualifiées de centrales, ceci n’est
pas une contrainte. Il ne semble y avoir qu ’une seule exception notable : le magnétisme. La définition de la
Défi 122 s masse est-elle toujours valide dans ce cas ?
TA B L E AU 13 Quelques valeurs de masse mesurées.
O b s e r va t i o n Masse
Augmentation de masse due à l ’absorption d ’un 3,7 ⋅ 10−36 kg

photon de couleur verte

L’électron : le plus léger objet connu 9,109 381 88(72) ⋅ 10−31 kg
Un atome d ’argon 39,962 383 123(3) u = 66,359 1(1) yg
Le plus léger objet jamais pesé (une particule d ’or) 0,39 ag
L’ homme à son âge le plus précoce (l ’ovule fécondé) 10−8 g
L’eau adsorbée sur un poids en métal de 1 kilogramme 10−5 g
Masse de Planck 2,2 ⋅ 10−5 g
Empreinte digitale 10−4 g
Fourmi ordinaire 10−4 g
Gouttelette d ’eau 1 mg
Abeille à miel 0,1 g
Êtres vivants les plus lourds, tels que le champignon 106 kg
Armillaria ostoyae ou un énorme séquoia
Sequoiadendron giganteum
Le plus grand navire au long cours 400 ⋅ 106 kg
Le plus grand objet manipulé par l ’ homme (une 687,5 ⋅ 106 kg
énorme plate-forme de production de gaz)
Le plus grand iceberg dérivant depuis l ’Antarctique 1015 kg
L’eau sur Terre 1021 kg
Masse du Soleil 2,0 ⋅ 1030 kg
Masse de notre Galaxie 1041 kg
Masse totale visible dans l ’univers 1054 kg
mouvement inertiel (à vitesse constante [N.d.T.]). Nous reviendrons là-dessus plus

tard.
En mesurant la masse des corps qui nous entourent, dont une liste est donnée dans le
Tableau 13, nous pouvons explorer l ’art et la science de l ’expérimentation. Nous décou-
vrons aussi les propriétés fondamentales de la masse. Elle est additive dans la vie quoti-
dienne, de telle sorte que la masse de deux corps assemblés est égale à la somme de leur
masse respective. En outre, la masse est continue : elle peut apparemment prendre toutes
les valeurs positives. Au final, la masse est conservée : la masse d ’un système, définie
comme étant la somme des masses de ses constituants, ne varie pas au cours du temps
si le système est isolé du reste de l ’univers. La masse n’est pas conservée seulement lors
de collisions mais également durant la fusion, l ’évaporation, la digestion et tout autre
processus de transformation.
Nous verrons plus tard que dans le cas précis de la masse toutes ces propriétés, résu-
mées dans le Tableau 14, ne sont qu ’approximatives. Des expériences précises nous dé-
voilent qu ’aucune de celles-ci n’est exacte*. Pour l ’ instant nous continuons avec notre
* En particulier, afin de définir la masse nous devons être capables de différencier les corps. Cela semble être
TA B L E AU 14 Propriétés de la masse galiléenne.
Les masses Propriété D é s i g nat i o n Définition

physique m at h é m at i q u e
Peuvent être différenciées distinction élément d ’un ensemble Page ??

Peuvent être ordonnées succession ordre Page ??
Peuvent être comparées mesurable métrique Page ??
Peuvent varier graduellement continuité complétude Page ??
Peuvent être additionnées quantité de matière additivité Page 64
Dépassent toute limite infini infinitude, ouverture Page ??
Ne changent pas conservation invariance m = const
Ne disparaît pas impénétrabilité positivité m⩾0
conception actuelle, la masse galiléenne, comme si nous n’avions rien de mieux à nous
mettre sous la dent.
Dans une expérience célèbre au cours du seizième siècle, Santorre Santario (Santorio
Santorio ou Sanctorius de Padoue) (1561–1636), un ami de Galilée, vécut durant plusieurs
semaines avec toute sa nourriture et son breuvage, mais aussi ses toilettes, sur une vaste
balance. Il projetait de tester la conservation de la masse. Comment le poids mesuré a-t-il
Défi 123 s varié avec le temps ?
La définition de la masse à travers la conservation de la quantité de mouvement si-
gnifie que, lorsqu ’un objet tombe, la Terre est un tout petit peu plus accélérée. Si nous
pouvions mesurer cette minuscule grandeur, nous pourrions déterminer la masse de la
Terre. Malheureusement, cette mesure est impossible à réaliser. Pouvez-vous découvrir
Défi 124 s une meilleure façon de déterminer la masse de la Terre ?
Comme le Tableau 14 le récapitule, la masse d ’un corps est décrite avec plus de préci-
sion par un nombre réel positif, généralement noté m ou M. C ’est une conséquence di-
recte de l ’ impénétrabilité de la matière. Certes, une masse (inertielle) négative pourrait
vouloir dire qu ’un tel corps se déplacerait dans la direction opposée de n’ importe quelle
force ou accélération appliquée sur celui-ci. Un tel corps ne pourrait être conservé dans
une boîte : il chercherait à tout prix à se frayer un chemin à travers n’ importe quelle pa-
roi qui tenterait de l ’arrêter. Assez étrangement, les corps de masse négative chuteraient
toujours vers le bas dans le champ d ’une vaste masse positive (bien que plus lentement
Défi 125 e qu ’une masse équivalente positive). Êtes-vous capable d ’entériner ce fait ? Par contre, un
objet ayant une minuscule masse positive flotterait à une grande distance d ’un corps vo-
lumineux de masse négative, comme vous pouvez facilement le deviner en comparant les
diverses accélérations mises en jeu. Une masse positive et une masse négative de même
valeur (absolue) demeureront à distance constante et accéléreront spontanément dans
Défi 126 e des directions opposées le long de la ligne joignant les deux masses. Remarquez qu ’à la
fois l ’énergie et la quantité de mouvement restent conservées dans tous ces scénarios*.
un prérequis enfantin, mais nous découvrirons que ce n’est pas toujours possible dans la nature.
* Pour les curieux, lisez R. H. P rice, Negative mass can be positively amusing, American Journal of Physics
61, pp. 216–217, 1993. Des particules de masse négative enfermées dans une boîte échaufferaient cette boîte
de masse positive au moment où elles traverseraient ses parois, et accéléreraient, c ’est-à-dire perdraient de

vin
bouchon
vin
pierre F I G U R E 38 Que va-t-il se passer ?
Les corps de masse négative n’ont jamais été observés. L’antimatière, dont nous discute-
Page 62, page ?? rons bientôt, possède également une masse positive.
Le mouvement est-il éternel ?

Chaque corps persiste dans son état de repos ou
“ de mouvement uniforme le long d ’une ligne

droite sauf s’ il ne le peut plus.
Arthur Eddington*
”
Le produit p = mv de la masse d ’une particule par sa vitesse est appelé sa quantité
de mouvement. Elle représente la tendance d ’un objet à persister dans son mouvement
lors d ’une collision. Plus cette valeur est grande, plus il est difficile d ’ immobiliser l ’objet.
Comme le vecteur vitesse, la quantité de mouvement possède une direction et une gran-
deur : c ’est également un vecteur. En français l ’expression « quantité de mouvement » est
plus adéquate que l ’anglais « momentum ». Dans l ’ancien temps, le mot « mouvement »
était utilisé à la place de « quantité de mouvement », par exemple par Newton. La conser-
vation de la quantité de mouvement, dans la relation (15), explicite par conséquent la
conservation du mouvement pendant les interactions.
La quantité de mouvement et l ’énergie sont des quantités extensibles. Cela signifie que
nous pouvons dire pour chacune d ’elles qu ’elles s’ écoulent d ’un corps vers un autre, et
Page 81 l ’énergie, en même temps. Elles nous permettraient de concevoir un mouvement perpétuel de seconde es-
Défi 127 e pèce, c ’est-à-dire un dispositif qui contournerait le second principe de la thermodynamique. De plus, un tel
système n’aurait pas d ’équilibre thermodynamique, parce que son énergie peut diminuer indéfiniment. Plus
nous réfléchissons aux masses négatives, plus nous sommes confrontés à des propriétés étranges qui contre-
Défi 128 s disent les observations. D’ailleurs, quelle est la gamme des valeurs de masse possibles pour des tachyons ?
* Arthur Eddington (1882–1944), astrophysicien britannique.
qu ’elles peuvent s’ accumuler dans les corps, de la même façon que l ’eau coule et peut
s’accumuler dans des récipients. Imaginer la quantité de mouvement comme quelque
chose qui peut être échangé entre des corps en collision reste intuitif lorsque nous réflé-
chissons à la description des objets en mouvement.
La quantité de mouvement est conservée. Cela explique les difficultés que vous pour-

riez éprouver si vous étiez sur une surface parfaitement lisse, telle que la glace ou le
marbre poli couvert d ’ huile : vous ne pouvez pas avancer même en vous tapotant le dos.
(Avez-vous déjà tenté de placer un chat sur une telle surface marbrée ? Il n’est même pas
capable de se tenir sur ses quatre pattes. Pas plus que nous-mêmes. Pouvez-vous deviner
Défi 129 s pourquoi ?) La conservation de la quantité de mouvement permet aussi de résoudre les
casse-tête de la Figure 38.
La conservation de la masse et de la quantité de mouvement signifie aussi que la télé-
portation (« beam me up »*) est impossible dans la nature. Pouvez-vous expliquer cela à
Défi 130 s un néophyte ?
La conservation de la quantité de mouvement implique que la quantité de mouve-
ment peut être assimilée à un fluide invisible. Dans une interaction, ce fluide invisible est
transmis d ’un objet à l ’autre. Cependant, la quantité totale reste constante.
La conservation de la quantité de mouvement suggère également que le mouvement
ne cesse jamais : il est simplement échangé. D’un autre côté, le mouvement « disparaît »
régulièrement dans notre entourage, comme dans le cas d ’un caillou qu ’on laisse tomber
sur le sol, ou d ’une balle que l ’on abandonne sur l ’ herbe. Qui plus est, dans notre vie
de tous les jours, nous observons fréquemment de la création de mouvement, comme à
chaque fois que nous ouvrons la main. Comment ces exemples s’ajustent-ils à la conser-
vation de la quantité de mouvement ?
Il apparaît que la réponse se trouve dans les aspects microscopiques de ces systèmes.
Un muscle transforme simplement un certain type de mouvement, à savoir celui des élec-
trons situés dans certains composés chimiques**, en un autre, le mouvement des doigts.
Le travail exercé par les muscles est analogue à celui d ’un moteur à explosion qui trans-
pose le mouvement des électrons contenus dans le carburant dans le mouvement des
roues. Tous les deux exigent un carburant et s’échauffent durant le processus.
Nous devons également analyser le comportement microscopique d ’une balle qui
roule sur l ’ herbe jusqu ’à ce qu ’elle s’ immobilise. La disparition du mouvement est appe-
lée frottement. En étudiant cette situation attentivement, nous comprenons que l ’ herbe et
la balle se réchauffent un petit peu pendant le processus. Pendant le frottement, le mouve-
ment visible est transformé en chaleur. Plus tard, lorsque nous découvrirons la structure
de la matière, il deviendra clair que la chaleur se manifeste par le mouvement désor-
donné des constituants microscopiques de chaque matériau. Lorsque ces constituants se
déplacent tous dans la même direction, généralement l ’objet tout entier se déplace. Lors-
qu ’ ils fluctuent de manière aléatoire, l ’objet reste au repos mais se réchauffe. La chaleur
est une forme de mouvement. Ainsi le frottement semble n’être que disparition du mou-
vement, en réalité il est une transformation d ’un mouvement ordonné en mouvement
désordonné.
* Expression empruntée à la célèbre série télévisée Star Trek : « Beam me up Scotty ! », qui signifie littérale-
ment « Téléporte-moi Scotty ! » [N.d.T.].
Réf. 57 ** Généralement l ’adénosine triphosphate (ATP), le carburant de la plupart des processus chez les animaux.
Malgré la conservation de la quantité de mouvement, le mouvement perpétuel macro-

scopique n’existe pas, puisque le frottement ne peut pas être complètement supprimé*. Le
mouvement est éternel seulement à un ordre de grandeur microscopique. En d ’autres
termes, la disparition et également l ’apparition spontanée du mouvement dans notre
vie quotidienne sont une illusion due aux limitations de nos facultés sensorielles. Par

exemple, le mouvement attribué à chaque être vivant existe avant sa naissance, et est
toujours là après sa mort. La même chose se produit avec son énergie. Ce résultat est
probablement le plus impénétrable que nous puissions avoir sur l ’ idée de l ’ éternité, à
partir des preuves collectées par l ’observation. Ce n’est peut-être pas une coïncidence si
l ’énergie fut dénommée vis viva, ou « force vive », par Leibniz et d ’autres penseurs de
son époque.
Puisque le mouvement est conservé, il n’a pas d ’origine. Donc, à ce point de notre
promenade, nous ne pouvons pas répondre aux questions fondamentales : Pourquoi le
mouvement existe-t-il ? Quelle est son origine ? Le bout du tunnel est encore loin.
Appendice sur la conservation – l ’ énergie
Lorsqu ’on examine des collisions avec soin, une deuxième quantité conservée se dé-
voile. Les expériences montrent que, dans le cas des collisions parfaites ou élastiques –
des collisions sans frottement –, la quantité suivante, appelée énergie cinétique T du sys-
tème, est également conservée :
T = ∑ 21 m i v2i = ∑ 21 m i v 2i = const . (17)

i i
L’énergie cinétique d ’un corps dépend donc de sa masse et du carré de sa vitesse v.

L’énergie cinétique est le potentiel que possède un corps pour provoquer des change-
ments dans les corps qu ’ il heurte. La désignation finale « énergie cinétique » fut intro-
duite par Gustave-Gaspard Coriolis**. Coriolis introduisit également le facteur 1/2, de
* Quelques exemples drôles des tentatives passées pour construire une machine à mouvement perpétuel sont
narrés dans Stanislav Michel, Perpetuum mobile, VDI Verlag, 1976. De façon intéressante, l ’ idée de
mouvement éternel chemina de l ’ Inde jusqu ’en Europe à travers le monde islamique, vers les années 1200, et
devint populaire puisqu ’elle s’opposait à l ’opinion courante de cette époque que tout mouvement sur Terre
disparaît avec le temps. Consultez également les sites Web http://www.geocities.com/mercutio78_99/pmm.
html et http://www.lhup.edu/~dsimanek/museum/unwork.htm. L’erreur conceptuelle faite par les âmes ex-
centriques et employée par les esprits tordus est toujours la même : l ’espoir de pouvoir surpasser le frotte-
ment. (Certes, ceci n’est vrai que pour le mouvement perpétuel de seconde espèce, celui du premier type
– qui est encore plus en contradiction avec l ’observation – tente même de générer de l ’énergie à partir de
rien.)
Si la machine est bien conçue, c ’est-à-dire avec peu de frottements, alors elle peut prélever le peu d ’éner-
gie dont elle a besoin pour la subsistance de son mouvement dans des effets environnementaux subtils. Par
exemple, au Victoria and Albert Museum à Londres nous pouvons admirer une magnifique horloge action-
Réf. 58 née par les variations de la pression de l ’air au cours du temps.
Un faible frottement signifie que le mouvement prend beaucoup de temps avant de s’arrêter. Nous pen-
sons illico presto au mouvement des planètes. En réalité, il existe des frottements entre la Terre et le Soleil.
Défi 131 s (Pouvez-vous en déterminer un des mécanismes ?) Mais sa valeur est si faible que la Terre a déjà tourné
autour du Soleil pendant des milliers de millions d ’années et continuera d ’en faire autant pendant plus long-
temps encore.
** Gustave-Gaspard Coriolis (n. Paris 1792, d. Paris 1843), ingénieur et mathématicien français.

F I G U R E 39 Robert Mayer.
Défi 132 s telle sorte que la relation dT/dv = p soit toujours vérifiée. (Pourquoi ?) Le mot énergie
est emprunté au grec ancien ; au départ il était utilisé pour décrire le caractère, la déter-
mination et signifiait « vigueur intellectuelle ou morale ». Il fut introduit en physique par
Thomas Young (1773–1829) en 1807 parce que sa traduction littérale est « la force inté-
rieure ». (Les lettres E, W, A et plusieurs autres sont utilisées pour symboliser l ’énergie.)
Une autre définition équivalente de l ’énergie apparaîtra plus loin : l ’énergie est ce qui
peut être transformé en chaleur.
L’ énergie (physique) est la mesure de l ’aptitude à produire du mouvement. Un corps
possède beaucoup d ’énergie s’ il est capable de déplacer de nombreux autres corps.
L’énergie est un nombre, elle n’a pas de direction. La quantité de mouvement totale de
deux masses égales se déplaçant avec des vitesses opposées est nulle, leur énergie totale
s’accroît avec leur vitesse. L’énergie mesure donc aussi le mouvement, mais d ’une ma-
nière différente de la quantité de mouvement. L’énergie mesure le mouvement à un ni-
veau plus fondamental. Voici une autre définition équivalente : l ’énergie est la capacité à
produire du travail. Ici, le concept physique de travail est précisément, mais de manière
plus détaillée, ce que nous entendons par travail dans notre vie courante*.
Ne soyez pas surpris si vous ne saisissez pas immédiatement la différence entre la
quantité de mouvement et l ’énergie : les physiciens ont mis environ deux siècles pour la
comprendre. Parfois ils ont même insisté pour conserver la même dénomination pour
les deux, et souvent ne savaient pas vraiment quelle situation faisait appel à quel concept.
Il vous est donc permis de prendre plusieurs minutes pour vous familiariser avec ces
notions.
L’énergie et la quantité de mouvement quantifient toutes les deux comment un sys-
tème change. La quantité de mouvement nous indique comment le système change dans
l ’espace, l ’ énergie mesure comment le système change dans le temps. La quantité de
mouvement est nécessaire pour comparer des mouvements ici et là-bas. L’énergie est
nécessaire pour comparer des mouvements maintenant et demain. Quelques valeurs me-
surées d ’énergie sont données dans le Tableau 15.
Une manière d ’exprimer la différence entre l ’énergie et la quantité de mouvement est
de réfléchir aux problèmes suivants. Est-il plus difficile d ’arrêter un homme de masse m
qui court à la vitesse v, ou un√ homme de masse m/2 qui court à la vitesse 2v, ou encore
Défi 133 e un de masse m/2 à la vitesse 2 v ? Vous pouvez demander de l ’aide à un ami qui joue
au rugby pour vous conforter dans votre réponse.
Une autre distinction est illustrée par l ’athlétisme : le véritable record du monde de
* Le travail (physique) est le produit de la force par la distance parcourue dans la direction de cette force.
TA B L E AU 15 Quelques valeurs mesurées d’énergie.
O b s e r va t i o n Énergie
Énergie cinétique moyenne d ’une molécule d ’oxygène de l ’air 6 ⋅ 10−21 J

Énergie d ’un photon de couleur verte 5,6 ⋅ 10−20 J

Énergie d ’un photon de rayon X 10−15 J
Énergie d ’un photon γ 10−12 J
L’énergie la plus élevée d ’une particule dans les accélérateurs 10−7 J
Homme marchant tranquillement 20 J
Une flèche en plein vol 50 J
Crochet droit en boxe 50 J
Énergie d ’une pile de torche électrique 1 kJ
Balle de pistolet en vol 10 kJ
Digestion d ’une pomme 0,2 MJ
Véhicule sur une autoroute 1 MJ
L’énergie la plus élevée de l ’ impulsion d ’un laser 1,8 MJ
Flash d ’un éclair jusqu ’à 1 GJ
Énergie de Planck 2,0 GJ
Petite bombe nucléaire (20 ktonnes) 84 TJ
Tremblement de terre de magnitude 7 2 PJ
La plus grosse bombe nucléaire (50 Mtonnes) 210 PJ
Impact d ’une météorite de 2 km de diamètre 1 EJ
Consommation annuelle d ’énergie par les machines 420 EJ
Énergie de rotation de la Terre 2 ⋅ 1029 J
Explosion d ’une supernova 1044 J
Sursaut de rayons gamma jusqu ’à 1047 J
Énergie contenue dans la masse du Soleil d ’après E = mc 2 1,8 ⋅ 1047 J
Énergie contenue dans le trou noir central de notre Galaxie 4 ⋅ 1053 J
saut en longueur, presque 10 m, est toujours détenu par un athlète qui, au début du ving-
tième siècle, courut avec un poids dans chaque main et projeta les poids derrière lui au
Défi 134 s moment où il commença à sauter. Pouvez-vous expliquer cette prouesse ?
Quand un véhicule voyageant à 100 m/s fonce de front sur un véhicule immobile de
Défi 135 s même marque et de même modèle, quel véhicule encaisse les plus gros dégâts ? Qu ’est-ce
qui change si le véhicule à l ’arrêt a ses freins serrés ?
Pour avoir une meilleure intuition de l ’énergie, nous allons maintenant adopter une
approche complémentaire. Pendant l ’année 2000, la consommation mondiale d ’énergie
(provenant de diverses sources : solaire, géothermie, biomasse, éolien, nucléaire, hydrau-
lique, gaz, pétrole, charbon, ou animale) par les machines conçues par l ’ homme fut d ’en-
Réf. 59 viron 420 EJ*, pour une population mondiale d ’environ 6 milliards d ’ individus. Pour
voir ce que cette consommation d ’énergie signifie, nous traduisons celle-ci en consom-
mation individuelle de la puissance énergétique : nous obtenons à peu près 2,2 kW. Le
Page 300 * Pour une explication de la notation E, consultez l ’ Annexe B.
watt W est l ’unité de la puissance, et est simplement défini par la relation 1 W = 1 J/s,
reflétant la définition de la puissance (physique) comme étant l ’énergie consommée par
unité de temps. De même qu ’un individu au travail peut produire un travail mécanique
d ’environ 100 W, la consommation énergétique moyenne par individu est équivalente
à environ 22 hommes travaillant pendant 24 heures de suite. (Consultez le Tableau 16

pour voir quelques valeurs de puissances relevées dans la nature.) En particulier, si nous
regardons la consommation énergétique des premiers pays du monde, l ’ habitant moyen
fait fonctionner, pour ses besoins, des machines correspondant à plusieurs centaines de
Défi 136 s « domestiques ». Pouvez-vous citer quelques-unes de ces machines ?
L’énergie cinétique n’est donc pas conservée dans la vie quotidienne. Par exemple,
dans les collisions inélastiques, telles que celles de morceaux de chewing-gum s’écrasant
contre un mur, l ’énergie cinétique est perdue. Le frottement anéantit l ’énergie cinétique.
En même temps, le frottement engendre de la chaleur. Le fait que l ’énergie totale soit
conservée est une découverte conceptuelle fondamentale à partir du moment où elle tient
compte de la révélation que la chaleur est une forme d ’énergie. Le frottement est alors en
réalité un processus transformant l ’énergie cinétique, c ’est-à-dire l ’énergie associée au
mouvement de l ’objet, en chaleur. À l ’échelle microscopique, l ’énergie est conservée*.
En fait, sans la conservation de l ’énergie, la notion de temps ne pourrait être définie.
Nous allons révéler cette correspondance sous peu.
L a vitesse est-elle absolue ? – L a théorie de la relativité

quotidienne
Pourquoi ne ressentons-nous pas tous les mouvements de la Terre ? Les deux volets de
la réponse étaient déjà connus en 1632. En premier lieu, tel que l ’a illustré Galilée, nous ne
ressentons pas les accélérations de la Terre parce que les effets qu ’elles produisent sont
si dérisoires que nos facultés sensorielles ne peuvent les détecter. En réalité, un grand
nombre des accélérations citées doit causer des effets mesurables dans les expériences de
Page 143 haute précision, comme dans les horloges atomiques.
Mais le deuxième point soulevé par Galilée est tout aussi important. Nous ne ressen-
tons pas les mouvements non accélérés, translationnels, parce que c ’est en principe im-
possible. Nous ne pouvons éprouver le fait que nous sommes en mouvement ! Galilée
mit en scène ce sujet en comparant les remarques de deux observateurs : l ’un d ’entre
eux est sur le plancher des vaches et l ’autre est situé sur l ’un des moyens de transport les
plus modernes de l ’époque, un navire. Galilée se demanda si un homme sur la terre et
un homme dans un bateau se déplaçant à vitesse constante éprouvent (ou « ressentent »)
quelque chose de différent. Einstein utilisait des observateurs dans des trains. Plus tard,
* En réalité, la conservation de l ’énergie ne fut dévoilée collectivement qu ’en 1842 dans toute sa généralité
par Julius Robert Mayer. Il était médecin de formation, et la revue Annalen der Physik refusa de publier
son article, car il était censé contenir des « erreurs fondamentales ». Ce que les éditeurs appelaient des er-
reurs étaient en fait pour la plupart – mais pas seulement – des contradictions avec leurs préjugés. Plus tard,
Helmholtz, Kelvin, Joule et de nombreux autres reconnurent le génie de Mayer. Toutefois, le premier à avoir
formulé la loi de la conservation de l ’énergie dans sa forme actuelle fut le physicien français Sadi Carnot
(1796–1832) en 1820. Pour lui ce fait était si évident qu ’ il ne sentit pas la nécessité de publier ce résultat. Il
alla plus loin et découvrit le second « principe » de la thermodynamique. Aujourd ’ hui, la conservation de
l ’énergie, également appelée premier « principe » de la thermodynamique, est un des piliers fondamentaux
de la physique, du fait qu ’elle s’applique dans toutes ses branches.
TA B L E AU 16 Quelques valeurs mesurées de puissance.
O b s e r va t i o n Puissance
Puissance du moteur flagellaire dans une bactérie 0,1 pW

Rendement lumineux d ’une ampoule à incandescence de 1 à 5 W

Consommation électrique d ’une ampoule à incandescence de 25 à 100 W
Un homme, pendant 8 heures de travail 100 W
Un cheval, pendant de 8 heures d ’effort 300 W
Eddy Merckx, le célèbre cycliste, pendant une heure 500 W
Unité officielle de puissance : le cheval-vapeur 735 W
Grosse motocyclette 100 kW
Rendement d ’une station génératrice d ’électricité de 0,1 à 6 GW
Production mondiale de la puissance électrique en l ’an 2000 450 GW
Puissance consommée par la géodynamo terrestre de 200 à 500 GW
Entrée à la surface de la Terre : irradiation solaire de la Terre Réf. 60 0,17 EW
Entrée à la surface de la Terre : énergie thermique provenant de l ’ in- 32 TW
térieur de la Terre
Entrée à la surface de la Terre : puissance émise par les marées (c ’est- 3 TW
à-dire par la rotation de la Terre)
Entrée à la surface de la Terre : puissance générée par l ’ homme à partir de 8 à 11 TW
des combustibles fossiles
Perte à la surface de la Terre : puissance stockée par la photosynthèse 40 TW
des plantes
Record mondial de puissance d ’un laser 1 PW
Sortie de la surface de la Terre : réflexion des rayons solaires dans l ’es- 0,06 EW
pace
Sortie de la surface de la Terre : puissance rayonnée dans l ’espace à 0,11 EW
287 K
Puissance émise par le Soleil 384,6 YW
Puissance maximale dans la nature, c 5 /4G 9,1 ⋅ 1051 W
il devint conventionnel d ’utiliser des voyageurs dans des fusées. (Qu ’est-ce qui viendra
Défi 137 e au prochain coup ? ) Galilée justifia que seules les vitesses relatives entre les objets pro-
duisent des effets, et non pas les valeurs absolues des vitesses. Pour nos sens, il n’y a
aucune différence entre un mouvement constant, uniforme, aussi rapide qu ’ il soit, et le
repos. C ’est ce que nous appelons dorénavant le principe galiléen de relativité. Dans la vie
quotidienne, nous ressentons le mouvement uniquement si le moyen de transport vibre
(donc s’ il accélère) ou si nous nous déplaçons contre le vent. Par conséquent, Galilée
conclut que deux observateurs en mouvement uniforme en ligne droite l ’un par rapport
à l ’autre ne peuvent dire qui se déplace « réellement ». Quelle que soit leur vitesse relative,
aucun d ’entre eux ne se « sent » en mouvement*.
* En 1632, dans ses Dialogues, Galilée écrit : « Enfermez-vous avec un de vos amis dans la cabine principale
située sous le pont de quelque grand navire, et emmenez avec vous là-bas quelques mouches, papillons et
Le repos est relatif. Ou plus clairement : le repos est une notion dépendante d ’un ob-
servateur. Ce résultat de la physique galiléenne est si primordial que Poincaré introduisit
l ’expression « théorie de la relativité » et Einstein réexprima ce principe explicitement
lorsqu ’ il publia sa célèbre théorie de la relativité restreinte. Cependant, ces dénomina-
tions sont maladroites. La physique galiléenne est aussi une théorie de la relativité ! La

relativité du repos est commune à toute la physique. C ’est une brique essentielle de la
théorie du mouvement.
Le mouvement régulier ou uniforme n’a aucun effet observable. Seule la variation du
mouvement en a un. En conséquence, chaque physicien peut conclure facilement au sujet
de la formulation suivante due à Wittgenstein :
Daß die Sonne morgen aufgehen wird, ist eine Hypothese ; und das heißt :
wir wissen nicht, ob sie aufgehen wird*.
Cette phrase est fausse. Pouvez-vous expliquer pourquoi Wittgenstein s’est fourvoyé ici,
Défi 138 s malgré son désir ardent de vérité ?
d ’autres petits animaux volants. Prenez une vaste cuvette d ’eau contenant quelques poissons, suspendez
une bouteille qui se vide goutte à goutte dans un large récipient placé en dessous. Lorsque le navire est
immobilisé, observez attentivement comment les petits animaux volent avec des vitesses égales vers tous les
côtés de la cabine. Le poisson nage indifféremment dans toutes les directions, les gouttes tombent dans le
récipient en dessous, et, si vous lancez quelque chose à votre ami, vous devez le lancer plus fortement dans
une direction que dans une autre, les distances étant égales : si vous sautez à pieds joints, vous traverserez
des espaces égaux dans chaque direction. Après que vous aurez observé soigneusement toutes ces choses
(bien qu ’ il ne fasse aucun doute que, lorsque le navire est au repos, tout doit se produire de cette manière),
laissez le navire avancer à la vitesse que vous désirez ; aussi longtemps que le mouvement est uniforme et ne
fluctue pas, vous ne découvrirez pas la moindre variation dans tous les effets identifiés, pas plus que vous ne
pourrez dire à partir de n’ importe lequel d ’entre eux si le navire est en mouvement ou à l ’arrêt. En sautant,
vous enjamberez les mêmes espaces au sol qu ’auparavant, sans que vous ne fassiez de sauts plus grands en
direction de la poupe qu ’en direction de la proue et alors même que le navire avance assez rapidement, en
dépit du fait que, pendant le temps que vous êtes en l ’air, le plancher en dessous de vous avancera dans la
direction opposée à celle de votre saut. En lançant quelque chose à votre compagnon, vous n’aurez besoin
d ’aucune force supplémentaire pour l ’atteindre, qu ’ il soit dans la direction de la tête du navire ou de la
poupe, et que vous-même soyez en vis-à-vis. Les gouttelettes tomberont comme avant dans le récipient en
dessous sans chuter en direction de la poupe, bien que le navire parcoure quelques intervalles de distance
pendant que la goutte est en l ’air. Les poissons dans leur eau ne nageront pas vers l ’avant de leur cuvette
avec plus d ’effort que vers l ’arrière, et iront avec la même facilité vers un appât disposé n’ importe où sur
les rebords de la cuvette. Finalement les papillons et les mouches continueront de voler indifféremment en
direction de chaque côté, sans qu ’ il apparaisse jamais qu ’ ils soient concentrés en direction de la poupe,
comme s’ ils étaient épuisés de tenir le rythme avec la course du navire, dont ils auront été séparés durant de
grands intervalles de temps en se tenant eux-mêmes dans les airs. Et si de la fumée est faite en brûlant quelque
encens, elle sera vue sous la forme d ’un petit nuage montant, restant immobile et ne se déplaçant pas plus
vers un côté qu ’un autre. Le motif de toutes ces correspondances d ’effets est le fait que le mouvement du
navire est pareil à toutes les choses qui sont contenues en lui, et à l ’air également. C ’est pourquoi je dis que
vous devriez être sous le pont du navire, en cela que si ceci avait lieu au-dessus en plein air, lequel ne suivrait
pas la course du navire, des différences plus ou moins perceptibles seraient aperçues dans quelques-uns des
effets mentionnés. »
* « C ’est une hypothèse que le soleil se lèvera demain, et cela signifie que nous ne savons pas s’ il se lèvera. »
Cette phrase connue est tirée de Ludwig Wittgenstein, Tractatus, 6.36311.
TA B L E AU 17 Quelques fréquences angulaires mesurées.
O b s e r va t i o n V i t e s s e a n g u l a i r e ω = 2π/T
Rotation de la Galaxie 2π ⋅ 0,14 ⋅ 10−15 / s = 2π /220 ⋅ 106 a

Rotation moyenne du Soleil autour de son axe 2π ⋅3,8 ⋅ 10−7 / s = 2π / 30 d

Phare typique 2π ⋅ 0,08/ s
Danseur de ballet faisant une pirouette 2π ⋅ 3/ s
Moteur diesel de navire 2π ⋅ 5/ s
Rotor d ’un hélicoptère 2π ⋅ 5,3/ s
Machine à laver jusqu ’à 2π ⋅ 20/ s
Flagelle bactérien 2π ⋅ 100/ s
Moteur de voiture de course jusqu ’à 2π ⋅ 600/ s
Le moteur à turbine le plus rapide jamais construit 2π ⋅ 103 / s
Les pulsars les plus rapides (étoiles en rotation) jusqu ’à au moins 2π ⋅ 716/ s
Ultracentrifugeuse > 2π ⋅ 2 ⋅ 103 / s
jusqu ’à 2π ⋅ 13 ⋅ 103 / s
Roulette dentaire
Rotation du proton 2π ⋅ 1020 / s
Fréquence angulaire de Planck, la plus grande fré-2π⋅ 1035 / s
quence possible
L a rotation
Le mouvement circulaire nous maintient en vie. Sans l ’alternance du jour et de la nuit,
nous serions morts de chaleur ou de froid, selon notre position sur le globe terrestre. Un
court résumé sur la rotation est donc nécessaire. Nous avons vu auparavant qu ’un corps
est décrit par sa réticence à se mouvoir ; de manière similaire, un corps possède une ré-
ticence à tourner. Cette quantité est appelée son moment d’ inertie et est communément
notée Θ. La vitesse ou la fréquence de la rotation est signalée par la vitesse angulaire,
usuellement notée ω. Quelques valeurs trouvées dans la nature sont données dans le Ta-
bleau 17.
Les quantités observables qui décrivent la rotation sont semblables à celles qui dé-
crivent le mouvement de translation, comme indiqué dans le Tableau 18. Comme la
masse, le moment d ’ inertie est défini de telle façon que la somme des moments ciné-
tiques L – le produit du moment d ’ inertie par la vitesse angulaire – est conservée dans
tout système qui n’ interagit pas avec le monde extérieur :
∑ Θ i ω i = ∑ L i = const . (18)
i i
De la même façon que la conservation de la quantité de mouvement (ou « moment li-

néaire » [N.d.T.]) définit la masse, la conservation du moment cinétique (ou « moment
angulaire » [N.d.T.]) définit le moment d ’ inertie.
Le moment d ’ inertie peut être lié à la masse et à la forme d ’un corps. Si le corps est
considéré comme étant constitué d ’éléments de masse ou de volume très petits, l ’expres-
TA B L E AU 18 Correspondances entre mouvement de translation et de rotation.
Q ua nt it é Tr a n s l at i o n R o tat i o n
État temps t temps t

position x angle φ
quantité de mou- p = mv L = Θω

moment cinétique
vement
énergie mv 2 /2 énergie Θω 2 /2
Mouvement vitesse v vitesse angulaire ω
accélération a accélération angu- α
laire
Réticence au mouvement masse m moment d ’ inertie Θ
Variation du mouvement force ma couple Θα
sion qui en résulte est

Θ = ∑ m n r 2n ,
(19)
n
où r n est la distance de l ’élément de masse m n à l ’axe de rotation. Pouvez-vous confirmer

Défi 139 e cette expression ? Par conséquent, le moment d ’ inertie d ’un corps dépend de l ’axe de
Défi 140 s rotation choisi. Pouvez-vous vérifier qu ’ il en est ainsi pour le cube ?
Certes, la grandeur du moment d ’ inertie dépend également de la disposition de l ’axe
utilisé pour sa définition. Pour chaque direction d ’axe différente, nous pouvons distin-
guer un moment d ’ inertie intrinsèque, lorsque l ’axe traverse le centre de masse du corps,
d ’un moment d ’ inertie extrinsèque, lorsque ce n’est pas le cas*. De la même manière,
nous distinguons les moments cinétiques intrinsèque et extrinsèque. (Par ailleurs, le
centre de masse d ’un corps est ce point imaginaire qui se déplace en ligne droite lors
d ’une chute verticale, même si le corps est en rotation. Pouvez-vous trouver une ma-
Défi 142 s nière de déterminer sa position pour un corps en particulier ?)
Tout objet qui possède une orientation possède également un moment cinétique in-
Défi 143 s trinsèque. (Qu ’en est-il de la sphère ?) Toutefois, les particules ponctuelles n’ont pas de
moment cinétique intrinsèque – du moins en première approximation. (Cette conclusion
sera modifiée en théorie quantique.) Le moment cinétique extrinsèque L d ’une particule
ponctuelle est donné par
L=r×p= L=rp=
2A(T)m 2A(T)m
ainsi (21)
T T
où p représente la quantité de mouvement de la particule, A(T) est la surface balayée par
* Les moments d ’ inertie intrinsèque et extrinsèque sont liés par la formule
Θ ext = Θ int + md 2 , (20)
où d représente la distance entre le centre de masse et l ’axe de rotation extrinsèque. Cette relation est appelée
Défi 141 s théorème des axes parallèles de Steiner. Êtes-vous apte à la démontrer ?
majeur : "r x p" les doigts

dans le sens
L
de rotation :
le pouce
indique

r le
index : "p" moment
A cinétique
pouce : "r"
p
F I G U R E 40 Moment cinétique et les deux versions de la règle de la main droite.
axe sans
frottement
F I G U R E 41 Comment un serpent se retourne F I G U R E 42 Le singe peut-il

autour de son axe. atteindre la banane ?
le vecteur position r de la particule pendant le temps T*. Le moment cinétique indique

donc la direction de l ’axe de rotation, en suivant la règle de la main droite, tel que montré
sur la Figure 40.
Nous définissons alors une énergie de rotation associée comme
L2
E rot = 21 Θ ω2 = . (23)
2Θ
* Pour les curieux, le résultat du produit vectoriel a × b entre deux vecteurs a et b est défini comme étant
un vecteur perpendiculaire à la fois aux deux vecteurs, dont l ’orientation est donnée par la règle de la main
droite, et dont la longueur est donnée par ab sin ∢(a, b), c ’est-à-dire par l ’aire du parallélogramme délimité
par les deux vecteurs. À partir de cette définition, vous pouvez montrer que le produit vectoriel possède les
Défi 144 e propriétés suivantes :
a × b = −b × a , a × (b + c) = a × b + a × c , λa × b = λ(a × b) = a × λb ,
a×a =0 , a(b × c) = b(c × a) = c(a × b) , a × (b × c) = b(ac) − c(ab) ,
(a × b)(c × d) = a(b × (c × d)) = (ac)(bd) − (bc)(ad) ,
(a × b) × (c × d) = c((a × b)d) − d((a × b)c) ,
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0 . (22)
Le produit vectoriel n’existe (pratiquement) que dans les espaces vectoriels à trois dimensions. (Voir l ’ An-
Page ?? nexe ??.) Le produit vectoriel s’annule si et seulement si les vecteurs sont parallèles entre eux. Le parallélépi-
Défi 145 e pède délimité par les trois vecteurs a, b et c possède un volume V = c(a × b). La pyramide ou le tétraèdre
formé à partir des trois vecteurs possède un sixième de ce volume.
Cette expression est similaire à l ’expression de l ’énergie cinétique d ’une particule.

Pouvez-vous estimer la réponse à la question suivante : de combien de fois la grandeur de
l ’énergie cinétique de rotation de la Terre est-elle plus importante que la consommation
Défi 146 s annuelle d ’électricité par l ’ humanité ? Si vous pouviez mettre la main sur un procédé
qui permettrait de contrôler cette énergie, vous deviendriez illustre.

Comme dans la situation du mouvement de translation, l ’énergie cinétique de rota-
tion et le moment cinétique ne sont pas systématiquement conservés dans le monde ma-
croscopique : l ’énergie cinétique de rotation peut varier à cause des frottements, et le
moment cinétique peut être modifié par des forces externes (les couples). Malgré tout,
ces deux quantités sont toujours conservées à l ’échelle microscopique pour des systèmes
isolés.
Sur une surface parfaitement lisse, que l ’on peut imiter avec de la glace polie ou avec
une dalle de marbre badigeonnée d ’une couche d ’ huile, il est impossible de se déplacer
en avant. Pour réussir à bouger, nous avons besoin de nous appuyer contre quelque chose.
Cela est-il également le cas pour la rotation ?
Bizarrement, il est possible de tourner même sans s’appuyer contre quelque chose.
Vous pouvez l ’expérimenter sur un fauteuil tournant de bureau bien lubrifié : simplement
en tournant un bras au-dessus de la tête. Après chaque tour de bras, l ’orientation de la
chaise est rectifiée d ’une petite quantité. Certes, la conservation du moment cinétique
et de l ’énergie cinétique de rotation n’empêche pas les corps de changer d ’orientation.
Les chats l ’apprennent dans leur jeunesse. Une fois qu ’ ils se sont imprégnés de cette as-
tuce, s’ ils sont lâchés les pattes vers le haut, ils peuvent se retourner sur eux-mêmes de
Réf. 61 telle façon qu ’ ils atterrissent invariablement sur leurs pattes. Les serpents savent aussi
comment se retourner sur eux-mêmes, comme le montre la Figure 41. Au cours des jeux
Olympiques nous pouvons observer les véliplanchistes et les gymnastes exécuter des fi-
Défi 147 d gures similaires. Sur ce point, la rotation est ainsi différente de la translation. (Pourquoi ?)
Le moment cinétique est conservé. Cette allégation est valide pour tout axe, pourvu
que le frottement ne joue aucun rôle, ou que des forces externes (couples) n’exercent
Réf. 3 aucune action. Pour entériner ce point, Jean-Marc Lévy-Leblond souleva le problème de
la Figure 42. Le singe peut-il atteindre la banane sans quitter son plateau, en supposant
que le plateau sur lequel le singe se trouve puisse tourner autour de l ’axe sans aucun
Défi 148 s frottement ?
Des roues en rotation

La rotation est un phénomène intéressant à bien des égards. Une roue qui roule ne
tourne pas autour de son axe, mais autour de son point de contact. Regardons cela de
plus près.
Une roue de rayon R est en rotation si la vitesse de l ’axe v axe est reliée à la vitesse
angulaire ω par
ω=
v axe
. (24)
R
Pour tout point P situé sur la roue, à la distance r de l ’axe, la vitesse v P est la somme du
mouvement de l ’axe et du mouvement autour de l ’axe. La Figure 43 montre que v P est
perpendiculaire à d, la distance entre le point P et le point de contact de la roue. La figure
ωr ω d = vp
P ωR
r ω R = vaxe

d
R
F I G U R E 43 Les vitesses et les F I G U R E 44 Une simulation d’une

vecteurs unitaires pour une roue roue à rayons en rotation.
en rotation.
Défi 149 e montre également que le rapport des longueurs entre v P et d est le même qu ’entre v axe
et R. Par conséquent, nous pouvons écrire :
vP = ω × d , (25)
qui indique qu ’une roue en rotation tourne en réalité autour de son point de contact
avec le sol.
Curieusement, lorsqu ’une roue roule, certains points situés dessus se déplacent en
direction de l ’axe de la roue, quelques autres demeurent à distance fixe par rapport à cet
Défi 150 s axe et d ’autres encore s’écartent de celui-ci. Pouvez-vous localiser ces différents points ?
En même temps, ils nous amènent à découvrir des motifs captivants lorsqu ’une roue à
Réf. 62 rayons en rotation, telle qu ’une roue de vélo, est photographiée.
À l ’aide de ces résultats, vous pouvez entreprendre d ’élucider le défi passionnant qui
Réf. 63 suit. Lorsqu ’une roue de bicyclette prend un virage sur une surface glissante, elle va déra-
per pendant un certain temps puis va continuer à rouler. De quelle façon la vitesse finale
Défi 151 d dépend-elle de la vitesse initiale et du frottement ?
C omment marchons-nous ?
Le golf est une agréable promenade gâchée par
“ une petite balle blanche.

Mark Twain
Pourquoi déplaçons-nous nos bras lorsque nous marchons ou courons ? Pour conser- ”
ver l ’énergie. En réalité, quand un mouvement du corps est exécuté avec le moins d ’éner-
gie possible, il est naturel et gracieux. (Cela peut en fait être considéré comme étant la
véritable définition de la grâce. Cette relation est un fait notoire dans le monde de la
Réf. 17 danse. C ’est également un aspect élémentaire des méthodes utilisées par les acteurs pour
apprendre à déplacer leur corps aussi gracieusement que possible.)
Pour vous convaincre vous-même de l ’économie d ’énergie en jeu, tentez de marcher
ou courir avec vos bras figés ou en mouvement dans la direction opposée à la direction
habituelle : l ’effort requis est considérablement plus important. Quand une jambe se dé-
place, elle produit un couple autour de l ’axe du corps qui demande à être contrebalancé.

F I G U R E 45 La décomposition du mouvement d’un homme qui marche. (© Ray McCoy)
La stratégie qui utilise le moins d ’énergie est de balancer les bras. Puisque les bras sont
plus légers que les jambes, ils doivent se déplacer plus loin par rapport à l ’axe du corps
pour compenser la quantité de mouvement. L’évolution a ainsi déplacé le point d ’attache
des bras, les épaules, beaucoup plus loin que celui des jambes, les hanches. Les animaux
qui ont deux jambes mais pas de bras, comme les pingouins ou les pigeons, marchent
beaucoup plus laborieusement, ils sont contraints de déplacer leur tronc corporel entier
à chaque pas.
Quels muscles effectuent le plus d ’effort lors de la marche, ce mouvement que les
Réf. 64 spécialistes nomment la démarche ? En 1980, Serge Gracovetsky a découvert que, dans
la démarche humaine, l ’essentiel de la force est fourni par les muscles situés le long de
l ’ épine dorsale, et non par ceux des jambes. (En fait, les individus dépourvus de jambes
sont toujours capables de marcher.) Lorsque vous effectuez un pas, les muscles lombaires
redressent l ’épine dorsale, ce qui l ’oblige mécaniquement à tourner un peu d ’un côté, de
sorte que le genou de la jambe de ce côté vienne automatiquement en avant. Quand le
pied se déplace, les muscles lombaires peuvent se relâcher et à nouveau se redresser au
pas suivant. En fait, nous pouvons ressentir l ’augmentation de la tension des muscles
Défi 152 e dorsaux lors de la marche sans nécessairement déplacer les bras, confirmant ainsi où se
trouve le moteur corporel.
Les jambes humaines diffèrent de celles des singes sur un plan fondamental : les hu-
mains sont capables de courir. Il se trouve que le corps humain tout entier a été taillé
pour la course, une aptitude qu ’aucun autre primate ne possède. Le corps humain s’est
dépouillé de sa toison pour obtenir un meilleur refroidissement, a développé la capacité
de courir tout en gardant la tête en position stable, a développé la longueur adéquate des
bras pour un équilibre approprié lors de la course, et possède même un ligament particu-
lier dans le dos qui fonctionne comme un amortisseur pendant celle-ci. Autrement dit,
de toutes les formes de mouvement, c ’est la course qui est la plus humaine.
La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique Traduit de l’anglais par Benoît Clénet disponible gratuitement sur www.motionmountain.net Copyright © Christoph Schiller Novembre 1997–Mai 2010
93
et astres
céleste
Voûte
des objets et des images à la conservation
Soleil
Lune
ou
F I G U R E 46 La parallaxe – non dessinée à l’échelle.

Terre en
rotation
N
Chapitre 5
DE L A ROTAT ION DE L A T E R R E À L A

R E L AT I V I T É DU MOU V E M E N T
Eppur si muove !
“
La quête des réponses à cette question donne un magnifique panorama de l ’ histoire
Anonyme*
”
de la physique classique. Aux environs de l ’an 265 av. J.-C., le penseur grec Aristarque
Réf. 65 de Samos s’évertuait à soutenir que la Terre tourne. Il avait mesuré la parallaxe de la Lune
(aujourd ’ hui estimée à près de 0,95°) et celle du Soleil (aujourd ’ hui connue comme étant
de 8,8 ′ )**. La parallaxe est une notion captivante, c ’est l ’angle qui décrit la différence
entre les positions d ’un corps sur la voûte céleste lorsqu ’ il est vu par un observateur
situé sur la surface de la Terre et lorsqu ’ il est vu par un observateur hypothétique situé
au centre de la Terre (voir la Figure 46). Aristarque avait remarqué que la Lune et le
Soleil oscillent dans le firmament, et que cette oscillation a une période de 24 heures. Il
en conclut alors que la Terre tourne.
Page 17 La mesure de l ’aberration de la lumière, qui peut être détectée avec un téles-
cope lorsque nous admirons les étoiles, démontre également la rotation de la Terre.
L’ aberration est une anomalie dans la direction d ’arrivée de la lumière, elle sera bientôt
expliquée. À l ’équateur, la rotation de la Terre ajoute une déviation angulaire de 0,32 ′ ,
changeant de signe toutes les 12 heures, à l ’aberration due au mouvement de la Terre au-
tour du Soleil, d ’environ 20,5 ′ . À notre époque moderne, les astronomes ont accumulé
un grand nombre de pièces à conviction supplémentaires, mais aucune d ’entre elles n’est
accessible à l ’ homme de la rue.
Par ailleurs, les mesures indiquant que la Terre n’est pas une sphère parfaite, mais
qu ’elle est aplatie aux pôles, confirment la rotation de la Terre. De nouveau, toutefois,
cette mesure du dix-huitième siècle réalisée par Maupertuis*** n’est pas accessible à
notre observation quotidienne.
C ’est alors que, dans les années 1790 à 1792 à Bologne, Giovanni Battista Guglielmini
(1763–1817) parvint finalement avec succès à mesurer ce que Galilée et Newton avaient
postulé être la preuve la plus simple de la rotation de la Terre. Sur la Terre, les objets
* « Et pourtant elle tourne ! » est la phrase faussement attribuée à Galilée à propos de la Terre. Il est vrai,
cependant, que lors de son procès il fut contraint de rétracter publiquement son idée d ’une Terre en mou-
vement pour garder la vie (voir la note du bas de la page 229).
** Pour la définition des angles voir la page 52, et pour la définition des unités angulaires voir l ’ Annexe B.
*** Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698–1759), physicien et mathématicien français. Il fut un des per-
sonnages clés dans la quête du principe de moindre action, qu ’ il nomma de cette manière. Il fut également
nommé président de l ’Académie des sciences de Berlin.
à la relativité du mouvement 95
sphère 5 km
Terre
5 km 5 km
Équateur

F I G U R E 47 Déviation à la forme sphérique de la
Terre due à sa rotation.
5 km
v = ω (R+h)
h N h
v = ω R
ϕ
N Équateur
S
F I G U R E 48 Les déviations de la chute libre en direction de l’est et en direction de l’équateur dues à la
rotation de la Terre.
ne chutent pas verticalement, mais sont légèrement déviés vers l ’est. Cette déviation sur-
vient parce qu ’un objet conserve sa vitesse horizontale, celle qu ’ il a au point culminant
à partir duquel il commence à tomber, comme indiqué sur la Figure 48. La découverte
de Guglielmini fut la première pièce à conviction non astronomique de la rotation de
la Terre. Les expériences furent renouvelées en 1802 par Johann Friedrich Benzenberg
(1777–1846). En utilisant des boules métalliques qu ’ il lâcha de la tour de l ’église Saint-
Michel à Hambourg – d ’une hauteur de 76 m – Benzenberg trouva que la déviation
vers l ’est était de 9,6 mm. Pouvez-vous confirmer que la valeur mesurée par Benzenberg
concorde à peu près avec l ’ hypothèse que la Terre fait un tour sur elle-même toutes les
Défi 153 pe 24 heures ? (Il y a également une déviation plus petite en direction de l ’équateur, qui ne
fut pas mesurée par Guglielmini, Benzenberg ou quiconque après eux jusqu ’à ce jour, ce-
pendant cela complète la liste des effets de la rotation de la Terre sur la chute libre.) Ces
deux déviations sont aisément compréhensibles si nous nous rappelons que les objets qui
chutent décrivent une ellipse autour du centre de la Terre en rotation. Cette forme ellip-
tique indique que la trajectoire d ’une pierre lancée en l ’air ne se situe pas dans un plan
pour un observateur debout sur la Terre. Pour un tel observateur, la trajectoire exacte ne
peut donc être dessinée sur une feuille de papier.
En 1835, l ’ ingénieur et mathématicien Gustave-Gaspard Coriolis (1792–1843), le ci-
toyen français qui a également introduit les concepts modernes de « travail » et d ’ « éner-
gie cinétique », mit le doigt sur un effet étroitement lié que personne n’avait jusqu ’alors
remarqué dans la vie courante. Un objet qui voyage dans un espace en rotation ne se
96 5 de la rotation de la terre
Ψ1
N
Centre de
la Terre φ

Éq
ua
teu
r
Ψ0
Ψ1
F I G U R E 49 Le mouvement circulaire d’un pendule dévoilant la rotation de la Terre.
déplace par le long d ’une ligne droite. Si la rotation est antihoraire, comme pour l ’ hé-
misphère Nord de la Terre, la vitesse d ’un objet est légèrement détournée vers la droite,
bien que sa grandeur reste constante. Cette notion ainsi nommée accélération de Coriolis
(ou force de Coriolis) est provoquée par la variation de la distance à l ’axe de rotation.
Pouvez-vous en déduire son expression analytique, à savoir aC = 2ω × v ?
Défi 154 s
L’accélération de Coriolis explique la tendance qu ’ont de nombreux phénomènes à
grande échelle à adopter une forme en spirale, tels le sens des cyclones et anticyclones
en météorologie, le modèle global des vents sur la Terre et la variation des courants océa-
niques et des marées. Plus admirablement, l ’accélération de Coriolis explique pourquoi
les icebergs ne suivent pas la direction du vent lorsqu ’ ils dérivent en s’éloignant des ca-
Réf. 66 lottes polaires. L’accélération de Coriolis joue aussi un rôle dans la trajectoire des boulets
de canon (ce qui était la motivation initiale de Coriolis), dans les lancements de satellites,
dans le déplacement des taches solaires et même dans le mouvement des électrons dans
Réf. 67 les molécules. Tous ces phénomènes sont de signes opposés dans les hémisphères Nord
et Sud et, par conséquent, prouvent la rotation de la Terre. (Durant la Première Guerre
mondiale, plusieurs artilleurs de la force navale américaine ratèrent leurs cibles dans l ’ hé-
misphère Sud parce que les ingénieurs avaient calibré les canons en tenant compte de
l ’effet de Coriolis valable pour l ’ hémisphère Nord.)
Ce n’est qu ’en 1962, après plusieurs tentatives antérieures de la part d ’autres cher-
Réf. 68 cheurs, qu ’Asher Shapiro put vérifier le premier que l ’effet de Coriolis avait une influence
imperceptible sur la direction du tourbillon formé par l ’écoulement de l ’eau dans une
baignoire. À la place d ’une baignoire ordinaire, il eut besoin d ’utiliser une installation
expérimentale soigneusement conçue parce que, contrairement à une affirmation cou-
rante, cet effet ne peut être perçu dans une vraie baignoire. Il y parvint seulement en
éliminant prudemment toutes les perturbations sur le système. Par exemple, il attendit
24 heures après le remplissage de la cuve (et en vérité ne céda jamais sa place à quelqu ’un
d ’autre durant tout ce temps !) afin d ’éviter tout mouvement résiduel de l ’eau qui aurait
pu perturber l ’effet, et construisit un mécanisme d ’ouverture, établi consciencieusement,
entièrement symétrique par rotation. D’autres ont renouvelé l ’expérience dans l ’ hémi-
Réf. 68 sphère Sud, confirmant le résultat. En d ’autres termes, la tendance qu ’ont les tourbillons
des baignoires ordinaires à tourner n’est pas causé par la rotation de la Terre, mais ré-
sulte de la manière dont l ’eau commence à s’écouler. Mais continuons avec l ’ histoire de
la rotation de la Terre.
Finalement, en 1851, le médecin français reconverti à la physique Jean Bernard Léon

F I G U R E 50 Le gyroscope.
Foucault (n. Paris 1819, d. Paris 1868) réalisa une expérience qui ôta tout scepticisme à
cet égard et le rendit mondialement célèbre en l ’espace de pratiquement une seule nuit.
Il suspendit un pendule long de 67 m* au Panthéon à Paris et montra au public stupéfait
que la direction de ses oscillations variait au cours du temps, en tournant lentement. Pour
quiconque ayant quelques minutes de patience pour observer le changement de direction,
l ’expérience prouvait que la Terre tourne. Si la Terre ne tournait pas, le balancement du
pendule se serait toujours effectué dans la même direction. Sur une Terre qui tourne, la
direction varie vers la gauche, tel qu ’ indiqué sur la Figure 49, à moins que le pendule ne
soit situé à l ’équateur**. Le temps pendant lequel l ’orientation du balancement fait un
tour complet – le temps de précession – peut être calculé. Étudiez un pendule oscillant
dans la direction nord-sud et vous trouverez que le temps de précession TFoucault est
Défi 156 d donné par
TFoucault =
24 h
(26)
sin φ
où φ est la latitude de la position du pendule, c ’est-à-dire 0° à l ’équateur et 90° au

pôle Nord. Cette formule est un des résultats les plus admirables de la cinématique gali-
léenne***.
Foucault fut également l ’ inventeur du gyroscope et celui qui le baptisa ainsi. Il construi-
sit l ’appareil, présenté sur la Figure 50, en 1852, un an après son pendule. Avec celui-ci, il
démontra une nouvelle fois la rotation de la Terre. Puisqu ’un gyroscope tourne, son axe
demeure fixe dans l ’espace – mais seulement lorsqu ’ il est observé depuis des étoiles ou
des galaxies lointaines. (Ce n’est pas la même chose que de parler d ’ espace absolu. Pour-
Défi 157 s quoi ?) Pour un observateur situé sur Terre, la direction de l ’axe varie régulièrement avec
une période de 24 heures. Les gyroscopes sont maintenant utilisés de manière routinière
sur les bateaux et dans les avions pour donner la direction du nord, parce qu ’ ils sont
Défi 155 d * Pourquoi un pendule si long est-il nécessaire ? En comprendre les raisons nous permet de refaire l ’expé-
Réf. 69 rience chez nous, en utilisant un pendule court de 70 cm, avec des manipulations astucieuses.
** La découverte montre également comment la précision et le génie sont pieds et poings liés. En fait, la
première personne à observer cet effet fut Vincenzo Viviani, un élève de Galilée, dès 1661 ! Foucault a sûre-
ment lu le travail de Viviani dans les publications de l ’Accademia dei Lincei (l ’Académie des Lynx, la plus
ancienne académie purement scientifique d ’ Europe, fondée à Rome en 1603 [N.d.T.]). Mais il fallut le génie
de Foucault pour associer cet effet à la rotation de la Terre, personne ne le fit avant lui.
*** Le calcul de la période du pendule de Foucault présuppose que le rythme de précession est constant
durant une rotation. Ce n’est qu ’une approximation (bien que généralement excellente).
r
E

m m O
F I G U R E 51 Montrer la rotation de la F I G U R E 52 Démontrer la rotation de la

Terre par le truchement de la rotation Terre avec de l’eau.
d’un axe.
beaucoup plus précis et fiables que les boussoles magnétiques. Dans les modèles les plus
récents, nous utilisons la course circulaire de rayons laser au lieu de masses en rotation*.
En 1909, Roland von Eőtvős mesura un effet ordinaire : en raison de la rotation de la
Terre, le poids d ’un objet dépend de la direction dans laquelle il se déplace. Par consé-
quent, une balance en rotation autour de l ’axe vertical ne reste pas en parfaite position
horizontale : la balance commence à osciller délicatement. Pouvez-vous expliquer l ’ori-
Défi 159 s gine de cet effet ?
Réf. 70 En 1910, John Hagen publia les résultats d ’une expérience encore plus simple, propo-
sée par Louis Poinsot en 1851. Deux masses sont posées sur une barre horizontale qui peut
tourner autour d ’un axe vertical, un dispositif connu sous le nom d ’ isotoméographe. Si
les deux masses sont déplacées lentement vers le support, tel que montré sur la Figure 51,
et si le frottement est négligeable, les barres tournent. Certes, ceci ne surviendrait pas si
Défi 160 s la Terre ne tournait pas. Pouvez-vous donner une explication à cette observation ? Cet
effet peu connu est également utile pour que les physiciens fassent des paris entre eux.
En 1913, Arthur Compton montra qu ’on peut tirer profit d ’un tuyau fermé rempli
d ’eau et de quelques minuscules particules en suspension (ou des bulles) pour montrer
Réf. 82 que la Terre tourne. Cet appareil est appelé un tube de Compton ou une roue de Comp-
ton. Compton montra que, lorsqu ’un tube horizontal rempli d ’eau est tourné de 180°,
quelque chose se produit qui nous permet de démontrer que la Terre tourne. L’expé-
rience, indiquée sur la Figure 52, permet même de mesurer la latitude du point où l ’ex-
Défi 161 d périence est réalisée. Pouvez-vous deviner ce qui se passe ?
En 1925, Albert Michelson** et ses collaborateurs dans l ’ Illinois construisirent un in-
terféromètre sous vide d ’un périmètre invraisemblable de 1,9 km. Les interféromètres
Page ?? produisent des franges lumineuses brillantes et sombres, l ’emplacement des franges dé-
pendant de la vitesse avec laquelle l ’ interféromètre tourne. Le décalage des franges est dû
Défi 158 s * Pouvez-vous deviner comment la rotation est détectée dans ce cas précis ?
** Albert Abraham Michelson (n. Strzelno 1852, d. Pasadena 1931), physicien prussien puis polonais, et enfin
américain des États-Unis. Il était obsédé par la mesure précise de la vitesse de la lumière, et reçut le prix
Nobel de physique en 1907.
à un effet mesuré pour la première fois en 1913 par le physicien français Georges Sagnac :
la rotation d ’un interféromètre circulaire tout entier d ’une vitesse angulaire (vecteur) Ω
Défi 162 s produit un décalage de phase angulaire ∆φ de la frange, donné par
∆φ =
8π Ω A
(27)

cλ
où A est la superficie (vecteur) du domaine encerclé par les deux rayons lumineux qui in-
terfèrent, λ est leur longueur d ’onde et c la vitesse de la lumière. Cet effet est dorénavant
Réf. 71 nommé l ’ effet Sagnac, même s’ il avait été prédit 20 ans auparavant par Oliver Lodge*.
Michelson et son équipe décelèrent un décalage de frange d ’une période de 24 heures,
dont la grandeur était exactement celle prévue par la rotation de la Terre. Des versions
récentes de haute précision utilisent des lasers en anneau sur des surfaces de quelques
mètres carrés seulement, mais capables de détecter des variations dans le rythme de ro-
tation de la Terre de moins d ’une partie par million. En réalité, au cours d ’une année, la
durée d ’une journée fluctue de façon irrégulière de quelques millisecondes, principale-
ment à cause des influences du Soleil et de la Lune, à cause des changements climatiques
Réf. 72 et de la convection du magma brûlant au cœur de la Terre**. Mais les tremblements de
terre, le phénomène climatique El Niño et le remplissage des énormes digues fluviales
ont également des répercussions sur la rotation de la Terre. Tous ces effets peuvent être
étudiés avec la précision adéquate par des interféromètres ; ceux-ci peuvent également
être utilisés dans la recherche sur les mouvements de la croûte terrestre provoqués par
les marées lunaires ou les tremblements de terre, et dans les vérifications de la validité de
la théorie de la relativité.
En résumé, les observations démontrent que la surface de la Terre tourne à raison
de 463 m/s à l ’équateur, une valeur plus grande que celle de la vitesse du son dans l ’air
– environ 340 m/s dans des conditions normales – et qu ’en réalité nous tournoyons à
travers le cosmos.
C omment la terre tourne-t-elle ?

La rotation de la Terre est-elle constante à l ’échelle des temps géologiques ? C ’est une
question ardue. Si vous pouviez découvrir une méthode qui pourrait apporter une ré-
ponse, publiez-la ! (Ceci est également vrai pour la question de savoir si la durée de l ’an-
Réf. 73 née est constante.) Seul un petit nombre de méthodes sont connues, comme nous allons
le découvrir par la suite.
La rotation de la terre n’est pas constante même pendant la durée d ’une vie humaine.
Elle varie de quelques parties pour 108 . Plus précisément, à l ’échelle des temps « sécu-
laires », la durée de la journée augmente d ’environ 1 ou 2 ms par siècle, principalement
à cause des frottements provoqués par la Lune (les marées, les mouvements de la croûte
terrestre [N.d.T.]), et par la fonte des glaciers polaires. C ’est ce qui ressort de l ’analyse
* Oliver Lodge (1851–1940) était un physicien britannique qui étudia les ondes électromagnétiques et tenta
de communiquer avec les morts. Personnalité étrange mais influente, ses idées sont fréquemment citées
lorsque l ’on allie divertissement et physique. Par ailleurs, il fut un des (rares) physiciens persuadés à la fin
du dix-neuvième siècle que la physique était achevée.
** L’effet de la croissance des feuilles des arbres sur le changement du moment d ’ inertie de la Terre, déjà
examiné en 1916 par Harold Jeffreys, est trop insignifiant pour être perçu, du moins jusqu ’à présent.
la période de nutation
an 15000 : est de 18,6 ans an 2000 :

le pôle Nord pointe le pôle Nord pointe
vers Véga dans vers l’étoile polaire
la Lyre dans la Petite Ourse
précession
N
Orbite d
e l a Lu
ne
Lune
bulbe
équatorial
Éq bulbe
uat équatorial
eu r
rre
la Te
Orbite de
F I G U R E 53 La précession et la nutation de l’axe de la Terre.
des observations astronomiques historiques consignées par les anciens astronomes baby-
Réf. 74 loniens et arabes. Des variations « décennales » supplémentaires d ’une amplitude de 4
ou 5 ms sont causées par les mouvements de convection de la partie liquide du noyau de
la Terre.
Des variations semestrielles et saisonnières de la longueur du jour – d ’une amplitude
de 0,4 ms tous les six mois, une autre de 0,5 ms sur l ’année, et une de 0,08 ms au bout
de 24 à 26 mois – sont essentiellement provoquées par les effets de l ’atmosphère. Dans
les années 1950, la disponibilité de mesures précises a montré qu ’ il existe même une
variation de 0,2 ms de période de 14 et 28 jours, due à la Lune. Dans les années 1970,
la découverte d ’oscillations dans les vents, sur une échelle de temps d ’environ 50 jours,
montra qu ’elles modifiaient la longueur du jour selon une amplitude d ’environ 0,25 ms.
Toutefois, ces dernières variations sont totalement irrégulières.
Mais tout compte fait, pourquoi la terre tourne-t-elle ? La rotation de la Terre tire son
origine de la rotation du nuage de gaz qui a créé le Système solaire. Ce contexte explique
pourquoi le Soleil et toutes les planètes, sauf une, tournent sur eux-mêmes dans le même
sens, et pourquoi toutes les planètes tournent autour du Soleil dans ce même sens. Mais
Réf. 75 le récit complet de cette histoire sort du cadre de ce manuel.
La rotation autour de son axe n’est pas le seul mouvement de la Terre, elle réalise éga-
lement d ’autres mouvements. On le savait déjà depuis très longtemps. En 128 av. J.-C.,
l ’astronome grec Hipparque découvrit ce qui est aujourd ’ hui appelé la précession (des
équinoxes). Il avait confronté une mesure qu ’ il avait faite lui-même avec une autre faite
169 ans plus tôt. Hipparque remarqua alors que l ’axe de la Terre pointait dans la direction
d ’astres différents à des moments différents. Il en conclut que la voûte céleste se dépla-

çait. Aujourd ’ hui nous préférons dire que c ’est l ’axe de la Terre qui bouge. En l ’espace
d ’une période de 25 800 ans, l ’axe dessine un cône avec un angle ouvert de 23,5°. Ce
mouvement, dessiné sur la Figure 53, est engendré par les forces de marées de la Lune
et du Soleil sur le renflement équatorial de la Terre, ce qui a aussi pour conséquence de
façonner son aplatissement. Le Soleil et la Lune essayent d ’aligner l ’axe de la Terre per-
pendiculairement à la trajectoire de celle-ci, ce couple conduisant à la précession de l ’axe
de la Terre. (Le même effet survient avec n’ importe quelle toupie ou dans l ’expérience
avec les roues suspendues montrée à la page 170.)
De plus, l ’ axe de la Terre n’est pas fixe non plus par rapport à sa surface. En 1884,
en mesurant l ’angle exact du pôle Nord céleste au-dessus de l ’ horizon, Friedrich Küst-
ner (1856–1936) remarqua que l ’axe de la Terre se déplaçait par rapport à l ’écorce ter-
restre, tel que Bessel l ’avait suggéré 40 ans plus tôt. Comme conséquence de la décou-
verte de Küstner, le Service international des latitudes (International Latitude Service,
ou ILS [N.d.T.]) fut créé. Il s’avéra que le mouvement polaire que Küstner avait décou-
vert était constitué de trois composantes : une légère dérive longitudinale – non encore
élucidée –, un mouvement elliptique annuel dû aux variations saisonnières des masses
d ’air et d ’eau, et un mouvement circulaire* d ’une période d ’environ 1,2 année causé par
les fluctuations de la pression exercée dans les bas-fonds des océans. Concrètement, le
Réf. 76 pôle Nord se déplace d ’une distance de 15 m autour d ’une position centrale moyenne.
En 1912, le météorologiste allemand et géophysicien Alfred Wegener (1880–1930) dé-
couvrit un phénomène encore plus important. Après avoir étudié les formes des plateaux
continentaux et les strates géologiques des deux côtés de l ’Atlantique, il conjectura que
les continents se déplacent, et qu ’ ils sont tous des fragments d ’un seul continent originel
qui s’est brisé il y a 200 millions d ’années**.
Bien qu ’elle fût d ’abord tournée en dérision tout autour du globe, la découverte de
Wegener était correcte. Les relevés des satellites modernes, indiqués sur la Figure 54,
confirment ce modèle. Par exemple, le continent américain s’éloigne du continent euro-
péen d ’environ 10 mm par an. Certains conjecturent également que cette vitesse a pu être
plus importante à certaines époques dans le passé. La manière de le vérifier est d ’obser-
ver la magnétisation des roches sédimentaires. Aujourd ’ hui, c ’est toujours un domaine
de la recherche de pointe. En suivant la version moderne de ce modèle, appelé la tecto-
nique des plaques, les continents (d ’une masse volumique de 2,7 ⋅ 103 kg/m3 ) flottent sur
le manteau fluide de la Terre (d ’une masse volumique de 3,1 ⋅ 103 kg/m3 ) comme des frag-
* Ce mouvement circulaire, un vacillement, fut prédit par le grand mathématicien suisse Leonhard Euler
(1707–1783). En faisant usage de cette prédiction et des données de Küstner, Seth Chandler proclama en 1891
être l ’ initiateur de cette composante circulaire.
** Dans cet ancien supercontinent, appelé Gondwana, il y avait un fleuve colossal qui s’écoulait vers l ’ouest
depuis le Tchad jusqu ’à Guayaquil en Équateur. Après que le continent se fut divisé, ce fleuve continua à
s’écouler vers l ’ouest. Lorsque la cordillère des Andes s’éleva, l ’eau fut entravée dans sa course, et plusieurs
millions d ’années plus tard, elle s’écoula en sens inverse. Aujourd ’ hui, ce fleuve s’écoule toujours vers l ’est
et est appelé l ’ Amazone.

F I G U R E 54 Les plaques continentales sont les objets d’étude du mouvement tectonique.
Page 107, page ?? ments de liège sur de l ’eau,, la convection à l ’ intérieur du manteau terrestre constituant
Réf. 77 le moteur de ce mouvement.
L a Terre se déplace-t-elle ?
Le centre de gravité de la Terre n’est pas au repos par rapport à l ’univers. Durant le
troisième siècle av. J.-C. Aristarque de Samos proférait avec véhémence que la Terre
tourne autour du Soleil. Cependant, le fait que les étoiles aient une apparence identique
tout au long de l ’année représente un obstacle fondamental au système héliocentrique.
Comment est-ce possible puisque la Terre voyage autour du Soleil ? La distance entre la
Terre et le Soleil était connue depuis le dix-septième siècle, mais c ’est seulement en 1837
que Friedrich Wilhelm Bessel* parvint, le premier, à observer la parallaxe d ’un astre. Ce
fut le résultat de mesures extrêmement attentives et de calculs compliqués : il inventa
les fonctions de Bessel afin de pouvoir y parvenir. Il fut capable de déceler une étoile, 61
Cygni, dont la position apparente changeait en fonction des mois de l ’année. Observée
durant une année entière, l ’étoile décrit une petite ellipse dans le ciel, d ’une ouverture
d ’angle de 0,588 ′′ (c ’est la valeur moderne). Après avoir soigneusement écarté toutes les
autres explications possibles, Bessel déduisit que la variation de la position était due au
mouvement de la Terre autour du Soleil, et, à partir de la taille de l ’ellipse, il détermina
Défi 163 s la distance de l ’étoile à 105 Pm, ou 11,1 années-lumière.
Bessel avait donc accompli pour la première fois l ’estimation de la distance d ’une
étoile. Ce faisant, il prouvait également que la Terre n’est pas fixe par rapport aux étoiles
dans le ciel et qu ’elle effectue en réalité des révolutions autour du Soleil. Ce mouvement
lui-même n’était pas une surprise. Il confirmait le résultat sur l ’ aberration de la lumière
* Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846), astronome allemand, délaissa une carrière prospère dans les affaires
pour dédier sa vie aux étoiles et devint le principal astronome de son époque.
précession variation de l’ellipticité
axe de rotation
Terre
Soleil

Soleil
axe de variation de l’inclinaison
rotation
Terre avancée du périhélie
Soleil
Terre
variation de l’inclinaison orbitale
P
Soleil
P
Soleil
F I G U R E 55 Variations du mouvement de la Terre autour du Soleil.
Page 17 mentionné plus haut, découvert en 1728 par James Bradley* et qui sera bientôt évoqué.
La Terre tourne autour du Soleil.
Avec le perfectionnement des télescopes, d ’autres mouvements de la Terre furent dé-
couverts. En 1748, James Bradley déclara qu ’ il existe une minuscule variation régulière
de la précession, qu ’ il nomma la nutation, d ’une période de 18,6 années et d ’une ampli-
tude angulaire de 19,2 ′′ . La nutation se produit parce que le plan de l ’orbite de la Lune
autour de la Terre ne coïncide pas exactement avec le plan de l ’orbite de la Terre autour
Défi 164 pe du Soleil. Seriez-vous capable de vérifier que cette situation induit la nutation ?
Les astronomes ont également découvert que l ’ inclinaison de 23,5° – ou l ’ obliquité –
de l ’ axe de la Terre, qui représente l ’angle entre son moment cinétique intrinsèque et son
moment cinétique orbital, varie en réalité de 22,1° à 24,5° tous les 41 000 ans. Ce mou-
vement est provoqué par l ’attraction du Soleil et les écarts de la forme de la Terre par
rapport à la sphère parfaite. Pendant la Seconde Guerre mondiale, en 1941, l ’astronome
serbe Milutin Milankovitch (1879–1958) se retrancha dans l ’ isolement et en étudia les
conséquences. Dans ses recherches il s’est rendu compte que cette période d ’ inclinaison
de 41 000 années ainsi qu ’une période moyenne de 22 000 ans de précession** ont provo-
qué l ’avènement de plus de 20 périodes glaciaires durant les derniers 2 millions d ’années.
* James Bradley, (1693–1762), astronome anglais. Il fut un des premiers astronomes à saisir l ’ importance des
mesures précises et modernisa complètement l ’Observatoire de Greenwich, dans la banlieue de Londres. Il
découvrit l ’aberration de la lumière, une innovation qui montrait que la Terre se déplace et qui lui permettait
également de mesurer la vitesse de la lumière. Il découvrit aussi la nutation de la Terre.
** Il se trouve que la précession de 25 800 ans a provoqué trois ères caniculaires, de 23 700, 22 400 et 19 000
ans, dues aux interactions entre la précession et l ’avancée du périhélie.
120 000 al = 1,2 Zm
notre galaxie

orbite de notre système solaire local
trajectoire
500 al = 5 Em du Soleil
50 000 al = 500 Em
F I G U R E 56 Déplacement du Soleil au sein de la Galaxie.
Ce phénomène survient suite à une exposition plus ou moins forte des pôles au Soleil.
Les quantités variables de glace fondue conduisent alors à des variations de la tempéra-
ture moyenne. La dernière ère glacière a vu son apogée il y a environ 20 000 ans et s’est
achevée il y a quelque 11 800 ans, la prochaine est encore loin de nous. Une confirmation
éclatante des cycles des ères glacières, sans compter les nombreuses pièces à conviction
géologiques, est fournie par les relevés des rapports des isotopes de l ’oxygène dans les sé-
diments marins, ce qui permet de retracer l ’évolution de la température moyenne durant
Réf. 78 le dernier million d ’années.
L’orbite de la Terre modifie également son excentricité au cours du temps, passant
d ’une forme entièrement circulaire à légèrement ovale et ainsi de suite. Toutefois, cela se
produit selon un schéma très complexe, sans aucune régularité périodique, et est engen-
dré par l ’ influence des grosses planètes du Système solaire sur l ’orbite terrestre. L’échelle
de temps caractéristique est de l ’ordre de 100 000 à 125 000 ans.
De plus, l ’ inclinaison de l ’orbite terrestre varie par rapport à l ’orbite des autres pla-
nètes, de +2,5° à −2,5° et vice versa. Cela semble se produire régulièrement tous les
100 000 ans.
Même la direction vers laquelle l ’ellipse se dirige varie avec le temps. Ce phénomène,
connu sous le nom d ’ avancée du périhélie, est dû en grande partie à l ’ influence des autres
planètes ; le reste, une petite partie résiduelle, sera capital dans le chapitre sur la relativité
générale. Ce fut la première donnée expérimentale qui confirma la théorie.
De toute évidence, la longueur de l ’année varie également au cours du temps. Les
écarts mesurés sont de l ’ordre de quelques parties pour 1011 soit environ 1 ms par an.
Cependant, la connaissance de ces variations et de leurs sources est beaucoup plus rudi-
mentaire que celle des oscillations de la rotation de la Terre.
L’étape suivante est de se demander si le Soleil lui-même se déplace. La réponse est
oui. Localement, il se déplace avec une vitesse de 19,4 km/s en direction de la constella-
tion d ’ Hercule. Cela fut démontré par William Herschel en 1783. Mais globalement, le
mouvement est beaucoup plus captivant. Le diamètre de la Galaxie fait au moins 100 000
années-lumière, et nous sommes situés à 26 000 années-lumière du bulbe central. (Ce
fait est connu depuis 1918, le centre de la galaxie est situé dans la direction du Sagittaire.)
À notre emplacement, la Galaxie a une épaisseur de 1 300 années-lumière et, en ce mo-
Réf. 79 ment, nous sommes 68 années-lumière « au-dessus » du plan central. Le Soleil, et avec
lui le Système solaire tout entier, met environ 225 millions d ’années pour faire une révo-
lution autour du centre galactique, sa vitesse orbitale étant approximativement 220 km/s.

Il semble que le Soleil continuera de s’éloigner du plan de la Galaxie jusqu ’à ce qu ’ il
soit à peu près à 250 années-lumière au-dessus de celui-ci, puis amorcera un mouve-
ment opposé, comme indiqué sur la Figure 56. La période d ’oscillation est estimée à
approximativement 60 millions d ’années, et a été invoquée comme étant le processus de
l ’extinction massive de la vie animale sur Terre, probablement à cause de quelque nuage
de matière rencontré sur notre itinéraire. Ce point est encore largement débattu dans la
communauté des chercheurs.
Nous tournons autour du centre de la Galaxie parce que la formation des galaxies,
comme celle du Système solaire, se produit toujours dans un tourbillonnement de ma-
tière. D’ailleurs, pouvez-vous confirmer à partir de vos propres observations que notre
Défi 165 s Galaxie tourne sur elle-même ?
Enfin, nous pouvons nous demander si la Galaxie elle-même se déplace. Son mou-
vement peut être observé en réalité parce qu ’ il est possible d ’évaluer le mouvement du
Soleil à travers l ’univers, en le définissant comme étant son mouvement par rapport au
Réf. 80 rayonnement de fond cosmique. Cette valeur a été mesurée comme étant de 370 km/s.
(La vitesse de la Terre par rapport au rayonnement de fond cosmique dépend bien sûr
des saisons.) Cette valeur est une combinaison du mouvement du Soleil autour du centre
de la Galaxie et du mouvement de la Galaxie elle-même. Cette dernière est provoquée
par l ’attraction gravitationnelle des galaxies les plus proches dans notre groupe local de
galaxies*.
En résumé, la Terre se déplace réellement, et elle le fait d ’une manière quelque peu
complexe. Comme Henri Poincaré le dirait, si nous sommes en un lieu donné aujour-
d ’ hui, par exemple le Panthéon à Paris, et que nous revenons au même endroit demain à
la même heure, nous serons en réalité 31 millions de kilomètres plus loin. Cette descrip-
tion des choses pourrait rendre les voyages dans le temps extrêmement ardus dans le cas
où ils seraient possibles (ce qui n’est pas vrai), toutes les fois que vous rentreriez d ’un
voyage dans le passé, vous devriez viser extrêmement juste pour retrouver l ’ancienne
position !
L a rotation est-elle relative ?

Lorsque nous nous retournons brutalement, nos bras se soulèvent. Pourquoi en est-il
ainsi ? Comment notre corps peut-il percevoir le fait que nous sommes en rotation ou
non ? Il y a deux interprétations possibles. La première approche, promue par Newton,
est de dire que l ’espace est absolu : à chaque fois que nous tournons par rapport à cet
espace, le système réagit. L’autre réponse est de remarquer qu ’à chaque fois que les bras
se soulèvent les astres tournent aussi, et exactement de la même manière. En d ’autres
termes, notre corps détecterait la rotation parce que nous nous déplaçons par rapport à
la distribution moyenne de la masse dans l ’espace.
* C ’est la fin subite de notre ascension. Remarquez que l ’ expansion de l ’univers, qui sera étudiée plus tard,
ne produit aucun mouvement.
L’argument le plus souvent cité par rapport à cette discussion est attribuable à New-
ton. À la place des bras, il examina le cas de l ’eau dans un seau en rotation. Comme
d ’ habitude pour les discussions philosophiques, la réponse de Newton fut guidée par
son comportement mystique déclenché par la mort de son père quelques années aupara-
vant. Newton voyait l ’espace absolu comme un dogme religieux et n’était pas même ca-

pable d ’ imaginer une alternative. Newton pensait donc que la rotation était un concept
absolu. La plupart des scientifiques contemporains ont moins de préjugés et sont plus
raisonnés que Newton. Ainsi, le consensus moderne formule que les effets de la rotation
sont dus à la distribution de masse dans l ’univers : la rotation est relative. Cependant,
soyons honnêtes : cette question ne peut être élucidée par la physique galiléenne. Nous
aurons besoin de la relativité générale.
Curiosités et défis amusants sur le mouvement quotidien

C ’est un fait mathématique établi que la
“ projection de ce caillou depuis ma main modifie

la position du centre de gravité du cosmos.
Thomas Carlyle*, Sartor Resartus III.
Voici quelques questions à méditer au sujet du mouvement.
∗∗
Une automobile roulant à une certaine vitesse donnée consomme 7 litres d ’essence pour
Défi 167 s 100 km. Quelle est la résistance combinée de l ’air et de la route sur la roue ? (Supposez
que le moteur possède un rendement de 25 %.)
∗∗
Lors d ’un voyage en train, vous pouvez tester la déclaration de Galilée sur la relativité
quotidienne du mouvement. Fermez vos yeux et demandez à quelqu ’un de vous faire
tourner sur vous-même plusieurs fois : êtes-vous capable de dire dans quelle direction le
Défi 168 e train est en marche ?
∗∗
Un train commence à rouler à une vitesse constante de 10 m/s entre deux villes A et B,
séparées de 36 km. Le train prendra une heure pour effectuer le trajet. En même temps
que le train démarre, une colombe rapide commence à voler de A jusqu ’à B, à 20 m/s.
Étant plus rapide que le train, la colombe arrive la première en B. Elle se met alors à voler
en direction de A. Lorsqu ’elle rencontre le train, elle fait encore demi-tour vers la ville
B. Elle vole en faisant des allers-retours jusqu ’à ce que le train parvienne en B. Quelle
Défi 169 e distance la colombe a-t-elle parcourue ?
∗∗
Une bonne balance de salle de bains, utilisée pour déterminer le poids d ’une personne,
n’ indique pas un poids constant lorsque vous vous appuyez dessus puis que vous demeu-
Défi 170 s rez immobile. Pourquoi en est-il ainsi ?
Défi 166 s * Thomas Carlyle (1797–1881). Êtes-vous d ’accord avec la citation ?


F I G U R E 57 N’est-il pas risqué de lâcher le bouchon ?
montagne
h
plaine océan
croûte continentale
d
manteau
magma
F I G U R E 58 Un modèle simple pour les continents et les montagnes.
∗∗
Un bouchon est fixé à une mince ficelle d ’un mètre de long. La ficelle passe sur une
longue tige tenue horizontalement, et un verre à pied est attaché à l ’autre bout. Si vous
laissez tomber le bouchon comme sur la Figure 57, rien ne se brise. Pourquoi ? Que se
Défi 171 s passe-t-il ?
∗∗
En 1901, Duncan MacDougalls, un médecin, mesura le poids de personnes en train de
mourir, dans le but de déterminer si la mort provoque une variation de la masse. Il releva
une modification subite d ’environ 20 g au moment du décès, avec de grandes variations
Défi 172 s d ’un individu à l ’autre. Il attribua cela à l ’ âme. Cette explication est-elle satisfaisante ?
(Si vous en connaissez une plus satisfaisante, publiez-la !)
∗∗
La croûte terrestre est moins dense (2,7 kg/l) que le manteau terrestre (3,1 kg/l) et flotte
sur celui-ci. Par conséquent, la croûte plus légère située sous une crête montagneuse doit
être bien plus profonde que celle située sous une plaine. Si une montagne s’élève à 1 km
Défi 173 s au-dessus de la plaine, à quelle profondeur doit être située la croûte sous elle ? Le mo-
dèle simple en blocs montré sur la Figure 58 convient assez bien. D’abord il explique
pourquoi, à proximité des montagnes, des mesures de la variation de la chute libre par
rapport à la ligne verticale conduisent à des valeurs bien plus petites que celles attendues
sans une croûte profonde. De plus, des mesures sonores ont directement confirmé que
la croûte continentale est en réalité plus épaisse sous les montagnes.
∗∗
Posez en équilibre un stylo verticalement (la pointe vers le haut !) sur une feuille de pa-
état avant impact état après impact

F I G U R E 59 Un jouet bien connu.
pier posée près du rebord d ’une table. Comment pouvez-vous retirer la feuille sans faire
Défi 174 e tomber le stylo ?
∗∗
Prenez un empilement de pièces de monnaie. Nous pouvons faire sortir les pièces, en
commençant par celle située tout en bas de la pile, en projetant une autre pièce sur la
surface de la table. Cette méthode nous aide également à visualiser la conservation bidi-
Défi 175 e mensionnelle de la quantité de mouvement.
∗∗
Début 2004, deux hommes et une femme ont gagné 1,2 million £ en une soirée seulement
dans un casino de Londres. Ils ont réussi en appliquant la formule de la mécanique ga-
liléenne. Ils utilisèrent la méthode initiée par plusieurs physiciens dans les années 1950
qui avaient construit divers calculateurs minuscules, lesquels pouvaient prédire le résultat
Réf. 81 d ’une bille de jeu de roulette à partir de la vitesse initiale communiquée par le croupier.
Dans le cas de nos Britanniques, le groupe ajouta un scanner laser à un smartphone (un
téléphone mobile couplé à un PDA [N.d.T.]) qui mesurait la trajectoire de la bille de
roulette et prédisait les numéros sur lesquels elle devait s’ immobiliser. De cette façon, ils
passaient de 1 chance sur 37 de gagner à environ 1 chance sur 6. Après six mois d ’ inves-
tigations, Scotland Yard statua qu ’ ils pouvaient conserver l ’argent qu ’ ils avaient gagné.
∗∗
Un aller-retour par avion – à partir d ’un point A jusqu ’à un point B puis retour au point
Défi 176 e A – est-il plus rapide si le vent souffle, ou pas ?
∗∗
Le jouet de la Figure 59 (un pendule de Newton ou « Newton’s cradle » en anglais
[N.d.T.]) soulève un comportement intéressant : lorsqu ’un certain nombre de sphères
sont soulevées puis relâchées pour frapper celles qui sont au repos, le même nombre de
sphères se détache de l ’autre côté, tandis que les sphères précédemment relâchées de-
meurent immobiles. À première vue, tout cela semble découler de la conservation de
l ’énergie et de la quantité de mouvement. Cependant, la conservation de l ’énergie et de
la quantité de mouvement ne fournit que deux équations, ce qui s’avère insuffisant pour
expliquer ou déterminer le comportement de cinq sphères. Alors pourquoi les sphères
se comportent-elles de cette manière ? Et pourquoi oscillent-elles toutes en phase après
Défi 177 d qu ’un temps suffisamment long s’est écoulé ?
état avant impact état après impact

V=0 v V‘ v’ 0
2L,2M L, M

F I G U R E 60 Une collision élastique qui semble ne pas respecter la conservation de l’énergie.
mur
échelle
F I G U R E 61 Le centre de F I G U R E 62
masse détermine la Comment
stabilité. l’échelle
tombe-t-elle ?
∗∗
Un effet surprenant est employé dans les outils domestiques tels que les perceuses à per-
cussion. Nous nous rappelons que lorsqu ’une petite balle frappe élastiquement une plus
grosse au repos, les deux balles se déplacent après le choc, et la plus petite se déplace évi-
Réf. 83 demment plus vite que la plus grosse. Malgré cette assertion, lorsqu ’un cylindre court
frappe un autre plus long de même diamètre et de même matière, mais d ’une longueur
qui est un multiple entier de celle du cylindre court, quelque chose de stupéfiant se pro-
duit. Après le choc, le petit cylindre reste pratiquement au repos tandis que le plus grand
se déplace, tel qu ’ indiqué sur la Figure 60. Quand bien même la collision est élastique, la
conservation de l ’énergie semble ne pas être vérifiée dans cette situation. (En réalité c ’est
pour cette raison que les démonstrations des collisions élastiques sont toujours effectuées
Défi 178 d avec des sphères à l ’école.) Qu ’arrive-t-il à l ’énergie ?
∗∗
Un mur est-il plus fortement secoué lorsqu ’ il est frappé avec une balle qui rebondit sur
Défi 179 s lui ou lorsqu ’ il est frappé avec une balle qui reste collée dessus ?
∗∗
Les femmes au foyer savent comment déboucher une bouteille de vin en utilisant une
Défi 180 s étoffe. Pouvez-vous imaginer comment ? Elles savent également extraire le bouchon avec
l ’étoffe si celui-ci est tombé à l ’ intérieur de la bouteille. Comment ?
∗∗
Le problème de l ’ échelle qui glisse, schématisé sur la Figure 62, requiert une analyse
détaillée du mouvement de l ’échelle dans le temps. Le problème est plus difficile qu ’ il

n’y paraît, même si le frottement est négligé. Pouvez-vous dire si l ’extrémité inférieure
Défi 181 pe touche toujours le plancher ?
∗∗

Réf. 84 Une mouche commune posée sur la poupe d ’un bateau de 30 000 tonnes et de 100 m de
longueur l ’ incline d ’une distance plus petite que le diamètre d ’un atome. Aujourd ’ hui,
des distances si petites sont facilement mesurées. Pouvez-vous penser à au moins deux
Défi 182 s méthodes pour cela, dont une qui ne devrait pas coûter plus de 2 000 euros ?
∗∗
Le degré d ’accélération qu ’un homme peut supporter dépend de la durée pendant
laquelle il est soumis à celle-ci. Pour un dixième de seconde, une accélération de
30 д= 300 m/s2 , telle celle produite par un siège éjectable dans un avion, est accep-
table. (Il paraît que le record d ’accélération qu ’un homme a pu supporter est d ’environ
80 д = 800 m/s2 .) Mais de manière empirique on affirme que des accélérations de 15 д
= 150 m/s2 ou plus sont fatales.
∗∗
Les plus fortes accélérations microscopiques sont observées dans les collisions de parti-
cules, où nous obtenons des valeurs allant jusqu ’à 1035 m/s2 . Les plus fortes accéléra-
tions macroscopiques se produisent probablement dans les effondrements internes des
supernovae, des étoiles en explosion qui peuvent être lumineuses au point d ’être visibles
dans le ciel en plein jour. Un équivalent sur Terre est l ’ intérieur des bulles qui implosent
dans des liquides, un processus nommé cavitation. La cavitation produit souvent de la lu-
mière, un effet découvert par Frenzel et Schulte en 1934 et appelé sonoluminescence. (Voir
la Figure 63.) Elle se manifeste de façon frappante quand des bulles d ’air dans l ’eau sont
étendues puis contractées par des haut-parleurs sous-marins à environ 30 kHz et elle au-
torise des mesures précises du mouvement des bulles. À un certain seuil d ’ intensité, le
rayon de la bulle varie à la vitesse de 1 500 m/s dans un espace réduit de quelques µm,
Réf. 85 donnant une accélération de plusieurs fois 1011 m/s2 .
∗∗
Si un pistolet situé à l ’équateur tire une balle verticalement, où la balle va-t-elle retom-
Défi 183 s ber ?
∗∗
Pourquoi la plupart des bases de lancement de fusées sont-elles aussi rapprochées que
Défi 184 s possible de l ’équateur ?
∗∗
Le voyage à travers l ’espace interplanétaire serait-il sans risque pour la santé ? Les gens
fantasment souvent à propos des longues excursions à travers le cosmos. Les expériences
ont montré que, lors de voyages de longue durée, les rayons cosmiques, l ’affaiblissement
de la structure osseuse et la dégénérescence musculaire sont les plus grands périls. Un
grand nombre d ’experts médicaux s’ interrogent sur la viabilité du voyage spatial pro-

F I G U R E 63 Observation de la sonoluminescence et schéma de l’installation expérimentale.
longé, d ’une durée de plus de deux années. D’autres dangers sont les coups de soleil
brusques, du moins à proximité du Soleil, et l ’exposition au vide spatial. Jusqu ’à présent
Réf. 86 un seul homme a fait l ’expérience du vide sans protection. Il perdit conscience au bout
de 14 secondes, mais fut sain et sauf.
∗∗
Comment peut-on comparer l ’énergie cinétique d ’une balle de fusil à celle d ’un homme
Défi 185 s qui court ?
∗∗
Dans quelle direction une flamme s’ incline-t-elle si elle brûle à l ’ intérieur d ’une fiole
Défi 186 s posée sur une platine en rotation ?
∗∗
Une balle de ping-pong est attachée à une pierre par une ficelle, et le tout est mis sous
l ’eau dans un récipient. L’ installation est dessinée sur la Figure 64. Maintenant, le ré-
Défi 187 s cipient est accéléré horizontalement. Dans quelle direction la balle se déplace-t-elle ?
Qu ’en déduisez-vous pour un récipient au repos ?
∗∗
Qu ’arrive-t-il à la taille d ’un œuf lorsque nous le disposons dans une fiole de vinaigre
Défi 188 s pendant plusieurs jours ?
∗∗
L’ accélération centrifuge existe-t-elle ? La plupart des étudiants d ’université ont eu cette

stupéfaction d ’entendre, durant un cours, un professeur leur annoncer qu ’ il s’agit d ’une
notion « imaginaire », contredisant ainsi l ’expérience que nous avons tous eue en condui-
sant un véhicule dans un virage. Demandez simplement au professeur qui affirme cela
de vous définir l ’ « existence ». (La définition que les physiciens utilisent généralement

Page ?? est donnée dans l ’ Intermède qui achève cette partie.) Vérifiez alors si la définition s’ap-
Défi 189 s plique à ce terme et essayez vous-même de faire une expérience de pensée.
∗∗
La rotation cache une surprise pour celui qui l ’étudie attentivement. Le moment ciné-
tique est une quantité qui possède une grandeur et une direction. Cependant, ce n’est
pas un vecteur, comme nous le montre n’ importe quel miroir. Le moment cinétique
d ’un corps qui tourne dans un plan parallèle au miroir agit d ’une manière différente
d ’une flèche commune : son image dans le miroir n’est pas réfléchie s’ il pointe dans la
Défi 190 e direction du miroir ! Vous pouvez aisément vérifier cela vous-même. Pour cette raison,
le moment cinétique est désigné par le terme de pseudo-vecteur. Cette circonstance ne
constitue pas une entrave importante en physique classique, mais nous devrons garder
cela à l ’esprit pour des occasions futures.
∗∗
Quelle est la meilleure manière de transporter un certain nombre de tasses pleines de
Défi 191 s café ou de thé tout en évitant de renverser du précieux liquide ?
∗∗
La Lune fuit la Terre à raison de 3,8 cm par an, à cause du frottement. Pouvez-vous dé-
Défi 192 s voiler le mécanisme qui en est responsable ?
∗∗
Quelle est l ’amplitude d ’oscillation d ’un pendule qui se balance de telle manière que les
valeurs absolues de son accélération à son point le plus bas et à son point de rebrousse-
Défi 193 pe ment soient égales ?
∗∗
Pouvez-vous confirmer que la valeur de l ’accélération d ’une goutte d ’eau chutant à tra-
Défi 194 pe vers de la vapeur est д/7 ?
∗∗
Que sont les tremblements de terre ? Les tremblements de terre sont des exemples de
grande ampleur du même processus qui fait qu ’une porte grince. Les plaques continen-
tales correspondent aux surfaces métalliques situées au niveau des gonds de la porte.
Les tremblements de terre peuvent être assimilés à des sources d ’énergie. L’échelle
de Richter constitue une évaluation immédiate de leur énergie. La magnitude de Richter
M s d ’un séisme, un simple nombre, est définie à partir de son énergie E en joule via la
relation
log(E/1 J) − 4, 8
Ms = . (28)
1, 5
balle de ping-pong
ficelle
pierre

F I G U R E 64 Comment la balle se F I G U R E 65 La célèbre
déplace-t-elle quand le récipient pierre celtique et une
est accéléré ? variante fabriquée
avec une cuillère.
Les nombres arbitraires qui apparaissent dans l ’expression ont été choisis de façon à rap-
procher le plus possible les valeurs des séismes de l ’ancienne échelle de Mercalli (main-
tenant dénommée EMS98), purement qualitative, qui échelonne l ’ intensité d ’un séisme.
Toutefois, ce n’est pas complètement possible : les instruments les plus sensibles aujour-
d ’ hui détectent des séismes de magnitude −3. La plus grande valeur jamais mesurée fut
une magnitude de 10 sur l ’échelle de Richter, au Chili en 1960. Des magnitudes supé-
Défi 195 s rieures à 12 sont probablement impossibles. (Pouvez-vous montrer pourquoi ?)
∗∗
La Figure 65 montre l ’ intéressante pierre celtique, une pierre qui commence à tourner sur
Réf. 83 une surface plane dès qu ’on la fait osciller. La taille peut varier de quelques centimètres à
quelques mètres. Nous pouvons réaliser une variante élémentaire de ce surprenant outil
simplement en pliant le manche d ’une cuillère, pourvu que la pliure ne soit pas parfaite-
ment symétrique. La rotation se fait toujours dans le même sens. Si la pierre est mise en
rotation dans la mauvaise direction, au bout d ’un moment elle s’ immobilise et recom-
Défi 196 d mence à tourner dans l ’autre sens ! Pouvez-vous expliquer cet effet ?
∗∗
Quel est le mouvement du point de la surface terrestre qui a le Soleil à son zénith (c ’est-
à-dire verticalement au-dessus de lui) lorsqu ’ il est observé sur une carte de la Terre pen-
Défi 197 pe dant une journée, puis jour après jour ?
∗∗
Le moment d ’ inertie d ’un corps dépend de la forme du corps en question. Générale-
ment, le moment cinétique et la vitesse angulaire ne pointent pas dans la même direction.
Défi 198 s Pouvez-vous entériner ce fait avec un exemple ?
∗∗
Peut-il se produire qu ’une antenne parabolique d ’un satellite géostationnaire de télévi-
Défi 199 s sion focalise la lumière du Soleil sur le récepteur ?
∗∗
Pourquoi est-il ardu de mettre à feu une fusée depuis un avion dans la direction opposée
Défi 200 s du mouvement de l ’avion ?

F I G U R E 66 Comment le singe va-t-il se déplacer ?
∗∗
Prenez deux sphères creuses de même poids, de même taille et peintes toutes les deux
avec la même couleur. L’une d ’entre elles est faite de cuivre, l ’autre est en aluminium.
Bien évidemment, elles tombent avec la même vitesse et la même accélération. Que se
Défi 201 pe passe-t-il si elles roulent toutes les deux de haut en bas sur un plan incliné ?
∗∗
Un singe est suspendu à une corde. La corde passe par-dessus la roue d ’une poulie et
est liée à une masse de poids égal suspendue à l ’autre extrémité, tel qu ’ indiqué sur la
Figure 66. La corde et la roue sont sans masse et dénuées de tout frottement. Que se
Défi 202 s passe-t-il quand le singe grimpe vers le haut ?
∗∗
Défi 203 pe Quelle est la figure formée par une corde lors du saut à la corde ?
∗∗
Comment pouvez-vous mesurer la vitesse d ’une balle de fusil avec une échelle et une
Défi 204 s règle graduée seulement ?
∗∗
Pourquoi un fusil peut-il faire un trou dans une porte mais ne peut pas la pousser pour
Défi 205 e l ’ouvrir, ce qui est parfaitement opposé à ce qu ’un doigt peut effectuer ?
∗∗
Un skieur nautique peut-il se déplacer avec une vitesse plus grande que celle du bateau
Défi 206 s qui le tire ?
∗∗
Prenez deux boîtes de conserve de même taille et de même poids, une pleine de raviolis
Défi 207 e et l ’autre pleine de petits pois. Laquelle roule plus rapidement sur un plan incliné ?
∗∗
Défi 208 s Quel est le moment d ’ inertie d ’une sphère homogène ?
∗∗
Le moment d ’ inertie est déterminé par les valeurs des composantes de ses trois axes prin-

cipaux. Celles-ci sont toutes identiques pour une sphère ou pour un cube. Cela signifie-t-
il qu ’ il est impossible de faire la différence entre une sphère et un cube concernant leur
Défi 209 s comportement inertiel ?
∗∗
Vous devez certainement connaître le « Dynabee » (une imitation du Powerball
[N.d.T.]), un dispositif gyroscopique qui se tient dans la main et qui peut être ac-
céléré à des vitesses élevées par des mouvements appropriés de la main. Comment
Défi 210 d fonctionne-t-il ?
∗∗
Il est possible de réaliser une toupie avec une agrafeuse métallique. Il est même possible
de réaliser une de ces toupies-là en la faisant tourner sur la tête. Pouvez-vous découvrir
Défi 211 s comment ?
∗∗
Est-il vrai que la Lune, lorsqu ’elle est dans son premier quartier dans l ’ hémisphère Nord,
Défi 212 s ressemble au dernier quartier de Lune dans l ’ hémisphère Sud ?
∗∗
Une confirmation splendide que la Terre est ronde peut être aperçue au coucher du Soleil
si nous tournons, contrairement à nos habitudes, le dos au couchant. Dans la partie orien-
tale de la voûte céleste, nous pouvons contempler la montée impressionnante de l ’ ombre
de la Terre. (En réalité, des recherches attentives montrent que ce n’est pas l ’ombre de la
Terre, mais plutôt l ’ombre de l ’ ionosphère.) Nous pouvons admirer une énorme tache
s’élevant à travers l ’ horizon tout entier, ayant distinctement la forme d ’un segment d ’un
vaste cercle.
∗∗
Défi 213 s À quoi ressemblerait la photographie de la Figure 67 si elle était prise à l ’équateur ?
∗∗
La course en arrière est un sport intéressant. Les records mondiaux de courses en
arrière en 2006 peuvent être consultés sur http://www.recordholders.org/en/list/
backwards_running.html. Vous serez surpris de voir combien ces records sont plus
Défi 214 e élevés que votre meilleur temps individuel de course en avant.
∗∗
Puisque la Terre est ronde, il y a plusieurs chemins différents pour aller d ’un point à un
autre sur celle-ci en suivant la courbe d ’un segment de cercle. Cela a une conséquence
intéressante notamment pour les ballons de volley et pour ceux qui aiment mater les jo-

F I G U R E 67 Le ciel nocturne après une pose longue – au-dessus du télescope du Mauna Kea à Hawaï
(Gemini).
lies filles. Prenez un ballon de volley et observez sa valve. Si vous voulez déplacer la valve
par une simple rotation à une autre position, vous pouvez choisir l ’axe de rotation de
Défi 215 e différentes manières. Êtes-vous d ’accord avec cela ? En d ’autres termes, lorsque nous re-
gardons dans une direction donnée et que nous voulons alors regarder dans une autre
direction, l ’œil parvient à accomplir cette modification de différentes manières. L’option
choisie par l ’œil humain a déjà été étudiée par des biologistes durant le dix-huitième
siècle. C ’est ce que nous appelons la « loi » de Listing*. Elle établit que tous les axes choi-
sis par la nature se trouvent dans un plan unique. Pouvez-vous imaginer sa position dans
Défi 216 s l ’espace ? Les hommes ont un intérêt indubitable à ce que ce mécanisme soit scrupuleu-
sement respecté : sinon, mater les filles sur la plage pourrait provoquer l ’enchevêtrement
des muscles directeurs des yeux.
Des jambes ou des roues ? – Suite

L’accélération et la décélération des véhicules motorisés ordinaires dépassent rare-
ment environ 1 д = 9,8 m/s2 , l ’accélération due à la gravité sur notre globe. Des accé-
lérations plus importantes sont atteintes par les motos et les voitures de course grâce à
l ’utilisation de suspensions qui dévient le poids vers les essieux et par l ’utilisation de
* Si vous souhaitez apprendre plus en détail comment la nature et l ’œil y parviennent avec toute la complexité
des trois dimensions, consultez les sites Web http://schorlab.berkeley.edu/vilis/whatisLL.htm et http://www.
med.uwo.ca/physiology/courses/LLConsequencesWeb/ListingsLaw/perceptual2.htm.

F I G U R E 68 Un lézard, le basilic commun (Basiliscus basiliscus), courant sur l’eau, indiquant comment les
jambes propulsives prennent appui sur l’eau. (© TERRA)
carénages, de telle sorte que le véhicule est poussé vers le bas avec une force plus élevée
que celle due à son propre poids. Les carénages modernes sont si efficaces pour plaquer
une voiture contre la piste que les voitures de course peuvent rouler à vive allure sur le
plafond d ’un tunnel sans tomber.
Par le truchement de pneus spéciaux, ces forces dirigées vers le bas sont transformées
en prise d ’adhérence. Les pneus modernes de compétition supportent des accélérations
vers l ’avant, vers l ’arrière et sur les côtés (requises lors d ’une augmentation de vitesse,
lors du freinage et lors de la prise d ’un virage) d ’approximativement 1,1 à 1,3 fois la charge
du véhicule. Les ingénieurs pensaient auparavant qu ’un facteur de 1 était la limite théo-
rique, et cette limite est encore quelquefois rencontrée dans les manuels. Mais les progrès
dans la technologie des pneus, principalement dus à une compréhension plus fine de l ’ in-
terface entre le pneu et la surface de la route ainsi qu ’à une mise en œuvre plus astucieuse
du mécanisme des boîtes de vitesses, ont permis aux ingénieurs d ’atteindre ces valeurs
plus élevées. Les plus fortes accélérations, autour de 4 д, sont atteintes lorsqu ’une par-
tie du pneu fond et colle à la surface. Les pneus exceptionnels conçus à cet effet sont
utilisés pour les dragsters, mais les maquettes de véhicules radiocommandés de haute
performance peuvent également atteindre de telles valeurs.
Comment comparer tous ces efforts à l ’usage de jambes ? Les athlètes du saut en hau-
teur peuvent atteindre des crêtes d ’accélération d ’environ 2 à 4 д, les guépards plus de
3 д, les galagos (des lémuriens) jusqu ’à 13 д, les criquets environ 18 д, et des puces ont été
Réf. 87 mesurées dans une accélération d ’environ 135 д. L’accélération maximale connue dans le
règne animal est celle de l ’ insecte claqueur (Agriotes lineatus, plus connu sous le nom de
taupin [N.d.T.]), un petit insecte capable d ’accélérer jusqu ’à plus de 2 000 m/s2 = 200 д,
à peu près autant qu ’un plomb de fusil à air comprimé lorsqu ’ il est tiré. Les jambes sont
donc des dispositifs d ’accélération indubitablement plus efficaces que les roues – un gué-
pard peut aisément dépasser n’ importe quelle voiture ou moto – et l ’évolution a déve-
loppé les jambes, à la place de roues, pour augmenter les chances de survie d ’un animal
en danger. En bref, les jambes sont plus performantes que les roues.

F I G U R E 69 Un gerris ou araignée d’eau. (© Charles Lewallen)
Il existe d ’autres raisons pour utiliser des jambes plutôt que des roues. (Pouvez-vous
Défi 217 s en citer quelques-unes ?) Par exemple, les jambes, contrairement aux roues, permettent
de marcher sur l ’eau. Le plus célèbre animal capable de réaliser cette prouesse est le basilic
commun (Basiliscus basiliscus)*. Ce reptile est long d ’environ 50 cm et pèse quelque 90 g.
Il ressemble à un minuscule Tyrannosaurus rex et est capable de courir sur ses pattes
arrière à la surface de l ’eau. Le mouvement a été étudié en détail avec des caméras ultra-
rapides et par des mesures utilisant des modèles en aluminium des pieds de l ’animal.
Les expériences suggèrent que le frappement du pied sur l ’eau ne fournit que 25 % de
Réf. 88 la force nécessaire pour courir sur l ’eau. Les 75 % restants sont apportés par une poche
d ’air comprimé que les basilics engendrent entre leur pied et l ’eau une fois que le pied
est dans l ’eau. En réalité, les basilics marchent principalement sur l ’air**. Il a été calculé
que les hommes sont pareillement aptes à marcher sur l ’eau, à condition que leur pied
frappe l ’eau avec une vitesse de 100 km/h en utilisant la puissance physique simultanée
de 15 sprinters. Ce qui représente vraiment un exploit pour tous ceux qui ont tenté d ’y
parvenir.
Il existe une seconde méthode pour marcher et courir sur l ’eau. Elle permet même à
ses usagers de demeurer immobiles au-dessus de la surface de l ’eau. C ’est ce que les arai-
gnées d ’eau***, des insectes de la famille des Gerridae d ’une longueur totale allant jus-
qu ’à 15 mm, sont capables de faire (tout comme plusieurs espèces d ’araignées). Comme
tous les insectes, l ’araignée d ’eau possède six pattes (les araignées en ont huit). L’arai-
gnée d ’eau utilise les pattes arrière et avant pour glisser au-dessus de la surface, à l ’aide
de milliers de poils minuscules reliés à son corps. Les poils, en même temps que la tension
superficielle de l ’eau, empêchent l ’ insecte d ’être mouillé. Si vous versez du shampooing
sur l ’eau, l ’araignée d ’eau coule et ne peut donc plus se déplacer. Elle utilise ses grandes
pattes du milieu comme des rames pour avancer sur la surface, parvenant de cette façon
à des vitesses allant jusqu ’à 1 m/s. En résumé, les araignées d ’eau se déplacent en fait en
ramant.
Les jambes soulèvent de nombreuses questions intéressantes. Les ingénieurs savent
qu ’un escalier est confortable à gravir seulement si, pour chaque marche, la somme de
* Au Moyen Âge, le mot « basilic » se référait à un monstre légendaire qui était censé apparaître brièvement
juste avant la fin du monde. Aujourd ’ hui, c ’est un petit lézard d ’Amérique centrale.
Réf. 89 ** Les deux méthodes utilisées par le basilic se rencontrent également dans le canoë-kayak de compétition.
*** Également appelées gerridés, et plus joliment encore « patineurs de l ’eau », les araignées d ’eau font en
réalité partie de la famille des punaises [N.d.T.].
la profondeur l et du double de la hauteur h est une constante : l + 2h = 0,63 ± 0,02 m.

Défi 218 s C ’est la prétendue formule de l ’escalier. Pourquoi s’exprime-t-elle ainsi ?
Tous les animaux possèdent un nombre pair de jambes. Connaissez-vous une excep-
Défi 219 s tion ? Pourquoi n’est-ce pas le contraire ? En réalité, nous pouvons argumenter qu ’aucun
animal n’a moins de quatre jambes. Pourquoi en est-il ainsi ?

D’un autre côté, tous les animaux dotés de deux jambes les ont l ’une près de l ’autre,
tandis que les systèmes dotés de roues les ont l ’une derrière l ’autre. Pourquoi n’est-ce
Défi 220 e pas l ’ inverse qui se produit ?
Les jambes fournissent également des instruments simples de mesure des distances :
comptez simplement vos pas. En 2006, il fut découvert que certaines espèces de fourmis,
telle Cataglyphis fortis, tirent profit de cette méthode. Elles peuvent en compter jusqu ’à
Réf. 90 25 000 au moins, comme Matthias Wittlinger et son équipe l ’ont montré. Ces fourmis uti-
lisent cette aptitude pour trouver l ’ itinéraire le plus court pour retourner à leur domicile
même dans un terrain désert dépourvu de tout repère.
Continuons dorénavant avec l ’étude du mouvement transmis à distance, sans qu ’ il y
ait le moindre contact.
Chapitre 6
DY NA M IQU E DU E À L A

G R AV I TAT ION
Caddi come corpo morto cade.
“ Dante, Inferno, c. V, v. 142.*
La première et principale méthode dépourvue de tout contact que nous découvrons

”
dans notre environnement pour engendrer le mouvement est la hauteur. Elle concerne
les chutes d ’eau, la neige, la pluie et les pommes qui tombent. Le fait que la hauteur ait
cette propriété parce qu ’ il existe une interaction entre chaque corps et la Terre a constitué
une des découvertes fondamentales de la physique. La gravitation produit une accéléra-
tion le long de la ligne qui relie les centres de gravité du corps et de la Terre. Remarquez
que pour faire cette déclaration il est indispensable de comprendre que la Terre est un
corps, tout comme une pierre ou la Lune, que ce corps est limité et qu ’ il possède par
conséquent un centre et une masse. De nos jours, ces assertions sont communément ad-
mises, mais elles ne sont en aucun cas évidentes d ’après notre expérience quotidienne**.
Comment la gravitation varie-t-elle lorsque deux corps sont éloignés l ’un de l ’autre ?
Les spécialistes des objets lointains sont les astronomes. Au fil des ans, ils ont réalisé une
multitude de relevés sur les mouvements de la Lune et des planètes. Le plus assidu de
tous fut Tycho Brahe***, qui orchestra de manière industrielle la recherche de preuves
astronomiques, grâce au parrainage de son souverain. Ses mesures constituèrent le fon-
dement de la recherche de son jeune assistant, l ’astronome souabe Johannes Kepler****,
* « Je tombai comme un corps que la vie abandonne. » (Traduction de Rivarol, 1867.) Dante Alighieri
(Florence 1265–Ravenne 1321), le premier grand poète de la langue italienne.
** Dans plusieurs mythes sur la création ou l ’agencement du monde, tels celui de la Bible ou celui de l ’ Inde,
la Terre n’est pas un objet, mais une entité définie de façon imprécise, par exemple une île flottante ou
ceinturée par les mers avec des frontières obscures et des explications confuses sur la manière dont elle reste
Défi 221 s suspendue. Parviendrez-vous à convaincre un ami que la Terre est ronde et non pas plate ? Pouvez-vous
trouver un argument différent de celui de la rotondité de l ’ombre de la Terre lorsqu ’elle est visible sur la
Lune ?
Réf. 91 Un célèbre explorateur, Robert Peary, proclama avoir atteint le pôle Nord en 1909. (En réalité, Roald
Amundsen parvint le premier à la fois au pôle Sud et au pôle Nord.) Peary affirmait y avoir pris une photo,
qui fit le tour du monde, mais qui prouva en fait qu ’ il n’était jamais allé là-bas. Pouvez-vous concevoir
Défi 222 s comment ?
D’ailleurs, si la Terre est ronde, les sommets de deux immeubles sont plus éloignés l ’un de l ’autre que
Défi 223 s leur base. Cet effet peut-il être mesuré ?
*** Tycho Brahe (1546–1601), astronome danois mondialement connu, fondateur d ’ Uraniborg (« palais
d ’ Uranie » ou « palais des Cieux », Uranie étant la muse de l ’Astronomie), le palais dédié à l ’astronomie.
Il consomma à peu près 10 % du produit national brut danois pour ses recherches, qui accouchèrent du
premier catalogue exhaustif d ’étoiles et des premiers relevés précis de la position des planètes.
**** Johannes Kepler (Weil der Stadt 1571–Ratisbonne 1630), après avoir aidé sa mère à assurer elle-même
dynamique due à la gravitation 121
Page ?? qui constitue la première description précise du mouvement planétaire. En 1684, toutes
les observations sur les planètes et les projectiles furent synthétisées en une formulation
étonnamment simple par le physicien anglais Robert Hooke* : chaque corps de masse M
attire tout autre corps en direction de son centre avec une accélération dont la grandeur
a est donnée par
a=G 2
M

(29)
r
où r est la distance de centre à centre des deux corps. Elle est appelée « loi » universelle
de la gravitation, ou attraction universelle, parce qu ’elle s’applique de manière générale.
La constante de proportionnalité G est appelée constante gravitationnelle, c ’est une des
constantes fondamentales de la nature, comme la vitesse de la lumière ou le quantum
d ’action. Nous en dirons un peu plus bientôt. L’effet de la gravité décroît donc avec l ’aug-
mentation de la distance : la gravité dépend de l ’ inverse du carré de la distance des corps
en question. Si les corps sont petits comparés à la distance r, ou s’ ils sont sphériques,
l ’expression (29) est correcte telle qu ’elle est formulée. Pour des formes non sphériques,
l ’accélération doit être évaluée de manière séparée pour chaque partie du corps et être
ajoutée à l ’ensemble.
La dépendance en l ’ inverse du carré est fréquemment appelée « loi » de la gravitation
de Newton, parce que le physicien anglais Isaac Newton démontra de façon plus élégante
que Hooke qu ’elle coïncide avec toutes les observations astronomiques et terrestres. Ce-
pendant, il organisa par-dessus tout une campagne de relations publiques plus efficace,
Réf. 92 dans laquelle il prétendit de manière fallacieuse être l ’ initiateur de cette idée.
Newton publia une preuve élémentaire montrant que cette description du mouvement
des astres fournit également une description exacte pour les cailloux jetés en l ’air, ici-bas
sur notre « Terre originelle ». Pour y parvenir, il compara l ’accélération a L de la Lune avec
celle des pierres д. En ce qui concerne le rapport entre ces deux accélérations, la relation
en l ’ inverse du carré prédit une valeur a L /д = R 2 /dL2 , où R est le rayon de la Terre et
dL la distance de la Lune. La distance de la Lune peut être mesurée par triangulation, en
comparant la position de la Lune sur la voûte céleste à partir de deux positions différentes
sur la Terre**. Le résultat est dL /R = 60 ± 3, en fonction de la position orbitale de la
Lune, prédisant de cette façon un rapport moyen a L /д = 3, 6 ⋅ 103 à partir de la gravité
universelle. Mais les deux accélérations peuvent également être mesurées directement. À
la surface de la Terre, les pierres sont soumises à une accélération due à la gravitation
d ’une grandeur д = 9,8 m/s2 , telle qu ’elle est déterminée en mesurant le temps que
les pierres mettent pour tomber d ’une hauteur donnée. Pour la Lune, la définition de
l ’accélération, a = dv/dt, dans le cas d ’un mouvement circulaire – approximatif ici –
sa défense avec succès dans un procès pour sorcellerie, étudia la théologie protestante et devint professeur
de mathématiques, d ’astronomie et de rhétorique. Son premier ouvrage sur l ’astronomie le rendit célèbre,
puis il devint l ’assistant de Tycho Brahe et, à la mort de son maître, fut nommé mathématicien impérial. Il
fut le premier à utiliser les mathématiques dans la description des observations astronomiques et introduisit
le domaine et le concept de « physique céleste ».
* Robert Hooke, (1635–1703), éminent physicien anglais et secrétaire de la Royal Society. Il écrivit également
Micrographie (Micrographia), une superbe exploration illustrée de l ’univers de l ’ infiniment petit.
** La première évaluation précise – mais pas la première tentative de mesure – fut accomplie en 1752 par les
astronomes français Lalande et La Caille, qui mesurèrent en même temps la position de la Lune vue depuis
Berlin et depuis Le Cap.
122 6 dynamique due à la gravitation
donne a L = dL (2π/T)2 , où T = 2,4 Ms est le temps que la Lune met pour effectuer une
révolution autour de la Terre*. La mesure du rayon de la Terre** fournit R = 6,4 Mm, de
telle façon que la distance moyenne Terre-Lune est dL = 0,38 Gm. Nous obtenons ainsi
a L /д = 3, 6⋅103 , en accord avec la prédiction ci-dessus. Grâce à ce célèbre « calcul lunaire »
nous avons ainsi montré que la propriété en l ’ inverse du carré de la gravitation décrit en

fait à la fois le mouvement de la Lune et celui des pierres. Peut-être désirerez-vous en
Défi 227 s déduire la valeur de GM ?
À partir de l ’évidence que sur Terre tout mouvement évolue in fine vers le repos, tan-
dis que dans les cieux tout mouvement est éternel, Aristote et beaucoup d ’autres ont
conclu que le mouvement dans le monde sublunaire possède des propriétés différentes
du mouvement dans le monde supralunaire. Plusieurs penseurs avaient critiqué cette dis-
Réf. 95 tinction, notamment le philosophe français et recteur de l ’ Université de Paris, Jean Buri-
dan***. Le calcul lunaire fut le plus important résultat démontrant que cette distinction
était fausse. C ’est la raison pour laquelle l ’expression (29) est nommée « loi » universelle
de la gravitation.
Cette conclusion nous autorise à élucider une autre vieille interrogation. Pourquoi la
Lune ne tombe-t-elle pas du ciel ? Comme il se doit, la discussion précédente a montré
que la chute est un mouvement provoqué par la gravitation. Donc la Lune est effective-
ment en train de chuter, avec la particularité qu ’au lieu de tomber vers la Terre elle est
continuellement en train de tomber autour d ’elle. La Figure 70 schématise cette idée. La
Lune rate sans cesse la Terre****.
* Cela se déduit facilement en remarquant que, pour un objet en mouvement circulaire, la grandeur v de
la vitesse v = dx/dt est donnée par v = 2πr/T. Le tracé du vecteur v au cours du temps, dénommé un
Défi 224 s hodographe, indique qu ’ il se comporte exactement comme la position de l ’objet. Par conséquent la grandeur
a de l ’accélération a = dv/dt est donnée par l ’expression associée, à savoir a = 2πv/T.
** C ’est le nombre le plus difficile à évaluer par soi-même. Le truc le plus surprenant pour déterminer la
taille de la Terre est le suivant : observez un coucher de Soleil depuis le jardin d ’une propriété, avec un
Réf. 93 chronomètre à la main. Lorsque le dernier rayon du Soleil disparaît, enclenchez le chronomètre et grimpez
bien vite les étages de la maison. Là, le Soleil est toujours visible. Arrêtez le chronomètre quand le Soleil
disparaît à nouveau et notez le temps t. Mesurez la hauteur h entre les deux positions de l ’œil lorsque le
Défi 225 pe Soleil était observé. Le rayon R de la Terre est alors donné par R = k h/t 2 , avec k = 378 ⋅ 106 s2 .
Il existe également une manière simple pour mesurer la distance de la Lune, une fois que la taille de la
Réf. 94 Terre est connue. Prenez une photographie de la Lune lorsqu ’elle est haute dans le ciel, et appelez θ son angle
par rapport au zénith, c ’est-à-dire par rapport à la verticale. Prenez une autre photo de la Lune quelques
heures plus tard, lorsqu ’elle est juste au-dessus de l ’ horizon. Sur cette image, contrairement à une illusion
Page 53 d ’optique commune, la Lune est plus petite, parce qu ’elle est plus éloignée. La raison en devient immédia-
tement claire en utilisant un croquis. Si q est le rapport entre les deux diamètres angulaires, la distance
Terre-Lune d L est donnée par la relation d L2 = R 2 + [2Rq cos θ/(1 − q 2 )]2 . Amusez-vous à dériver celle-ci à
Défi 226 pe partir du croquis.
Une autre possibilité est de déterminer la taille de la Lune en comparant celle-ci à la taille de l ’ ombre de
la Terre pendant une éclipse. La distance de la Lune est alors déduite de sa taille angulaire, environ 0,5°.
*** Jean Buridan (v. 1295 à v. 1366) fut également un des premiers penseurs modernes à faire l ’ hypothèse
de la rotation de la Terre autour d ’un axe.
**** Une autre façon d ’exprimer cela est d ’utiliser la réponse du physicien hollandais Christiaan Huygens
(1629–1695) : la Lune ne tombe pas du ciel à cause de l ’ accélération centrifuge. Tel qu ’ il est expliqué à la
page 111, de nos jours cette interprétation ne recueille pas la faveur de la plupart des universités.
Réf. 96 Il existe un admirable problème en rapport avec la partie gauche de la figure : quels points sur la surface de
la Terre peuvent être touchés en tirant une balle depuis une montagne ? Et quels points peuvent être touchés
Défi 228 d en tirant horizontalement ?
Lune

Terre
figure to be inserted
F I G U R E 70 Le point de vue d’un physicien et celui d’un artiste concernant la chute de la Lune : un
schéma de Christiaan Huygens (l’échelle n’est pas respectée) et une statue en marbre d’Auguste Rodin.
La gravité universelle explique aussi pourquoi la Terre et la plupart des planètes sont
(approximativement) sphériques. Puisque la gravité décroît avec l ’augmentation de la dis-
tance, un corps liquide dans l ’espace essaiera toujours de se rassembler sous une forme
sphérique. Vue à grande échelle, la Terre est en fait liquide. Nous savons également que
la Terre est en train de se refroidir – c ’est la raison pour laquelle la croûte et les conti-
nents se sont formés. La sphéricité des objets solides plus petits rencontrés dans l ’espace,
comme la Lune, implique donc qu ’ ils étaient liquides en des temps reculés.
Propriétés de la gravitation
La gravitation implique que la trajectoire d ’une pierre ne décrive pas une parabole,
comme il fut déclaré au début, mais réellement une ellipse autour du centre de la Terre.
C ’est pour exactement la même raison que les planètes se déplacent le long d ’ellipses
Défi 229 pe autour du soleil. Êtes-vous capable de valider cette affirmation ?
La gravitation universelle nous permet de résoudre une énigme. La valeur bizarre de
l ’accélération д = 9,8 m/s2 que nous avions rencontrée dans l ’équation (4) est finalement
due à la relation
д = GM Terre /R Terre
2
. (30)
Cette équation peut être devinée à partir de l ’équation (29) en considérant que la Terre
est sphérique. L’accélération usuelle д de la gravité est donc une conséquence de la taille
de la Terre, de sa masse et de la valeur de la constante universelle de la gravitation G.
Certes, la valeur de д est presque constante à la surface de la Terre parce que celle-ci
est presque une sphère. L’expression (30) explique également pourquoi д s’amenuise au
fur et à mesure que nous nous élevons au-dessus de la Terre, et les écarts de la forme de
la Terre par rapport à la sphéricité explicitent pourquoi д est différent aux pôles et plus
Défi 230 s élevé sur un plateau. (Que serait-il sur la Lune ? Sur Mars ? Sur Jupiter ?)
D’ailleurs, il est possible d ’ inventer une machine simple, autre qu ’un Yo-Yo, qui dimi-
nue l ’accélération effective de la gravité d ’une certaine quantité connue, nous permettant
Défi 231 s ainsi de mesurer sa valeur plus facilement. Pouvez-vous imaginer laquelle ?
Remarquez que 9,8 est approché par π2 . Ce n’est pas une coïncidence : le mètre a
été fixé de telle manière que cela soit juste. La période T d ’un pendule en oscillation,

F I G U R E 71 Les mesures qui conduisirent à la définition du mètre.
(© Ken Alder)
Défi 232 s c ’est-à-dire qui se balance d ’un côté à l ’autre, est donnée par*
√
T = 2π
l
, (31)
д
où l est la longueur du pendule et д est l ’accélération gravitationnelle. (Le pendule est

considéré comme étant constitué d ’une masse fixée à un fil de poids négligeable.) La du-
rée d ’oscillation d ’un pendule ne dépend que de la longueur du fil et de la planète sur
laquelle il est situé. Si le mètre avait été défini de telle façon que T/2 = 1 s, la valeur de l ’ac-
Défi 234 e célération ordinaire д aurait été exactement π2 m/s2 . Ce fut la première suggestion pour
la définition du mètre, faite en 1673 par Huygens et renouvelée en 1790 par Talleyrand,
mais qui fut rejetée par la conférence qui avait défini le mètre en raison des variations
dans la valeur de д selon la position géographique et des variations induites par la tem-
pérature sur la longueur d ’un pendule, qui occasionnent des erreurs trop importantes
pour produire une définition d ’une précision suffisante.
En fin de compte, la suggestion fut faite de définir le mètre comme 1/40 000 000 e de
la circonférence de la Terre en passant par les pôles, ce qui est appelé un méridien. Cette
* La formule (31) est remarquable principalement par tout ce qui n’apparaît pas. La période d ’un pendule
ne dépend pas de la masse du corps en oscillation. De plus, la période d ’un pendule ne dépend pas de l ’am-
plitude. (C ’est vrai tant que l ’angle d ’oscillation est inférieur à environ 15°.) Galilée découvrit cela comme
un apprenti, en observant un lustre suspendu au bout d ’une longue corde sous le dôme de Pise. En utilisant
son pouls comme un métronome, il trouva que, même si l ’amplitude du balancement était de plus en plus
petite, le temps mis pour chaque oscillation restait la même.
Une jambe se déplace aussi comme un pendule lorsque nous marchons normalement. Alors pourquoi les
Défi 233 s individus de grande taille ont-ils tendance à marcher plus vite ?
proposition était à peu près identique à celle du pendule – mais beaucoup plus précise.
La définition du mètre par le méridien fut alors adoptée par l ’Assemblée nationale en
France le 26 mars 1791, selon la formule consacrée que « un méridien passe sous les pieds
de chaque être humain, et tous les méridiens sont égaux ». (Néanmoins, la distance de
Réf. 97 l ’équateur aux pôles n’est pas exactement de 10 Mm. C ’est une étrange histoire. Un des

deux géographes qui déterminèrent la taille du premier mètre étalon fut malhonnête. Les
données qu ’ il avait fournies pour ses relevés – selon la méthode générale indiquée sur
la Figure 71 – étaient inventées de toutes pièces. Ainsi, le premier mètre étalon officiel à
Paris était plus court qu ’ il aurait dû l ’être.)
Mais nous pouvons encore nous poser la question : pourquoi la Terre a-t-elle la masse
et la taille qu ’elle a ? Et pourquoi G a-t-il la valeur qu ’ il a ? La première question requiert
la connaissance de l ’ histoire du Système solaire, elle est toujours sans réponse et reste un
domaine actif de la recherche. La seconde question est entrevue dans l ’ Annexe B.
Si tous les objets s’attirent mutuellement, il devrait en être de même pour les objets de
notre vie quotidienne. La gravité doit aussi fonctionner à petite échelle. C ’est bien le cas,
mais les effets sont si petits que ce n’est que longtemps après qu ’ ils eurent été prédits par
la gravité universelle qu ’ ils purent être mesurés. Mesurer cet effet permet de déterminer
la constante gravitationnelle G.
Remarquez que mesurer la constante gravitationnelle G est également la seule ma-
nière de déterminer la masse de la Terre. Le premier à le faire, en 1798, fut le physicien an-
glais Henry Cavendish : il utilisa le dispositif, les idées et la méthode de John Michell qui
décéda alors qu ’ il tentait de réaliser l ’expérience. Michell et Cavendish* nommèrent cet
objectif et le résultat de leurs expériences la « pesée de la Terre ». Êtes-vous capable d ’ ima-
Défi 235 s giner comment ils ont procédé ? La valeur issue des expérimentations récentes donne
G = 6,7 ⋅ 10−11 Nm2 /kg2 = 6,7 ⋅ 10−11 m3 /kg s2 . (32)
L’expérience de Cavendish était donc la première à confirmer que la gravité fonctionnait

aussi à petite échelle.
Par exemple, deux individus moyens séparés de 1 m ressentent une accélération l ’un
vers l ’autre qui est plus petite que celle exercée par une mouche commune lorsqu ’elle
Défi 236 s se pose sur la peau. Donc nous faisons fi, habituellement, de l ’attraction entre les per-
sonnes. Lorsque nous en tenons compte, c ’est pour une raison beaucoup plus puissante.
Cette simple évaluation prouve donc que la gravitation ne peut pas être la véritable cause
qui fait que les gens tombent amoureux, et que l ’attirance sexuelle ne trouve pas son ori-
gine dans la gravitation mais dans une source différente. Les fondements de cette autre
interaction, l ’ amour, seront étudiés plus tard dans notre promenade : elle est appelée
l ’ électromagnétisme.
Mais la gravité révèle bien d ’autres propriétés plus intéressantes. Les effets de la gravi-
tation peuvent aussi être décrits par une autre observable, à savoir le potentiel (gravitation-
nel) φ. Nous avons alors la relation simple que l ’accélération est donnée par le gradient
* Henry Cavendish (1731–1810) fut un des grands génies de la physique. Riche et solitaire, il découvrit un
grand nombre de lois de la nature, mais ne les publia jamais. S ’ il l ’avait fait, son nom serait bien plus connu.
John Michell (1724–1793) était prêtre catholique, géologue et astronome amateur.
f (x,y)

x
grad f F I G U R E 72 Le potentiel et le gradient.
du potentiel
a = −∇φ ou a = −grad φ . (33)
Le gradient est uniquement un terme savant pour définir la « direction dans laquelle
la pente est la plus importante ». Il est défini pour chaque point d ’une inclinaison, il
est grand pour une pente abrupte et petit pour une peu prononcée. Il pointe dans la
direction de la montée la plus inclinée, comme indiqué sur la Figure 72. Le gradient
est noté ∇, prononcez « nabla », et est mathématiquement défini comme étant le vec-
teur ∇φ = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z) = grad φ. Le signe négatif dans (33) est introduit par
convention, dans le but d ’obtenir des valeurs de potentiel plus élevées pour des altitudes
plus grandes*. Pour un corps ponctuel ou sphérique de masse M, le potentiel φ est
φ = −G
M
. (34)
r
Un potentiel simplifie considérablement la description du mouvement, puisqu ’un po-
tentiel est additif : en se donnant le potentiel d ’une particule ponctuelle, nous pouvons
calculer le potentiel et donc le mouvement autour de n’ importe quel autre objet de forme
irrégulière**.
* En deux dimensions ou plus, les pentes sont notées ∂φ/∂z – où ∂ est toujours prononcé « d » – parce que
dans ces cas l ’expression dφ/dz possède une signification légèrement différente. Les détails de ceci dépassent
le cadre de cette excursion.
** D’autre part, pour un corps étendu quelconque, le potentiel est établi en exigeant que la divergence de son
gradient soit donnée par la masse (ou la charge) par unité de volume multipliée par une certaine constante
de proportionnalité. Plus concrètement, nous avons
∆φ = 4πGρ (35)
où ρ = ρ(x, t) est la masse volumique du corps et l ’ opérateur ∆, prononcez « delta », est défini par ∆ f =
∇∇ f = ∂ 2 f /∂x 2 +∂2 f /∂y 2 +∂2 f /∂z 2 . L’équation (35) est appelée équation de Poisson pour le potentiel φ. Elle
est baptisée d ’après Siméon Denis Poisson (1781–1840), éminent physicien et mathématicien français. Les
positions pour lesquelles ρ n’est pas nul sont appelées les sources du potentiel. Le mot source ainsi dénommé
∆φ d ’une fonction est une quantification du nombre de fois où la fonction φ(x) en un point x diffère de
la valeur moyenne dans une région autour du point. (Pouvez-vous montrer cela, en montrant que ∆φ ≈
Défi 237 pe φ̄ − φ(x) ?) En d ’autres termes, l ’équation de Poisson (35) suggère que la valeur réelle du potentiel en un
point est la même que la valeur moyenne autour du point moins la masse volumique multipliée par 4πG.
En particulier, dans la situation d ’un espace vide, le potentiel en un point est égal à la moyenne du potentiel
autour de ce point.

F I G U R E 73 La forme de la Terre, en exagérant les
hauteurs. (© GeoForschungsZentrum Potsdam)
Le potentiel φ est une grandeur captivante : avec un simple nombre à chaque position
de l ’espace, nous pouvons décrire l ’apparence du vecteur de l ’accélération gravitation-
nelle. Cela aboutit mécaniquement à la conclusion que la gravité en Nouvelle-Zélande
agit dans la direction opposée à la gravité à Paris. De plus, le potentiel suggère l ’ intro-
duction de l ’ énergie potentielle U en posant
U = mφ (36)
et nous permet ainsi de déterminer la variation de l ’énergie cinétique T d ’un corps en

chute libre d ’un point 1 à un point 2 par
T1 − T2 = U 2 − U 1 m 1 v1 2 − m 2 v2 2 = mφ2 − mφ1 .
1 1
ou (37)
2 2
D’une autre façon, l ’ énergie totale, définie comme étant la somme des énergies cinétique
et potentielle, est conservée durant le mouvement due à la gravité. C ’est une caractéris-
tique inhérente à la gravitation. Toutes les accélérations ne dérivent pas forcément d ’un
potentiel. Les systèmes qui ont cette propriété sont appelés conservatifs. Les accélérations
dues aux frottements ne sont pas conservatives, mais celles dues à l ’électromagnétisme
le sont.
De manière intéressante, le nombre d de dimensions de l ’espace est contenu implicite-
ment dans le potentiel d ’une masse sphérique : sa dépendance par rapport au rayon r est
Défi 238 s en réalité 1/r d−2 . L’exposant d − 2 a été vérifié expérimentalement jusqu ’à une précision
Réf. 100 élevée : aucune déviation de d par rapport à 3 n’a été relevée.
Souvent, le concept de champ gravitationnel est introduit, défini comme g = −∇φ. Nous négligerons
ce point dans notre promenade, parce que nous découvrirons, en suivant la théorie de la relativité, que la
gravité n’est pas du tout causée par un champ. En réalité, même le concept de potentiel gravitationnel se
révèle n’être qu ’une approximation.
Le concept de potentiel nous aide à mieux comprendre la forme de la Terre. Puisque la

Réf. 101 majeure partie de la Terre est toujours liquide lorsqu ’elle est observée à grande échelle, sa
surface est toujours horizontale par rapport à la direction déterminée par la combinaison
des accélérations de la gravité et de la rotation. En résumé, la Terre n’est pas une sphère.
Ce n’est pas un ellipsoïde non plus. La forme mathématique définie par l ’exigence d ’équi-

Réf. 102 libre est appelée un géoïde. La forme du géoïde diffère d ’un ellipsoïde convenablement
Défi 239 pe choisi de tout au plus 50 m. Pouvez-vous décrire mathématiquement le géoïde ? Le géoïde
est une excellente approximation de la forme véritable de la Terre. Le niveau de la mer
diverge de celui-ci de moins de 20 mètres. Les différences peuvent être mesurées avec
un satellite équipé d ’un radar et sont d ’un intérêt crucial pour les géologues et les géo-
graphes. Par exemple, il a été montré que le pôle Sud est plus proche du plan équatorial
que le pôle Nord d ’environ 30 m. Cela est probablement dû aux vastes étendues massives
des terres de l ’ hémisphère Nord.
Page 95 Nous avons vu précédemment comment l ’ inertie de la matière, à travers ladite « force
centrifuge », agrandit le rayon de la Terre à l ’équateur. Dit autrement, la Terre est apla-
tie aux pôles. L’équateur possède un rayon a de 6,38 Mm, tandis que la distance b des
pôles au centre de la Terre est de 6,36 Mm. L’écrasement précis (a − b)/a est égal à
Appendix B 1/298, 3 = 0, 0034. En conséquence, le sommet du mont Chimborazo en Équateur, même
si sa hauteur n’est que de 6 267 m au-dessus du niveau de la mer, est plus éloigné du centre
de la Terre d ’environ 20 km que le sommet du mont Sagarmatha* au Népal, dont la hau-
teur au-dessus du niveau de la mer est de 8 850 m. Le sommet du mont Chimborazo est
en réalité le point de la surface du globe le plus éloigné du centre de la Terre.
Par conséquent, si la Terre s’arrêtait de tourner (mais gardait sa forme), l ’eau conte-
nue dans les océans s’écoulerait vers le nord : toute l ’ Europe se retrouverait sous l ’eau,
mis à part les quelques montagnes de la chaîne des Alpes qui ont une hauteur supérieure
à environ 4 km. Les régions nordiques de l ’ Europe seraient recouvertes par une couche
d ’eau de 6 km à 10 km d ’épaisseur. Le mont Sagarmatha serait à 11 km au-dessus du ni-
veau de la mer. Si nous prenons en compte le changement de la forme de la Terre qui en
résulterait, ces chiffres seraient plus petits. De plus, le changement de forme provoque-
rait des tempêtes et des séismes extrêmement violents. Aussi longtemps que ces effets
ne surviennent pas, nous pourrons être certains que le Soleil se lèvera vraiment demain,
Page 86 contrairement à ce que certains philosophes laissent sous-entendre.
L a dynamique – C omment les choses b ougent-elles dans plusieurs

dimensions ?
Résumons un peu la situation. Si un corps ne peut se déplacer que le long d ’une ligne
(éventuellement courbe), les notions d ’énergies cinétique et potentielle sont suffisantes
pour déterminer la façon dont il se déplace. Brièvement, le mouvement en une dimension
découle directement de la conservation de l ’énergie.
Si plus de deux dimensions spatiales sont impliquées, la conservation de l ’énergie est
insuffisante pour caractériser la manière dont un corps se déplace. Si un corps peut se
mouvoir dans deux dimensions, et si les forces en jeu sont internes (ce qui est toujours le
cas en théorie, mais jamais en pratique), la conservation du moment cinétique peut être
invoquée. Le mouvement complet en deux dimensions découle donc de la conservation
* Le mont Sagarmatha est plus connu sous le nom de mont Everest.

d
d
Soleil
F I G U R E 74 Le mouvement d’une planète autour du Soleil,

planète indiquant son demi-grand axe d, qui représente également
la distance moyenne au Soleil.
de l ’énergie et du moment cinétique. Par exemple, toutes les propriétés de la chute libre
vérifient la conservation de l ’énergie et du moment cinétique. (Êtes-vous capable de le
Défi 240 s montrer ?)
Dans le cas du mouvement dans trois dimensions, une loi plus générale est nécessaire
pour déterminer le mouvement. Il apparaît que tout mouvement découle d ’un principe
élémentaire : l ’ intégrale de la différence entre l ’énergie cinétique et l ’énergie potentielle
sur un intervalle de temps est toujours la plus petite possible. C ’est le principe de moindre
Page 173 action. Nous expliquerons plus en détail cette méthode de calcul par la suite.
Pour des mouvements gravitationnels simples, le mouvement est bidimensionnel.
La plupart des problèmes en trois dimensions dépassent le cadre de ce texte. En fait,
quelques-uns de ces problèmes font toujours l ’objet de recherches actives. Dans cette
aventure, nous explorerons le mouvement tridimensionnel uniquement pour des situa-
tions sélectionnées qui fournissent d ’ importantes perspectives.
L a gravitation dans le ciel

L’expression de l ’accélération due à la gravitation a = GM/r 2 décrit également le
mouvement de toutes les planètes autour du Soleil. N ’ importe qui peut vérifier que les
planètes restent toujours à l ’ intérieur du Zodiaque, une étroite bande qui traverse le ciel.
La ligne centrale du Zodiaque représente la trajectoire du Soleil et est appelée l ’ écliptique,
parce que la Lune doit être située sur celle-ci pour provoquer une éclipse. Mais le mou-
vement détaillé des planètes n’est pas aisé à décrire*. Quelques générations avant Hooke,
l ’astronome souabe Johannes Kepler avait deviné plusieurs « lois » dans sa recherche scru-
puleuse du mouvement des planètes dans le Zodiaque. Les trois principales sont les sui-
vantes :
1. Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil occupe l ’un des
foyers (1609).
2. Les planètes balaient des aires égales en des temps égaux (1609).
3. Toutes les planètes ont le même rapport T 2 /d 3 entre la période sidérale T et le
demi-grand axe d (1619).
Les principaux résultats sont formulés dans la Figure 74. La découverte de ces trois « lois »
a nécessité un travail véritablement titanesque. Kepler n’avait aucune machine à calculer
à sa disposition, ni même de règle à calcul. Le procédé qu ’ il utilisa pour ses calculs faisait
* La hauteur apparente de l ’écliptique varie selon la période de l ’année et c ’est la raison pour laquelle les
saisons existent. Par conséquent, les saisons sont aussi des répercussions de la gravitation.

F I G U R E 75 La modification de l’apparence
de la Lune pendant le mois lunaire, révélant
sa libration. (© Martin Elsässer)
appel aux logarithmes, tout juste découverts. Toute personne qui a déjà utilisé des tables
de logarithmes pour réaliser des calculs peut avoir une idée de la quantité de travail qui
se trouve derrière ces trois découvertes.
La seconde « loi » à propos des aires balayées égales signifie que les planètes se meuvent
plus rapidement lorsqu ’elles sont proches du Soleil. C ’est une autre façon de formuler
la conservation du moment cinétique. Mais maintenant, nous arrivons au point crucial.
Le volume colossal du travail réalisé par Brahe et Kepler peut être synthétisé dans l ’ex-
pression a = GM/r 2 . Pouvez-vous confirmer que les trois « lois » découlent toutes de
Défi 241 pe l ’expression de l ’attraction universelle de Hooke ? En publiant cette découverte, New-
ton réalisa sa réussite majeure. Essayez de reproduire cet exploit : cela vous familiarisera
non seulement avec les écueils, mais également avec le potentiel de la physique, et vous
donnera la satisfaction réjouissante que procure la résolution des énigmes.
Newton a résolu l ’énigme à l ’aide de croquis géométriques. Newton ne pouvait pas
écrire, et encore moins manipuler, les équations différentielles lorsqu ’ il a publié ses ré-
Réf. 24 sultats sur l ’attraction universelle. En fait, il est bien connu que les méthodes de nota-
tion et de calcul de Newton étaient rudimentaires. (Beaucoup plus rudimentaires que les
vôtres !) Le mathématicien anglais Godfrey Hardy* avait l ’ habitude de dire que l ’ insis-
tance à utiliser la notation intégrale et différentielle de Newton plutôt que la méthode
antérieure et meilleure due à son rival Leibniz, toujours en usage aujourd ’ hui, avait pro-
jeté les mathématiques anglaises cent ans en arrière.
Kepler, Hooke et Newton devinrent célèbres parce qu ’ ils mirent de l ’ordre dans la
description des mouvements planétaires. Cette réussite, bien que d ’utilité pratique ré-
duite, fut largement diffusée parce que l ’ astrologie était ancrée dans les esprits depuis
très longtemps.
Pourtant, la gravitation ne se limite pas à cela. L’attraction universelle explique le mou-
vement et la forme de la Voie lactée et des autres galaxies, le mouvement de nombreux
* Godfrey Harold Hardy (1877–1947) était un théoricien des nombres, Britannique de premier plan, et l ’au-
teur de la célèbre Apologie d ’un mathématicien. Il « découvrit » également le célèbre mathématicien indien
Srinivasa Ramanujan et le rapatria en Grande-Bretagne.

F I G U R E 76 Cartographies de la face visible (à gauche) et de la face cachée (à droite) de la Lune,
montrant le nombre de fois que cette dernière a protégé la Terre d’impacts de météorites (avec
l’amabilité de l’USGS).
phénomènes climatiques, et explique pourquoi la Terre possède une atmosphère mais
Défi 242 s pas la Lune. (Pouvez-vous expliquer cela ?) En fait, la gravitation universelle nous en ap-
prend beaucoup plus au sujet de la Lune.
L a Lune
Combien dure une journée sur la Lune ? La réponse est à peu près 14 journées ter-
restres. C ’est le temps qu ’ il faut sur la Lune pour voir le Soleil de nouveau à une position
donnée.
Nous entendons souvent que la Lune montre toujours la même face à la Terre. Mais
ceci est faux. Comme nous pouvons le vérifier à l ’œil nu, un point de repère fixé au centre
de la face de la Lune lors de la pleine Lune n’est pas au centre une semaine après. Les di-
vers mouvements qui conduisent à cette modification sont appelés librations. Elles sont
indiquées dans le film de la Figure 75*. Ces mouvements apparaissent principalement
parce que la Lune ne décrit pas une orbite circulaire, mais elliptique, autour de la Terre
et parce que l ’axe de la Lune est légèrement incliné par rapport à celui de sa révolution
autour de la Terre. Par conséquent, autour de 45 % de la surface de la Lune est constam-
ment masquée à la Terre.
Les premiers clichés des régions cachées furent pris dans les années 1960 par un satel-
lite artificiel soviétique. Les satellites modernes ont fourni des cartes précises, comme sur
la Figure 76. La surface de la face cachée est beaucoup plus accidentée que celle de la face
visible, puisqu ’elle est du côté qui intercepte la plupart des astéroïdes qui tombent sous
l ’ influence de la Terre. Ainsi l ’attraction de la Lune permet de dévier les astéroïdes de la
Terre. Le nombre potentiel d ’extinctions massives de la vie animale est donc réduit à une
portion petite, mais non négligeable. En d ’autres termes, l ’attraction gravitationnelle de
la Lune a de nombreuses fois sauvé la race humaine de l ’extermination**.
* Le film est au format AVI DivX 5 et nécessite un composant logiciel (plug-in) dans Acrobat Reader pour
pouvoir être visualisé.
** Les pages Web http://cfa-www.harvard.edu/iau/lists/Closest.html et InnerPlot.html donnent une idée du
Les voyages sur la Lune des années 1970 ont également montré que la Lune tire son
origine de la Terre elle-même : il y a très longtemps, un objet frappa la Terre de façon
presque tangentielle et projeta une portion considérable de matière dans l ’espace. C ’est
le seul mécanisme capable de donner une explication à la grande taille de la Lune, à son
Réf. 103 faible contenu en fer et également à sa composition générale en matériaux.

Réf. 104 La Lune est en train de s’éloigner de la Terre à raison de 3,8 cm par an. Ce fait enté-
rine l ’ hypothèse ancienne qui stipulait que les marées ralentissent la rotation de la Terre.
Défi 243 s Pouvez-vous imaginer comment cette déduction a pu être effectuée ? Puisque la Lune ra-
lentit la Terre, la Terre change aussi de forme en réponse à cet effet. (Souvenez-vous que
la forme de la Terre dépend de sa vitesse de rotation.) Ces variations de forme influencent
l ’ activité tectonique de la Terre, et peut-être aussi la dérive des continents.
La Lune a de nombreux effets sur la vie animale. Un exemple célèbre est le moustique
Réf. 105 Clunio, qui vit sur les côtes à fortes marées. Clunio passe entre six et douze semaines
au stade larvaire, il se métamorphose alors pour vivre seulement pendant une ou deux
heures comme un insecte volant adulte, temps pendant lequel il se reproduit. Les mous-
tiques ne se reproduiront que s’ ils sont sortis pendant la période de marée basse d ’une
grande marée. Les grandes marées sont les marées particulièrement fortes qui se pro-
duisent pendant les pleines et nouvelles lunes, lorsque les effets solaire et lunaire s’addi-
tionnent. Elles apparaissent seulement tous les 14,8 jours. En 1995, Dietrich Neumann a
montré que les larves ont deux horloges intégrées, une de rythme circadien et l ’autre de
rythme circalunaire, qui déterminent ensemble la métamorphose à ces quelques heures
précises où l ’ insecte peut se reproduire. Il montra également que l ’ horloge circalunaire
est synchronisée par la luminosité nocturne de la Lune. Autrement dit, les larves sur-
veillent la Lune la nuit et décident ainsi quand elles devront se métamorphoser : elles
sont les plus petits astronomes connus.
Si les insectes peuvent avoir des cycles circalunaires, il ne devrait pas être surprenant
que les femmes aient de tels cycles. Cependant, dans ce cas précis, l ’origine de la longueur
Réf. 106 du cycle est toujours inconnue.
La Lune aide également à stabiliser l ’ inclinaison de l ’axe de la Terre, le conservant
dans une position plus ou moins figée relativement au plan de la trajectoire autour du
Soleil. Sans la Lune, l ’axe changerait de direction de façon imprévisible, nous n’aurions
pas de rythme régulier du jour et de la nuit, nous aurions des variations climatiques
Réf. 107 extrêmement fortes, et l ’évolution de la vie aurait été impossible. Sans la Lune, la Terre
tournerait aussi beaucoup plus rapidement et nous aurions un temps beaucoup moins
Réf. 108 clément. Le principal effet résiduel de la Lune sur la Terre, la précession de son axe, est
Page 100 responsable des ères glaciaires.
En outre, la Lune protège la Terre des rayons cosmiques en augmentant considérable-
ment le champ magnétique terrestre. En d ’autres termes, l ’ importance de la Lune est
cruciale pour l ’évolution de la vie. Comprendre comment les planètes de la taille de la
Terre arrivent à avoir des satellites de la taille de la Lune est donc primordial pour esti-
Réf. 109 mer la probabilité que la vie existe sur d ’autres planètes. Jusqu ’à présent, il semble que
les très grands satellites soient rares, il n’y a que quatre lunes recensées plus grandes que
celle de la Terre, mais elles tournent autour de planètes plus grosses, à savoir Jupiter et
nombre approximatif d ’objets qui frappent la Terre chaque année. Sans la Lune, nous aurions beaucoup plus
de cataclysmes.
hyperbole
parabole

masse
cercle ellipse
F I G U R E 77 Les orbites possibles dues à l’attraction

universelle.
Saturne. En fait, la formation des satellites est toujours un domaine actif de recherches.
Mais revenons aux conséquences de la gravitation dans le ciel.
Les orbites
La trajectoire d ’un corps orbitant autour d ’un autre sous l ’ influence de la gravité
forme une ellipse dont l ’un des foyers est occupé par le corps central. Une orbite circu-
laire est également possible, un cercle étant un cas particulier d ’ellipse. La trajectoire
d ’un objet gravitant près d ’un autre peut aussi prendre la forme d ’une parabole ou
d ’une hyperbole, comme indiqué sur la Figure 77. Les cercles, ellipses, paraboles et hy-
perboles sont collectivement désignés sous l ’appellation sections coniques. En réalité cha-
cune de ces courbes peut être mise en évidence en coupant un cône avec un couteau.
Défi 244 e Pouvez-vous le montrer ?
Si les orbites sont principalement des ellipses, il s’ensuit que les comètes reviennent.
L’astronome anglais Edmund Halley (1656–1742) fut le premier à exprimer cette conclu-
sion et à prédire le retour d ’une comète. Elle arriva à la date prévue en 1756, et est doré-
navant baptisée d ’après son nom. La période de la comète de Halley est comprise entre
74 et 80 ans, la première observation enregistrée a été faite il y a 22 siècles, et elle a été
observée depuis à chacun de ses 30 passages, le dernier datant de 1986.
Selon l ’énergie initiale et le moment cinétique initial du corps par rapport à l ’astre
central, il existe deux autres possibilités : les trajectoires paraboliques et les trajectoires
hyperboliques. Pouvez-vous déterminer les conditions que l ’énergie et le moment ciné-
Défi 245 pe tique doivent vérifier pour que ces trajectoires apparaissent ?
Concrètement, les trajectoires paraboliques n’existent pas dans la nature. (Bien que
certaines comètes semblent s’approcher de cette situation lorsqu ’elles se déplacent au-
tour du Soleil, presque toutes les comètes suivent des courbes elliptiques.) Les trajectoires
hyperboliques existent : des satellites artificiels en empruntent lorsqu ’ ils sont lancés vers
une planète, généralement dans le but de modifier la direction du satellite à travers le
Système solaire.
Pourquoi la « loi » en l ’ inverse du carré nous amène-t-elle aux sections coniques ?
Premièrement, pour deux corps, le moment cinétique total L est une constante :
L = mr 2 φ̇ (38)

et par conséquent les mouvements se produisent dans un plan. L’énergie E est aussi une
constante
1 dr 1 dφ
E = m( )2 + m(r )2 − G
mM
. (39)
2 dt 2 dt r
Défi 246 pe Ensemble, ces deux équations impliquent que
L2
r=
1
⋅ √ . (40)
Gm 2 M 1 + 1 + 2E L 2 cos φ
G 2 m3 M 2
Maintenant, toute courbe définie par l ’expression générale
r= r=
C C
ou (41)
1 + e cos φ 1 − e cos φ
est une ellipse pour 0 < e < 1, une parabole pour e = 1 et une hyperbole pour e > 1, un
des foyers étant à l ’origine. La quantité e, appelée excentricité, décrit comment la courbe
est resserrée. En d ’autres mots, un corps en orbite autour d ’une masse centrale suit une
section conique.
Dans toutes les orbites, la masse pesante centrale se déplace également. En fait, les
deux corps orbitent autour de leur centre de masse commun. Les deux corps suivent le
même type de courbe (ellipse, parabole ou hyperbole), mais les dimensions de chaque
Défi 247 e courbe diffèrent.
Si plus de deux objets se déplacent sous une influence gravitationnelle mutuelle, de
nombreuses possibilités supplémentaires pour le mouvement surgissent. La classification
et les mouvements sont assez complexes. En fait, ce problème connu sous le nom de pro-
blème de plusieurs corps est toujours un thème de recherche, et les résultats sont mathé-
matiquement fascinants. Regardons quelques exemples.
Quand plusieurs planètes encerclent une étoile, elles s’attirent également l ’une vers
l ’autre. Les planètes ne se déplacent donc pas le long d ’ellipses parfaites. La déviation la
plus grande est l ’ avancée du périhélie, tel qu ’ indiqué sur la Figure 55. Elle est observée
pour Mercure et quelques-unes des autres planètes, y compris la Terre. D’autres diffé-
rences par rapport à la forme elliptique surgissent le temps d ’une révolution. En 1846,
les écarts observés du mouvement de la planète Uranus par rapport à la trajectoire pré-
vue par la gravité universelle furent mis à profit pour prédire l ’existence d ’une autre
planète, Neptune, qui fut découverte quelque temps plus tard.
Page 78 Nous avons vu que la masse est toujours positive et que la gravitation est par consé-
quent toujours attractive. Il n’y a pas d ’ antigravité. La gravité peut-elle néanmoins être
utilisée pour la lévitation, éventuellement en utilisant plus de deux corps ? Oui, il y en a
planète (ou Soleil)
L5
π/3

π/3
π/3 π/3
L4
satellite (ou planète) F I G U R E 78 Deux points de Lagrange stables.
deux exemples*. Les premiers sont les satellites géostationnaires, qui sont utilisés pour
les transmissions de chaînes télévisées et d ’autres signaux depuis et vers la Terre.
Les points de Lagrange (ou points de libration) en sont les seconds exemples. Baptisés
d ’après leur découvreur, ce sont des points de l ’espace situés à proximité d ’un système à
deux corps, tel que Lune–Terre ou Terre–Soleil, à l ’emplacement desquels des petits ob-
jets ont une position d ’équilibre stable. Un aperçu en est donné sur la Figure 78. Pouvez-
vous déterminer leur position précise, en vous souvenant qu ’ il faut prendre en compte la
Défi 248 pe rotation ? Il y a trois points de Lagrange supplémentaires sur la ligne Terre–Lune. Com-
Défi 249 pe bien d ’entre eux sont-ils stables ?
Il existe des milliers d ’astéroïdes, appelés astéroïdes troyens, à l ’emplacement et au-
tour des points de Lagrange du système Soleil–Jupiter. En 1990, un astéroïde troyen du
système Mars–Soleil fut repéré. Finalement, en 1997, un astéroïde « presque troyen » a
été découvert qui suit la Terre dans sa course autour du Soleil (il est seulement transi-
toire et suit une orbite quelque peu compliquée). Ce « second compagnon » de la Terre a
Réf. 110 un diamètre de 5 km. De la même manière, une forte concentration de poussières a été
observée aux principaux points de Lagrange du système Terre–Lune.
Pour résumer, l ’équation simple a = −GMr/r 3 décrit correctement un grand nombre
de phénomènes célestes. La première personne à révéler de manière claire que cette ex-
pression explique tout ce qui se passe dans le ciel fut Pierre Simon Laplace** dans son
fameux livre Traité de mécanique céleste. Lorsque Napoléon l ’ interrogea sur le fait qu ’ il
ne faisait aucune mention du Créateur dans son livre, Laplace répondit par sa célèbre
sentence, qui résume à elle seule l ’ouvrage : « Je n’ai pas eu besoin de cette hypothèse ».
En particulier, Laplace étudia la stabilité du Système solaire, l ’excentricité de l ’orbite lu-
naire et les excentricités des orbites planétaires, en donnant toujours un parfait accord
entre les calculs théoriques et les observations.
Ces résultats sont de véritables prouesses pour l ’expression simple de l ’attraction uni-
verselle. Ils expliquent également pourquoi elle est qualifiée d ’ « universelle ». Mais jus-
qu ’à quelle précision cette formule peut-elle aller ? Puisque l ’astronomie permet la me-
* La lévitation est discutée en détail à la page ??.

** Pierre Simon Laplace (n. Beaumont-en-Auge1749, d. Paris 1827), important mathématicien français. Son
traité fut édité en cinq volumes entre 1798 et 1825. Il fut le premier à proposer l ’ idée que le Système solaire
s’est formé à partir d ’un nuage de gaz en rotation, et un des premiers personnages à imaginer et explorer
les trous noirs.
avant
Soleil
t = t1 :
déformé

après
t=0:
sphérique
F I G U R E 79 Déformation de marée F I G U R E 80 L’origine des marées.

due à la gravité.
sure la plus précise des mouvements gravitationnels, elle fournit également les tests les
plus rigoureux. En 1849, Urbain Le Verrier conclut après une étude intensive qu ’ il n’y
avait qu ’un seul exemple connu de désaccord entre l ’observation et la gravité universelle,
à savoir une observation concernant la planète Mercure. (Actuellement quelques autres
sont connus.) Le point de l ’orbite de la planète Mercure le moins éloigné du Soleil, son
périhélie, se déplace selon une cadence qui est légèrement moindre que celle prédite : il
Réf. 111 releva une minuscule différence, autour de 38 ′′ par siècle. (Ceci fut rectifié à 43 ′′ par
siècle en 1882 par Simon Newcomb.) Le Verrier soupçonnait que cet écart était dû à une
planète située entre Mercure et le Soleil, Vulcain, qu ’ il pourchassa de nombreuses années
durant, en vain. L’étude du mouvement dut attendre Albert Einstein pour trouver une
explication correcte de cette différence.
Les Marées
Pourquoi les manuels de physique évoquent-ils toujours le phénomène des marées ?
Parce que, comme nous le montrera la relativité générale, les marées prouvent que l ’es-
pace est courbé ! Il est donc très utile de les étudier avec un peu plus d ’attention. Les ma-
rées éveillent l ’ intérêt. La gravitation explique les marées océaniques comme une consé-
quence de l ’attraction de l ’eau des océans par la Lune et le Soleil. Même si leur amplitude
n’est que d ’environ 0,5 m au large, elle peut atteindre 20 m en certains endroits particu-
Défi 250 s liers proches des côtes. Pouvez-vous imaginer pourquoi ? La terre également est soulevée
et rabaissée par le Soleil et la Lune, d ’environ 0,3 m, comme les mesures par satellites
Réf. 39 l ’ indiquent. Même l ’ atmosphère est sujette aux marées, et les variations de pression cor-
Réf. 112 respondantes peuvent être déduites des relevés de la pression atmosphérique.
Les marées apparaissent sur chaque corps étendu se déplaçant dans le champ gravita-
tionnel d ’un autre. Pour saisir l ’origine des marées, dessinez un corps en orbite, comme
la Terre, et imaginez ses constituants, telles les calottes de la Figure 79, comme étant rete-
nus entre eux par des ressorts. La gravité universelle implique que les vitesses des orbites
sont plus lentes lorsqu ’elles sont plus distantes du corps central. Par conséquent, la ca-
lotte à l ’extérieur de l ’orbite sera vue comme étant plus lente que celle du milieu, mais
elle est tirée par le reste du corps par le truchement des ressorts. Au contraire, le fragment
intérieur sera vu comme orbitant plus rapidement, mais il est retenu par les autres. Étant
ralentie, la calotte intérieure cherche à tomber en direction du Soleil ; l ’autre calotte étant
accélérée, elle tend à s’en éloigner. Au total, les deux calottes ressentent un étirement vers
l ’extérieur par rapport au centre du corps, limité par les ressorts qui freinent la déforma-

tion. En conclusion, les corps étendus sont déformés dans la direction de l ’ hétérogénéité
du champ.
Par exemple, en raison des forces de marées la Lune présente toujours (approximati-
vement) la même face à la Terre. En plus, son rayon dans la direction de la Terre est plus
grand d ’environ 5 m que le rayon perpendiculaire à celle-ci. Si les ressorts internes sont
trop faibles, le corps est déchiqueté en morceaux. De cette manière un anneau de frag-
ments peut se former, tel que la ceinture d ’astéroïdes entre Mars et Jupiter ou les anneaux
autour de Saturne.
Revenons à la Terre. Si un corps est entouré d ’eau, il formera des bourrelets dans la
direction du champ gravitationnel appliqué. Afin de mesurer et de comparer l ’ intensité
des forces de marées dues au Soleil et à la Lune, nous simplifions les effets des marées à
leur strict minimum. Comme indiqué sur la Figure 80, nous pouvons étudier la déforma-
tion d ’un corps due à la gravité en analysant la déformation de quatre morceaux. Nous
pouvons l ’étudier dans le cas de la chute libre, parce que le mouvement orbital et la chute
libre sont équivalents. Maintenant, la gravitation fera en sorte que certains des morceaux
se rapprocheront et d ’autres s’écarteront, en fonction de leur position relative. La figure
révèle clairement que l ’ intensité de la déformation – l ’eau ne possède pas de ressorts in-
corporés – dépend de la variation de l ’accélération gravitationnelle avec la distance. En
d ’autres termes, l ’accélération relative qui provoque les marées est proportionnelle à la
dérivée de l ’accélération gravitationnelle.
En utilisant les chiffres de l ’ Annexe B, les accélérations gravitationnelles du Soleil et
de la Lune mesurées sur Terre sont
a Soleil = = 5,9 mm/s2

GM Soleil
2
dSoleil
= = 0,033 mm/s2
GM Lune
a Lune 2
(42)
dLune
et donc l ’attraction de la Lune est environ 178 fois plus faible que celle du Soleil.
Quand deux corps proches tombent à proximité d ’une grande masse, l ’accélération
relative est proportionnelle à leur distance, et vérifie da = da/dr dr. Le facteur de propor-
tionnalité da/dr = ∇a, appelé l ’ accélération de marée (gradient), est la véritable mesure
Défi 251 e des effets de marée. Près d ’une grande masse sphérique M, elle est donnée par
2GM
=− 3
da
(43)
dr r

F I G U R E 81 Un effet spectaculaire des marées : le volcanisme sur Io (NASA).
ce qui conduit aux valeurs
=− 3 = −0,8 ⋅ 10−13 /s2

da Soleil 2GM Soleil
dr dSoleil
=− 3 = −1,7 ⋅ 10−13 /s2 .

da Lune 2GM Lune
(44)
dr dLune
De façon plus qualitative, bien que l ’étirement dû à la Lune soit beaucoup plus fort, on
prédit que ses marées sont un peu plus de deux fois plus fortes que les marées du soleil, ce
qui est véritablement observé. Quand le Soleil, la Lune et la Terre sont alignés, les deux
marées s’additionnent, ces grandes marées sont particulièrement fortes et se produisent
tous les 14,8 jours, à la pleine et à la nouvelle Lune.
Les marées produisent également des frottements. Les frottements conduisent à un
ralentissement de la rotation de la Terre. Aujourd ’ hui, le ralentissement peut être éva-
lué par des horloges précises (alors même que des variations de courtes durées dues à
Réf. 72 d ’autres causes, comme le climat, sont nettement plus importantes). Les résultats s’ac-
cordent bien avec les fossiles montrant qu ’ il y a 400 millions d ’années, pendant la pé-
Page 210 riode dévonienne, une année comptait 400 jours, et une journée à peu près 22 heures.
Il a été également estimé qu ’ il y a 900 millions d ’années chacune des 481 journées que
comptait une année durait 18,2 heures. Le frottement à la base de ce ralentissement a
également pour conséquence une augmentation de la distance de la Lune à la Terre d ’en-
Défi 252 s viron 3,8 cm par an. Êtes-vous capable d ’expliquer pourquoi ?
Comme mentionné ci-dessus, le mouvement de la croûte terrestre dû aux marées est
également responsable du déclenchement des tremblements de terre. Donc la Lune peut
aussi produire des effets dangereux sur la Terre. (Malheureusement, la connaissance de
ces mécanismes ne permet pas de prédire les tremblements de terre.) L’exemple le plus
fascinant des effets des marées est observé sur Io, un satellite de Jupiter. Ses marées sont si
x
t1

α
b
t2 M
t
F I G U R E 82 Des particules F I G U R E 83 La masse fléchit la

tombant côte à côte se lumière.
rapprochent au cours du temps.
fortes qu ’elles entraînent une intense activité volcanique, comme indiqué sur la Figure 81,
avec des panaches éruptifs pouvant atteindre 500 km de haut. Si les marées sont encore
plus fortes, elles peuvent détruire entièrement le corps, comme cela s’est produit pour
l ’astre situé entre Mars et Jupiter qui a donné naissance aux planétoïdes, et (probable-
ment) pour les lunes qui ont enfanté les anneaux de Saturne.
Pour résumer, les marées sont dues aux accélérations relatives entre des masses
Page 123 proches. Ceci a une conséquence importante. Dans le chapitre sur la relativité générale
nous découvrirons que le temps multiplié par la vitesse de la lumière joue le même rôle
que la distance. Le temps devient donc une dimension supplémentaire, comme indi-
qué sur la Figure 82. En exploitant cette similitude, deux particules libres se déplaçant
dans la même direction correspondent à des lignes parallèles dans l ’espace-temps. Deux
particules tombant côte à côte correspondent aussi à des lignes parallèles. Les marées
montrent que de telles particules se rapprochent l ’une de l ’autre. En d ’autres termes,
Page 174 les marées impliquent que des lignes parallèles se rapprochent l ’une de l ’autre. Mais des
lignes parallèles peuvent se rapprocher l ’une de l ’autre seulement si l ’espace-temps est
courbé. Brièvement, les marées impliquent que l ’espace et l ’espace-temps sont courbés.
Ce raisonnement élémentaire aurait pu être accompli durant le dix-huitième siècle, ce-
pendant, il fallut encore 200 ans de plus et tout le génie d ’Albert Einstein pour le révéler.
L a lumière peu t-elle tomber ?

Die Maxime, jederzeit selbst zu denken, ist die
“ Aufklärung*.
Vers la fin du dix-septième siècle le monde découvrait que la lumière possède une
Emmanuel Kant
”
Page 15 vitesse finie – une épopée que nous relaterons en détail plus tard. Une entité qui se dépla-
cerait avec une vitesse infinie ne pourrait être affectée par la gravité, du fait que celle-ci
n’aurait pas le temps d ’y produire son effet. Une entité dotée d ’une vitesse finie, par
contre, se doit de ressentir la gravité et donc tombe.
* La maxime de penser toujours par soi-même, c ’est la culture de l ’esprit.

Lorsque la lumière parvient à la surface de la Terre, sa vitesse a-t-elle augmenté ? Pen-

dant presque trois siècles les gens n’avaient aucun moyen en leur possession pour détec-
ter de tels effets. Ainsi cette question ne fut pas étudiée. En 1801, l ’astronome prussien
Réf. 113 Johann Soldner (1776–1833) fut le premier à poser la question d ’une manière différente.
Étant astronome, il était habitué à observer les étoiles et à mesurer leur angle de visée. Il

réalisa que la lumière qui passe près d ’un corps massif devrait être déviée à cause de la
gravité.
Soldner analysa la situation d ’un corps sur une trajectoire hyperbolique, se déplaçant
à une vitesse c à la distance b (mesurée depuis le centre) d ’une masse sphérique M, tel
Défi 253 pe que schématisé sur la Figure 83. Soldner déduisit l ’expression de l ’angle de déviation
2 GM
α grav. univ. = . (45)
b c2
Nous voyons que l ’angle est maximal lorsque le corps en mouvement rase de très près
la masse M. Pour la lumière déviée par la masse du Soleil, l ’angle se révèle être tout au
plus de 0,88 ′′ = 4,3 µrad seulement. À l ’époque de Soldner, cet angle était trop petit pour
pouvoir être mesuré. Ainsi ce problème fut ignoré. Si sa résolution avait été poursuivie,
la relativité générale aurait commencé comme science expérimentale, et non par l ’effort
Page 162 théorique d ’Albert Einstein ! Pourquoi ? La valeur calculée par la formule ci-dessus est
différente de la valeur mesurée. La première expérience eut lieu en 1919*, elle mit en évi-
dence la dépendance correcte par rapport à la distance, mais releva un écart allant jus-
qu ’à 1,75 ′′ , exactement le double de l ’expression (45). La cause n’est pas facile à décou-
vrir : en fait, l ’écart est dû à la courbure de l ’espace, comme nous le verrons. En bref, la
lumière peut tomber, mais ce sujet masque de nombreuses surprises.
Q u ’ est-ce que la masse ? – Suite

La masse décrit comment un objet interagit avec les autres. Dans notre promenade,
nous avons rencontré deux de ses caractéristiques. La masse inertielle est la propriété
qui conserve le mouvement des objets et qui offre une résistance au changement de leur
mouvement. La masse gravitationnelle est la propriété responsable de l ’accélération des
corps proches (l ’aspect actif) ou de l ’accélération de ces corps par des objets situés à
proximité (l ’aspect passif). Par exemple, l ’aspect actif de la masse de la Terre détermine
l ’accélération des corps à sa surface. L’aspect passif de ces corps nous permet de les peser
afin de mesurer leur masse en utilisant uniquement des distances, c ’est-à-dire sur une
bascule ou une balance. La masse gravitationnelle est le fondement du poids, qui est la
résistance à soulever les choses**.
La masse gravitationnelle d ’un corps est-elle égale à sa masse inertielle ? Une réponse
approximative est donnée par l ’expérience : un objet qu ’ il est difficile de déplacer est
également difficile à soulever. L’expérimentation la plus simple est de prendre deux corps
de masses différentes et de les laisser tomber. Si l ’accélération est la même pour tous les
corps, alors la masse inertielle est égale à la masse gravitationnelle (passive), parce que
Défi 254 pe * D’ailleurs, comment mesureriez-vous la déviation de la lumière à côté d ’un Soleil éclatant ?
** Quelles sont les valeurs indiquées par une balance pour une personne de 85 kg jonglant avec trois balles
Défi 255 pe de 0,3 kg chacune ?
dans la relation ma = ∇(GMm/r) le m du membre de gauche est en réalité la masse

inertielle, et le m du membre de droite est en fait la masse gravitationnelle.
Mais au dix-septième siècle Galilée avait largement diffusé un argument encore plus
ancien démontrant, sans même recourir à une simple expérience, que l ’accélération est
en réalité la même pour tous les corps. Si des masses plus grandes tombaient plus rapi-

dement que des masses plus petites, alors le paradoxe suivant devrait se présenter. N ’ im-
porte quel corps peut être vu comme étant constitué d ’un grand morceau relié à un petit
fragment. Si les petits corps tombaient vraiment moins vite, le petit fragment devrait
ralentir le grand dans sa chute, ainsi donc le corps complet devrait tomber moins rapi-
dement que le grand fragment tout seul (ou se briser en morceaux). En même temps,
le corps étant plus grand que ses parties, il devrait chuter plus rapidement que celles-ci.
C ’est évidemment impossible : toute masse doit tomber avec la même accélération.
De nombreuses expériences précises ont été réalisées depuis la discussion initiale de
Galilée. Dans toutes celles-ci l ’ indépendance de l ’accélération de la chute libre par rap-
port à la masse et à la composition matérielle a été confirmée avec la précision qu ’elles
Réf. 114 permettaient. En d ’autres mots, autant que nous puissions le dire, la masse gravitation-
nelle et la masse inertielle sont équivalentes. Quelle est la source de cette mystérieuse
égalité ?
Ce prétendu « mystère » est un exemple typique de méconnaissance, maintenant ré-
pandue à travers le monde entier dans l ’enseignement de la physique. Retournons à la
Page 72 définition de la masse comme étant l ’ inverse du rapport négatif entre les accélérations.
Nous avions fait allusion au fait que les origines physiques des accélérations ne jouaient
aucun rôle dans la définition parce que cette origine n’apparaît pas dans l ’expression. En
d ’autres termes, la valeur de la masse est, par définition, indépendante de l ’ interaction.
Cela signifie en particulier que la masse inertielle, fondée sur l ’ interaction électromagné-
tique, et la masse gravitationnelle sont identiques par définition.
Nous remarquons également que nous n’avons jamais défini un concept distinct pour
la « masse gravitationnelle passive ». La masse qui est accélérée par la gravitation est la
masse inertielle. Pire, il n’y a aucune manière de définir une « masse gravitationnelle
Défi 256 pe passive ». Essayez ! Toutes les méthodes, comme la pesée d ’un objet, ne peuvent pas être
distinguées de celles qui déterminent la masse inertielle à partir de sa réaction à l ’accé-
lération. En réalité, toutes les méthodes de mesure de masse utilisent des dispositifs non
gravitationnels. Les balances en sont des exemples excellents.
Si la « masse gravitationnelle passive » était différente de la masse inertielle, nous au-
rions des conséquences inquiétantes. En considérant les corps pour lesquels elle serait
différente nous aurions des problèmes avec la conservation de l ’énergie. De la même fa-
çon, prétendre que la « masse gravitationnelle active » diffère de la masse inertielle nous
attirerait des ennuis.
Une autre manière de considérer ce problème est la suivante : comment la « masse gra-
vitationnelle » pourrait-elle se distinguer de la masse inertielle ? La différence dépendrait-
elle de la vitesse relative, du temps, de la position, de la composition ou de la masse elle-
même ? Chacune de ces possibilités contredit soit la conservation de l ’énergie soit celle
de la quantité de mouvement.
Il n’est pas étonnant que toutes les mesures confirment l ’équivalence de tous les types
de masses. Ce thème ressurgit dans la relativité générale, n’apportant aucun nouveau
Page 145 résultat probant. « Les deux » masses demeurent égales, la masse est une caractéristique

F I G U R E 84 Les balais tombent plus rapidement que les pierres. (© Luca Gastaldi)
unique des corps. Un autre problème demeure, malgré tout. Quelle est la source de la
masse ? Pourquoi existe-t-elle ? Cette question simple mais profonde ne peut pas trouver
de réponse dans la physique classique. Nous devrons nous armer de patience avant de
découvrir cela.
Curiosités et défis amusants sur la gravitation

Fallen ist weder gefährlich noch eine Schande ;
“ ∗∗
Liegen bleiben ist beides*.
Konrad Adenauer
”
La gravité sur la Lune ne représente qu ’un sixième de celle sur Terre. Pourquoi ceci
implique-t-il qu ’ il est difficile de marcher rapidement et de courir sur la Lune (comme
il a pu être vu sur les images télévisées enregistrées sur place) ?
∗∗
L’expression en l ’ inverse du carré de l ’attraction universelle possède une restriction : elle
ne nous permet pas de faire des prédictions raisonnables sur la matière dans l ’univers.
La gravitation universelle prédit qu ’une distribution de masse homogène est instable. En
réalité, on observe une distribution non homogène. Toutefois, la gravitation universelle
ne prédit pas la masse volumique moyenne, l ’obscurité de la nuit, les vitesses observées
des galaxies lointaines, etc. En fait, pas une seule propriété de l ’univers n’est expliquée.
Pour cela, nous aurons besoin de la relativité générale.
∗∗
Imaginez que vous ayez douze pièces d ’apparence identique, dont l ’une est contrefaite.
La pièce falsifiée possède une masse différente des onze autres authentiques. Comment
pouvez-vous déterminer laquelle est la pièce contrefaite et si elle est plus légère ou plus
Défi 257 e lourde, en utilisant une balance ordinaire uniquement trois fois ?
∗∗
* « Chuter n’est ni dangereux ni honteux, rester couché est les deux à la fois. » Konrad Adenauer (n. Cologne
1876, d. Rhöndorf 1967), chancelier allemand.

1 000 km
F I G U R E 85 La situation F I G U R E 86 Une balance juste ?
initiale d’un sauteur à
l’élastique.
Pour un physicien, l ’ antigravité est la gravité répulsive. Elle n’existe pas dans la nature.
Cependant, le mot « antigravité » est utilisé de manière incorrecte par de nombreuses
personnes, comme une rapide recherche sur Internet le montre. Certaines personnes
nomment « antigravité » tout effet qui surpasse la gravité. Toutefois, cette définition im-
plique que les tables et les chaises sont des dispositifs antigravitants. En suivant cette
définition, la majorité des producteurs de bois, d ’acier et de béton feraient affaire dans
les métiers de l ’antigravitation. La définition sur Internet n’a absolument aucun sens.
∗∗
Tous les objets sur Terre tombent-ils avec la même accélération de 9,8 m/s2 , sachant que
la résistance due à l ’air peut être négligée ? Non. Tous les concierges le savent. Vous pou-
vez vérifier cela par vous-même. Un balai faisant un angle d ’environ 35° frappe le plan-
cher avant une pierre, comme les sons des différents impacts le confirment. Êtes-vous
Défi 258 s capable d ’expliquer pourquoi ?
∗∗
Les sauteurs à l ’élastique sont aussi accélérés plus fortement que д. Pour un élastique de
masse m et un sauteur de masse M, l ’accélération maximum a est
1m
a = д (1 + (4 + )) .
m
(46)
8M M
Défi 259 s Pouvez déduire cette relation à partir de la Figure 85 ?

∗∗
Défi 260 s Devinette : quel est le poids d ’une balle en liège d ’un rayon de 1 m ?
∗∗
Devinette : 1 000 billes en fer de 1 mm de diamètre sont rassemblées en un amoncelle-
Défi 261 s ment. Quelle est sa masse ?
∗∗

Comment pouvez-vous tirer profit de vos observations faites durant vos voyages pour
Défi 262 s montrer que la Terre n’est pas plate ?
∗∗
L’accélération due à la gravité est-elle constante ? Pas vraiment. Chaque jour, il est estimé
que 108 kg de matière tombe sur la Terre sous la forme de météorites.
∗∗
La Terre et la Lune attirent toutes les deux les corps. Le centre de masse du système Terre–
Lune est éloigné de 4 800 km du centre de la Terre, et est situé presque à côté de sa surface.
Défi 263 s Pourquoi les corps sur Terre tombent-ils toujours en direction du centre de la Terre ?
∗∗
Chaque corps sphérique chute-t-il avec la même accélération ? Non. Si le poids de l ’objet
est comparable à celui de la Terre, la distance décroît d ’une manière différente. Pouvez-
Défi 264 pe vous entériner cette affirmation ? Qu ’est-ce qui est faux alors dans l ’argument de Galilée
concernant la constance de l ’accélération de la chute libre ?
∗∗
Il est facile de soulever une masse d ’un kilogramme posée sur le sol ou sur une table.
Vingt kilogrammes sont plus difficiles. Un millier est impossible. Cependant, 6 ⋅ 1024 kg
Défi 265 s est réalisable. Pourquoi ?
∗∗
Le rapport entre les forces des marées de la Lune et du Soleil est approximativement 7 ∶ 3.
Défi 266 pe Est-il vrai que c ’est aussi le rapport entre les masses volumiques des deux corps ?
∗∗
Le frottement entre la Terre et la Lune ralentit la rotation de chacune. La Lune a cessé de
tourner sur elle-même il y a plusieurs millions d ’années, et la Terre est sur la bonne voie
pour en faire autant. Lorsque la Terre cessera de tourner, la Lune arrêtera de s’éloigner
Défi 267 pe de la Terre. À quelle distance de la Terre la Lune se trouvera-t-elle à ce moment-là ? Par la
suite pourtant, dans un futur bien plus lointain, La Lune se rapprochera à nouveau de la
Terre, à cause des frottements entre le système Terre–Lune et le Soleil. Ce phénomène ne
se produira que si le Soleil brille pour toujours, ce qui est faux, mais pouvez-vous malgré
Défi 268 s tout expliquer cela ?
∗∗
Lorsque vous courez en direction de l ’est, vous perdez du poids. Il y a deux explications
distinctes : l ’accélération « centrifuge » augmente de telle sorte que la force avec laquelle
vous êtes tiré vers le bas diminue, et la force de Coriolis apparaît, avec un résultat ana-
Défi 269 pe logue. Pouvez-vous quantifier l ’ importance des deux effets ?

∗∗
Quel est le rapport des périodes entre une pierre tombant d ’une distance l et un pendule
Défi 270 s se balançant le long de la moitié d ’un cercle de rayon l ? (Ce problème a été posé par

Galilée.) Combien de chiffres du nombre π pouvons-nous espérer déterminer de cette
manière ?
∗∗
Pourquoi un vaisseau spatial peut-il accélérer grâce à l ’ effet de fronde gravitationnelle (ou
effet catapulte) lorsqu ’ il fait le tour d ’une planète, en dépit de la conservation de la quan-
Défi 271 s tité de mouvement ? Il est conjecturé que le même effet est aussi responsable de l ’exis-
tence des quelques astres exceptionnellement rapides qui sont observés dans la Galaxie.
Réf. 98 Par exemple, l ’étoile HE0457-5439 se déplace à 720 km/s, ce qui est nettement supérieur
aux 100 à 200 km/s de la plupart des étoiles dans la Voie lactée. Il semble que ce rôle de
centre d ’accélération soit occupé par un trou noir.
∗∗
Réf. 99 L’orbite d ’une planète autour du Soleil possède de nombreuses propriétés captivantes.
Quel est l ’ hodographe de cette orbite ? Quels sont les hodographes des orbites parabo-
Défi 272 s liques et hyperboliques ?
∗∗
Une question élémentaire mais ardue : si tous les corps s’attirent les uns les autres, pour-
quoi toutes les étoiles ne tombent-elles pas ou ne sont-elles pas déjà tombées les unes
Défi 273 s vers les autres ?
∗∗
L’accélération д due à la gravité à une profondeur de 3 000 km est de 10,05 m/s2 , plus
Réf. 115 de 2 % supérieure à celle de la surface de la Terre. Comment est-ce possible ? De même,
sur le plateau tibétain, д est plus élevé que la valeur au niveau de la mer de 9,81 m/s2 ,
bien que le plateau soit plus éloigné du centre de la Terre que ne l ’est le niveau de la mer.
Défi 274 s Comment est-ce possible ?
∗∗
Quand la Lune fait le tour du Soleil, sa trajectoire a-t-elle des segments concaves en direc-
tion du Soleil, comme le montre la partie droite de la Figure 87, ou non, comme indiqué
Défi 275 s sur la gauche ? (Indépendamment de ce problème, les deux trajectoires sur le schéma
masquent le fait que la trajectoire de la Lune ne se situe pas dans le même plan que celui
de la trajectoire de la Terre autour du Soleil.)
∗∗
Vous pouvez démontrer que des objets s’attirent les uns les autres (et qu ’ ils ne sont
pas seulement attirés par la Terre) à l ’aide d ’une simple expérience que n’ importe qui
peut réaliser chez lui, comme décrit sur le site Web http://www.fourmilab.ch/gravitation/
foobar/.
Terre Lune Terre

Lune
Soleil
F I G U R E 87 Laquelle de ces deux trajectoires de la Lune est-elle correcte ?
∗∗
Il est instructif de calculer la vitesse d’échappement sur la Terre, c ’est-à-dire la vitesse
à laquelle un corps doit être lancé pour qu ’ il ne retombe jamais. Elle se révèle être de
11 km/s. Quelle est la vitesse d ’échappement pour le Système solaire ? Par ailleurs, la vi-
tesse d ’échappement de notre Galaxie est de 129 km/s. Que se passerait-il si une planète
ou un système était si lourd que sa vitesse d ’échappement serait plus importante que la
Défi 276 s vitesse de la lumière ?
∗∗
Pour des corps de forme irrégulière, le centre de gravité d ’un corps n’est pas identique au
Défi 277 s centre de masse. Êtes-vous capable de confirmer cela ? (Conseil : trouvez et faites usage
de l ’exemple le plus simple possible.)
∗∗
La gravité peut-elle produire de la répulsion ? Qu ’est-ce qui se passe pour un petit corps
situé à l ’ intérieur d ’une grande masse en forme de C ? Est-il poussé en direction du
Défi 278 pe centre de masse ?
∗∗
Réf. 116 La forme de la Terre n’est pas une sphère. Par conséquent, un fil à plomb n’ indique gé-
Défi 279 pe néralement pas la direction du centre de la Terre. Quel est le plus grand écart en degrés ?
∗∗
Quel est le plus grand astéroïde duquel nous pouvons nous échapper simplement en sau-
Défi 280 s tant ?
∗∗
Si vous observez le ciel chaque jour à 6 heures du matin, la position du Soleil change au

F I G U R E 88 L’analemme au-dessus de Delphes entre janvier et décembre 2002. (© Anthony
Ayiomamitis)
cours de l ’année. Le résultat de la Figure 88 montre le Soleil ainsi photographié sur la

même image. La courbe, appelée analemme, est due à l ’ inclinaison de l ’axe de la Terre,
ainsi qu ’à la forme elliptique de la trajectoire autour du Soleil. La forme de l ’analemme
est également reconstruite dans les cadrans solaires de haute qualité. Les points supérieur
et inférieur (caché) correspondent aux solstices.
∗∗
La constellation (groupement d ’étoiles) dans laquelle le Soleil reste à midi (au centre du
fuseau horaire) un jour donné est supposée être le « signe zodiacal » de ce jour-là. Les as-
trologues affirment qu ’ ils sont au nombre de douze, à savoir Bélier, Taureau, Gémeaux,
Cancer, Lion, Vierge, Balance, Scorpion, Sagittaire, Capricorne, Verseau et Poissons et
que chacun occupe (assez précisément) un douzième d ’une année ou un douzième de
l ’écliptique. N ’ importe quelle vérification à l ’aide d ’un calendrier indique qu ’en ce mo-
ment le Soleil de midi n’est jamais dans le signe zodiacal qui est normalement associé
à ces jours-là. L’association a été décalée d ’environ un mois depuis qu ’elle fut définie,
Page 103 à cause de la précession de l ’axe de la Terre. Une vérification avec une carte de la voûte
céleste montre que les douze constellations n’ont pas la même longueur et que, sur l ’éclip-
tique, il y en a quatorze et non pas douze. Il y a Ophiuchus, la constellation du Serpentaire,
entre le Scorpion et le Sagittaire, et Cetus, la Baleine, entre le Verseau et les Poissons.
En réalité, aucune formulation astronomique concernant les signes du Zodiaque n’est
Réf. 117 correcte. Pour le dire clairement, l ’ astrologie, contrairement à son appellation, n’est pas
relative aux astres. (Dans certaines langues, le terme qui signifie « charlatan » est dérivé
dm
r
m
R

dM
F I G U R E 89 L’annulation de la force gravitationnelle à l’intérieur d’une coquille sphérique de matière.
du mot « astrologue ».)
∗∗
L’accélération gravitationnelle pour une particule située à l ’ intérieur d ’une coquille
Réf. 118 sphérique est nulle. L’annulation de la gravité dans ce cas est indépendante de la forme
de la particule et de sa position, et indépendante de l ’épaisseur de la coquille. Pouvez-
Défi 281 s vous établir cette affirmation en utilisant la Figure 89 ? Cela est vrai uniquement à cause
de la dépendance en 1/r 2 de la gravité. Pouvez-vous montrer que ce résultat ne s’applique
pas pour des coquilles non sphériques ? Remarquez que l ’annulation de la gravité à l ’ in-
térieur d ’une coquille sphérique ne s’applique généralement pas s’ il y a de la matière
située à l ’extérieur de la coquille. Comment pouvons-nous annihiler les effets de la ma-
Défi 282 s tière extérieure ?
∗∗
Pendant longtemps, on a pensé qu ’ il n’y avait aucune planète supplémentaire au-delà de
Réf. 119 Neptune et Pluton dans notre Système solaire, parce que leur orbite n’ indiquait aucune
perturbation due à un autre corps. Aujourd ’ hui, l ’opinion est différente. Il s’avère qu ’ il
y a seulement huit planètes : Pluton n’est pas une planète, mais le premier objet d ’un
ensemble de petits astres plus éloignés que les planètes, situés dans la ceinture de Kuiper
et le nuage d ’Oort. (Les astronomes ont malgré tout consenti à continuer d ’appeler Plu-
ton « planète » en dépit de cette évidence, pour éviter d ’avoir à en débattre*.) Des objets
sont régulièrement découverts dans la ceinture de Kuiper. En 2003, on a trouvé un ob-
jet, appelé Sedna, qui est presque aussi grand que Pluton mais trois fois plus éloigné du
Réf. 120 soleil**.
∗∗
En astronomie, on découvre périodiquement de nouveaux exemples de corps en mouve-
ment, même au siècle présent. Parfois il s’agit aussi de fausses alertes. Un exemple fut la
prétendue chute de minuscules comètes sur la Terre. Elles étaient censées être constituées
* Le débat a finalement eu lieu en août 2006, lors d ’une assemblée générale à Prague : les 2 500 astronomes
de l ’ Union Astronomique Internationale ont rélégué Pluton au rang de « planète naine ». [N.d.T.]
** On découvre continuellement des nouveaux corps, mais Sedna a joué un rôle particulier dans la prise
de conscience des astronomes de l ’urgence d ’une définition claire d ’une planète. C ’est devenu criant lors-
qu ’on a détecté Éris sur des photographies, en janvier 2005, un astre qui se révèle être plus gros que Pluton.
[N.d.T.]
de quelques douzaines de kilogrammes de glace, frappant la Terre toutes les quelques

Réf. 121 secondes. Il est dorénavant établi que cela ne se produit pas. D’un autre côté, il est vrai
que plusieurs tonnes d ’ astéroïdes chutent sur Terre chaque jour, sous la forme de par-
ticules minuscules. Malheureusement, la découverte d ’objets pouvant potentiellement
frapper la Terre n’est pas du tout évidente. Les astronomes aiment à souligner qu ’un as-

téroïde aussi massif que celui qui a provoqué l ’extinction des dinosaures pourrait frapper
la Terre sans qu ’aucun astronome ne le remarque à l ’avance, si sa direction est quelque
peu exceptionnelle, comme depuis l ’ hémisphère Sud, où les télescopes installés sont peu
nombreux.
∗∗
La gravitation universelle n’autorise que des orbites elliptiques, paraboliques ou hyper-
boliques. Il est impossible pour un petit objet s’approchant d ’un autre plus gros d ’être
capturé par celui-ci. Pour le moins, c ’est ce que nous en savons jusqu ’à présent. Pour-
tant, tous les livres d ’astronomie racontent des histoires de capture dans notre Système
solaire. Par exemple, plusieurs satellites externes de Saturne ont été capturés. Comment
Défi 283 s est-ce possible ?
∗∗
Quelle forme un tunnel devrait-il avoir pour qu ’une pierre le traverse en tombant sans
toucher les parois ? (On suppose que la densité est homogène.) Si la Terre ne tournait
pas, le tunnel serait en ligne droite et traverserait son centre, et la pierre tomberait vers
le bas et remonterait sans cesse, dans un mouvement d ’oscillation. Pour une Terre en
rotation, le problème est beaucoup plus épineux. Quelle est cette forme sachant que le
Défi 284 s tunnel commence à l ’équateur ?
∗∗
La Station spatiale internationale fait le tour de la Terre toutes les 90 minutes à une al-
titude d ’environ 380 km. Vous pouvez observer sa position sur le site Web http://www.
heavens-above.com. Par ailleurs, à chaque fois qu ’elle se situe juste au-dessus de l ’ ho-
rizon, la station est le troisième objet le plus lumineux dans le ciel nocturne, devancé
Défi 285 e uniquement par la Lune et Vénus. Jetez-y un coup d ’œil.
∗∗
Est-il vrai que le centre de masse du Système solaire, son barycentre, est constamment
Défi 286 s situé à l ’ intérieur du Soleil ? Même si une étoile ou le Soleil ne se déplace que très peu
lorsque des planètes tournent autour, ce mouvement peut être mesuré avec précision en
Page 26 faisant usage de l ’effet Doppler des ondes lumineuses ou sonores. Jupiter, par exemple,
produit une variation de vitesse de 13 m/s dans le Soleil, la Terre 1 m/s. Les premières
planètes en dehors du Système solaire, aux environs du pulsar PSR1257+12 et de l ’étoile
51 Pegasi, ont été découvertes de cette manière, en 1992 et 1995. Depuis ce temps, plus de
150 planètes ont été découvertes à l ’aide de cette méthode. Jusqu ’à présent, la plus petite
planète découverte a 7 fois la masse de la Terre.
∗∗
Tous les points sur la Terre ne reçoivent pas le même nombre d ’ heures de lumière du
jour pendant une année. Les effets sont difficiles à identifier, cependant pouvez-vous en
Défi 287 d relever un ?
∗∗
Les phases de la Lune peuvent-elles avoir un effet mesurable sur le corps humain ? Qu ’en

Défi 288 s est-il des effets dus aux marées lunaires ?
∗∗
Il y a une différence essentielle entre le système héliocentrique et l ’ancienne idée que
toutes les planètes tournaient autour de la Terre. Le système héliocentrique établit que
certaines planètes, telles que Mars et Vénus, peuvent se trouver entre la Terre et le Soleil
à certaines périodes, et derrière le Soleil à d ’autres moments. A contrario, le système géo-
centrique affirme qu ’elles sont toujours situées entre. Pourquoi un différend si important
Défi 289 s ne remit-il pas immédiatement en cause le système géocentrique ?
∗∗
La reformulation la plus énigmatique de la description du mouvement exprimée par
Réf. 122 ma = ∇U est l ’équation suivante qui paraît presque insensée :
∇v = dv/ds (47)
où s représente la longueur de la trajectoire du mouvement. Elle est appelée formulation

par rayon des équations du mouvement de Newton. Pouvez-vous découvrir des exemples
Défi 290 s de son application ?
∗∗
Vue depuis Neptune, la taille du Soleil est la même que celle de Jupiter vue depuis la Terre
Défi 291 s au moment où elle est le plus proche. Est-ce vrai ?
∗∗
Qu ’est-ce que la gravité ? Ce n’est pas une question triviale. En 1690, Nicolas Fatio de
Réf. 123 Duillier et, en 1747, Georges Louis Lesage suggérèrent une explication pour la dépen-
dance en 1/r 2 . Lesage argumenta que le monde est empli de petites particules – il les
appela des « corpuscules ultramondains » – voltigeant partout de manière aléatoire et
heurtant tous les objets. Des objets ordinaires ne ressentent pas ces coups, puisqu ’ ils
sont continuellement frappés au hasard dans toutes les directions. Mais lorsque deux ob-
jets sont proches l ’un de l ’autre, ils se font de l ’ombre pour la partie du flux qui provient
de la direction de l ’autre corps, avec pour résultat une attraction. Pouvez-vous montrer
Défi 292 pe qu ’une telle attraction possède une dépendance en 1/r 2 ?
Toutefois, la proposition de Lesage pose un certain nombre de difficultés. Cette hypo-
thèse ne fonctionne que si les collisions sont inélastiques. (Pourquoi ?) Cependant, cela
signifierait que tous les corps se réchaufferaient au cours du temps, comme Jean-Marc
Réf. 3 Lévy-Leblond l ’a expliqué.
Il y a deux problèmes supplémentaires avec la suggestion de Lesage. Premièrement,
un corps libre de tout mouvement dans l ’espace devrait être touché par un plus grand
nombre de particules, ou par des particules plus rapides, à l ’avant qu ’à l ’arrière. Par
conséquent, le corps devrait être ralenti. Deuxièmement, la gravité devrait dépendre de

la taille, mais d ’une manière étrange. En particulier, trois corps se trouvant le long d ’une
droite ne devraient pas se faire de l ’ombre, puisqu ’une telle ombre n’est pas observée.
Mais ce modèle naïf prédit le contraire.
Malgré toutes les critiques, cette célèbre idée revient régulièrement sur la table en phy-

sique depuis son apparition, même si de telles particules n’ont jamais été détectées. Ce
n’est que dans la troisième partie de notre escalade de la montagne que nous résoudrons
cette question.
∗∗
Défi 293 pe Pour quels corps la gravité décroît-elle lorsque vous vous en approchez ?
∗∗
Pouvons-nous mettre un satellite en orbite en utilisant un canon ? La réponse dépend-
Défi 294 pe elle de la direction dans laquelle nous tirons ?
∗∗
Deux informaticiens partagent leur expérience. « J ’ai balancé mon Pentium III et mon
Pentium IV par la fenêtre. » « Et alors ? » « Le Pentium III était plus rapide. »
∗∗
À quelle fréquence la Terre se lève-t-elle et se couche-t-elle lorsqu ’elle est vue depuis la
Défi 295 s Lune ? La terre montre-t-elle des phases ?
∗∗
Défi 296 pe Quel est le poids de la Lune ? Quelle est sa proportion par rapport au poids des Alpes ?
∗∗
En raison du léger aplatissement de la forme de la Terre, la source du Mississippi est
à peu près 20 km plus proche du centre de la Terre que son embouchure. L’eau coule
Défi 297 s effectivement en courant ascendant. Comment est-ce possible ?
∗∗
Si un astre est constitué de matière de haute densité, la vitesse d ’une planète orbitant
autour de lui peut être plus grande que celle de la lumière. Comment la nature fait-elle
Défi 298 s pour esquiver cette étrange possibilité ?
∗∗
Qu ’adviendra-t-il du Système solaire à l ’avenir ? Cette interrogation est étonnamment
difficile à résoudre. Le principal spécialiste de cette question, le scientifique français des
systèmes planétaires Jacques Laskar, a simulé quelques centaines de millions d ’années
Réf. 124 d ’évolution à l ’aide de calculs numériques réalisés sur des ordinateurs. Il découvrit que
Page 279 les orbites planétaires sont stables, mais qu ’à petite échelle le chaos se manifeste dans
l ’évolution du Système solaire. Les diverses planètes s’ influencent entre elles de manière
subtile mais toujours mal comprise. Les effets qui ont eu lieu par le passé sont toujours
en cours d ’étude, comme la variation d ’énergie de Jupiter, due au fait qu ’ il provoqua
TA B L E AU 19 Une propriété inexpliquée de la

nature : les distances des planètes et les valeurs
données par la loi de Titius–Bode.
Planète n d i s ta n c e e n UA
prédite mesurée

Mercure −∞ 0,4 0,4
Vénus 0 0,7 0,7
Terre 1 1,0 1,0
Mars 2 1,6 1,5
Planétoïdes 3 2,8 2,2 à 3,2
Jupiter 4 5,2 5,2
Saturne 5 10,0 9,5
Uranus 6 19,6 19,2
Neptune 7 38,8 30,1
Pluton 8 77,2 39,5
l ’expulsion de petits astéroïdes du Système solaire, ou comme l ’acquisition d ’énergie
par Neptune. Il reste beaucoup de recherches à faire dans ce domaine.
∗∗
Un des problèmes non résolus sur le Système solaire est l ’explication de la distance des
planètes découverte en 1766 par Johann Daniel Titius (1729–1796) et diffusée par Jo-
hann Elert Bode (1747–1826). Titius découvrit que les distances d des planètes au Soleil
peuvent être approchées par
d = a + 2n b avec a = 0,4 UA , b = 0,3 UA (48)
où les distances sont mesurées en unités astronomiques et n est le numéro de la planète.

L’approximation qui en résulte est comparée aux observations dans le Tableau 19.
De façon intéressante, les trois dernières planètes ainsi que les planétoïdes furent dé-
couverts après la mort de Bode et de Titius. La loi a prédit la distance d ’ Uranus avec
succès, de même que celle des planétoïdes. Malgré ces réussites – et l ’échec pour les
deux dernières planètes – personne n’a encore trouvé de modèle pour la formation des
planètes qui explique la loi de Titius. Les gros satellites de Jupiter et d ’ Uranus sont régu-
lièrement espacés, mais ne s’accordent pas avec la loi de Titius–Bode.
Démontrer ou réfuter cette loi est un des défis qui demeurent en mécanique clas-
Réf. 125 sique. Quelques chercheurs soutiennent que cette loi est une conséquence de l ’ invariance
Réf. 126 d ’échelle, d ’autres affirment que c ’est un hasard ou même une diversion. Cette dernière
interprétation est également suggérée par le comportement contraire à la loi de Titius–
Bode de pratiquement toutes les planètes extrasolaires. Le débat n’est pas clos.
∗∗
Il y a environ 3 000 ans, les Babyloniens avaient mesuré les périodes orbitales des sept
TA B L E AU 20 Les périodes
orbitales connues des
Babyloniens.
Astre Période
Saturne 29 a

Jupiter 12 a
Mars 687 j
Soleil 365 j
Vénus 224 j
Mercure 88 j
Lune 29 j
F I G U R E 90 Une éclipse solaire (11 août 1999, photographiée depuis la station russe Mir).
corps célestes connus à l ’époque. Ordonnés de la plus longue période à la plus courte, ils
les écrivirent comme dans le Tableau 20.
Les Babyloniens introduisirent également la semaine et la division de la journée en
24 heures. Ils avaient dédié chacune des 168 heures de la semaine à un corps céleste, en
suivant l ’ordre du tableau. Ils avaient également dédié la journée entière au corps céleste
qui correspondait à la première heure de ce jour-là. Le premier jour de la semaine était
Défi 299 e voué à Saturne, la disposition des autres jours de la semaine suivait alors le Tableau 20.
Réf. 127 Cette histoire fut contée par Cassus Dio (v. 160 à v. 230). Vers la fin de l ’Antiquité, la
disposition fut modifiée par l ’ Empire romain. Dans les langues germaniques, incluant
l ’anglais, les noms latins des corps célestes furent remplacés par les dieux germains cor-
respondants. L’ordre samedi, dimanche, lundi, mardi, mercredi, jeudi et vendredi est
donc une conséquence à la fois de relevés astronomiques et de croyances astrologiques
de la part des Anciens.
∗∗
En 1722, le grand mathématicien Leonhard Euler commit une erreur dans ses calculs qui
le conduisit à conclure que, si un tunnel était construit d ’un pôle de la Terre à l ’autre, une
pierre tombant à l ’ intérieur atteindrait le centre de la Terre, se retournerait alors immé-
diatement et rebrousserait chemin. Voltaire tourna en dérision cette conclusion durant
plusieurs années. Pouvez-vous corriger Euler et montrer que le véritable mouvement est
une oscillation entre les deux pôles, et pouvez-vous évaluer le temps de chute de pôle à
Défi 300 s pôle que cela prendrait (en supposant la densité homogène) ?
Quelle serait la période d ’oscillation pour un tunnel droit de longueur l à partir d ’un
point quelconque de la surface au point opposé sur le globe, n’allant pas de ce fait d ’un

Défi 301 s pôle à l ’autre ?
∗∗
La Figure 90 montre une photographie de l ’éclipse solaire de 1999 prise par la station
spatiale russe Mir. Elle indique clairement que le point de vue général d ’un phénomène
Défi 302 s peut être complètement différent de celui qui est local. Quelle est la vitesse de l ’ombre ?
∗∗
En 2005, des mesures par satellites ont mis en évidence le fait que l ’eau dans le fleuve
Amazone exerce une pression sur le terrain allant jusqu ’à 75 mm de plus pendant la
Réf. 128 saison où il est en crue que pendant la saison où il est presque vide.
Chapitre 7
L A M É C A N IQU E C L A S SIQU E ET L A

PR É DIC T I BI L I T É DU MOU V E M E N T
Tous les types de mouvement dans lesquels on peut décrire la masse d ’un corps
comme étant sa seule propriété invariable forment ce qui est appelé la mécanique. La dé-
nomination « mécaniciens » est aussi attribuée aux spécialistes qui étudient ce domaine
de la physique. Nous pouvons imaginer la mécanique comme étant la branche athlétique
de la physique* : à la fois en athlétisme et en mécanique les longueurs, les temps et les
masses sont les seules quantités mesurées.
Plus précisément, notre domaine d ’ investigation actuel est appelé la mécanique clas-
sique, pour la distinguer de la mécanique quantique. La principale différence est qu ’en
physique classique des valeurs arbitrairement petites sont présumées exister, alors que ce
n’est pas le cas en mécanique quantique. L’utilisation de nombres réels pour les quantités
observables est donc primordiale en physique classique.
La mécanique classique est également régulièrement appelée physique galiléenne ou
physique newtonienne. Le fondement de la mécanique classique, la description du mouve-
ment en utilisant uniquement l ’espace et le temps, est appelé la cinématique. Un exemple
en est la description de la chute libre par z(t) = z 0 +v 0 (t−t 0 )− 21 д(t−t 0 )2 . Le reste, partie
majeure de la mécanique classique, est la description du mouvement comme une consé-
quence des interactions entre les corps. Elle est nommée la dynamique. Une illustration
de la dynamique est la formule de l ’attraction universelle.
La distinction entre la cinématique et la dynamique peut aussi être faite en relativité,
en thermodynamique et en électrodynamique. Même si nous n’avons pas encore exploré
ces domaines d ’ investigation, nous savons qu ’ il n’y a pas que la gravitation dans l ’ Uni-
vers. Une observation élémentaire permet de trancher : le frottement. Le frottement ne
peut pas être causé par la gravité, parce qu ’ il n’est pas observé dans les cieux, où le mou-
vement suit uniquement les lois gravitationnelles**. Qui plus est, sur Terre, le frottement
Défi 303 e est indépendant de la gravité, comme vous avez probablement déjà pu l ’expérimenter. Il
doit exister une autre interaction responsable du frottement. Nous allons bientôt l ’étu-
dier. Mais un sujet complémentaire mérite une explication tout de suite.
* Ceci est en contradiction avec la véritable provenance du terme « mécanique », qui signifie « science des
machines ». Il dérive du grec µηκανή, qui signifie « machine » et qui se trouve même être à l ’origine du
mot français « machine » lui-même. Quelquefois, le terme « mécanique » est utilisé pour l ’étude du mouve-
ment des corps solides uniquement, excluant par exemple l ’ hydrodynamique. Cet usage eut la faveur des
physiciens durant le siècle passé.
** Ce n’est pas parfaitement exact : dans les années 1980, le premier cas de frottement gravitationnel fut
Page 154 révélé : l ’émission des ondes gravitationnelles. Nous discuterons de ceci en détail plus tard.
156 7 la mécanique classique et la prédictibilité du mouvement
Devrait-on employer la force ?

L’usage direct de la force est une solution si
“ misérable pour résoudre n’ importe quel

problème, qu ’elle est en général employée
uniquement par les petits enfants et par les
grandes nations.

Tout le monde doit prendre position sur cette question, même les étudiants en phy-
David Friedman
sique. En fait, plusieurs sortes de forces sont utilisées et observées dans la vie quotidienne.
”
Nous voulons parler des forces musculaire, gravitationnelle, spirituelle, sexuelle, malé-
fique, supernaturelle, sociale, politique, économique et de nombreuses autres. Les phy-
siciens voient les choses plus simplement. Ils nomment interactions les différents types
de forces observés entre des objets. L’étude minutieuse de toutes ces interactions nous
montrera que, dans la vie courante, elles sont d ’origine électrique.
Pour les physiciens, tout changement est causé par le mouvement. Le mot force prend
alors également une définition plus restrictive. La force (physique) est définie comme
étant la variation de la quantité de mouvement, c ’est-à-dire comme
F=
dp
. (49)
dt
La force est le changement ou flux de la quantité de mouvement. Si une force agit sur
un corps, la quantité de mouvement circule vers celui-ci. De fait, la quantité de mouve-
ment peut être imaginée comme étant un certain liquide invisible et impalpable. La force
mesure quelle quantité de ce liquide s’écoule depuis un corps vers un autre par unité de
temps.
En utilisant la définition galiléenne de la quantité de mouvement de translation p =
mv, nous pouvons réécrire la définition de la force (pour une masse constante) comme
F = ma , (50)
où F = F(t, x) est la force agissant sur un objet de masse m et où a = a(t, x) = dv/dt =

d2 x/dt 2 est l ’accélération du même objet, c ’est-à-dire sa variation de vitesse*.
Cette expression établit en termes précis que la force est ce qui modifie la vitesse des
masses. La quantité est appelée « force » parce qu ’elle correspond à de nombreux aspects
de la force musculaire, mais pas tous. Par exemple, plus la force est importante, plus une
pierre peut être lancée loin.
Cependant, à chaque fois que la notion de force sera employée, nous devrons nous
souvenir que la force physique est différente de la force ordinaire ou de l ’effort courant.
* Cette équation fut écrite ainsi pour la première fois par le mathématicien et physicien suisse Leonhard
Euler (1707–1783) en 1747, plus de 70 ans après la première loi de Newton et 20 ans après le décès de celui-ci,
et à qui elle est généralement attribuée par erreur. C ’était Euler, et non pas Newton, qui comprit le premier
que cette définition de la force est fonctionnelle dans tous les cas où il y a du mouvement, quelles qu ’en soient
les apparences, qu ’ il s’agisse de particules ponctuelles ou d ’objets étendus, et qu ’ il s’agisse de corps rigides,
Réf. 24 déformables ou fluides. De façon surprenante et contrairement aux affirmations qui sont faites régulièrement,
l ’équation (50) est toujours valide en relativité, comme indiqué à la page 71.
la mécanique classique et la prédictibilité du mouvement 157
TA B L E AU 21 Quelques valeurs mesurées de force.
O b s e r va t i o n Force
Valeur de force mesurée dans un microscope à résonance magnétique 820 zN

Force maximale exercée par des dents 1,6 kN

Force typique exercée par une massue 2 kN
Force exercée par des quadriceps jusqu ’à 3 kN
Force éprouvée par un excellent adhésif de 1 cm2 jusqu ’à 10 kN
Force nécessaire pour sectionner une bonne corde utilisée pour l ’escalade 30 kN
Force maximale mesurable dans la nature 3,0 ⋅ 1043 N
L’effort est probablement la meilleure approximation du concept de puissance (physique),

généralement notée P, et définie (pour une force constante) comme
dW
P= = F⋅v (51)
dt
dans laquelle le travail (physique) W est défini comme étant W = F⋅s. Le travail physique
est une forme d ’énergie, comme vous pouvez le vérifier. Remarquez qu ’un homme qui
marche en portant un sac à dos très lourd réalise cet effort avec beaucoup de peine. Donc
Défi 304 s pourquoi se sent-il si fatigué ? Le travail, comme toute forme d ’énergie, doit être pris en
considération quand on cherche à vérifier la conservation de l ’énergie.
Avec la définition du travail donnée ci-dessus, vous pouvez résoudre les énigmes sui-
Défi 305 s vantes. Qu ’arrive-t-il à la consommation électrique d ’un escalier roulant si vous mar-
chez dessus au lieu de rester debout immobile ? Quelle est l ’ incidence de la définition du
Défi 306 d travail sur le salaire des scientifiques ?
Lorsque des étudiants en examen disent que la force agissant sur une pierre lancée est
Réf. 129 moindre au point le plus haut de la trajectoire, on a coutume de répondre qu ’ ils utilisent
un point de vue erroné, à savoir la vision aristotélicienne, dans laquelle la force est propor-
tionnelle à la vitesse. De temps à autre il est même dit qu ’ ils utilisent un concept diffé-
rent de l ’ état de mouvement. La critique accentue alors, avec un air de supériorité, le fait
que cela est faux. C ’est une image typique de la méconnaissance intellectuelle. Chaque
étudiant sait, en faisant du vélo, en jetant une pierre ou en tirant un objet, que l ’augmen-
tation de l ’effort produit une augmentation de la vitesse. Les étudiants ont raison, tous
les théoriciens qui en déduisent que ces étudiants ont une conception erronée de la force
ont tort. En réalité, à la place du concept physique de la force, l ’élève utilise simplement la
version quotidienne, à savoir l ’effort. De ce fait, l ’effort exercé par la gravité sur une pierre
en vol est moindre au point le plus haut de la trajectoire. Bien saisir la différence entre la
force physique et l ’effort quotidien est la principale embûche dans l ’ apprentissage de la
mécanique*.
* Ce palier est si élevé que de nombreux physiciens professionnels ne l ’ont jamais réellement franchi eux-
mêmes. Ceci est confirmé par les innombrables commentaires dans les articles qui proclament que la force
physique est définie d ’après la masse, et, en même temps, que la masse est définie en utilisant la force (la
dernière partie de la phrase étant une erreur fondamentale).
Régulièrement, le flux de la quantité de mouvement, l ’équation (49), n’est pas reconnu

comme étant la définition de la force. C ’est dû principalement à une observation cou-
rante : il semble y avoir des forces sans aucune accélération associée, ou variation dans
la quantité de mouvement, comme dans une corde sous tension ou dans de l ’eau à haute
pression. Lorsque nous nous appuyons contre un arbre, il n’y a aucun mouvement, bien

qu ’une force soit appliquée. Si la force est l ’écoulement de la quantité de mouvement, où
celle-ci va-t-elle ? Elle se répartit dans les minuscules déformations des bras et de l ’arbre.
En fait, quand nous commençons à pousser et donc à déformer, la variation associée de
la quantité de mouvement des molécules, des atomes ou des électrons des deux corps
peut être mise en évidence. Après que la déformation est établie, et en regardant sous un
grossissement encore plus important, nous pouvons effectivement constater qu ’un flux
de quantité de mouvement continu et équivalent se propage dans les deux directions. La
nature de cet écoulement sera élucidée dans la partie sur la théorie quantique.
Puisque la force est le flux net de la quantité de mouvement, elle est nécessaire comme
concept distinct seulement dans la vie quotidienne, où elle est utile dans des situations
où les flux nets de la quantité de mouvement sont inférieurs aux flux totaux. À l ’échelle
microscopique, la quantité de mouvement seule est suffisante pour la description du mou-
vement. Par exemple, la notion de poids décrit la circulation de la quantité de mouvement
due à la gravité. Ainsi nous n’utiliserons presque jamais le mot « poids » dans la partie
microscopique de notre aventure.
À travers sa définition, le concept de force est clairement distinct de la « masse », de
la « quantité de mouvement », de l ’ « énergie » et de la « puissance ». Mais où les forces
trouvent-elles leur origine ? En d ’autres termes, quels effets dans la nature ont la capa-
cité d ’accélérer des corps en puisant de la quantité de mouvement dans des objets ? Le
Tableau 22 en donne un aperçu.
Chaque exemple de mouvement, de celui qui nous permet de choisir la direction de
notre regard à celui qui transporte un papillon à travers un paysage bucolique, peut être
classé dans l ’une des deux colonnes de gauche du Tableau 22. D’un point de vue phy-
sique, les deux colonnes sont séparées par le critère suivant : dans le premier ensemble,
l ’accélération d ’un corps peut être dirigée dans une direction différente de sa vitesse.
Le second ensemble d ’exemples ne produit que des accélérations qui sont exactement
opposées à la vitesse du corps en mouvement, comme nous pouvons le constater dans
le référentiel d ’un milieu qui freine. Une telle force de résistance est appelée frottement,
force de traînée ou amortissement. Tous les exemples du second ensemble sont des types
Défi 308 e de frottement. Vérifiez-le.
Le frottement peut être si fort que le mouvement d ’un corps tout entier par rapport
à son environnement est rendu impossible. Ce type de frottement, appelé frottement sta-
tique ou frottement d’adhérence, est familier et important : sans lui, faire tourner les roues
des bicyclettes, des trains ou des voitures n’aurait absolument aucun effet. Pas une seule
vis ne resterait serrée. Nous ne pourrions pas plus courir ou marcher dans une forêt,
puisque le terrain serait encore plus glissant que la glace polie. En réalité, non seulement
notre propre mouvement, mais tous les mouvements volontaires des êtres vivants sont
fondés sur le frottement. Le cas est similaire pour les machines qui se déplacent toutes
seules. Sans frottement statique, les hélices des navires, des avions et des hélicoptères ne
seraient d ’aucune utilité et les ailes des avions ne produiraient aucun soulèvement pour
Défi 309 s les garder dans les airs. (Pourquoi ?) En résumé, le frottement statique est requis toutes
TA B L E AU 22 Sélection de processus et de dispositifs qui modifient le mouvement des corps.
S i t uat i o n s q u i S i t uat i o n s q u i Moteurs et ac-

peuvent conduire à conduisent uni- tionneurs
u ne ac cé l é r at i o n quement à une dé -
c é l é r at i o n

piézoélectricité
quartz sous tension électrique thermoluminescence trépied piézo en marche
gravitation
chute ondes gravitationnelles poulie
collisions
satellite tombant vers une accident de voiture moteur de fusée
planète
extension des montagnes collision de météorites nage des larves
effets magnétiques
aiguille de boussole et aimant freinage électromagnétique pistolet électromagnétique
magnétostriction pertes des transformateurs moteur linéaire
courant dans un fil et aimant échauffement électrique galvanomètre
effets électriques
peigne frotté près de cheveux frottement entre solides moteur électrostatique
bombes feu muscles, flagelle du spermato-
zoïde
tube de téléviseur microscope électronique moteur brownien
lumière
lévitation par la lumière refroidissement par laser (véritable) moulin solaire
voiles solaires pour satellites pression lumineuse (étoiles) capteur solaire
élasticité
arc et flèche bretelles de pantalons moteur à ultrasons
arbres cambrés qui se redressent oreiller, airbag bimorphes
osmose
sève qui monte dans les arbres conservation par le sel pendule osmotique
électro-osmose projection de rayons X
chaleur & pression
champagne réfrigéré résistance d ’une planche pistons hydrauliques
de surf
bouilloire sables mouvants machine à vapeur
baromètre parachute fusil à air comprimé, voilier
séismes résistance au glissement sismomètre
appel d ’air près d ’un train absorbeurs de chocs turbine à eau
nucléaire
radioactivité s’engouffrer dans le Soleil explosion d ’une supernova
biologie
croissance du bambou trouvez ! Défi 307 pe moteurs moléculaires
forme idéale, cw = 0,0168

avion de ligne classique, cw = 0,03
véhicule de sport classique, cw = 0,44
dauphin, cw = 0,035
F I G U R E 91 Formes et résistance à l’eau et à l’air.
les fois que nous souhaitons nous déplacer relativement à notre environnement.
Une fois qu ’un objet se déplace à travers son environnement, il est entravé par un
autre type de frottement : le frottement dynamique, qui agit sur des corps en mouvement
relatif. Sans lui, des corps en chute libre rebondiraient toujours à la même hauteur, sans
Réf. 130 jamais parvenir à s’arrêter. Ni les parachutes ni les freins ne fonctionneraient ; pire en-
core, nous n’aurions aucune mémoire, comme nous le verrons plus loin*.
Puisque les exemples de mouvement de la deuxième colonne du Tableau 22 incluent
le frottement, l ’énergie macroscopique n’est pas conservée dans ceux-ci : ces systèmes
sont dissipatifs. Dans la première colonne, l ’énergie macroscopique est constante : ces
systèmes sont conservatifs.
Les deux premières colonnes peuvent également être distinguées l ’une de l ’autre en
utilisant un critère mathématique plus abstrait : sur la gauche se trouvent des accéléra-
tions qui peuvent être dérivées d ’un potentiel, sur la droite, des décélérations qui ne le
peuvent pas. Comme dans le cas de la gravitation, la description de n’ importe quelle
sorte de mouvement est nettement simplifiée par l ’utilisation d ’un potentiel : à chaque
position dans l ’espace, nous n’avons besoin que de l ’unique valeur du potentiel pour
calculer la trajectoire d ’un objet, au lieu des trois nombres de l ’accélération ou de la
force. Qui plus est, la grandeur de la vitesse d ’un objet à n’ importe quel point peut être
calculée directement à partir de la conservation de l ’énergie.
Les processus à l ’origine de la seconde colonne ne peuvent pas être décrits par un
potentiel. Ce sont les cas dans lesquels nous devons nécessairement employer la force
si nous voulons décrire le mouvement d ’un système. Par exemple, la force F due à la
* Une récente étude suggère qu ’ il est possible que dans certains systèmes cristallins, tels des éléments en
tungstène sur du silicium, dans des conditions idéales, un frottement glissant puisse être extrêmement petit
Réf. 131 et puisse même disparaître dans certaines directions du mouvement. Ce phénomène, dénommé superlubri-
fication, est actuellement un sujet de recherches.
résistance de l ’air sur un corps est approximativement donnée par
1
F = c w ρAv 2 (52)
2
où A représente l ’aire de sa surface exposée au frottement et v sa vitesse relativement à

l ’air, ρ est la masse volumique de l ’air. Le coefficient de traînée c w est un nombre adimen-
sionnel qui dépend de la forme de l ’objet en mouvement. (Quelques exemples en sont
donnés dans la Figure 91.) Vous devez vérifier que la résistance aérodynamique ne peut
Défi 311 pe pas être dérivée d ’un potentiel*.
Le coefficient de traînée c w est mesuré expérimentalement comme étant toujours su-
périeur à 0,0168, qui correspond à un profil aérodynamique optimal. Une voiture aéro-
dynamique a une valeur comprise entre 0,25 et 0,3, mais de nombreux véhicules de sport
partagent avec les camionnettes des valeurs de 0,44 et plus**.
La résistance du vent est également importante pour les hommes, en particulier en
Réf. 133 athlétisme. Il est estimé que des sprinteurs du 100 m consacrent entre 3 % et 6 % de leur
puissance à surmonter la résistance de l ’air. Ceci conduit à des temps de courses t w va-
Défi 312 pe riables lorsque la vitesse w du vent est impliquée, ils sont associés par la relation
wt w 2
= 1, 03 − 0, 03 (1 − ) ,
t0
(53)
tw 100
dans laquelle l ’estimation la plus prudente de 3 % est utilisée. Un vent contraire d ’une
vitesse de −2 m/s provoque un accroissement du temps de 0,13 s, suffisant pour transfor-
mer un record mondial potentiel en un résultat « seulement » excellent. (À partir de cette
Défi 313 pe formule êtes-vous capable de déterminer la valeur de c w pour des coureurs ? )
De façon analogue, le parachutage fonctionne grâce à la résistance de l ’air. Pouvez-
vous préciser comment la vitesse d ’un corps qui chute varie dans le temps, en supposant
Défi 314 s que le coefficient de traînée et la forme sont constants ?
A contrario, le frottement statique possède des propriétés différentes. Il est propor-
tionnel à la force qui presse les deux corps l ’un contre l ’autre. Pourquoi ? En étudiant le
Réf. 134 phénomène plus en détail, nous trouvons que le frottement d ’adhérence est proportion-
nel à la surface réelle de contact. Cela souligne le fait que mettre deux solides en contact
est presque identique à prendre la Suisse, à la retourner à l ’envers et à la poser contre
l ’Autriche : la surface de contact est beaucoup plus petite que celle estimée macroscopi-
* Une telle affirmation concernant le frottement n’est exacte qu ’en trois dimensions, comme c ’est le cas dans
Défi 310 s la nature. Dans le cas d ’une unique dimension, un potentiel peut toujours être trouvé.
** Calculer les coefficients de traînée à l ’aide d ’ordinateurs, en donnant la forme du corps en question et
les propriétés du fluide, est une des tâches les plus ardues de la science. Le problème n’est toujours pas
complètement résolu.
Le thème des formes aérodynamiques est encore beaucoup plus captivant pour des corps fluides. Ceux-
ci gardent leur forme grâce à la tension superficielle. Par exemple, la tension superficielle laisse les cheveux
d ’une brosse humide ensemble. La tension superficielle détermine également la forme des gouttes de pluie.
Les expériences montrent qu ’elle est sphérique pour des gouttes inférieures à 2 mm de diamètre, et que les
gouttes de pluie plus grosses sont en forme de lentille, avec une partie aplatie vers le bas. Cette forme classique
en larme n’est pas rencontrée dans la nature, quelque chose de vaguement similaire à celle-ci survient lors
Réf. 132 du détachement de la goutte, mais jamais pendant sa chute.
quement. Le point crucial est que la véritable surface de contact est proportionnelle à la
force normale. L’analyse de ce qui se passe au niveau de la surface de contact est toujours
un sujet actif de recherches, les chercheurs sont en train d ’étudier ces problèmes en utili-
sant des instruments tels que des microscopes à force atomique, des microscopes à force
latérale et des triboscopes. Tous ces efforts trouvent des applications dans les disques

durs d ’ordinateurs qui durent plus longtemps, car le frottement entre le disque et la tête
de lecture est une variable essentielle qui détermine la durée de vie.
Toutes les formes de frottement sont accompagnées d ’une augmentation de la tem-
pérature du corps en mouvement. La raison devint évidente suite à la découverte des
atomes. Le frottement n’est pas observé dans des systèmes ne comportant que quelques
particules – par exemple, 2, 3 ou 4. Le frottement apparaît seulement dans les systèmes
ayant un grand nombre de particules, généralement de l ’ordre de plusieurs millions,
voire plus. De tels systèmes sont appelés systèmes dissipatifs. Les changements de tem-
pérature et le frottement lui-même sont tous les deux dus au mouvement d ’un grand
nombre de particules microscopiques les unes contre les autres. Ce mouvement n’est
pas intégré dans la description galiléenne. Lorsque c ’est le cas, le frottement et la perte
d ’énergie disparaissent, et des potentiels peuvent alors être employés dans tout ceci. Des
accélérations positives – d ’ampleur microscopique – apparaissent alors également, et le
mouvement se révèle être conservé. Ainsi, tout mouvement est conservatif à un ordre de
grandeur microscopique. Par conséquent, à cette échelle, il est possible d ’expliquer tout
mouvement sans le concept de force*. La morale de cette histoire est que nous devrions
utiliser la force uniquement dans une situation : dans le cas du frottement, et seulement
lorsque nous ne voulons pas plonger dans les détails microscopiques**.
Et qu ’avons-nous besoin de ce moteur, quand
“ l ’étude réfléchie de la nature nous prouve que le

mouvement perpétuel est la première de ses
lois ?
Donatien de Sade, Justine ou Les Malheurs de la
États complets – conditions initiales

vertu.
”
Quid sit futurum cras, fuge quaerere...***
“ Horace, Odi, lib. I, ode 9, v. 13.
* Le premier scientifique qui élimina la force dans la description de la nature fut Heinrich Rudolf Hertz
(n. Hambourg 1857, d. Bonn 1894), le célèbre découvreur des ondes électromagnétiques, dans son manuel
”
de mécanique, Die Prinzipien der Mechanik, Barth, 1894, republié par Wissenschaftliche Buchgesellschaft,
Darmstadt, 1963. Son idée fut fortement critiquée à l ’époque, et ce n’est qu ’une génération plus tard, lorsque
la mécanique quantique se débarrassa sereinement de ce concept une bonne fois pour toutes, que l ’ idée fut
communément admise. (Nombreux sont ceux qui ont spéculé sur le rôle que Hertz aurait pu jouer dans le
développement de la mécanique quantique et la relativité générale, s’ il n’était pas décédé si jeune.) Dans
son livre, Hertz avait également formulé le principe de la trajectoire la plus courte : les particules suivent des
géodésiques. Cette description est un des piliers même de la relativité générale, comme nous le verrons plus
loin.
** Dans le cas des relations humaines, l ’évaluation devrait être quelque peu précisée, comme le montre
Réf. 135 l ’étude menée par James Gilligan.
*** « De quel futur sera fait demain, ne demandez jamais... » Horace est Quintus Horatius Flaccus (65–
Réf. 56 8 av. J.-C. ), le grand poète romain.
Nous décrivons souvent le mouvement d ’un corps en précisant la dépendance par

rapport au temps de sa position, par exemple comme
x(t) = x0 + v0 (t − t 0 ) + 21 a0 (t − t 0 )2 + 61 j0 (t − t 0 )3 + ... . (54)

Les variables dotées d ’un indice 0, comme la position de départ x0 , la vitesse initiale
v0 , etc., sont appelées conditions initiales. Des conditions initiales sont nécessaires pour
n’ importe quelle description du mouvement. Des systèmes physiques distincts ont des
conditions initiales différentes. Celles-ci spécifient donc le caractère exclusif d ’un sys-
tème donné. Les conditions initiales nous permettent aussi de distinguer la situation
actuelle d ’un système de celle à n’ importe quel instant passé : les conditions initiales
précisent les aspects variables d ’un système. En d ’autres termes, elles résument le passé
d ’un système.
Les conditions initiales sont de cette façon précisément les propriétés que nous avions
Page 25 cherchées pour une description de l ’ état d ’un système. Pour trouver une description
complète des états, nous avons donc besoin uniquement d ’une description complète des
conditions initiales. Il apparaît que, pour la gravitation comme pour toutes les autres in-
teractions microscopiques, il n’y a pas besoin de l ’accélération initiale a0 , du jerk initial
j0 ou de quantités initiales d ’ordre plus important. Dans la nature, l ’accélération et le
jerk dépendent seulement des propriétés des objets et de leur environnement, elles ne
dépendent pas du passé. Par exemple, l ’expression a = GM/r 2 , donnant l ’accélération
d ’un petit corps à proximité d ’un autre plus grand, ne dépend pas du passé, mais seule-
ment du milieu. La même chose se produit pour les autres interactions fondamentales,
comme nous allons bientôt le découvrir.
Page 65 L’ état complet d ’une masse ponctuelle en mouvement est donc précisé en donnant
sa position et sa quantité de mouvement à chaque instant du temps. Ainsi nous avons
atteint une description complète des propriétés intrinsèques des objets ponctuels, à sa-
voir par leur masse, et de leurs états de mouvement, à savoir par leur quantité de mou-
vement, leur énergie, leur position dans le temps. Pour les objets rigides étendus, nous
avons également besoin de l ’orientation, de la vitesse angulaire et du moment cinétique.
Pouvez-vous préciser les quantités nécessaires dans le cas de corps étendus élastiques ou
Défi 315 pe fluides ?
L’ensemble de tous les états possibles d ’un système est désigné par un nom particu-
lier : il est appelé l ’ espace des phases. Nous utiliserons ce concept à plusieurs reprises.
Comme tout espace, il possède un nombre de dimensions. Pouvez-vous le trouver pour
Défi 316 s un système comportant N particules ponctuelles ?
Cependant, il y a des situations dans la nature où le mouvement d ’un objet dépend de
caractéristiques autres que sa masse, le mouvement peut dépendre de sa couleur (pouvez-
Défi 317 s vous trouver un exemple ?), de sa température et de quelques autres propriétés que nous
découvrirons bientôt. Pouvez-vous donner un exemple d ’une propriété intrinsèque que
Défi 318 s nous avons omise jusqu ’à présent ? Et pour chaque propriété intrinsèque il y a des va-
riables d ’état à découvrir. Ces nouvelles propriétés sont les fondements du champ de l ’ in-
vestigation physique sous-jacente à la mécanique. Nous devons par conséquent conclure
que pour l ’ instant nous ne sommes pas parvenus à une description complète du mouve-
ment.
Il est intéressant de rappeler un défi plus ancien et de le formuler à nouveau :

Défi 319 s l ’ univers a-t-il des conditions initiales ? Possède-t-il un espace des phases ? Comme
conseil, rappelez-vous que, lorsqu ’une pierre est lancée, les conditions initiales résument
les effets du lanceur, son histoire, la manière dont il est arrivé là, etc. ; en d ’autres termes,
les conditions initiales résument les effets que l ’environnement a eus pendant l ’ histoire

d ’un système.
Un optimiste est quelqu ’un qui pense que le
“ futur est incertain.
Les surprises existent-elles ? L’ avenir est-il déjà tou t tracé ?

”
Die Ereignisse der Zukunft können wir nicht aus
“ den gegenwärtigen erschließen. Der Glaube an

den Kausalnexus ist ein Aberglaube*.
”
“
La liberté c ’est de savoir reconnaître le
nécessaire.
Friedrich Engels (1820–1895)
Si, après avoir grimpé dans un arbre, nous sautons sur le sol, nous ne pouvons stopper
notre saut au milieu de sa trajectoire. Une fois que le saut est commencé, il est inévitable
et déterminé, comme tous les mouvements passifs. Pourtant, lorsque nous commençons
à bouger un bras, nous pouvons arrêter son mouvement ou transformer une gifle en
une caresse. Le mouvement volontaire ne semble pas être inévitable ou prédéterminé.
Défi 320 e Laquelle de ces deux situations est la plus générale ?
Commençons avec l ’exemple que nous pouvons décrire le plus précisément possible
pour le moment : la chute d ’un corps. Une fois que le potentiel φ agissant sur une parti-
cule est fixé et pris en compte, en utilisant
a(x) = −∇φ = −GMr/r 3 , (55)
et l ’état à un instant donné qui est fourni par les conditions initiales comme
x(t 0 ) = x 0 et v(t 0 ) = v 0 , (56)
nous pouvons alors déterminer le mouvement à l ’avance. La trajectoire complète x(t)

peut être calculée avec ces deux renseignements. En raison de cette faisabilité, une équa-
tion telle que (55) est appelée une équation d’évolution pour le mouvement de l ’objet.
(Remarquez que le mot « évolution » possède une signification différente en physique et
en biologie.) Une équation d ’évolution exprime toujours l ’ idée que l ’on n’observe pas
dans la nature tous les types de changements possibles, mais seulement certaines situa-
tions précises. Toutes les successions possibles et imaginables d ’événements ne sont pas
observées, mais seulement un nombre limité d ’entre elles. En particulier, l ’équation (55)
explicite que, d ’un instant au suivant, les objets modifient leur mouvement par le tru-
* « Nous ne pouvons pas déduire les événements du futur à partir de ceux du présent. La superstition n’est
rien d ’autre que la croyance dans les liens de cause à effet. »
chement du potentiel qui agit sur eux. Donc, en fixant une équation d ’évolution et un
état initial, le mouvement tout entier d ’un système est fixé de manière unique. Cette pro-
priété du mouvement est souvent nommée déterminisme. Puisque ce terme est familière-
ment utilisé avec des connotations différentes, distinguons-le prudemment de plusieurs
concepts similaires pour éviter tout malentendu.

Le mouvement peut être déterministe et en même temps rester imprévisible. Cette
dernière caractéristique peut avoir quatre origines : un nombre énorme de particules im-
pliquées qui rend tout calcul inexploitable, la complexité des équations d ’évolution, des
informations insuffisantes concernant les conditions initiales, et des formes de l ’espace-
temps qui ne sont pas familières. La prévision météorologique est un exemple où les
trois premières conditions sont vérifiées en même temps*. Néanmoins, son mouvement
est toujours déterministe. À proximité des trous noirs, les quatre conditions s’appliquent
toutes ensemble. Pourtant, à proximité des trous noirs, le mouvement est encore déter-
ministe.
Le mouvement peut être à la fois déterministe et aléatoire dans le temps, c ’est-à-dire
avoir des résultats différents à partir d ’expériences identiques. Le mouvement d ’une bille
de roulette est déterministe, mais est également aléatoire**. Comme nous le verrons plus
tard, les situations de la mécanique quantique tombent dans cette catégorie, de même
que tous les exemples de mouvements irréversibles, comme une goutte d ’encre qui se
répand dans de l ’eau claire. Dans tous ces cas le hasard et la non-reproductibilité ne
sont qu ’apparents, ils disparaissent lorsque nous prenons en compte la description des
états et des conditions initiales au niveau microscopique. En résumé, le déterminisme
n’entre pas en contradiction avec l ’ irréversibilité (macroscopique). Toutefois, à l ’échelle
microscopique, le mouvement déterministe est toujours réversible.
Une dernière notion qui doit être discernée du déterminisme est la non-causalité. La
causalité est l ’exigence qu ’une cause doit précéder son effet. Cela reste superficiel en
physique galiléenne, mais devient primordial en relativité restreinte, dans laquelle la cau-
salité entraîne que la vitesse de la lumière est une limite dans la propagation des effets. En
réalité, il semble impossible d ’avoir un mouvement déterministe (de matière et d ’éner-
gie) qui soit non causal, c ’est-à-dire plus rapide que la lumière. Pouvez-vous confirmer
Défi 321 s cela ? Ce sujet sera plus profondément étudié dans la section sur la relativité restreinte.
Dire que le mouvement est « déterministe » signifie qu ’ il est fixé une fois pour toutes
dans le futur mais également dans le passé. Il est parfois affirmé que des prédictions d ’ob-
servations futures représentent un test décisif pour une description exacte de la nature.
En raison de notre capacité fréquente et impressionnante à influencer l ’avenir, ce n’est
pas forcément un bon test. Toute théorie doit, avant tout, décrire correctement les obser-
vations passées. C ’est notre impuissance à pouvoir modifier le passé qui a pour résultat
notre impossibilité de choisir la bonne description de la nature, qui est si centrale en
physique. En ce sens, l ’expression « situation initiale » est un choix malheureux, parce
qu ’ il nous conduit automatiquement à rechercher la situation initiale de l ’univers et
* Pour des images magnifiques de nuages, consultez le site Web http://www.goes.noaa.gov.

** Les mathématiciens ont développé une large palette de tests pour déterminer si un ensemble de nombres
peut être qualifié d ’ aléatoire. Les résultats de la roulette passent tous ces tests avec succès – uniquement dans
les casinos honnêtes, toutefois. De tels tests vérifient typiquement la distribution identique des nombres, des
paires de nombres, des triplets de nombres, etc. D’autres tests sont le test du chi-deux χ 2 , le(s) test(s) de
Réf. 136 Monte Carlo, et le test du gorille.
à tenter ainsi de répondre à des questions qui peuvent trouver une réponse sans cette
information. Le principal ingrédient d ’une description déterministe est que tout mou-
vement peut être réduit à une équation d ’évolution plus un état explicite. Cet état peut
aussi bien être initial, intermédiaire ou final. Le mouvement déterministe est défini de
manière unique dans le passé et dans le futur.

Pour avoir une idée claire du déterminisme, il est utile de rappeler pourquoi la notion
de « temps » s’est immiscée dans notre description du monde. Nous avons introduit le
temps parce que nous observons en premier lieu que nous sommes capables de définir
des successions dans les observations, et, en second lieu, que le changement sans limites
n’existe pas. C ’est à l ’opposé des films, où un individu peut passer une porte pour ressor-
tir sur un autre continent ou dans un autre siècle. Dans la nature, nous n’observons pas
de métamorphoses, comme des individus se transformant en grille-pain ou des chiens en
brosses à dents. Nous introduisons le « temps » uniquement parce que les changements
successifs que nous observons sont extrêmement restreints. Si la nature n’était pas re-
Défi 322 s productible, le temps ne pourrait pas être employé. En résumé, le déterminisme exprime
l ’ idée que des changements successifs ne sont limités à chaque fois qu ’à une unique occur-
rence possible.
Puisque le déterminisme est relié à l ’usage de la notion du temps, de nouvelles in-
terrogations surgissent dès que le concept temporel est modifié, comme cela se produit
dans la relativité restreinte, en relativité générale et dans la physique théorique des hautes
énergies. Ces questions sont très amusantes.
En résumé, chaque description de la nature qui utilise la notion de temps, telles celle
de la vie quotidienne, celle de la physique classique et celle de la mécanique quantique,
est intrinsèquement et inévitablement déterministe, puisqu ’elle relie des observations
passées et futures, bannissant toute alternative. En bref, l ’usage du temps implique le déter-
minisme, et vice versa. Lorsque nous formulons des conclusions métaphysiques, comme
il est si familier de nos jours en discutant de la théorie quantique, nous ne devrions ja-
Page ?? mais oublier cette relation. Quiconque utilise des horloges mais renie le déterminisme
entretient une double personnalité* !
L’ idée que le mouvement est fixé produit souvent de la crainte, parce que nous avons
été éduqués pour associer le déterminisme avec un manque de liberté. D’un autre côté,
nous faisons l ’expérience de la liberté dans nos actions et nous appelons cela le libre
arbitre. Nous savons qu ’ il est indispensable pour notre créativité et pour notre bonheur.
Par conséquent il semblerait que le déterminisme soit opposé au bonheur.
Mais qu ’est-ce que précisément le libre arbitre ? Beaucoup d ’encre a coulé pour tenter
de trouver une définition précise. Nous pouvons essayer de définir le libre arbitre comme
la liberté dans le choix des conditions initiales. Toutefois, des conditions initiales doivent
elles-mêmes résulter des équations d ’évolution, de telle façon qu ’ il n’y a en réalité pas de
liberté dans leur choix. Nous pouvons tenter de définir le libre arbitre à partir de l ’ idée
de l ’ imprévisibilité, ou à partir de propriétés similaires, comme l ’ incalculabilité. Mais
ces définitions se heurtent au même problème de base : quelle que soit cette définition,
il n’y a aucune voie pour démontrer expérimentalement qu ’une action a été réalisée
librement. Les éventuelles définitions sont inutiles. En résumé, le libre arbitre ne peut
pas être observé. (Les psychologues possèdent également un grand nombre de données
* Cela peut malgré tout faire l ’objet de nombreux divertissements.

qui leur sont propres pour appuyer cela, mais c ’est une autre histoire.)
Aucun processus graduel – par opposition à instantané – ne peut être dû au libre ar-
bitre. Les processus graduels sont décrits par le temps et sont déterministes. En ce sens,
la question concernant le libre arbitre en devient une concernant l ’existence de chan-
gements instantanés dans la nature. Ce sera un sujet récurrent dans la suite de notre

promenade. La nature a-t-elle le potentiel de surprendre ? Dans notre vie courante, elle
ne l ’a pas. Des modifications subites ne sont pas observées. Bien entendu, nous aurons
toujours à examiner cette question dans d ’autres domaines, dans l ’ infiniment petit et
dans l ’ infiniment grand. En réalité, nous changerons d ’opinion plusieurs fois. L’absence
de surprise dans la vie quotidienne est fondée de manière profonde dans notre corps : la
notion de curiosité est basée sur l ’ idée que toute chose découverte est utile par la suite.
Si la nature nous surprenait constamment, la curiosité n’aurait aucun sens.
Une autre remarque contredit l ’existence des aberrations : au début de notre excur-
sion, nous définissions le temps en faisant usage de la continuité du mouvement, plus
tard nous avions exprimé cela en disant que le temps est une conséquence de la conser-
vation de l ’énergie. La conservation est le contraire de la surprise. D’ailleurs, un défi
demeure : pouvez-vous montrer que le temps ne serait pas définissable même si les sur-
Défi 323 s prises n’existaient que rarement ?
Succinctement, jusqu ’à présent nous n’avons aucune preuve que les surprises existent
dans la nature. Le temps existe parce que la nature est déterministe. Le libre arbitre ne
peut pas être défini avec la précision requise par la physique. En formulant qu ’ il n’y a
aucun changement instantané, nous formulons implicitement qu ’ il n’existe qu ’une dé-
finition consistante du libre arbitre : c ’est une sensation, en particulier d ’ indépendance
par rapport aux autres, d ’ indépendance par rapport à la peur et d ’acceptation des consé-
Réf. 137 quences de nos actions. Le libre arbitre est une sensation de satisfaction. Cela résout le
paradoxe apparent : le libre arbitre étant une impression, il existe en tant qu ’expérience
humaine, même si tous les objets se déplacent sans aucune possibilité de choisir. Il n’y a
aucune contradiction*.
Réf. 138 Même si l ’action humaine est prédéterminée, elle reste authentique. Alors pourquoi le
déterminisme est-il si effrayant ? C ’est une question que chacun doit se poser à lui-même.
Quelle distinction le déterminisme implique-t-il pour votre vie, pour les actions, les
Défi 325 e choix, les responsabilités et les plaisirs que vous rencontrez** ? Si vous concluez qu ’être
conditionné est différent d ’être libre, vous devez changer votre manière de vivre ! La peur
du déterminisme provient généralement du refus de considérer le monde tel qu ’ il est.
Paradoxalement, c ’est précisément celui qui insiste sur l ’existence du libre arbitre qui
cherche à échapper aux responsabilités.
* Le fait que le libre arbitre soit une sensation peut également être confirmé par une introspection attentive.
L’ idée du libre arbitre survient toujours après qu ’une action a été entamée. C ’est une expérience magnifique
que de s’asseoir dans un environnement paisible, avec l ’ intention de faire, dans un nombre indéterminé de
minutes, un petit geste, comme fermer sa main. Si vous observez attentivement, dans tous ses détails, ce qui
Défi 324 e se passe à l ’ intérieur de vous-même aux alentours du véritable moment de la décision, vous trouvez soit
un mécanisme qui a conduit à la décision, soit une vague impression obscure et diffuse. Vous ne trouvez
jamais de libre arbitre. Une telle expérience est une voie magnifique pour expérimenter avec profondeur les
prodiges de la personnalité. Des expériences de ce genre peuvent également être une des origines possibles
de la spiritualité humaine, puisqu ’elles indiquent la relation que chacun entretient avec le reste de la nature.
** Si les « lois » de la nature sont déterministes, sont-elles en contradiction avec les « lois » morales ou
Défi 326 s éthiques ? Les gens peuvent-ils toujours être tenus pour responsables de leurs actions ?
Vous avez la capacité de vous surprendre
“ vous-même.
Richard Bandler et John Grinder
”
Une conclusion étrange sur le mouvement

“
Darum kann es in der Logik auch nie
Überraschungen geben*.
La mécanique classique décrit la nature d ’une manière relativement simple. Les objets
sont invariables et sont des entités massives situées dans l ’espace-temps. Les états sont
”
les propriétés variables des objets, décrites par la position dans l ’espace et l ’ instant dans
le temps, par l ’énergie et la quantité de mouvement, et par leurs équivalents rotationnels.
Le temps est la relation mesurée par une horloge entre des événements. Les horloges sont
des dispositifs en mouvement non perturbé dont la position peut être observée. L’ espace,
et la position, est la relation mesurée par une règle graduée entre des objets. Les règles
graduées sont des appareils dont la forme est subdivisée par quelques marques, figées de
manière invariante et observable. Le mouvement est la variation de la position dans le
temps (fois la masse), il est déterminé, ne révèle aucune surprise, il est conservé (même
après la mort), et est provoqué par la gravitation et d ’autres interactions.
Même si cette description fonctionne plutôt bien, elle contient une définition en
Défi 327 s boucle. Pouvez-vous l ’ identifier ? Chacun des deux concepts centraux du mouvement
est défini à l ’aide de l ’autre. Les physiciens s’escrimèrent pendant environ 200 ans sur
la mécanique classique sans remarquer ou sans vouloir remarquer ce fait. Même les pen-
seurs qui avaient un intérêt à discréditer la science ne l ’ont pas relevé. Une science exacte
Défi 328 s peut-elle être fondée sur une définition circulaire ? Manifestement, la physique s’en est
plutôt bien sortie jusqu ’à présent. Certains ont même affirmé que cette situation est en
principe inévitable. Malgré ces jugements, défaire cette boucle logique est une des aspi-
rations du reste de notre promenade. Pour l ’accomplir, nous avons besoin d ’accroître
considérablement le niveau de précision de notre description du mouvement.
À chaque fois que la précision est accrue, l ’ imagination est restreinte. Nous décou-
vrirons que de nombreux types de mouvement qui paraissent réalisables ne le sont pas.
Le mouvement est limité. La Nature limite la vitesse, la taille, l ’accélération, la masse,
la force, la puissance et un grand nombre d ’autres quantités. Ne persévérez dans votre
lecture que si vous êtes préparé à troquer la fantaisie pour la précision. Cela ne sera pas
perdu, puisque vous obtiendrez alors quelque chose d ’autre : les rouages de la nature
vous émerveilleront.
Descriptions générales du mouvement

Πλεῖν ἀνάγκε, ζῆν οὐκ ἀνάγκη**.
“ Pompée
”
* « Par conséquent il ne peut jamais y avoir de surprises dans la logique. »
** « Navigare necesse, vivere non necesse (Naviguer est nécessaire, mais il n’est pas nécessaire de vivre). »
Réf. 139 Gnaeus Pompeius Magnus (106–48 av. J.-C. ), cité par Plutarque (v. 45 à v. 125).

B
F I G U R E 92 Quelle forme de rampe F I G U R E 93 Le mouvement peut-il être

permet à la pierre noire de glisser le défini de la même manière pour tous les
plus rapidement du point A au point observateurs ?
inférieur B ?
Partout sur la Terre – même en Australie – les gens remarquent que les pierres
tombent « vers le bas ». La promulgation de la « loi » universelle de la gravitation a été
facilitée par cette constatation ancestrale. Pour le découvrir, tout ce qu ’ il y eut à faire
fut de rechercher une description de la gravité qui fût valide au niveau général. La seule
remarque complémentaire qui doit être faite afin de déduire la formule a = GM/r 2 est
que la gravité varie avec la hauteur.
En résumé, le fait de réfléchir globalement nous aide à rendre notre description du
mouvement plus précise. Comment pouvons-nous décrire le mouvement de la manière
la plus générale possible ? Il apparaît que nous avons six manières d ’aborder cette ques-
tion, chacune d ’elles nous sera utile sur notre chemin vers le sommet de la Montagne
Mouvement. Nous commencerons par une vue d ’ensemble, puis nous explorerons les
détails de chaque approche.
— La première approche globale du mouvement émane du caractère limité de ce que
nous avons appris jusqu ’à présent. Lorsque nous déduisons le mouvement d ’une par-
ticule à partir de son accélération en cours, nous sommes en train d ’utiliser la des-
cription du mouvement la plus locale possible. Par exemple, toutes les fois que nous
utilisons une équation d ’évolution, nous utilisons en fait l ’accélération de la particule
en un lieu et à un instant donnés pour déterminer sa position et son mouvement juste
après cet instant et au voisinage immédiat de cet endroit.
Les équations d ’évolution ont donc un « horizon » imaginaire de rayon zéro.
L’approche opposée est illustrée dans le célèbre problème de la Figure 92. Le défi
est de trouver le trajet qui permet de réaliser le mouvement de glissade le plus rapide
Défi 329 d possible depuis un point élevé jusqu ’à un point distant plus bas. Pour résoudre cela,
nous avons besoin de considérer le mouvement comme un tout, pour tous les instants
et toutes les positions. L’approche globale requise par des interrogations comme celle-
ci nous mènera tout droit à une description du mouvement qui est simple, précise et
séduisante : le dénommé principe de paresse universelle, également connu sous le
nom de principe de moindre action.
— La deuxième approche globale du mouvement émerge lorsque nous comparons les
diverses descriptions du même système fournies par des observateurs distincts. Par
exemple, les observations d ’une personne qui chute d ’une falaise, d ’un passager de
montagnes russes, et d ’un observateur debout sur le plancher des vaches seront gé-
néralement différentes. Les relations entre toutes ces observations nous conduisent à
roue de corde
vélo
a b b
F C P

a b b
F I G U R E 94 Que se F I G U R E 95 Comment dessiner une

passe-t-il lorsqu’une corde ligne droite à l’aide d’un compas ? Fixez
est coupée ? un point F, posez un crayon à la jointure
P et déplacez C avec un compas le long
d’un cercle.
F I G U R E 96 Une charrette pointant vers le sud.
une description générale, valide pour tout le monde. Cette méthode nous mène à la
théorie de la relativité.
— La troisième approche globale du mouvement consiste à explorer le mouvement des
corps étendus et rigides, plutôt que celui des masses ponctuelles. Le résultat non intui-
tif de l ’expérience de la Figure 94 montre que le jeu en vaut la chandelle.
Pour pouvoir concevoir des machines, il est indispensable de comprendre com-
ment les corps rigides d ’un groupe interagissent. Comme exemple, le mécanisme de
la Figure 95 associe le mouvement des points C et P. Il définit tacitement un cercle de
telle façon que nous ayons toujours la relation rC = 1/rP entre les distances de C et de
Défi 330 pe P à son centre. Pouvez-vous trouver ce cercle ?
Réf. 140 Un autre excellent challenge consiste à inventer une charrette en bois, dotée d ’en-
grenages qui relient une flèche aux roues de telle manière que, quel que soit l ’ itiné-
Défi 331 d raire que la charrette emprunte, la flèche pointe toujours vers le sud (voir la Figure 96).
Comme nous le verrons, la solution à ce problème est utile pour mieux appréhender
la relativité générale.
Un autre exemple intéressant pour le mouvement rigide est le fait que les mouve-
ments humains, tel le déplacement d ’un bras en général, sont constitués d ’un petit
Réf. 141 nombre de mouvements élémentaires. Tous ces exemples sont tirés du domaine capti-
vant de la technique ; malheureusement, nous aurons trop peu de temps pour explorer
ce sujet durant notre excursion.
— La quatrième manière générale d ’aborder le mouvement est l ’étude des corps étendus
non rigides. Par exemple, la mécanique des fluides étudie l ’écoulement des fluides (tels
que le miel, l ’eau ou l ’air) autour de corps solides (tels des cuillères, des bateaux,
des voiles ou des ailes). La mécanique des fluides tente donc d ’expliquer comment
? ou ?

F I G U R E 97 Comment et où un conduit de cheminée en brique qui chute se brise-t-il ?
F I G U R E 98 Pourquoi les ballons F I G U R E 99
emplis d’air chaud restent-ils Qu’est-ce qui
gonflés ? Comment pouvez-vous détermine le
mesurer le poids d’un cycliste en nombre de
utilisant uniquement une règle ? pétales d’une
marguerite ?
volent les insectes, les oiseaux et les avions*, pourquoi les voiliers peuvent naviguer
Réf. 142 en s’appuyant sur le vent, ce qui se passe quand un œuf dur est mis en rotation sur
une fine couche d ’eau, ou comment une bouteille pleine de vin peut être vidée de la
Défi 332 s manière la plus rapide possible.
À l ’ instar des fluides, nous pouvons étudier le comportement des solides défor-
mables. Ce domaine de recherche est appelé la mécanique des milieux continus. Elle
traite des déformations et des oscillations des structures étendues. Elle cherche à expli-
quer, par exemple, pourquoi les cloches sont faites selon une forme particulière, com-
Défi 333 s ment de grands corps – comme des conduits de cheminée en chute libre – se brisent
lorsqu ’ ils subissent une contrainte, et comment les chats peuvent se retourner tout
seuls de façon adéquate pendant qu ’ ils chutent. Tout au long de notre voyage, nous
rencontrerons à plusieurs reprises des problèmes concernant ce domaine, qui empiète
même sur la relativité générale et sur le monde des particules élémentaires.
— La cinquième approche globale du mouvement concerne l ’étude du mouvement
d ’un nombre colossal de particules. Celle-ci est dénommée la mécanique statistique.
Les concepts qui nécessitent de décrire les gaz, comme la température et la pression
* Les mécanismes du vol des insectes constituent toujours une discipline de recherches actives. Tradition-
nellement, la mécanique des fluides était focalisée sur les grands systèmes, comme les bateaux, les navires
et les avions. En fait, le plus petit objet conçu par l ’ homme capable de voler de manière contrôlée – disons,
un avion ou un hélicoptère radiocommandé – est beaucoup plus grand et plus lourd que de nombreux êtres
volants que l ’évolution a engendrés. Il s’avère que commander le vol de petits corps nécessite davantage de
connaissances et plus d ’astuce que commander le vol d ’objets plus grands. Vous pouvez en apprendre plus
sur ce sujet à la page ??.
(voir la Figure 98), constitueront notre première étape vers la compréhension des
trous noirs.
— La sixième approche globale du mouvement concerne tous les points de vue men-
tionnés ci-dessus en même temps. Une telle avancée est primordiale pour comprendre
l ’expérience quotidienne, et la vie elle-même. Pourquoi une fleur possède-t-elle un

nombre particulier de pétales ? Comment un embryon se différencie-t-il dans l ’uté-
rus ? Qu ’est-ce qui fait battre nos cœurs ? Comment les crêtes montagneuses et les
silhouettes des nuages émergent-elles ? Comment les astres et les galaxies évoluent-
ils ? Comment les vagues de l ’ océan sont-elles façonnées par le vent ?
Tous ces cas sont des exemples d ’ auto-organisation ; les chercheurs en sciences de
la vie parlent simplement de croissance. Quelle que soit la désignation utilisée pour
ces processus, ils sont caractérisés par l ’apparition spontanée de motifs, de formes
et de cycles. Ces processus constituent un sujet commun de recherche à travers un
grand nombre de disciplines, incluant la biologie, la chimie, la médecine, la géologie
et les sciences de l ’ ingénieur.
Nous allons maintenant donner une courte introduction à ces six approches globales du
mouvement. Nous allons commencer avec la première, à savoir la description générale
des objets, assimilés à des points, en mouvement. La méthode élégante décrite ci-dessous
fut le résultat de plusieurs siècles d ’efforts collectifs, et constitue le point culminant de la
mécanique. Elle fournit également les bases pour toutes les descriptions supplémentaires
du mouvement que nous rencontrerons plus tard.
Chapitre 8
M E SU R E R L E C HA NG E M E N T AV E C

L’AC T ION
Le mouvement peut être décrit par des nombres. Pour une unique particule, les re-
lations entre les coordonnées spatiales et temporelles décrivent le mouvement. La prise
de conscience que des expressions telles que (x(t), y(t), z(t)) peuvent être employées
pour retracer l ’ itinéraire d ’une particule en mouvement fut une étape décisive dans le
progrès de la physique moderne.
Nous pouvons aller encore plus loin. Le mouvement est une forme de changement. Et
ce changement peut lui-même être utilement décrit par des nombres. En réalité, le chan-
gement peut être quantifié par un nombre unique. Cette découverte constitua l ’étape cru-
ciale suivante. Il fallut aux physiciens près de deux siècles d ’efforts pour dévoiler la ma-
nière de décrire le changement. En conséquence, la quantité qui mesure le changement
possède un nom étrange : elle est appelée action (physique)*. Pour se rappeler le rapport
qui existe entre l ’ « action » et le changement, pensez simplement à un film d ’ Hollywood :
quand il y a beaucoup d ’action, il y a aussi une grande quantité de changements.
Imaginez que nous prenions deux clichés d ’un système à des instants différents. Com-
ment pourriez-vous définir la quantité de changement qui se produit entre les deux ? À
quels moments les choses changent-elles beaucoup, et quand changent-elles seulement
un petit peu ? Primo, un système qui possède beaucoup de mouvement témoigne d ’une
grande quantité de changement. Il paraît donc logique que l ’action d ’un système consti-
tué de sous-systèmes indépendants doive être la somme des actions de ces sous-systèmes.
Secundo, le changement s’accumule souvent – mais pas toujours – au cours du temps ;
dans d ’autres cas, un changement récent peut compenser un changement antérieur. Le
changement peut ainsi augmenter ou diminuer avec le temps.
* Remarquez que cette « action » n’est pas identique à l ’ « action » qui apparaît dans des formulations telles
que « chaque action possède une réaction égale et opposée ». Ce dernier usage, initié par Newton, n’a pas
résisté ; par conséquent ce terme a été réutilisé. Après Newton, le terme « action » fut tout d ’abord utilisé
pour une signification intermédiaire avant d ’être finalement adopté dans son sens moderne employé ici.
Cette dernière signification est la seule qui est utilisée dans ce texte.
Un autre emploi qui a été recyclé est le « principe de moindre action ». Dans les livres anciens, il était em-
ployé dans un contexte différent de celui de ce chapitre. Actuellement, il se réfère à ce qu ’ il est d ’usage d ’ap-
peler le principe de Hamilton dans le monde anglo-saxon, bien qu ’ il soit (principalement) dû à d ’autres per-
sonnalités, particulièrement Leibniz. Les anciennes significations et dénominations sont tombées en désué-
tude et ne sont pas maintenues ici.
Derrière ces mutations terminologiques se cache l ’ histoire longue de deux siècles de tentatives effrénées
pour décrire le mouvement à l ’aide des principes variationnels ou extrémaux : l ’objectif était de perfectionner
et d ’achever le travail initié par Leibniz. Ces principes n’ont aujourd ’ hui qu ’un intérêt historique, parce
Réf. 143 qu ’ ils sont tous des cas particuliers du principe de moindre action décrit ici.
174 8 mesurer le changement avec l ’ action
TA B L E AU 23 Quelques valeurs d’action pour des changements observés ou imaginaires.
Changement Va l e u r a p p r o x i m a t i v e
pour l ’ action
Le plus petit changement mesurable 0,5 ⋅ 10−34 Js

Exposition d ’une pellicule photographique 1,1 ⋅ 10−34 Js à 10−9 Js
Battement d ’aile d ’une drosophile (mouche) env. 1 pJs
Ouverture d ’une fleur au lever du jour env. 1 nJs
Avoir les joues rouges env. 10 mJs
Verre tenu par rapport à un verre lâché 0,8 Js
Arbre courbé par le vent d ’un côté à l ’autre 500 Js
Faire disparaître un lapin blanc par de la « vraie » magie 100 PJs
Dissimuler un lapin blanc env. 0,1 Js
Changement cérébral maximum en une minute env. 5 Js
Rester en lévitation à 1 m pendant une minute env. 40 kJs
Accident de voiture env. 2 kJs
Naissance env. 2 kJs
Changement provoqué par une vie humaine env. 1 EJs
Arrêt d ’un véhicule pendant le clignement d ’un œil 20 kJs
Grand tremblement de terre env. 1 PJs
Disparition d ’une voiture pendant le clignement d ’un œil 1 ZJs
Lever du soleil env. 0,1 ZJs
Une source de sursaut gamma avant et après l ’explosion env. 1046 Js
L’univers après qu ’une seconde s’est écoulée indéfini et indéfinissable
Tertio, pour un système dans lequel le mouvement est stocké, transformé ou transféré
d ’un sous-système à un autre, le changement est inférieur à celui d ’un système pour
lequel ce n’est pas le cas.
Les propriétés mentionnées impliquent que la mesure naturelle du changement est
l ’écart moyen entre l ’énergie cinétique et potentielle multiplié par le temps écoulé. Cette
quantité possède toutes les bonnes propriétés : elle est (habituellement) la somme des
quantités correspondantes pour tous les sous-systèmes si ceux-ci sont indépendants, elle
augmente généralement avec le temps (à moins que l ’évolution ne compense quelque
chose qui est survenu auparavant), et elle diminue si le système transforme du mouve-
Défi 334 e ment en énergie potentielle.
Ainsi l ’ action (physique) S, mesurant le changement dans un système, est défini
comme
S = L ⋅ (t f − t i ) = T − U ⋅ (t f − t i ) = (T − U) dt =
tf tf
∫
ti
∫ ti
L dt , (57)
Page 125 où T représente l ’énergie cinétique, U l ’énergie potentielle que nous connaissons déjà,
L est la différence entre eux, et la barre supérieure indique une moyenne temporelle.
le principe de moindre action 175

F I G U R E 100 Joseph Lagrange.
La quantité L s’appelle le lagrangien (ou fonction lagrangienne) du système* et décrit

ce qui est ajouté au cours du temps, à chaque fois que les choses changent. Le signe ∫
est un « S » étiré, pour « somme », et est prononcé « intégrale de ». En termes intuitifs il
désigne l ’opération (appelée intégration) d ’adjonction des valeurs d ’une quantité variant
au cours d ’ intervalles infinitésimaux de temps dt. Les instants initial et final sont notés,
respectivement, en bas et en haut du signe « intégrale ». La Figure 101 clarifie cette idée :
l ’ intégrale représente simplement l ’aire de la zone sombre située sous la courbe L(t).
Défi 335 e Mathématiquement, l ’ intégrale de la courbe L(t) est définie comme suit
f
L(t) dt = lim ∑ L(t m )∆t = L ⋅ (t f − t i ) .
tf
∫ti ∆t→0 m=i
(58)
En d ’autres termes, l ’ intégrale est la limite, lorsque les intervalles de temps deviennent
très petits, de la somme des aires des bandes rectangulaires distinctes qui approchent la
fonction**. Puisque le signe ∑ représente également une somme, et puisqu ’un intervalle
de temps ∆t infinitésimal est noté dt, nous pouvons comprendre la notation utilisée pour
l ’ intégration. L’ intégration est une somme de toutes les tranches. Cette notation fut déve-
loppée par Gottfried Leibniz pour souligner précisément cette remarque. Physiquement
parlant, l ’ intégrale du lagrangien mesure l ’ effet que L accumule au cours du temps. En
fait, l ’action est appelée « effet » dans certaines langues, comme l ’allemand.
En résumé, l ’action est l ’ intégrale du lagrangien sur un intervalle de temps. L’unité
de l ’action, et donc du changement physique, est l ’unité de l ’énergie (le joule, J), multi-
plié par l ’unité du temps (la seconde). Ainsi, le changement est mesuré en Js. Une valeur
importante signifie un grand changement. Le Tableau 23 montre quelques valeurs ap-
proximatives d ’actions.
Pour comprendre plus précisément la définition de l ’action, nous allons commencer
avec le cas le plus simple : un système qui possède une énergie potentielle nulle, telle une
* Celle-ci est baptisée d ’après Giuseppe Lodovico Lagrangia (n. Turin 1736, d. Paris 1813), plus connu sous
le nom de Joseph-Louis Lagrange. Il fut le plus important mathématicien de son époque, commença sa
carrière à Turin, puis travailla pendant 20 ans à Berlin, et finalement pendant 26 ans à Paris. Il travailla entre
autres sur la théorie des nombres et la mécanique analytique, pour laquelle il développa la majeure partie
de l ’arsenal mathématique utilisé de nos jours dans les calculs en mécanique classique et en gravitation
classique. Il appliqua cela avec succès à de nombreux mouvements observés dans le Système solaire.
** Pour plus de détails sur l ’ intégration, voir l ’ Annexe ??.
L
L(t) = T − U
moyenne L

intégrale
∫ L(t)dt
t
∆t t m
ti tf
temps écoulé
F I G U R E 101 Définition de l’effet total comme une accumulation (addition ou intégrale) de petits effets
au cours du temps.
particule se déplaçant librement. Bien évidemment, une grande énergie cinétique im-
plique qu ’ il y a beaucoup de changement. Si nous observons la particule à deux instants
donnés, plus la distance spatiale entre ces deux points est grande et plus le changement
est important. En outre, le changement observé est plus grand si la particule se déplace
plus rapidement, c ’est-à-dire si son énergie cinétique est plus importante. Tout cela paraît
trivial.
Ensuite, observons une unique particule se déplaçant dans un potentiel. Par exemple,
une pierre qui chute perd de l ’énergie potentielle en échange d ’un gain en énergie ciné-
tique. Plus il y a d ’énergie échangée, plus il y a de changement. Cela explique le signe
moins (la différence) dans la définition de L. Si nous examinons une particule qui est
d ’abord jetée en l ’air puis qui retombe, la courbe de L(t) est d ’abord située en dessous
de l ’axe du temps, et ensuite au-dessus. Nous remarquons que la définition de l ’ inté-
gration nous amène à comptabiliser l ’aire de la surface grise située sous l ’axe du temps
comme étant négative. Le changement peut ainsi être négatif, et peut être, comme prévu,
compensé par un changement ultérieur.
Pour quantifier le changement dans un système constitué de plusieurs parties indé-
pendantes, nous ajoutons simplement toutes les énergies cinétiques et nous défalquons
toutes les énergies potentielles. Cette méthode nous permet de définir des actions pour
des gaz, des liquides et de la matière solide. Même si les constituants interagissent, nous
obtenons toujours un résultat sensé. En bref, l ’action est une quantité additive.
L’action physique mesure donc, à l ’aide d ’un nombre unique, la quantité du change-
ment observé dans un système entre deux instants donnés du temps. L’objet de l ’observa-
tion peut être n’ importe quoi : une explosion, une caresse affective ou un changement de
couleur. Nous découvrirons plus tard que cette idée est également applicable en relativité
et dans la théorie quantique. N ’ importe quel changement se produisant dans n’ importe
quel système de la nature peut être mesuré à l ’aide d ’un seul nombre.

F I G U R E 102 La tangente au point minimal d’une courbe possède une pente nulle.
Le principe de moindre action

Nous détenons dorénavant une mesure précise du changement, qui, comme nous al-
lons le voir, permet une description simple et puissante du mouvement. Dans la nature,
le changement qui se produit entre deux instants est toujours le plus petit possible. La
nature minimise l ’action*. De tous les mouvements possibles, la nature choisit constam-
ment celui pour lequel le changement est minimal. Examinons-en quelques exemples.
Dans le cas élémentaire d ’une particule libre, lorsque aucun potentiel n’est impliqué,
le principe de l ’action minimale entraîne que la particule se déplace selon une ligne droite
avec une vitesse constante. Tous les autres chemins conduiraient à des actions plus impor-
Défi 336 e tantes. Pouvez-vous le vérifier ?
Lorsque la gravité entre en jeu, une pierre lancée vole le long d ’une parabole (ou, plus
précisément, le long d ’une ellipse) parce que n’ importe quelle autre trajectoire, disons
une pour laquelle la pierre effectue une boucle en l ’air, devrait nécessiter une action plus
importante. Une nouvelle fois, vous devez certainement avoir envie de le vérifier par ac-
Défi 337 e quit de conscience.
Toutes les observations soutiennent cette constatation simple et élémentaire : les
choses se déplacent toujours de la manière qui engendre la quantité d ’action la plus petite
possible. Cette affirmation s’applique au chemin tout entier et à chacun de ses segments.
Bertrand Russel l ’avait appelée la « loi de la paresse universelle ».
Il est d ’usage d ’exprimer cette notion du changement minimal d ’une manière diffé-
rente. L’action fluctue lorsque la trajectoire varie. La trajectoire réelle est celle dont l ’ac-
tion est la plus petite. Vous vous souviendrez que vous avez appris à l ’école que la dérivée
d ’une fonction s’annule à son minimum : un minimum possède une tangente horizon-
tale. Dans le cas présent, nous ne faisons pas varier une quantité, mais une trajectoire
entière, par conséquent nous ne parlons pas d ’une dérivée ou d ’une pente, mais d ’une
variation. On a coutume de noter δS la variation de l ’action. Le principe de moindre ac-
tion établit donc que :
⊳ La trajectoire réelle entre des points extrémaux donnés vérifie la relation δS = 0. (59)
Les mathématiciens appellent cela un principe variationnel. Remarquez que les points
extrémaux doivent être fixés : nous devons comparer des mouvements ayant les mêmes
états initiaux et finaux.
* En fait, dans certaines situations particulières l ’action est maximale, de telle sorte que la forme la plus
générale du principe est que l ’action est « stationnaire », ou « extrémale », signifiant par là minimale ou
maximale. La condition d ’annulation de la variation, donnée ci-dessous, recouvre les deux cas à la fois.
Avant de discuter de ce principe plus en détail, nous pouvons vérifier qu ’ il est équi-
8 mesurer le changement avec l ’ action
178
valent à l ’équation d ’évolution*. Pour ce faire, nous pouvons mettre en œuvre une procé-
* Pour ceux qui sont intéressés, nous donnons ici quelques commentaires sur l ’équivalence entre les équa-
tions lagrangiennes et d ’évolution. Pour commencer, les lagrangiens ne sont pas définis pour des systèmes
Page 160 non conservatifs, ou dissipatifs. Nous avons vu qu ’ il n’existe pas de potentiel pour chaque mouvement com-
portant du frottement (et plus d ’une seule dimension), par conséquent il n’y a pas d ’action dans ces circons-

tances. Une approche possible pour surmonter cette restriction consiste à utiliser une formulation générali-
sée du principe de moindre action. À chaque fois qu ’ il y a absence de potentiel, nous pouvons exprimer la
variation du travail δW entre des trajectoires x i distinctes comme
δW = ∑ m i ẍ i δx i . (60)
i
Le mouvement est alors décrit de la manière suivante :
(δT + δW)dt = 0 δx(ti ) = δx(tf ) = 0 . (61)

tf
⊳ La trajectoire réelle satisfait la relation ∫
ti
sachant que
La quantité qui est intégrée n’a pas de nom, elle représente une notion généralisée du changement. Vous
Défi 338 pe pourriez essayer de vérifier que cela mène bien aux équations d ’évolution appropriées. Ainsi, bien que des
descriptions lagrangiennes adéquates existent uniquement pour des systèmes conservatifs, ce principe peut
être extrapolé aux systèmes dissipatifs et rester ainsi efficace.
De nombreux physiciens préféreront une autre approche. Ce qu ’un mathématicien nomme une générali-
sation, un physicien l ’appelle un cas particulier : le principe (61) masque le fait que tout frottement résulte du
principe habituel de l ’action minimale, si nous incorporons tous les détails microscopiques. Il n’existe aucun
frottement dans le monde microscopique. Le frottement est une notion macroscopique approximative.
Néanmoins, des points de vue mathématiques supplémentaires sont opportuns. Par exemple, ils nous
imposent des contraintes intéressantes dans l ’utilisation des lagrangiens. Ces limites, qui ne s’appliquent
que si l ’on conçoit le monde de manière purement classique – ce qui n’est pas vrai –, furent découvertes
il y a environ une centaine d ’années. À cette époque les ordinateurs n’étaient pas encore disponibles, et
l ’exploration de nouvelles techniques calculatoires était importante. Nous en donnons un aperçu succinct.
Les coordonnées utilisées en relation avec les lagrangiens ne sont pas nécessairement des coordonnées
cartésiennes. Des coordonnées généralisées sont particulièrement utiles lorsque le mouvement subit des
contraintes. C ’est le cas pour un pendule, dans lequel la masse doit toujours se trouver à la même distance du
point de suspension, ou pour un patineur sur glace, chez qui les patins doivent se déplacer dans la direction
Réf. 144 vers laquelle ils pointent. Des coordonnées généralisées peuvent même être un amalgame de positions et de
quantités de mouvement. Elles peuvent se diviser en plusieurs types génériques.
Des coordonnées généralisées sont dénommées holonomiques–scléronomiques si elles sont liées aux coor-
données cartésiennes de manière fixée, indépendamment du temps : des systèmes physiques décrits par de
telles coordonnées incluent le pendule et une particule dans un potentiel. Des coordonnées sont appelées
holonomiques–rhéonomiques si la dépendance est aussi temporelle. Un exemple d ’un système rhéonomique
pourrait être un pendule dont la longueur varie dans le temps. Les deux termes rhéonomique et sclérono-
Page 260 mique sont dus à Ludwig Boltzmann. Ces deux cas, qui concernent des systèmes qui ne sont décrits que
par leur géométrie, sont regroupés ensemble dans les systèmes holonomiques. L’expression est de Heinrich
Page ?? Hertz.
La situation la plus générale est dénommée anholonomique, ou non holonomique. Les lagrangiens fonc-
tionnent bien uniquement pour des systèmes holonomiques. Malheureusement, la signification du terme
« non holonomique » a été modifiée. Maintenant, ce terme est aussi utilisé pour désigner certains systèmes
rhéonomiques. L’usage moderne qualifie de non holonomique tout système qui prend en compte des vitesses.
Donc, un patineur sur glace ou un disque en rotation est fréquemment qualifié de système non holonomique.
Il faut donc rester très prudent avant de décider de ce que l ’on entend par non holonomique dans chaque
contexte particulier.
Même si l ’usage des lagrangiens, et de l ’action, possède des limitations, ceux-ci ne nous ennuient plus
au niveau microscopique, puisque les systèmes microscopiques sont toujours conservatifs, holonomiques et
scléronomiques. Au niveau fondamental, les équations d ’évolution et les lagrangiens sont en réalité équiva-
lents.
dure courante, qui est une partie intégrante de ce que l ’on appelle le calcul des variations.
La condition δS = 0 implique que l ’action, c ’est-à-dire l ’aire sous la courbe de la Fi-
gure 101, est minimale. Avec un peu de réflexion, on voit que si le lagrangien est de la
Défi 339 pe forme L(x n , v n ) = T(v n ) − U(x n ), alors

d ∂T
( )=−
∂U
(62)
dt ∂v n ∂x n
où n dénombre toutes les coordonnées de toutes les particules*. Pour une unique parti-
Défi 340 e cule, ces équations de Lagrange du mouvement se réduisent à
ma = −∇U . (64)
C ’est l ’équation d ’évolution : elle indique que la force qui agit sur une particule est le gra-
dient de l ’énergie potentielle U. Le principe de moindre action engendre donc l ’équation
Défi 341 s du mouvement. (Pouvez-vous montrer l ’ inverse ?)
En d ’autres termes, tous les systèmes évoluent d’une manière telle que le changement est
aussi petit que possible. La nature est parcimonieuse. Elle est donc à l ’exact opposé d ’un
thriller hollywoodien, dans lequel l ’action est maximale. La nature s’apparente plus à
une vieille dame circonspecte qui fait le minimum d ’actions.
Le principe de l ’action minimale établit également que la trajectoire réelle est celle
pour laquelle la moyenne du lagrangien sur le chemin tout entier est minimale (voir la
Figure 101). La nature est un Dr DoLittle**. Pouvez-vous le vérifier ? Ce point de vue
Défi 342 pe nous permet de déduire directement les équations de Lagrange (62).
Le principe de moindre action différencie la trajectoire réelle de toutes les autres tra-
jectoires imaginaires. Cette observation a conduit Leibniz*** à sa célèbre interprétation
que le monde réel est le « meilleur des mondes possibles » ****. Nous pourrions écarter
cela comme des spéculations métaphysiques, mais nous devrions rester capables de fasci-
* La forme la plus générale pour un lagrangien L(q n , q̇ n , t), utilisant les coordonnées holonomiques généra-
lisées q n , conduit aux équations de Lagrange de la forme
( )=
d ∂L ∂L
. (63)
dt ∂q̇ n ∂q n
Afin de déduire ces équations, nous avons aussi besoin de la relation δ q̇ = d/dt(δq). Cette relation est
valable uniquement pour les coordonnées holonomiques introduites dans la note de bas de page précédente
et illustre leur importance.
Nous devons aussi souligner que le lagrangien d ’un système en mouvement n’est pas unique, cependant,
l ’étude de la manière selon laquelle les divers lagrangiens d ’un système donné en mouvement sont reliés ne
Réf. 145 constitue pas une partie de notre promenade.
D’ailleurs, les indices q pour la position et p pour la quantité de mouvement furent introduits en physique
par le mathématicien Carl Jacobi (n. Potsdam 1804, d. Berlin 1851).
** C ’est-à-dire qu ’elle en fait le moins possible, tel que Phileas Fogg dans Le Tour du monde en 80 jours, de
Jules Verne : « Phileas Fogg était de ces gens mathématiquement exacts, qui, jamais pressés et toujours prêts,
sont économes de leurs pas et de leurs mouvements » [N.d.T.].
*** « Tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes possibles. » Leibniz [N.d.T.].
**** Cette idée fut ridiculisée par le philosophe français Voltaire (1694–1778) dans ses écrits clairvoyants,
notamment dans le livre perspicace Candide, rédigé en 1759, et toujours largement disponible.
nation pour ce problème. Leibniz était vraiment excité à propos du principe de moindre
action parce que c ’était la première fois que des observations réelles étaient distinctes de
toutes les autres possibilités imaginables. Pour la première fois, la quête des raisons pour
lesquelles les choses sont telles qu ’elles sont devenait une partie intégrante de l ’ inves-
tigation physique. Le monde pourrait-il être différent de ce qu ’ il est ? Dans le principe

Défi 343 s de moindre action, nous avons un indice de réponse négative. (Qu ’en pensez-vous ?) La
réponse finale ne fera surface que dans la dernière partie de notre aventure.
Étant une manière de décrire le mouvement, le lagrangien présente plusieurs avan-
tages par rapport à l ’équation d ’évolution. En premier lieu, le lagrangien est générale-
ment plus concis que l ’écriture des équations d ’évolution correspondantes. Par exemple,
nous n’avons besoin que d ’ un seul lagrangien pour décrire un système unique, bien
qu ’ayant de nombreuses particules. Nous faisons moins d ’erreurs, en particulier des
erreurs de signe, de même que nous apprenons plus rapidement à réaliser les calculs.
Essayez simplement de développer les équations d ’évolution d ’une chaîne de masses re-
liées par des ressorts, comparez alors ce labeur à celui d ’une dérivation en utilisant un
Défi 344 pe lagrangien. (Ce système se comporte comme une chaîne d ’atomes.) Nous rencontrerons
bientôt un autre exemple : David Hilbert n’eut besoin que de quelques semaines pour
déduire les équations du mouvement de la relativité générale en utilisant un lagrangien,
alors qu ’Albert Einstein avait planché pendant dix ans à les rechercher directement.
De plus, la description à l ’aide d ’un lagrangien est valable avec n’ importe quel en-
semble de coordonnées décrivant l ’objet étudié. Les coordonnées ne doivent pas néces-
sairement être cartésiennes, elles peuvent être choisies comme nous le voulons : cylin-
driques, sphériques, hyperboliques, etc. Ces coordonnées généralisées, telles qu ’on les ap-
pelle, nous permettent de calculer rapidement le comportement de nombreux systèmes
mécaniques qui sont en pratique trop complexes à étudier par le truchement des coor-
données cartésiennes. Par exemple, pour programmer le mouvement des bras d ’un ro-
bot, les angles au niveau des articulations fournissent une description plus claire que les
coordonnées cartésiennes des extrémités des bras. Les angles sont des coordonnées non
cartésiennes. Elles simplifient considérablement les calculs : l ’opération de recherche du
chemin le plus économique pour mouvoir la main d ’un robot d ’un point à un autre peut
être résolue beaucoup plus facilement à l ’aide de variables angulaires.
De manière plus importante, le lagrangien nous permet de déduire rapidement les pro-
priétés essentielles d ’un système, à savoir ses symétries et ses quantités conservées. Nous
Page 196 développerons cette idée fondamentale prochainement, et nous l ’utiliserons régulière-
ment tout au long de notre promenade.
Finalement, la formulation lagrangienne peut être généralisée pour embrasser tous
les types d’ interactions. Puisque les concepts d ’énergie cinétique et potentielle sont géné-
raux, le principe de moindre action peut être utilisé en électricité, en magnétisme et en
optique aussi bien qu ’en mécanique. Le principe de moindre action est primordial en
relativité générale et en théorie quantique, et nous permet d ’associer aisément ces deux
domaines à la mécanique classique.
Au fur et à mesure que le principe de moindre action s’est répandu, les gens l ’ont
Réf. 143 appliqué à un nombre toujours croissant de problèmes. Aujourd ’ hui, des lagrangiens
sont utilisés partout depuis l ’étude des collisions de particules élémentaires jusqu ’à la
programmation du mouvement des robots en intelligence artificielle. Toutefois, nous ne
devons pas oublier que, malgré sa simplicité remarquable et son intérêt, la formulation
lagrangienne est équivalente aux équations d ’évolution. Elle n’est ni plus générale ni plus
Défi 345 s spécifique. En particulier, elle ne donne pas une explication pour n’ importe quel type de
mouvement, mais simplement une image de celui-ci. En réalité, la recherche d ’une nou-
velle « loi » physique du mouvement se résume simplement à la recherche d ’un nouveau
lagrangien. C ’est logique puisque la description de la nature requiert toujours la descrip-

tion du changement. Le changement dans la nature est invariablement représenté par des
actions et des lagrangiens.
Le principe de moindre action formule que l ’action est minimale lorsque les points
extrémaux du mouvement, et en particulier le temps écoulé entre eux, sont figés. Il est
Réf. 146 moins bien connu que le principe réciproque est également valable : si l ’action reste fixe,
Défi 346 pe le temps écoulé est maximum. Pouvez-vous le montrer ?
Bien que le principe de moindre action ne soit pas une explication du mouvement,
d ’une manière ou d ’une autre il en appelle une. Cependant, nous devons nous armer de
patience. Pourquoi la nature obéit au principe de moindre action et comment elle le fait
deviendront limpides lorsque nous examinerons la théorie quantique.
Ne confondez jamais le mouvement avec
l ’action.
Réf. 147
Pourquoi le mouvement est-il si souvent limité ?

Ernest Hemingway
”
L’optimiste pense qu ’ il est dans le meilleur des
“ mondes possibles, et le pessimiste est conscient

de cela.
Robert Oppenheimer
”
En regardant autour de nous sur Terre et dans le ciel, nous observons que la ma-
tière n’est pas uniformément distribuée. La matière est attirée par d ’autre matière : elle
s’amasse en agrégats. Quelques exemples majeurs d ’agrégats sont donnés dans la Fi-
Réf. 148 gure 103 et dans le Tableau 24. Dans le diagramme masse–taille de la Figure 103, les deux
échelles sont logarithmiques. Nous notons la présence de trois lignes droites : une ligne
m ∼ l qui se prolonge vers le haut depuis la masse de Planck* jusqu ’à l ’univers lui-même
via les trous noirs, une ligne m ∼ 1/l qui se prolonge vers le bas depuis la masse de Planck
jusqu ’à l ’agrégat le plus fin possible, et la ligne classique de la matière m ∼ l 3 , qui se pro-
longe vers le haut depuis les atomes, en passant par la Terre et le Soleil. La première de ces
lignes, la limite du trou noir, est interprétée par la relativité générale, les deux dernières,
la limite des agrégats et la ligne classique de la matière, le sont par la théorie quantique**.
Les agrégats qui ne sont pas situés sur la ligne classique de la matière montrent éga-
lement que plus l ’ interaction qui maintient les constituants ensemble est forte, plus les
agrégats sont petits. Mais pourquoi la matière est-elle principalement rencontrée dans
des amas ?
Avant tout, des agrégats de matière se forment à cause de l ’existence d ’ interactions at-
tractives entre les objets. Deuxièmement, ils se forment à cause des frottements : lorsque
√
Page 303 * La masse de Planck est donnée par mPl = ħc/G = 21,767(16) µg.
** La Figure 103 suggère que des domaines situés au-delà de la physique puissent exister, nous découvrirons
plus tard que ce n’est pas le cas puisque la masse et la taille ne sont pas définies dans ces domaines.
univers
masse
[kg]
au-delà de la science : au-delà de la limite de la longueur de Planck

galaxie
1040 trous

noirs amas stellaire
ir
no
Soleil
u
tro
du :
ite ce
Terre
au-delà de la science : indéterminé

lim ien
étoile à
1020
la sc
neutrons
de la
à e
el d
e
montagne
nair
-d elà
au u-d
ordi
a
ière
homme
100
mat
masse de Planck
a
cellule
de l
ligne
noyau ADN
10-20 lourd
uranium
muon hydrogène
proton
électron
lim
ite
Agrégats
à
10-40 neutrino
l’a
gr
ég
at
m
Particules
ic
ro
sc
élémentaires agrégat
op
iq
10-60 le plus léger

ue
imaginable
10-40 10-20 100 1020 taille [m]

F I G U R E 103 Les agrégats dans la nature.
deux constituants se rapprochent, un agrégat peut être créé uniquement si l ’énergie li-
bérée peut se transformer en chaleur. Troisièmement, les agrégats possèdent une taille
finie à cause des effets répulsifs qui empêchent les objets de s’écrouler complètement. De
concert, ces trois facteurs assurent que le mouvement fini est beaucoup plus courant que
le mouvement « libre », sans limite.
Trois types seulement d ’attraction conduisent aux agrégats : la gravité, l ’attraction
entre charges électriques et l ’ interaction nucléaire forte. De façon similaire, trois types
seulement de répulsion sont observés : la rotation, la pression et le principe d ’exclusion
Page ?? de Pauli (que nous rencontrerons plus tard). Des neuf combinaisons possibles d ’attrac-
tion et de répulsion, toutes n’apparaissent pas dans la nature. Pouvez-vous relever les-
Défi 347 s quelles sont absentes à partir de la Figure 103 et du Tableau 24, et pourquoi ?
De façon coordonnée, l ’attraction, le frottement et la répulsion impliquent que le
changement et l ’action sont minimisés quand des objets se rencontrent puis restent
ensemble. Le principe de moindre action engendre donc la stabilité des agrégats. Par
ailleurs, l ’ histoire de la formation du monde explique également pourquoi tant d ’agré-
Défi 348 pe gats tournent. Pouvez-vous dire pourquoi ?
Mais finalement, pourquoi le frottement existe-t-il ? Pourquoi des interactions attrac-
tives et répulsives existent-elles ? Et pourquoi – comme cela devrait se manifester d ’après

ce qui a été dit – la matière ne s’est-elle pas trouvée sous forme d ’agrégats à certaines
époques reculées ? Dans le but de répondre à ces questions, nous devons tout d ’abord
analyser une autre propriété générale du mouvement : la symétrie.
TA B L E AU 24 Quelques agrégats principaux rencontrés dans la nature.
A g r é g at Ta i l l e Nb Composants
(diamètre) obs.
agrégats gravitationnellement liés

matière à travers l ’univers ≈ 100 Ym 1 superamas de galaxies, atomes
d ’ hydrogène et d ’ hélium
quasar 1012 à 1014 m 20 ⋅ 106 baryons et leptons
superamas de galaxies ≈ 3 Ym 107 amas et groupes de galaxies
amas de galaxies ≈ 60 Zm 25 ⋅ 109 10 à 50 galaxies
groupe de galaxies ou amas ≈ 240 Zm de 50 à plus de 2 000 galaxies
notre groupe local de ga-50 Zm 1 ≈ 40 galaxies
laxies
galaxie ordinaire 0,5 à 2 Zm 3, 5 ⋅ 1012 1010 à 3 ⋅ 1011 étoiles, nuages de
poussière et de gaz, peut-être des
systèmes solaires
notre galaxie 1,0(0,1) Zm 1 1011 étoiles, nuages de poussière et de
gaz, systèmes solaires
nuages interstellaires jusqu ’à 15 Em ≫ 10 5
hydrogène, glace et poussière
système solaire a inconnu > 100 étoile, planètes
notre Système solaire 30 Pm 1 Soleil, planètes (diamètre de l ’orbite
de Pluton : 11,8 Tm), satellites,
planétoïdes, comètes, astéroïdes,
poussière, gaz
nuage d ’Oort 6 à 30 Pm 1 comètes, poussière
ceinture de Kuiper 60 Tm 1 planétoïdes, comètes, poussière
étoile b 10 km à 100 Gm 1022±1 gaz ionisé : protons, neutrons,
électrons, neutrinos, photons
notre étoile 1,39 Gm
planète a (Jupiter, Terre) 143 Mm, 12,8 Mm 9+ ≈ 100 solides, liquides, gaz et, en
particulier, atomes lourds
planétoïdes (Varuna, etc.) 50 à 1 000 km ≈ 10 solides
(est. 109 )
satellites 10 à 1 000 km ≈ 50 solides
étoiles à neutrons 10 km ≈ 1 000 principalement des neutrons
agrégats électromagnétiquement liés c
A g r é g at Ta i l l e Nb Composants
(diamètre) obs.
astéroïdes, montagnes d 1 m à 930 km >26 000 (109 estimés) solides, généralement

monolithiques
comètes 10 cm à 50 km > 10 6
glace et poussière

planétoïdes, solides, li-1 nm à > 100 km n.a. molécules, atomes
quides, gaz, fromage
animaux, plantes, képhir 5 µm à 1 km 1026±2 organes, cellules
cerveau 0,15 m 1010 neurones et autres types de cellules
cellules : 1031±1 organites, membranes, molécules
la plus petite (Nanoar-≈ 400 nm molécules
chaeum equitans)
amibe 600 µm molécules
la plus grande (nerf de ba- ≈ 30 m molécules
leine, plantes uni-
cellulaires)
molécules : ≈ 1078±2 atomes
H2 ≈ 50 pm 1072±2 atomes
ADN (humain) 2 m (total par cel-1021 atomes
lule)
atomes, ions 30 pm à 300 pm 1080±2 électrons et noyaux
agrégats liés par l ’ interaction faible c
aucun
agrégats liés par l ’ interaction forte c
noyau > 10−15 m 1079±2 nucléons
nucléon (proton, neutron) ≈ 10−15 m 1080±2 quarks
mésons ≈ 10−15 m n.a. quarks
étoiles à neutrons : voir ci-dessus
a. Ce n’est qu ’en 1994 que fut mise en évidence la première pièce à conviction sur le fait qu ’ il existe des
objets qui tournent autour d ’étoiles autres que notre Soleil. Sur plus de 100 planètes extrasolaires détectées
jusqu ’à présent, la plupart se trouvent autour d ’étoiles de classe F, G et K (les lettres désignent le type spec-
tral de l ’astre. C ’est la classification de Harvard qui attribue un type spectral à une étoile, elle correspond
globalement à une échelle de température [N.d.T.]), y compris des étoiles à neutron. Par exemple, trois
Réf. 149 corps encerclent le pulsar PSR 1257+12, et un anneau de matière entoure l ’étoile β Pictoris. Ces corps appa-
raissent comme étant des astres sombres, des naines brunes ou d ’énormes planètes gazeuses comme Jupiter.
En raison des restrictions dues aux dispositifs d ’observation, aucun des systèmes découverts jusqu ’à pré-
sent ne constitue un système solaire du même type que celui dans lequel nous vivons. En réalité, seul un
petit nombre de planètes similaires à la Terre ont été détectées jusqu ’à maintenant.
b. Le Soleil se situe parmi les 7 % d ’étoiles les plus brillantes. De toutes les étoiles, 80 % sont des naines rouges
de classe M, 8 % sont des naines orange de classe K, et 5 % sont des naines blanches de classe D : elles sont
toutes très pâles. Presque toutes les étoiles visibles dans le ciel nocturne appartiennent aux 7 % brillantes.
Quelques-unes d ’entre elles proviennent de la rare classe O de couleur bleue ou de la classe B bleue–blanche
(comme l ’ Épi, Régulus et Rigel), 0,7 % constituent la classe A blanche et lumineuse (comme Sirius, Véga
et Altaïr), 2 % sont de la classe F jaune–blanche (comme Canopus, Procyon et l ’ Étoile polaire), 3,5 % sont
de la classe G jaune (comme Alpha du Centaure, Capella ou le Soleil). Les exceptions incluent les quelques
géantes visibles de la classe K, comme Arcturus et Aldébaran, et les rares supergéantes de classe M, comme
Page 228 Bételgeuse et Antarès. Nous en dirons plus sur les étoiles un peu plus loin.
c. Pour plus de détails sur les agrégats microscopiques, voir la table des constituants dans l ’ Annexe ??.
d. On estime qu ’ il y a environ 109 astéroïdes (ou planétoïdes) d ’au moins 1 km de large et environ 1020 qui
Réf. 150 pèsent au moins 100 kg. Par ailleurs, aucun astéroïde situé entre Mercure et le Soleil – les hypothétiques

Vulcanoïdes – n’a été détecté jusqu ’à présent.
Curiosités et défis amusants sur les lagrangiens

Lorsque Lagrange publia son livre Mécanique analytique, en 1788, celui-ci constitua un
point culminant de l ’ histoire de la mécanique. Il était fier d ’avoir rédigé un exposé sys-
tématique de la mécanique sans un seul dessin. Évidemment l ’ouvrage était difficile à
lire et ne connut pas un réel succès. Cependant, sa méthode se généralisa le temps d ’une
génération.
∗∗
En partant du principe que l ’action est la quantité élémentaire qui décrit le mouvement,
nous pouvons définir l ’énergie comme étant l ’action par unité de temps, et la quantité de
mouvement comme l ’action par unité de distance. L’ énergie d ’un système décrit donc sa
quantité de changement au cours d ’un certain laps de temps, et la quantité de mouvement
sa quantité de changement sur une certaine distance. Que représentent alors la quantité
Défi 349 s de mouvement angulaire et l ’énergie rotationnelle ?
∗∗
« Dans la nature, la télépathie ou la prière n’ont aucun effet possible, puisque dans la
plupart des cas le changement à l ’ intérieur du cerveau est nettement inférieur au chan-
Défi 350 s gement revendiqué dans le monde extérieur. » Cet argument est-il correct ?
∗∗
En physique galiléenne, le lagrangien est la différence entre l ’énergie cinétique et l ’éner-
gie potentielle. Plus tard, cette définition sera généralisée d ’une façon telle qu ’elle ai-
guisera notre compréhension de cette dichotomie : le lagrangien devient la différence
entre une expression représentant des particules libres et une expression due à leurs in-
teractions. En d ’autres termes, le mouvement d ’une particule est un compromis inin-
terrompu entre ce que la particule ferait si elle était libre et ce que les autres particules
veulent lui faire faire. À cet égard, les particules se comportent beaucoup comme des
êtres humains.
∗∗
Défi 351 pe Expliquez ceci : pourquoi T + U est-il constant, alors que T − U est minimal ?
∗∗
Dans la nature, la somme T +U des énergies cinétique et potentielle est constante pendant
le mouvement (pour des systèmes isolés), tandis que la moyenne de la différence T −U est
minimale. Est-il envisageable d ’en déduire, en combinant ces deux faits, que les systèmes
α air
eau

β
F I G U R E 104 La réfraction de la lumière est due à l’optimisation du trajet temporel.
Défi 352 pe tendent vers un état d ’énergie potentielle minimale ?

∗∗
Il existe un principe de moindre effort décrivant la croissance des arbres. Lorsqu ’un arbre
– une phanérophyte monopodiale* – croît et produit des feuilles, entre 40 % et 60 % de la
masse dont il est constitué, à savoir de l ’eau et des minéraux, doit être déplacée du sol vers
le haut**. Par conséquent, un arbre obtient le plus grand nombre possible de branches le
plus haut placées en consommant la plus petite quantité d ’énergie. C ’est la raison pour
laquelle toutes les feuilles ne se situent pas au plus haut sommet d ’un arbre. Pouvez-vous
Défi 353 pe déduire d ’autres conclusions sur les arbres à partir de ce principe ?
∗∗
Un autre principe de minimisation peut être utilisé pour comprendre la conception du
corps des animaux, particulièrement leur taille et les proportions de leurs structures
Réf. 151 internes. Par exemple, la pulsation du cœur et la fréquence de respiration varient en-
semble avec la masse animale m comme m−1/4 , et la puissance dissipée varie comme
m 3/4 . Il s’avère que de tels exposants découlent de trois propriétés des êtres vivants. Pre-
mièrement, ils transportent de l ’énergie et de la matière à travers leur organisme par le
truchement d ’un réseau ramifié de vaisseaux : quelques-uns sont grands et beaucoup
d ’autres sont petits. Deuxièmement, ces vaisseaux possèdent tous la même taille mini-
male. Et troisièmement, ces réseaux sont optimisés afin de minimiser l ’énergie requise
pour le transport. Ensemble, ces relations expliquent de nombreuses autres lois d ’échelle,
elles devraient également expliquer pourquoi l ’échelle de l ’espérance de vie animale est
comme m−1/4 , ou pourquoi la plupart des mammifères ont approximativement le même
nombre de battements de cœur de leur vivant.
Une explication concurrente, utilisant un principe de minimisation différent, stipule
qu ’un quart de la puissance produite dans n’ importe quel réseau est utilisé afin que le
Réf. 152 flux rejoigne la destination par le chemin le plus direct.
∗∗
Le principe de minimisation pour le mouvement de la lumière est encore plus élégant : la
* Phanérophyte : végétal pérenne dont les bourgeons sont situés à plus de 50 cm du sol pendant le repos
végétatif (arbres, arbustes). Monopodial : dont la croissance se fait principalement à partir des bourgeons
terminaux (la plante est peu ramifiée). [N.d.T.]
** Le reste de la masse provient du CO2 de l ’air.
lumière emprunte toujours le chemin qui nécessite le plus petit temps de trajet. On savait
depuis longtemps que cette idée décrivait exactement comment la lumière change de di-
rection lorsqu ’elle passe de l ’air à l ’eau. Dans l ’eau, la lumière se déplace plus lentement,
le rapport entre la vitesse dans l ’air et celle dans l ’eau est appelé l ’ indice de réfraction
de l ’eau. L’ indice de réfraction, généralement noté n, dépend de la matière traversée. Sa

valeur pour l ’eau est d ’environ 1,3. Ce rapport des vitesses, associé au principe du temps
minimal, conduit à la « loi » de la réfraction, qui s’énonce comme une simple relation
Défi 354 s entre les sinus des deux angles. Pouvez-vous la déduire ? (En fait, la définition exacte de
l ’ indice de réfraction est en rapport avec le vide, et non avec l ’air. Mais cette différence
Défi 355 s est négligeable : pouvez-vous imaginer pourquoi ?)
Pour le diamant, l ’ indice de réfraction est de 2,4. Cette valeur élevée représente une ex-
plication possible de l ’éclat des diamants lorsqu ’ ils sont taillés avec 57 faces étincelantes.
Défi 356 s Pouvez-vous imaginer quelques autres raisons ?
∗∗
Pouvez-vous confirmer que chacun de ces principes de minimisation est un cas parti-
Défi 357 s culier du principe de moindre action ? En réalité, c ’est le cas pour tous les principes de
minimisation connus dans la nature. Chacun d ’entre eux, comme le principe de moindre
action, est un principe de moindre changement.
∗∗
En physique galiléenne, la valeur de l ’action dépend de la vitesse de l ’observateur, mais
non de sa position ou de son orientation. Mais l ’action, lorsqu ’elle est correctement dé-
finie, ne devrait pas dépendre de l ’observateur. Tous les observateurs devraient être d ’ac-
cord sur la valeur du changement observé. Ce n’est qu ’avec la relativité restreinte que
l ’exigence d ’une action qui doit être indépendante de la vitesse de l ’observateur sera
Défi 358 s satisfaite. Comment l ’action relativiste sera-t-elle définie ?
∗∗
Mesurer tout le changement qui se produit dans l ’univers présuppose que l ’univers est
Défi 359 s un système physique. Est-ce vraiment le cas ?
∗∗
Un mouvement pour lequel l ’action est particulièrement bien minimisée dans la nature
Réf. 153 nous est cher : la marche. De vastes efforts de recherche tentent de concevoir des robots
qui reproduisent le fonctionnement et le contrôle de l ’optimisation de l ’énergie dans les
jambes humaines. Pour un exemple, consultez le site Web de Tao Geng sur http://www.
cn.stir.ac.uk/~tgeng/research.html.
Chapitre 9
MOU V E M E N T ET SYM ÉT R I E

La seconde manière de décrire globalement le mouvement est de le décrire de telle
sorte que tous les observateurs s’accordent. Un objet situé sous le feu des projecteurs est
qualifié de symétrique s’ il apparaît sous le même aspect lorsqu ’ il est observé depuis dif-
férentes positions. Par exemple, une fleur de myosotis, dont la Figure 105 en donne une
image, est symétrique parce qu ’elle prend une apparence identique dès qu ’on la tourne
sur elle-même de 72 degrés. De nombreuses fleurs d ’arbres fruitiers ont la même symé-
trie. Nous disons également que, sous un changement de position, la fleur possède une
propriété invariante, à savoir sa forme. Si de telles positions possibles sont nombreuses,
alors nous parlons d ’une haute symétrie, sinon d ’une basse symétrie. Par exemple, un
trèfle à quatre feuilles possède une plus haute symétrique qu ’un à trois feuilles, plus cou-
rant. Des perspectives différentes impliquent des observateurs distincts. En physique, ces
points de vue sont généralement nommés des référentiels (physiques) et sont mathémati-
quement décrits par des systèmes de coordonnées*.
Une haute symétrie signifie que de nombreux observateurs font la même observation.
À première vue, peu d ’objets ou d ’observations symétriques semblent exister dans la
nature. En fait, c ’est une erreur. Au contraire, nous pouvons déduire que la nature tout
entière est symétrique par le simple fait que nous pouvons tous parler de celle-ci, que
Défi 360 s nous en avons tous le même point de vue ! Qui plus est, la symétrie de la nature est
considérablement plus haute que celle d ’une fleur de myosotis. Nous nous apercevrons
que cette haute symétrie est à la base de la célèbre formule E 0 = mc 2 .
Pourquoi pouvons-nous réfléchir et discu ter ?

L’ harmonie dissimulée est beaucoup plus
Réf. 154
“ profonde que celle qui est apparente.
Héraclite d ’ Éphèse, environ 500 av. J.-C.
Pourquoi pouvons-nous comprendre quelqu ’un lorsqu ’ il parle de l ’univers, même

”
si nous ne sommes pas dans ses chaussons ? Nous le pouvons pour deux raisons : parce
que la plupart des choses ont une apparence similaire sous des angles différents, et parce
que nous avons eu préalablement, pour la plupart, des expériences similaires.
« Similaire » signifie que ce que nous observons et ce que les autres observent concorde
d ’une manière ou d ’une autre. En d ’autres termes, de nombreux aspects des observa-
* Plus précisément, en physique, un référentiel est un système de coordonnées de l ’espace-temps, composé

de trois coordonnées d ’espace et d ’une coordonnée de temps, utilisé pour définir les notions de position,
de vitesse et d ’accélération [N.d.T.].
190 9 mouvement et symétrie

F I G U R E 105 Le myosotis (Boraginaceae), aussi dénommé « Ne m’oubliez pas » dans de nombreuses
langues. (© Markku Savela)
tions ne dépendent pas du point de vue. Par exemple, le nombre de pétales d ’une fleur est
toujours identique pour tous les observateurs. Nous pouvons donc dire que cette quantité
possède la plus haute symétrie possible. Nous verrons ci-dessous que la masse en est un
autre exemple semblable. Les observables qui ont la plus haute symétrie possible sont ap-
pelées des scalaires en physique. D’autres aspects varient d ’un observateur à l ’autre. Par
exemple, la taille apparente fluctue avec la distance de l ’observation. Cependant, la taille
réelle est indépendante des observateurs. En termes généraux, n’ importe quelle forme
d ’ indépendance des points de vue est un modèle de symétrie, et le fait que deux individus
observant la même chose depuis des positions différentes puissent se comprendre l ’un et
l ’autre démontre que la nature est symétrique. Nous allons commencer à analyser les par-
ticularités de cette symétrie dans cette section et nous poursuivrons pendant la plupart
du reste de notre promenade.
Dans le monde qui nous entoure, nous remarquons une autre propriété générale :
non seulement le même phénomène apparaît comme similaire à des observateurs dif-
férents, mais aussi des phénomènes différents apparaissent comme similaires au même
observateur. Par exemple, nous savons que si le feu brûle les doigts dans la cuisine, il
fera de même à l ’extérieur de la maison, et également à d ’autres endroits et à d ’autres
moments. La nature exhibe l ’aptitude à la reproductibilité. La nature ne réserve aucune
surprise. En fait, notre mémoire et notre pensée ne sont possibles que grâce à cette pro-
Défi 361 s priété élémentaire de la nature. (Pouvez-vous le confirmer ?) Comme nous le verrons, la
reproductibilité nous conduit à de fortes restrictions supplémentaires sur la description
de la nature.
Sans l ’ indépendance des points de vue et la reproductibilité, parler aux autres ou à soi-
même serait impossible. Plus important encore, nous découvrirons que l ’ indépendance
des points de vue et la reproductibilité permettent beaucoup plus que de rendre tout
simplement possible le fait de pouvoir discuter : elles fixent également le contenu de ce
que nous pouvons nous dire. En d ’autres termes, nous verrons que notre description de
la nature découle logiquement, de manière pratiquement indépendante, du simple fait
que nous pouvons parler de la nature à nos amis.
mouvement et symétrie 191
Points de vue
La tolérance... est le soupçon que l ’autre
“ pourrait avoir raison.

Kurt Tucholski (1890–1935), écrivain allemand.
La tolérance – une force que nous souhaitons ”
“

principalement aux adversaires politiques.
Wolfram Weidner (né en 1925), journaliste
Lorsque le petit d ’ homme commence à rencontrer d ’autres personnes durant son

enfance, il s’aperçoit rapidement que certaines expériences sont partagées, alors que
allemand.
”
d ’autres, comme les rêves, ne le sont pas. Apprendre à effectuer cette distinction est une
des aventures de la vie humaine. Dans ces pages, nous nous focalisons sur une partie des
expériences du premier type : les observations physiques. Toutefois, même parmi celles-ci,
des distinctions doivent être effectuées. Dans la vie quotidienne, nous sommes habitués
à reconnaître que les poids, les volumes, les longueurs et les durées sont indépendants
du point de vue de l ’observateur. Nous pouvons parler de ces quantités observées à qui-
conque, et il n’y a aucun désaccord à propos de leurs valeurs, à partir du moment où
elles ont été correctement mesurées. Pourtant, d ’autres quantités doivent dépendre de
l ’observateur. Imaginez que vous parliez à un ami après qu ’ il a sauté d ’un des arbres qui
jalonnent notre chemin, au moment où il est en train de chuter vers le sol. Il affirmera
que le sol de la forêt se rapproche à grande vitesse, bien que vous-même prétendrez que
ce sol est stationnaire. Manifestement, la différence entre ces affirmations est due à leurs
points de vue discordants. La vitesse d ’un objet (dans cet exemple celle du sol de la forêt
ou celle de votre ami lui-même) est ainsi une propriété moins symétrique que le poids
ou la taille. Tous les observateurs ne s’accordent pas sur sa valeur.
Dans le cas des observations dépendantes du point de vue, la compréhension reste
toujours possible si l ’on se donne un peu de peine : chaque observateur peut s’ imaginer
observer à partir de la position de l ’autre, et vérifier si le résultat imaginé concorde avec
l ’affirmation de l ’autre*. Si cette affirmation ainsi imaginée et la véritable affirmation de
l ’autre observateur coïncident, ces observations sont cohérentes, et les différences dans
les formulations ne sont dues qu ’à des points de vue différents. Sinon, la différence est
fondamentale et ils ne peuvent pas se mettre d ’accord ou se parler. En utilisant cette ap-
proche, vous pouvez même dire si les sentiments, les jugements ou les goûts des hommes
Défi 362 s proviennent de différences fondamentales ou non.
La distinction entre des quantités indépendantes du point de vue (invariantes) et
d ’autres dépendantes du point de vue est une distinction primordiale. Des quantités in-
variantes, telles que la masse ou la forme, décrivent des propriétés intrinsèques, et des
quantités qui dépendent de l ’observateur modélisent l ’ état du système. Par conséquent,
nous devons impérativement répondre aux questions suivantes afin de trouver une des-
cription complète de l ’état d ’un système physique :
— Quels points de vue sont possibles ?
* Les hommes développent à l ’âge d ’environ quatre ans la capacité d ’ imaginer que d ’autres peuvent se
Réf. 155 trouver dans des situations différentes de la leur. Par conséquent, avant cet âge, les hommes sont incapables
de concevoir la relativité restreinte, après ils le peuvent.
— Comment les descriptions se transforment-elles d ’un point de vue à un autre ?

— Quelles observables ces symétries admettent-elles ?
— Qu ’est-ce que ces conséquences ont à nous dire à propos du mouvement ?
Jusqu ’à présent, dans la discussion, nous avons étudié des points de vue qui diffèrent se-
lon la position, l ’orientation, le temps et, encore plus important, selon le mouvement. Par

rapport à chacun d ’entre eux, des observateurs peuvent se trouver au repos, se déplacer
à vitesse constante ou accélérer. Ces changements « concrets » de points de vue sont ceux
que nous étudierons en premier. Dans ce cas, la nécessité de cohérence des observations
Page 84 faites par des observateurs différents est appelée le principe de relativité. Les symétries
associées à ce type d ’ invariance sont nommées des symétries externes. Elles sont listées
Page 201 dans le Tableau 26.
Une deuxième classe de changements fondamentaux des points de vue concerne les
changements « abstraits ». Des points de vue peuvent différer selon la description mathé-
matique utilisée : de tels changements sont appelés des changements de jauge. Ils seront
introduits pour la première fois dans la section sur l ’électrodynamique. À nouveau, il
est exigé que toutes les formulations soient cohérentes à travers les différentes descrip-
tions mathématiques. Cette exigence de cohérence est appelée le principe d’ invariance
de jauge. Les symétries associées sont nommées symétries internes.
La troisième classe de changements, dont l ’ importance ne peut pas apparaître immé-
diatement dans la vie de tous les jours, est celle du comportement d ’un système sous
l ’échange de ses parties. L’ invariance associée est appelée symétrie de permutation. C ’est
une symétrie discrète, et nous la rencontrerons dans la seconde partie de notre aventure.
Les trois conditions de cohérence décrites ci-dessus sont appelées « principes » parce
que ces formulations élémentaires sont si profondes qu ’elles déterminent presque com-
plètement les « lois » de la physique, comme nous le verrons bientôt. Un peu plus tard
nous découvrirons que le fait de chercher une description complète de l ’état des objets
produira également une description complète de leurs propriétés intrinsèques. Mais nous
avons eu assez d ’ introduction : allons directement au cœur du sujet.
Symétries et groupes
Puisque nous sommes à la recherche d ’une description exhaustive du mouvement,
nous avons besoin de comprendre et de décrire l ’ensemble complet des symétries de la
nature. On dit qu ’un système est symétrique, ou qu ’ il possède une symétrie, s’ il apparaît
sous une forme identique lorsqu ’ il est observé sous différents angles. Nous disons égale-
ment que ce système possède une invariance par rapport au changement d ’un point de
vue à un autre. Les changements de points de vue sont appelés opérations de symétrie ou
transformations. Une symétrie est donc une transformation ou, plus généralement, un
ensemble de transformations. Toutefois, elle est beaucoup plus que cela : l ’application
consécutive de deux opérations de symétrie est une autre opération de symétrie. Pour
être plus précis, une symétrie est un ensemble G = {a, b, c...} d ’éléments, les transfor-
mations, combiné avec un opérateur binaire ○ appelé concaténation ou multiplication et
prononcé « suivi de » ou « fois », dans lequel les propriétés suivantes sont vérifiées pour
tout élément a, b et c :
associativité, c ’est-à-dire (a ○ b) ○ c = a ○ (b ○ c)
existence d ’un élément neutre e tel que e ○ a = a ○ e = a
existence d ’un élément inverse a −1 tel que a −1 ○ a = a ○ a −1 = e . (65)

Tout ensemble qui vérifie ces trois propriétés déterminantes, ou axiomes, est appelé un
groupe (mathématique). Historiquement, la notion de groupe fut le premier exemple
d ’une structure mathématique définie d ’une manière totalement abstraite*. Pouvez-
Défi 363 s vous donner un exemple d ’un groupe choisi dans la vie quotidienne ? Comme nous le
verrons, les groupes apparaissent fréquemment en physique et en mathématiques, parce
Réf. 156 que les symétries sont présentes presque partout**. Pouvez-vous donner la liste des opé-
Défi 364 s rations de symétrie qui apparaissent dans les motifs de la Figure 106 ?
R eprésentations
En observant un système symétrique et composé tel que celui de la Figure 106, nous
Défi 365 e remarquons que chacune de ses parties, par exemple chaque motif rouge, appartient à
un ensemble d ’objets identiques, généralement appelé un multiplet. Considéré dans son
ensemble, le multiplet possède (au moins) les propriétés de symétrie du système tout
entier. Pour certains des motifs colorés de la Figure 106, nous avons besoin de quatre
objets pour constituer un multiplet complet, bien que pour d ’autres deux suffisent, ou
un seulement, comme dans le cas de l ’étoile centrale. En réalité, dans chaque système
symétrique, chaque partie peut être classée selon le type de multiplet auquel elle appar-
tient. Lors de notre ascension de la montagne nous réaliserons la même classification
avec chaque partie de la nature, obtenant ainsi une précision toujours croissante.
Un multiplet est un ensemble de parties qui se transforment les unes dans les autres se-
lon toutes les transformations de symétrie. Les mathématiciens nomment généralement
représentations ces multiplets abstraits. En spécifiant à quel multiplet un composant ap-
partient, nous décrivons de quelle manière ce composant constitue une partie du système
entier. Regardons comment cette classification est réalisée.
En langage mathématique, les transformations de symétrie sont fréquemment décrites
par des matrices. Par exemple, dans le plan, une image symétrique (réflexion) par rapport
* Ce terme est dû à Évariste Galois (1811–1832), cette structuration à Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) et
cette définition axiomatique à Arthur Cayley (1821–1895).
** En principe, les groupes mathématiques ne nécessitent pas forcément d ’être définis comme des groupes de
symétrie, mais nous pouvons démontrer que tous les groupes peuvent être considérés comme des groupes de
transformation dans un certain espace mathématique convenablement choisi. Ainsi donc en mathématiques
nous pouvons utiliser les termes « groupe de symétrie » et « groupe » de manière indifférente.
Un groupe est dit abélien si son opération de concaténation est commutative, c ’est-à-dire si a ○ b = b ○ a
pour tout couple d ’éléments a et b. Dans cette condition, la concaténation est parfois appelée addition. Les
rotations forment-elles un groupe abélien ?
Un sous-ensemble G1 ⊂ G d ’un groupe G peut lui-même être un groupe ; nous parlons alors de sous-
groupe et nous disons souvent abusivement que G est plus grand que G1 ou que G est un groupe de plus
haute symétrie que G1 .

Copyright © 1990 Christoph Schiller
F I G U R E 106 Un ornement latino–arabe dans le palais du Gouverneur à Séville. (© Christoph Schiller)
à la première diagonale de ce plan est représentée par la matrice
D(réfl) = ( ) ,
0 1
(66)
1 0
puisque chaque point (x, y) est transformé en (y, x) lorsqu ’ il est multiplié par la ma-
Défi 366 e trice D(réfl). Par conséquent, pour un mathématicien, une représentation d ’un groupe
de symétrie G est une affectation d ’une matrice D(a) à chaque élément a du groupe telle
que la représentation de la concaténation de deux éléments a et b est égale au produit de
la représentation D de chaque élément :
D(a ○ b) = D(a)D(b) . (67)

Par exemple, la matrice de l ’équation (66), ainsi que les matrices associées à toutes les
autres opérations de symétrie possèdent cette propriété*.
Pour chaque groupe de symétrie, la construction et la classification de toutes les repré-
sentations possibles constituent une activité importante. Celle-ci correspond à la classi-
fication de tous les multiplets possibles qu ’un système symétrique peut comporter. De

cette façon, la compréhension de la classification de tous les multiplets et toutes les par-
ties qui peuvent apparaître dans la Figure 106 nous informera sur la manière d ’arranger
toutes les parties possibles qui peuvent composer un objet ou un exemple de mouve-
ment !
Une représentation D est qualifiée d ’ unitaire si toutes les matrices D(a) sont uni-
taires**. Presque toutes les représentations qui surgissent en physique, à l ’exception seule-
ment d ’une poignée d ’entre elles, sont unitaires : cette propriété est la plus restrictive,
puisqu ’elle précise que les transformations correspondantes sont des applications injec-
tives et qu ’elles sont inversibles, ce qui signifie qu ’un observateur ne verra jamais plus
ou moins de choses qu ’un autre. Évidemment, si un observateur peut discuter avec un
second, le deuxième observateur peut également parler au premier.
L’ultime propriété importante d ’un multiplet, ou d ’une représentation, concerne sa
structure. Si un multiplet peut être vu comme étant constitué de sous-multiplets, il est
qualifié de réductible, sinon d ’ irréductible. Le même vocabulaire s’applique aux repré-
sentations. Les représentations irréductibles ne peuvent évidemment pas être décompo-
sées. Par exemple, le groupe de symétrie (approximatif) de la Figure 106, communément
appelé D4 , possède huit éléments. Il est associé à la représentation matricielle générale
Défi 367 e exacte, unitaire et irréductible
* Il y a quelques conditions accessoires évidentes, mais importantes, pour une représentation : les matrices
D(a) doivent être inversibles, ou non singulières, et l ’opérateur identité de G doit être associé à la matrice
unité. En langage beaucoup plus concis, nous disons qu ’une représentation est un homomorphisme de G
dans le groupe des matrices inversibles ou non singulières. Une matrice D est inversible si son déterminant
det D n’est pas nul.
En général, si une fonction f d ’un groupe G à un autre groupe G ′ satisfait la relation
f (a ○G b) = f (a) ○G ′ f (b) , (68)
alors elle est appelée homomorphisme. Un homomorphisme f qui est à la fois injectif et surjectif est appelé
un isomorphisme. Si une représentation est également injective, elle est qualifiée de fidèle, exacte ou juste.
De la même façon que pour les groupes, des structures mathématiques plus complexes comme les an-
neaux, les corps et les algèbres associatives peuvent également être représentées par des classes appropriées
de matrices. Une représentation du corps des nombres complexes en est donnée dans l ’ Annexe ??.
** La transposée AT d ’une matrice A est définie élément par élément par (AT )ik = A ki . La conjuguée com-
plexe A∗ d ’une matrice A est définie par (A∗ )ik = (A ik )∗ . La matrice adjointe A† d ’une matrice A est
définie par A† = (AT )∗ . Une matrice est qualifiée de symétrique si AT = A, d ’ orthogonale si AT = A−1 ,
d ’ hermitienne ou auto-adjointe (les deux sont synonymes dans toutes les applications physiques) si A† = A
(les matrices hermitiennes ont des valeurs propres réelles), et unitaires si A† = A−1 . Les matrices unitaires
possèdent des valeurs propres de norme un. La multiplication par une matrice unitaire est une application
injective, puisque l ’évolution temporelle des systèmes physiques est une application d ’un instant vers un
autre, l ’évolution est toujours décrite par une matrice unitaire. Une matrice réelle respecte A∗ = A, une
matrice antisymétrique ou symétrique par rapport à la diagonale est définie par AT = −A, une matrice anti-
hermitienne par A† = −A et une matrice anti-unitaire par A† = −A−1 . Toutes les applications décrites par
ces types particuliers de matrices sont injectives. Une matrice est singulière, c ’est-à-dire non injective, si
det A = 0.
TA B L E AU 25 Correspondances entre les symétries d’un ornement, d’une fleur et de la nature tout
entière.
Système Motif Fleur Mouvement
L at i n o – A r a b e
Structure et ensemble de bandes et ensemble de trajectoire du mouvement et

composants de motifs pétales, tige observables
Symétrie du symétrie des motifs symétrie de la fleur symétrie du lagrangien
système
Description D4 C5 en relativité galiléenne :
mathématique du position, orientation, instant
groupe de et variations de vitesse
symétrie
Invariants nombre d ’éléments nombre de pétales nombre de coordonnées,
d ’un multiplet grandeur des scalaires,
vecteurs et tenseurs
Représentations types de multiplets types de multiplets tenseurs, y compris scalaires
des composants d ’éléments de composants et vecteurs
Représentation la singulet partie de symétrie scalaire
plus symétrique circulaire
Représentation quadruplet quintuplet vecteur
fidèle la plus
simple
Représentation la quadruplet quintuplet aucune limite (tenseur de
moins rang infini)
symétrique
( ) n = 0..3, ( ),( ),( ),( ).

cos n π2 − sin n π2 −1 0 1 0 0 1 0 −1
(69)
sin n π2 cos n π2 0 1 0 −1 1 0 −1 0
Cette représentation est un octet. La liste exhaustive de toutes les représentations irréduc-
tibles possibles du groupe D4 est donnée par des singulets, des couples et des quadruplets.
Défi 368 pe Pouvez-vous tous les repérer ? Ces représentations permettent la classification de toutes
les bandes noires et blanches qui apparaissent dans la figure, ainsi que celle des motifs
colorés. Les éléments les plus symétriques sont les singulets, les moins symétriques étant
les membres des quadruplets. Le système complet constitue toujours un singulet.
À l ’aide de ces concepts nous sommes prêts à discuter du mouvement avec une
meilleure précision.
Symétries, mouvement et physique galiléenne

Chaque jour, nous faisons l ’expérience que nous sommes capables de nous parler les
uns aux autres à propos du mouvement. Il doit donc être possible de découvrir une quan-
tité invariante qui le décrit. Nous la connaissons déjà : c ’est l ’ action. Craquer une allu-
mette est un changement. C ’est le même changement qu ’elle soit allumée ici ou là-bas,
dans une direction ou une autre, aujourd ’ hui ou demain. En fait, l ’action (galiléenne)
est une quantité dont la valeur est la même pour chaque observateur au repos, indépen-
damment de son orientation ou de l ’ instant auquel il réalise son observation.

Dans le cas des motifs arabes de la Figure 106, la symétrie nous permet de déduire la
liste des multiplets ou des représentations qui peuvent constituer ses éléments de base.
Cette méthode doit aussi être possible pour le mouvement. Nous déduisons la classifica-
tion des bandes de l ’ornement arabe en singulets, couples, etc. à partir des divers angles
d ’observation possibles. Pour un système en mouvement, les éléments de base, corres-
pondant aux bandes, sont les observables. Puisque nous considérons que la nature est sy-
métrique sous différents changements de points de vue, nous pouvons cataloguer toutes
les observables. Pour ce faire, nous avons besoin de dresser la liste de toutes les transfor-
mations de points de vue et d ’en déduire l ’ inventaire de toutes leurs représentations.
Notre expérience quotidienne montre que le monde reste inchangé après des change-
ments de position, d ’orientation et d ’ instant de l ’observation. Nous parlons également
d ’ invariance par translation dans l ’espace, d ’ invariance par rotation et d ’ invariance par
translation du temps. Ces transformations sont différentes de celles du modèle arabe sur
deux points : elles sont continues et elles sont illimitées. Ainsi, leurs représentations seront
généralement continûment variables et sans frontières : elles seront des quantités ou des
grandeurs. En d ’autres termes, des observables seront confectionnées à l ’aide de nombres.
De cette manière nous avons justifié pourquoi des nombres sont nécessaires pour toute
description du mouvement*.
Puisque des observateurs peuvent avoir une orientation différente, la plupart des re-
présentations seront des objets possédant une direction. En bref, la symétrie sous le chan-
gement de position, d ’orientation ou d ’ instant de l ’observation a pour conséquence que
toutes les observables sont soit des « scalaires », soit des « vecteurs » ou plus généralement
des « tenseurs »**.
Un scalaire est une quantité observable qui demeure identique pour tous les observa-
teurs : elle correspond à un singulet. Des exemples en sont la masse ou la charge d ’un
objet, la distance entre deux points, la distance à l ’ horizon, et beaucoup d ’autres. Leurs
valeurs autorisées sont (généralement) continues, illimitées et sans direction. Le potentiel
en un point et la température en un point sont d ’autres exemples de scalaires. La vitesse
n’est évidemment pas un scalaire, pas plus que la coordonnée d ’un point. Pouvez-vous
Défi 370 s trouver d ’autres exemples et contre-exemples ?
L’énergie est une observable énigmatique. C ’est un scalaire si l ’on considère unique-
ment des changements de lieu, d ’orientation et d ’ instant de l ’observation. Mais l ’énergie
n’est plus un scalaire si des changements de vitesse de l ’observateur sont pris en compte.
Personne n’a jamais recherché une généralisation de l ’ énergie telle qu ’elle soit une gran-
deur scalaire également pour les observateurs mobiles. C ’est seulement Albert Einstein
qui l ’a découvert, complètement par hasard. Nous reviendrons sur ce sujet bientôt.
* Contrairement aux vecteurs et aux tenseurs d ’ordre plus élevé, seuls les scalaires peuvent être des quantités
qui ne peuvent prendre qu ’un ensemble discret de valeurs, comme +1 ou −1 seulement. Plus brièvement,
Défi 369 e seuls les scalaires peuvent être des observables discrètes.
** Plus tard, les spineurs seront ajoutés, et compléteront, cette liste.
Toute quantité qui possède une grandeur et une direction et qui « reste identique »
par rapport à l ’environnement après un changement de point de vue est un vecteur. Par
exemple, la flèche qui relie deux points fixes situés sur le sol est un vecteur. Sa longueur
est la même pour tous les observateurs, sa direction varie d ’un observateur à l ’autre,
mais pas par rapport à son environnement. D’un autre côté, la flèche qui relie un arbre

au lieu où un arc-en-ciel touche la terre n’est pas un vecteur, puisque ce lieu ne reste pas
figé par rapport au milieu environnant lorsque l ’observateur change.
Les mathématiciens disent que les vecteurs sont des entités orientées qui restent inva-
riantes sous des transformations de coordonnées. Les vitesses des objets, les accélérations
et la force exercée par un champ en un point sont des exemples de vecteurs. (Pouvez-
Défi 371 e vous le confirmer ?) La grandeur d ’un vecteur est un scalaire : elle est la même pour tout
observateur. D’ailleurs, un résultat célèbre et déconcertant des expériences réalisées au
dix-neuvième siècle montra que la vitesse de la lumière n’est pas un vecteur pour les
transformations galiléennes. Ce mystère sera résolu un peu plus tard.
Les tenseurs sont des vecteurs généralisés. Comme exemple, prenez le moment d ’ iner-
tie d ’un objet. Il spécifie la dépendance du moment cinétique par rapport à la vitesse
Page 88 angulaire. Pour tout objet, le fait de doubler la grandeur de la vitesse angulaire permet
de doubler la grandeur du moment cinétique ; pourtant, ces deux vecteurs ne sont pas
Page 113 parallèles l ’un à l ’autre si l ’objet n’est pas une sphère. En général, si les grandeurs de ces
deux vecteurs sont proportionnelles, dans le sens où le fait de doubler la grandeur d ’un
vecteur double la grandeur de l ’autre, mais sans que ces deux vecteurs soient parallèles
l ’un à l ’autre, alors le « facteur » de proportionnalité est un tenseur (du second ordre).
Comme tous les facteurs de proportionnalité, les tenseurs ont une grandeur. En plus, les
tenseurs possèdent une direction et une forme : ils décrivent les correspondances qui
existent entre les vecteurs auxquels ils sont associés. Puisque les vecteurs sont les quanti-
tés les plus simples dotées d ’une grandeur et d ’une direction, alors les tenseurs sont les
quantités les plus simples dotées d ’une grandeur et d ’une direction qui dépend d ’une
seconde direction choisie. Les vecteurs peuvent être visualisés comme des flèches orien-
tées, les tenseurs peuvent l ’être comme des ellipsoïdes orientés*. Pouvez-vous citer un
Défi 373 s autre exemple de tenseurs ?
Retournons à la description du mouvement. Le Tableau 25 indique que, dans des
systèmes physiques, nous devons toujours discerner la symétrie du lagrangien tout en-
tier – correspondant à la symétrie du modèle complet – de la représentation des obser-
vables – correspondant aux multiplets des rubans. Puisque l ’action doit être un scalaire,
et puisque toute observable doit être un tenseur, les lagrangiens contiennent des sommes
* Un tenseur de rang n est le facteur de proportionnalité situé entre un tenseur de rang 1, c ’est-à-dire un
vecteur, et un tenseur de rang (n − 1). Les vecteurs et les scalaires sont des tenseurs respectivement de rang
1 et de rang 0. Les scalaires peuvent être imaginés comme des sphères, les vecteurs comme des flèches et les
tenseurs de rang 2 comme des ellipsoïdes. Les tenseurs de rang plus élevé correspondent à des formes de
plus en plus complexes.
Un vecteur possède la même longueur et la même direction pour tous les observateurs, un tenseur (de
rang 2) possède le même déterminant, la même trace (en algèbre linéaire, la trace d ’une matrice carrée
est définie comme étant la somme de ses éléments diagonaux [N.d.T.]) et la même somme de ses sous-
déterminants diagonaux pour tous les observateurs.
Un vecteur est défini mathématiquement par une liste d ’éléments, un tenseur (de rang 2) est décrit par
une matrice d ’éléments. Le rang ou l ’ ordre d ’un tenseur détermine ainsi le nombre d ’ indices que possède
Défi 372 e l ’observable. Pouvez-vous montrer cela ?
et des produits de tenseurs uniquement dans des combinaisons qui forment des scalaires.
Les lagrangiens renferment donc seulement des produits scalaires ou des généralisations
de ceux-ci. En résumé, les lagrangiens apparaissent toujours sous la forme
L = α a i b i + β c jk d jk + γ e l mn f l mn + ... (70)

où les indices affectés aux variables a, b, c, etc. sur lesquelles les additions sont effectuées
sont toujours répétés (ainsi en général, les symboles de sommation sont tout simplement
omis). Les lettres grecques représentent des constantes. Par exemple, l ’action d ’une par-
ticule ponctuelle libre en physique galiléenne était donnée par
S= ∫ L dt = 2 ∫ v
m 2
dt (71)
qui est en réalité de la forme mentionnée plus haut. Nous rencontrerons de nombreux
autres cas pendant notre étude du mouvement*.
Galilée avait déjà compris que le mouvement est également invariant sous des chan-
Page 84 gements de points de vue ayant des vitesses différentes. Cependant, l ’action que nous
venons de définir ne reflète pas cela. Il fallut quelques années pour lever le voile sur la
généralisation correcte : elle est fournie par la théorie de la relativité restreinte. Avant que
nous l ’étudiions, nous devrons achever le présent sujet.
* Par ailleurs, la liste classique des points de vue d ’observation possibles – à savoir les positions différentes,
les instants d ’observation différents, les orientations différentes, et les vitesses différentes – est-elle également
exhaustive pour l ’action (71) ? De façon surprenante, la réponse est non. Un des premiers qui remarqua cette
Réf. 157 particularité fut Niederer, en 1972. En étudiant la théorie quantique des particules ponctuelles, il s’aperçut
que même l ’action d ’une particule ponctuelle libre galiléenne est invariante sous certaines autres transfor-
mations. Si les deux observateurs utilisent les coordonnées (t, x) et (τ, ξ), l ’action (71) est invariante sous
Défi 374 pe les transformations
Rx + x0 + vt αt + β
ξ= et τ= avec RT R = 1 et αδ − βγ = 1 (72)
γt + δ γt + δ
où R décrit la rotation de l ’orientation d ’un observateur par rapport à celle de l ’autre, v la vitesse relative
entre les deux observateurs, et x0 le vecteur qui pointe entre les deux origines à l ’ instant zéro. Ce groupe
renferme deux cas particuliers importants de transformations :
Le groupe de Galilée, connexe et statique ξ = Rx + x0 + vt et τ=t

x αt + β
Le groupe de transformation SL(2,R) ξ = et τ= . (73)
γt + δ γt + δ
Le deuxième groupe, à trois paramètres, inclut le renversement d ’espace, les dilatations, la translation du
temps et un ensemble de transformations dépendantes du temps tel que ξ = x/t, τ = 1/t appelées expansions.
Les dilatations et les expansions sont rarement citées puisqu ’elles sont des symétries des particules ponc-
tuelles seulement, elles ne s’appliquent pas aux objets et systèmes ordinaires. Elles réapparaîtront plus tard
cependant, sous un jour encore plus important.
R eproductibilité, conservation et théorème de Noether

J ’abandonnerai ma masse, ma charge et ma
“ quantité de mouvement à la science.
La reproductibilité des observations, c ’est-à-dire la symétrie sous le changement

Graffiti
”

d ’ instant ou « invariance par translation du temps », est un exemple d ’ indépendance de
point de vue. (Cela n’est pas évident, pouvez-vous trouver ses représentations irréduc-
Défi 375 pe tibles ?) Cette correspondance possède plusieurs conséquences importantes. Nous avons
vu que la symétrie implique l ’ invariance. Il apparaît que pour des symétries continues,
telle la symétrie de translation du temps, cette affirmation peut être exprimée de façon
plus précise : pour toute symétrie continue du lagrangien, il existe une constante conser-
vée associée pour le mouvement, et vice versa. La formulation exacte de cette correspon-
dance est le théorème d ’ Emmy Noether*. Elle découvrit ce résultat en 1915 lorsqu ’elle
vint en aide à Albert Einstein et David Hilbert, qui étaient tous les deux en lutte et en
concurrence dans l ’édification de la relativité générale. Toutefois, ce résultat s’applique
à n’ importe quel type de lagrangien.
Réf. 158
Noether examina des symétries continues dépendant d ’un paramètre b continu. Une
transformation de point de vue est une symétrie si l ’action S ne dépend pas de la valeur
de b. Par exemple, en modifiant la position comme suit :
x ↦ x+b (74)
on laisse l ’action
S0 = ∫ T(v) − U(x) dt (75)
invariante, puisque S(b) = S 0 . Cette situation implique que
= p = const ;
∂T
(76)
∂v
en résumé, la symétrie sous le changement de position entraîne la conservation de la
quantité de mouvement. L’ inverse est également vrai.
Dans le cas d ’une symétrie sous le décalage de l ’ instant de l ’observation, nous trou-
Défi 376 pe vons
T + U = const ; (77)
ou, dit autrement, l ’ invariance par la translation du temps entraîne que l ’énergie reste
constante. Ici encore, l ’ inverse est aussi correct. Nous disons également que l ’énergie et
la quantité de mouvement sont des générateurs des translations du temps et de l ’espace.
La quantité conservée pour une symétrie continue est parfois appelée la charge de
Noether, parce que le mot charge est utilisé en physique théorique pour désigner des ob-
* Emmy Noether (n. Erlangen 1882, d. Bryn Mayr 1935), mathématicienne allemande. Ce théorème ne consti-
tua qu ’une activité secondaire dans sa carrière qu ’elle voua principalement à la théorie des nombres. Le
théorème s’applique également aux symétries de jauge, où il établit que, pour chaque symétrie de jauge, est
associée une identité pour l ’équation du mouvement et vice versa.
servables étendues conservées. Donc, l ’énergie et la quantité de mouvement sont des

charges de Noether. La « charge électrique », la « charge gravitationnelle » (ou masse) et
la « charge topologique » en sont des exemples courants. Quelle est la charge conservée
Défi 377 s pour l ’ invariance par rotation ?
Nous remarquons que l ’expression « l ’énergie est conservée » a plusieurs significa-

tions. Avant tout, elle signifie que l ’énergie d ’une particule libre unique est constante au
cours du temps. Ensuite, elle veut dire que l ’énergie totale de n’ importe quel nombre
de particules indépendantes est constante. Finalement, elle indique que l ’énergie d ’un
système de particules, c ’est-à-dire en incluant leurs interactions, est constante au cours
du temps. Les collisions sont des exemples de ce dernier cas. Le théorème de Noether
rend compte à la fois de toutes ces situations, comme vous pouvez le vérifier en utilisant
Défi 378 e les lagrangiens correspondants.
Mais le théorème de Noether formule également, ou plutôt renouvelle, une vérité
encore plus profonde : si l ’énergie n’était pas conservée, le temps ne pourrait être dé-
fini. La description intégrale de la nature requiert l ’existence de quantités conservées,
comme nous l ’avons remarqué lorsque nous avons introduit les concepts d ’objet, d ’état
Page 25 et d ’environnement. Par exemple, nous avons alors défini les objets comme des enti-
tés permanentes, entendez comme des entités caractérisées par des quantités conservées.
Nous avons également vu que l ’ introduction du temps est possible uniquement parce
Page 164 que dans la nature il « n’y a pas de surprises ». Le théorème de Noether évoque précisé-
ment à quoi une telle « surprise » devrait ressembler : la non-conservation de l ’énergie.
Quoi qu ’ il en soit, les bonds d ’énergie n’ont jamais été observés – même pas, non plus,
à l ’échelle quantique.
Puisque les symétries sont si importantes pour la description de la nature, le Ta-
bleau 26 fournit un panorama de toutes les symétries de la nature que nous rencontre-
rons. Leurs principales propriétés sont également listées. Excepté pour celles qui sont
marquées comme « approximatives » ou « spéculatives », une preuve expérimentale de
l ’ inexactitude de n’ importe laquelle d ’entre elles constituerait en réalité un véritable
coup de théâtre.
TA B L E AU 26 Les symétries de la relativité et de la théorie quantique avec leurs propriétés, ainsi que la
liste complète des inductions logiques utilisées dans ces deux domaines.
Symétrie Type Es- Grou- Repré- Q ua n - Vi d e / E f f e t
[nb de pa c e pe s e nta - tité m at i è - p r i n c i -
pa r a - d ’ ac- topo- tions conser- re pa l
mè- tion logie pos- vée asymé-
tres] sibles trique
Symétries externes, d ’espace-temps ou géométriques

Translation R × R3 espace, non scalaires, quantité de oui/oui autorise le
d ’espace et de [4 par.] temps compact vecteurs mouvement quotidien
temps et énergie
Rotation SO(3) espace S2 tenseurs quantité de oui/oui communi-
[3 par.] mouvement cation

tres] sibles trique

Impulsion de R3 [3 par.] espace, non scalaires, vitesse du oui/aux relativité
Galilée temps compact vecteurs, centre de vitesses du mouve-
tenseurs masse faibles ment
Lorentz Lie espace- non tenseurs, énergie- oui/oui vitesse de
homogène temps compact spineurs quantité de la lumière
SO(3,1) mouvement constante
[6 par.] T µν
Poincaré Lie non espace- non tenseurs, énergie- oui/oui
ISL(2,C) homogène temps compact spineurs quantité de
[10 par.] mouvement
T µν
Invariance par R+ [1 par.] espace- rayon n-dimen. aucune oui/non particules
dilatation temps continuum sans masse
Invariance R4 [4 par.] espace- R4 n-dimen. aucune oui/non particules
conforme temps continuum sans masse
spéciale
Invariance [15 par.] espace- compli- tenseurs, aucune oui/non invariance
conforme temps qué spineurs du cône de
sans masse lumière
Symétries dynamiques, dépendantes des interactions : la gravitation
Gravité en 1/r 2 SO(4) espace comme couple de direction oui/oui orbites
[6 par.] des SO(4) vecteurs du périhélie fermées
config.
Invariance par [∞ par.] espace- compli- espace- énergie– oui/non avancée du
difféomor- temps qué temps quantité de périhélie
phisme mouvement
local
Symétries dynamiques, du mouvement classique et de la mécanique quantique
Mouvement par discret espace discret pair, parité T oui/non réversibi-

inversion T des impair lité
(« temps ») phases
ou de
Hilbert

tres] sibles trique

Parité par discret espace discret pair, parité P oui/non les mondes
inversion P des impair miroirs
(« spatiale ») phases existent
ou de
Hilbert
Conjugaison de globale, espace discret pair, parité C oui/non les antipar-
charge C anti- des impair ticules
linéaire, phases existent
anti-her- ou de
mitienne Hilbert
CPT discret espace discret pair parité CPT oui/oui rend la
des théorie des
phases champs
ou de possible
Hilbert
Symétries de jauge dynamiques, dépendantes des interactions
Invariance de [∞ par.] espace non im- non charge oui/oui lumière
jauge électroma- de portant important électrique sans masse
gnétique champs
classique
Invariance de Lie U(1) espace cercle S1 champs charge oui/oui photon
jauge électroma- abélien de électrique sans masse
gnétique [1 par.] Hilbert
quantique
Dualité électro- Lie U(1) espace cercle S1 abstrait abstrait oui/non aucun
magnétique abélien de
[1 par.] champs
Jauge faible Lie SU(2) espace comme particules charge non/
non de SU (3) faible approx.
abélien Hilbert
[3 par.]
Jauge de couleur Lie SU(3) espace comme quarks de couleur oui/oui gluons
non de SU (3) couleur sans masse
abélien Hilbert
[8 par.]
Symétrie chirale discret fermions discret gauche, hélicité à peu près fermions
droite « sans
masse » a

tres] sibles trique

Symétries de permutation
Échange de discret espace discret fermions et aucune n.a./oui paradoxe
particule de Fock bosons de Gibbs
etc.
Sélection de symétries spéculative de la nature
GUT E 8 , SO(10) Hilbert à partir particules à partir du oui/non conver-
du groupe de gence de la
groupe Lie constante
de Lie de
couplage
Supersymétrie globale Hilbert particules, Tmn et N non/non particules
Nb s- spineurs c « sans
particules Q imn masse » a
Parité R discret Hilbert discret +1, -1 parité R oui/oui sfermions,
jauginos
Symétrie de discret son discret vague vague oui/peut- vague
tresse propre être
espace
Dualité discret tous discret le vide vague oui/peut- masses
espace-temps être fixes des
particules
Symétrie discret espace- discret la nature aucune oui/non vague
d ’événement temps
Pour des détails concernant les relations entre la symétrie et l ’ induction logique, voyez la page ??.
L’explication des termes utilisés dans le tableau sera complétée tout au long de notre promenade.
Les nombres réels sont symbolisés par R.
a. Seulement approximativement, « sans masse » signifie que m ≪ m Pl , c ’est-à-dire que m ≪
22 µg.
b. La supersymétrie N = 1, mais pas la supergravité N = 1, est probablement une bonne approxi-
mation pour la nature aux énergies rencontrées.
c. i = 1 .. N.
En résumé, puisque nous pouvons parler de la nature, nous pouvons déduire plusieurs
de ses symétries, en particulier sa symétrie sous les translations de temps et d ’espace. À
partir des symétries naturelles, en utilisant le théorème de Noether, nous pouvons dé-
duire les charges conservées telles que l ’énergie ou les moments cinétique et de transla-
tion. En d ’autres termes, les définitions de masse, d ’espace et de temps, associées à leurs
propriétés de symétrie, sont équivalentes à la conservation de l ’énergie et de la quantité

de mouvement. La conservation et la symétrie sont deux manières d ’exprimer la même
propriété de la nature. Pour le dire simplement, notre aptitude à parler de la nature signi-
fie que l ’énergie et la quantité de mouvement sont conservées.
En général, la manière la plus élégante pour dévoiler les « lois » de la nature consiste à

rechercher des symétries naturelles. À plusieurs reprises au cours de l ’ Histoire, chaque
fois que cette relation a été comprise, la physique a réalisé des progrès notables. Par
exemple, Albert Einstein découvrit la théorie de la relativité de cette façon, et Paul Di-
rac donna naissance à l ’électrodynamique quantique. Nous utiliserons la même méthode
tout au long de notre marche, dans sa troisième partie nous découvrirons certaines symé-
tries qui sont encore plus fantastiques que celles de la relativité. Maintenant, cependant,
nous allons continuer par l ’approche suivante de la description globale du mouvement.
Curiosités et défis amusants sur la symétrie du mouvement

Quel est le trajet suivi par quatre tortues partant des quatre angles d ’un carré, si chacune
d ’elles marche continuellement à la même vitesse en direction de sa voisine de gauche
Défi 379 pe (ou de droite) ?
∗∗
Défi 380 s Quelle est la symétrie d ’une oscillation simple ? Et celle d ’une onde ?
∗∗
Pour quels systèmes le renversement du mouvement est-il une transformation symé-
Défi 381 s trique ?
∗∗
Défi 382 pe Quelle est la symétrie d ’une rotation continue ?
∗∗
Une sphère possède un tenseur pour le moment d ’ inertie qui est diagonal avec trois
nombres égaux. La même chose est vraie pour le cube. Pouvez-vous distinguer les sphères
Défi 383 pe des cubes par leur comportement sous une rotation ?
∗∗
Défi 384 pe Existe-t-il dans la nature un mouvement dont la symétrie est parfaite ?
C h a p i t r e 10
MOU V E M E N T S É L É M E N TA I R E S DE S

C OR P S ÉT E N DU S – V I BR AT ION S ET
ON DE S
Nous avons défini l ’action, et donc le changement, comme étant l ’ intégrale du la-
grangien, et le lagrangien comme la différence entre l ’énergie cinétique et l ’énergie po-
tentielle. Une masse m attachée à un ressort représente un des systèmes les plus simples
dans la nature. Son lagrangien est donné par
1
L = mv 2 − kx 2 ,
(78)
2
où k représente une quantité caractérisant le ressort, dénommée constante du ressort. Ce
lagrangien est dû à Robert Hooke, au dix-septième siècle. Pouvez-vous démontrer son
Défi 385 e résultat ?
Le mouvement qui résulte de ce lagrangien est périodique, comme indiqué sur la Fi-
gure 107. Le lagrangien décrit l ’ oscillation de la longueur du ressort. Ce mouvement est
exactement identique à celui d ’un long pendule. Il est baptisé mouvement harmonique,
parce qu ’un objet vibrant rapidement de cette manière produit un son musical complè-
tement pur – ou harmonique. (L’ instrument de musique qui produit les ondes harmo-
niques les plus pures est la flûte traversière. Cet instrument fournit donc la meilleure
idée du « chant » du mouvement harmonique.) Le graphe d ’une oscillation harmonique
ou linéaire, montrée sur la Figure 107, est appelé une courbe de sinus. Elle peut être vue
comme étant l ’élément fondamental de toute oscillation. Toutes les autres, les oscillations
non harmoniques dans la nature, peuvent être reconstituées à partir des courbes de sinus,
Page 208 comme nous allons le voir bientôt.
Chaque mouvement oscillant transforme continuellement de l ’énergie cinétique en
énergie potentielle et vice versa. C ’est le cas pour les marées, le pendule ou pour tout
récepteur radiophonique. Cependant de nombreuses oscillations s’atténuent également
au cours du temps : elles sont amorties. Des systèmes dotés d ’une grande capacité
d ’ amortissement, tels que les pare-chocs des voitures, sont utilisés pour étouffer les vi-
brations. Des systèmes ayant un amortissement minuscule sont utiles dans la conception
des horloges précises et autonomes sur une longue durée. La quantification la plus simple
du taux d ’amortissement est le nombre d ’oscillations qu ’un système utilise pour réduire
son amplitude à 1/e ≈ 1/2, 718 fois sa valeur initiale. Ce nombre caractéristique est bap-
tisé le facteur Q, d ’après l ’abréviation de « facteur de qualité ». Un facteur Q pauvre est
inférieur ou égal à 1, un de qualité excellente est supérieur ou égal à 100 000. (Pouvez-
Défi 386 pe vous écrire un lagrangien simple pour un oscillateur amorti d ’un facteur Q donné ?)
Dans la nature, les oscillations amorties ne conservent généralement pas une fréquence
vibrations et ondes 207
position
période T
amplitude A

phase φ
temps
période T
F I G U R E 107 L’oscillation la plus simple.
TA B L E AU 27 Quelques valeurs de fréquence mécanique relevées dans la nature.
O b s e r va t i o n Fréquence
Fréquences sonores dans les gaz émis par les trous noirs ≈ 1 fHz
Précision dans les fréquences de vibration mesurées du Soleil jusqu ’à 2 nHz
Fréquences de vibration du Soleil jusqu ’à env. 300 nHz
Fréquences des vibrations qui perturbent la détection des ondes gravita- jusqu ’à 3 µHz
tionnelles
Fréquence de vibration la plus faible sur la Terre Réf. 159 309 µHz
Fréquence de résonance de l ’estomac et des organes internes (donnant 1 à 10 Hz
l ’expérience du « bruit dans le ventre »)
Battement d ’aile d ’une mouche minuscule ≈ 1 000 Hz
Son audible pour les jeunes êtres humains 20 Hz à 20 kHz
Sonar utilisé par les chauves-souris jusqu ’à plus de 100 kHz
Sonar utilisé par les dauphins jusqu ’à 150 kHz
Fréquence sonore utilisée dans l ’ imagerie ultrasonore jusqu ’à 15 MHz
Fréquences (sonores) des phonons mesurées dans des cristaux simples jusqu ’à 20 THz et plus
constante, toutefois, pour le pendule simple, cela reste le cas à un haut degré d ’exacti-
tude. La raison en est que, pour un pendule, la fréquence d ’oscillation ne dépend pas
significativement de l ’amplitude (tant que l ’amplitude de l ’oscillation est inférieure à
20° environ). C ’est la raison pour laquelle les pendules sont utilisés comme oscillateurs
dans les horloges mécaniques.
Bien évidemment, pour une horloge excellente, le comportement des oscillations ne
doit pas seulement dénoter un amortissement faible, mais doit également être indépen-
dant de la température et être insensible à toute autre influence extérieure. L’ introduc-
tion des cristaux de quartz en tant qu ’oscillateurs a constitué un progrès notable du ving-
tième siècle. Techniquement, le quartz est constitué de cristaux de la taille de quelques
grains de sable, qui peuvent être mis en oscillation en appliquant un signal électrique. Le
quartz possède une faible dépendance à la température et un grand facteur Q ; de plus,
comme il consomme peu d ’énergie, des horloges précises peuvent désormais fonction-
208 10 mouvements élémentaires des corps étendus

Croquis à inclure
position
longueur d’onde λ
bosse ou pic
amplitude A
espace
longueur d’onde λ
dépression
F I G U R E 108 Décomposition d’une onde, ou d’un signal en général, en ondes harmoniques
ner à l ’aide de petites batteries.

Chaque oscillation harmonique est décrite par trois grandeurs : l ’ amplitude, la pé-
riode (l ’ inverse de la fréquence) et la phase. La phase différencie des oscillations de même
amplitude et de même période : elle définit à quel moment l ’oscillation commence. La
Figure 107 révèle comment une oscillation harmonique est associée à une rotation ima-
ginaire. Par conséquent, la phase est décrite de manière adéquate par un angle compris
entre 0 et 2π.
Tous les systèmes qui oscillent émettent également des ondes. En réalité, les vibrations
apparaissent uniquement dans les systèmes étendus, et les oscillations sont simplement
les mouvements les plus élémentaires des systèmes étendus. Le mouvement général répé-
titif d ’un système étendu est l ’onde.
Les ondes et leur mouvement

Les ondes sont des inhomogénéités en déplacement ou, de manière équivalente, des
vibrations en déplacement. Les ondes se déplacent bien que le milieu environnant soit im-
mobile. Toute onde peut être vue comme étant une superposition d ’ondes harmoniques.
Pouvez-vous décrire la différence dans la forme de l ’onde entre un ton pur harmonique,
Défi 387 e un son musical, un bruit et une explosion ? Chaque effet sonore peut être imaginé comme
étant constitué d ’ondes harmoniques. Celles-ci, également appelées ondes sinusoïdales
ou ondes linéaires, sont les éléments fondamentaux sur lesquels tous les mouvements in-
ternes d ’un corps étendu sont bâtis.
Chaque onde harmonique est caractérisée par une fréquence d ’oscillation, une vitesse
TA B L E AU 28 Quelques vitesses d’ondes.
Onde Vi t e s s e
Tsunami environ 200 m/s

Son dans la plupart des gaz 0,3 km/s

Son dans l ’air à 273 K 331 m/s
Son dans l ’air à 293 K 343 m/s
Son dans l ’ hélium à 293 K 1,1 km/s
Son dans la plupart des liquides 1,1 km/s
Son dans l ’eau à 273 K 1,402 km/s
Son dans l ’eau à 293 K 1,482 km/s
Son dans l ’or 4,5 km/s
Son dans l ’acier 5,790 km/s
Son dans le granit 5,8 km/s
Son dans le verre 5,9 km/s
Son dans le béryllium 12,8 km/s
Son dans le bore jusqu ’à 15 km/s
Son dans le diamant jusqu ’à 18 km/s
Son dans un fullerène (C60 ) jusqu ’à 26 km/s
Onde plasma dans InGaAs 600 km/s
Lumière dans le vide 2,998 ⋅ 108 m/s
de propagation, une longueur d’onde et une phase, comme on peut le deviner à partir
de la Figure 108. Des ondes de faible amplitude sur l ’eau montrent cela plus clairement.
Dans une onde harmonique, chaque position réalise une oscillation harmonique. La
phase d ’une onde précise la position d ’un point de l ’onde (ou d ’une crête) à un ins-
tant donné. C ’est un angle compris en 0 et 2π. Comment la fréquence et la longueur
Défi 388 e d ’onde sont-elles reliées dans une onde ?
Les ondes surviennent à l ’ intérieur de tous les corps étendus, qu ’ ils soient solides,
liquides, gazeux ou sous forme de plasmas. À l ’ intérieur des corps fluides, les ondes sont
longitudinales, ce qui signifie que le mouvement de l ’onde est dans la même direction que
son oscillation. Le son qui se propage dans l ’air est un exemple d ’onde longitudinale. À
l ’ intérieur des corps solides, les ondes peuvent également être transverses, dans ce cas la
vibration de l ’onde est perpendiculaire à la direction de propagation.
Des ondes apparaissent aussi aux interfaces entre des corps : les interfaces eau–air sont
des cas bien étudiés. Même une interface eau de mer–eau douce, que l ’on appelle eaux
mortes, révèle des ondes : elles peuvent apparaître même si la surface supérieure de l ’eau
est immobile. N ’ importe quel vol dans un avion fournit aussi une opportunité d ’étu-
dier les empilements réguliers de nuages à l ’ interface entre les couches d ’air chaud et
froid dans l ’atmosphère. Les ondes sismiques qui se propagent le long des limites entre
le plancher des océans et l ’eau de mer sont également bien comprises. Les ondes de sur-
face générales ne sont habituellement ni longitudinales ni transverses, mais un mélange
des deux.
F I G U R E 109 La formation d’ondes de gravité sur l’eau.

Concernant les surfaces liquides, nous classifions les ondes en fonction de la force
nécessaire pour restituer une surface plane. Le premier type, les ondes de tension superfi-
cielle, joue un rôle à des échelles allant jusqu ’à quelques centimètres. À des échelles plus
grandes, la gravité prend le dessus et est la principale force de rétablissement, ainsi nous
parlons des ondes de gravité. C ’est sur ce dernier type que nous allons nous concentrer
ici. Les ondes de gravité dans l ’eau, au contraire des ondes de tension superficielle, ne
sont pas sinusoïdales en raison de la manière particulière dont l ’eau se déplace dans une
telle onde. Comme indiqué sur la Figure 109, la surface de l ’eau décrit une courbe engen-
drée par un point situé sur un cercle qui roule, ce qui provoque la forme caractéristique
et asymétrique de l ’onde avec une courte crête pointue et de longues dépressions peu
profondes. (Tant qu ’ il n’y a pas de vent et que le sol sous l ’eau est horizontal, les ondes
sont également symétriques par une réflexion d ’avant en arrière.)
Pour des ondes de gravité dans l ’eau, comme pour nombre d ’autres ondes, la vitesse
dépend de la longueur d ’onde. En fait, la vitesse c des vagues dépend de la longueur
d ’onde λ et de la profondeur d de l ’eau de la manière suivante :
√
c=
дλ 2πd
tanh , (79)
2π λ
où д est l ’accélération due à la gravité (et en supposant que l ’amplitude est beaucoup
plus petite que la longueur d ’onde). La formule indique deux régimes limites. Première-
ment, des vagues courtes et profondes apparaissent quand la profondeur de l ’eau est plus
grande √que la moitié de la longueur d ’onde. Pour des vagues profondes, la vitesse de phase
est c ≈ дλ/2π , donc dépendante de la longueur d ’onde, et la vitesse de groupe est en-
viron égale à la moitié de la vitesse de phase. Des vagues moins profondes sont donc plus
lentes. Deuxièmement, des vagues longues et peu profondes apparaissent √ lorsque la pro-
fondeur est inférieure à 5 % de la longueur d ’onde. Dans ce cas, c ≈ дd , il n’y a aucune
dispersion et la vitesse de groupe est à peu près égale à la vitesse de phase. Les vagues peu
profondes les plus impressionnantes sont les tsunamis, ces vagues énormes déclenchées
par des tremblements de terre sous-marins. (Ce mot japonais est composé de tsu, signi-
fiant port, et nami, signifiant onde.) Puisque les tsunamis sont des ondes peu profondes,
ils possèdent une faible dispersion et peuvent ainsi voyager sur de longues distances : ils
peuvent faire plusieurs fois le tour de la Terre. Les temps d ’oscillation caractéristiques
sont compris entre 6 et 60 minutes, donnant des longueurs d ’ondes comprises entre 70
et 700 km et des vitesses au large de 200 à 250 m/s, identiques à celle d ’un avion à réac-
Défi 389 e tion. Leur amplitude au large est fréquemment de l ’ordre de 10 cm ; toutefois, des échelles
d ’amplitudes variant avec la profondeur d comme 1/d 4 et s’élevant jusqu ’à 40 m ont été
mesurées sur la terre ferme. Ce fut l ’ordre de grandeur de l ’énorme tsunami désastreux
observé dans l ’océan Indien le 26 décembre 2004.

Des ondes peuvent également se propager dans l ’ espace vide. Les ondes lumineuses
et gravitationnelles en sont deux exemples. L’exploration de l ’électromagnétisme et de
la relativité nous en dira plus sur leurs propriétés.
Toute étude du mouvement doit incorporer celle du mouvement ondulatoire. Nous

savons par expérience que les ondes peuvent frapper ou même endommager des cibles,
donc chaque onde transporte de l ’énergie et de la quantité de mouvement, bien que
(en moyenne) aucune matière ne se déplace le long de la direction de propagation de
l ’onde. L’ énergie E d ’une onde est la somme de ses énergies cinétique et potentielle. La
densité d ’énergie cinétique dépend de la variation temporelle du déplacement u en un
point donné : des ondes qui oscillent rapidement transportent une énergie cinétique plus
importante. La densité d ’énergie potentielle dépend du gradient du déplacement, c ’est-
à-dire de sa variation spatiale : des ondes resserrées et étroites emportent une énergie
potentielle plus grande que celles qui sont plus allongées. (Pouvez-vous expliquer pour-
Défi 390 s quoi l ’énergie potentielle ne dépend pas directement du déplacement lui-même ?) Pour
des ondes harmoniques se propageant le long de la direction z, chaque type d ’énergie est
Réf. 160 proportionnel au carré de la variation de son déplacement respectif :
E∼( ) + v 2 ( )2 .
∂u 2 ∂u
(80)
∂t ∂z
Défi 391 pe Comment la densité d ’énergie est-elle reliée à la fréquence ?
La quantité de mouvement d ’une onde est dirigée le long de sa direction de propaga-
tion. La valeur de la quantité de mouvement dépend à la fois de la variation spatiale et
temporelle du déplacement u. Pour des ondes harmoniques, la densité P de la quantité
de mouvement est proportionnelle au produit de ces deux quantités :
Pz ∼
∂u ∂u
. (81)
∂t ∂z
Lorsque deux trains d ’ondes linéaires se heurtent ou interfèrent, la quantité de mouve-
ment totale est conservée durant toute la collision. Une conséquence importante de la
conservation de la quantité de mouvement est que les ondes qui sont réfléchies par un
obstacle le sont avec un angle de réflexion égal à l ’opposé de l ’angle d ’ incidence par
Défi 392 s rapport à la normale à la surface. Que se passe-t-il pour la phase ?
Les ondes, comme les corps mobiles, transportent de l ’énergie et de la quantité de
mouvement. En termes simples, si vous hurlez contre un mur, le mur est frappé. Ces
collisions, par exemple, peuvent donner naissance à des avalanches sur les pentes monta-
gneuses enneigées. De la même manière, les ondes, comme les corps, peuvent emporter
Défi 393 pe du moment cinétique. (Quel type d ’onde est nécessaire pour que cela soit possible ?) Tou-
tefois, nous pouvons distinguer six propriétés principales qui permettent de distinguer
le mouvement des ondes du mouvement des corps.
— Les ondes peuvent se cumuler ou s’annuler l ’une et l ’autre, elles peuvent donc s’ in-
terpénétrer. Ces effets, dénommés superposition et interférence, sont fortement liés à
la linéarité de la plupart des ondes.
Interférence

Polarisation
Diffraction Réfraction
Amortissement Dispersion
F I G U R E 110 Les six principales propriétés du mouvement des ondes.
— Les ondes transverses en trois dimensions peuvent osciller dans des directions diffé-
rentes : elles présentent une polarisation.
— Les ondes, comme le son, peuvent traverser les interfaces et se propager d ’un milieu
à un autre. C ’est la diffraction.
— Les ondes changent de direction lorsqu ’elles changent de milieu. C ’est la réfraction.
— Les ondes peuvent avoir une vitesse de propagation dépendante de la fréquence. C ’est
la dispersion.
— Souvent, l ’amplitude d ’une onde décroît avec le temps : les ondes subissent un amor-
tissement.
Dans la vie courante, les corps matériels ne se comportent pas de ces manières-là lors-
qu ’ ils se déplacent. Ces six effets ondulatoires surgissent parce que le mouvement d ’une
onde est associé au mouvement des entités étendues. L’ illustre débat qui fit rage pour
savoir si les électrons ou la lumière sont des ondes ou des particules nous somme de vé-
rifier si ces effets spécifiques aux ondes peuvent être observés ou non. C ’est un sujet de
la théorie quantique. Avant que nous l ’étudiions, pouvez-vous citer un exemple d ’une
observation qui implique qu ’un certain mouvement ne peut certainement pas être une
Défi 394 s onde ?
Après avoir mis en lumière la fréquence f et la vitesse de propagation v, nous voyons
que toutes les ondes sinusoïdales sont caractérisées par la distance λ entre deux crêtes
ondulatoires voisines : cette distance est appelée la longueur d ’onde. Toutes les ondes
vérifient la relation primaire

λf = v . (82)
Dans de nombreuses situations, la vitesse v d ’une onde dépend de sa longueur d ’onde.

C ’est le cas pour les vagues. Cette variation de vitesse avec la longueur d ’onde est appe-

lée dispersion. Par opposition, la vitesse du son dans l ’air ne dépend pas de la longueur
d ’onde (à un haut niveau d ’exactitude). Le son dans l ’air ne montre pratiquement au-
cune dispersion. En réalité, s’ il y avait de la dispersion pour le son, nous ne pourrions
pas nous entendre parler les uns les autres à de grandes distances.
Dans la vie quotidienne, nous ne percevons pas la lumière comme une onde, parce
que sa longueur d ’onde n’est que d ’un demi-millième de millimètre environ. Pourtant
Page ?? la lumière affiche les six effets caractéristiques du mouvement d ’une onde. Un arc-en-
ciel, par exemple, ne peut être compris entièrement que lorsque les cinq derniers effets
ondulatoires sont pris en considération. La diffraction et l ’ interférence peuvent même
Défi 395 s être observées simplement avec vos doigts. Pouvez-vous dire comment ?
Comme chaque oscillation anharmonique, une onde anharmonique peut être décom-
posée en ondes sinusoïdales. La Figure 108 en fournit quelques exemples. Si les diverses
ondes sinusoïdales contenues dans une perturbation se propagent différemment, l ’onde
originale se déformera durant le trajet. C ’est la raison pour laquelle un écho ne résonne
pas exactement comme le son original ; pour la même raison, un grondement de ton-
nerre situé tout près se fait entendre différemment d ’un grondement plus lointain.
Tous les systèmes qui oscillent émettent également des ondes. Chaque récepteur radio
ou TV contient des oscillateurs. Par conséquent, n’ importe quel récepteur de ce type
est aussi un (faible) émetteur. En réalité, dans certains pays, les autorités poursuivent
les individus qui écoutent des émissions radiophoniques et qui enfreignent l ’ interdic-
tion d ’écouter les ondes radio émises par ces appareils. De la même façon, à l ’ intérieur
de l ’ oreille humaine, une foule de minuscules structures, les cellules ciliées, oscillent.
Par conséquent, l ’oreille doit également émettre du son. Cette prédiction, faite en 1948
par Tommy Gold, fut confirmée uniquement en 1979 par David Kemp. Ces susnom-
mées émissions otoacoustiques peuvent être détectées par le truchement de délicats mi-
crophones. Elles sont actuellement en cours d ’étude pour élucider le fonctionnement
encore incompris de l ’oreille et pour diagnostiquer diverses maladies auditives sans né-
Réf. 161 cessairement recourir à la chirurgie.
Puisque toute perturbation mobile peut être décomposée en ondes sinusoïdales, le
mot « onde » est utilisé par les physiciens pour désigner toutes ces fluctuations ambu-
lantes, qu ’elles ressemblent ou non à des ondes sinusoïdales. En fait, ces perturbations
n’ont même pas forcément besoin de voyager. Prenez une onde statique : est-elle une
onde ou une oscillation ? Les ondes statiques ne voyagent pas, elles sont des oscilla-
tions. Mais une onde statique peut être vue comme la superposition de deux ondes voya-
geant dans des directions opposées. Puisque toutes les oscillations sont des ondes sta-
Défi 396 pe tiques (pouvez-vous le confirmer ?), nous pouvons dire que toutes les oscillations sont
des formes particulières d ’ondes.
Les perturbations mobiles les plus importantes sont celles qui sont localisées. La Fi-
gure 108 montre un exemple d ’une pulsation ou groupe d ’ondes localisées, ainsi que
sa décomposition en ondes harmoniques. Les groupes d ’ondes sont très utilisés dans la
communication orale et dans les signaux de communication.
ondes
secondaires

onde enveloppe des
primaire ondes secondaires
F I G U R E 111 Propagation d’onde comme une conséquence du principe de Huygens.
Pourquoi pouvons-nous nous parler ? – Le principe de Huygens

Les propriétés de notre environnement ne révèlent souvent toute leur importance que
lorsque nous posons des questions simples. Pourquoi pouvons-nous utiliser la radio ?
Pourquoi pouvons-nous parler dans des téléphones portables ? Pourquoi pouvons-nous
nous écouter les uns les autres ? Il apparaît qu ’une partie cruciale de la réponse à ces
questions est que l ’espace dans lequel nous vivons possède un nombre impair de dimen-
sions.
Dans les espaces de dimension paire, il est impossible de parler, parce que les paroles
ne s’arrêtent jamais. C ’est un résultat primordial qui est facilement vérifié en lançant une
pierre dans un lac : même après que la pierre a disparu, des vagues sont toujours émises
depuis l ’emplacement où elle a coulé, alors que lorsque nous nous arrêtons de parler, plus
aucune onde n’est émise. Les ondes se comportent ainsi différemment en deux et trois
dimensions.
En trois dimensions, il est possible de dire que la propagation d ’une onde se produit
de la manière suivante : chaque point sur un front d ’onde (lumineux ou sonore) peut
être considéré comme étant la source d ’ondes secondaires, la surface qui est formée par
l ’enveloppe de toutes les ondes secondaires détermine la position future du front d ’onde.
L’ idée est illustrée sur la Figure 111. Elle peut être utilisée pour décrire, sans l ’aide des
mathématiques, la propagation des ondes, leur réflexion, leur réfraction, et, par une gé-
Défi 397 e néralisation due à Augustin Fresnel, leur diffraction. (Essayez !)
Cette idée fut d ’abord proposée par Christiaan Huygens en 1678, d ’où son appellation
de principe de Huygens. Presque deux cents ans plus tard, Gustav Kirchoff montra que ce
principe est une conséquence de l ’équation d ’onde en trois dimensions, et donc, dans le
cas de la lumière, une conséquence des équations du champ de Maxwell.
Mais la description des fronts d ’onde comme enveloppes d ’ondes secondaires pos-
sède une restriction essentielle. Elle n’est pas correcte en deux dimensions (bien que la
Figure 111 soit bidimensionnelle !). En particulier, elle ne s’applique pas aux vagues sur
l ’eau. La propagation des vagues ne peut pas être calculée de cette façon avec exactitude.
(C ’est possible uniquement si la situation est limitée à une onde d ’une seule fréquence.)
Il apparaît que, pour des vagues sur l ’eau, les ondes secondaires ne dépendent pas seule-
ment du front d ’onde des ondes primaires, mais également de leur partie intérieure. La
raison est qu ’en deux dimensions (et tout autre nombre pair) des ondes de fréquences
F I G U R E 112 Une vague invraisemblable sur l’eau : le centre n’est jamais plat.

différentes possèdent nécessairement des vitesses différentes. Et une pierre chutant dans
l ’eau engendre des ondes ayant plusieurs fréquences. Au contraire, en trois dimensions
(et tout autre nombre impair plus grand), des ondes de fréquences quelconques pos-
sèdent la même vitesse.
Nous pouvons également formuler que le principe de Huygens est cohérent si l ’équa-
tion d ’onde est résolue par une onde circulaire qui ne laisse aucune amplitude derrière
elle. Les mathématiciens traduisent cela en exigeant que la fonction delta développée
δ(c 2 t 2 − r 2 ) vérifie l ’équation d ’onde, c ’est-à-dire que ∂ 2t δ = c 2 ∆δ. La fonction delta est
cette « fonction » étrange qui est nulle partout sauf à l ’origine, où elle prend une valeur
infinie. Quelques propriétés supplémentaires décrivent de manière précise comment tout
cela se produit*. On montre que la fonction delta est une solution de l ’équation d ’onde
seulement si l ’espace est de dimension impaire et supérieure à trois. En d ’autres termes,
bien qu ’une pulsation ondulatoire sphérique soit possible, une pulsation circulaire ne
l ’est pas : dans une onde en expansion, il n’existe aucune façon de maintenir le centre
immobile (voir la Figure 112). C ’est précisément ce que montre l ’expérience de la pierre.
Vous pouvez tenter de produire une pulsation circulaire (une onde qui ne possède que
quelques crêtes) la prochaine fois que vous serez dans votre bain ou près d ’un lac : vous
n’y parviendrez pas.
En résumé, la raison pour laquelle une pièce devient sombre dès que nous éteignons
la lumière, est que nous vivons dans un espace doté d ’un nombre de dimensions qui est
impair et plus grand que un.
Signaux
Un signal représente le moyen de transport de l ’ information. Chaque signal est un
mouvement d ’énergie. Les signaux peuvent être soit des objets soit des ondes. Une pierre
projetée peut être un signal, comme peut l ’être un sifflement. Les ondes sont une forme
plus commode de communication parce qu ’elles n’exigent pas de transport de matière :
il est plus aisé d ’utiliser l ’électricité dans un fil téléphonique pour transporter une pa-
role que de commander un coursier. En réalité, la plupart des avancées technologiques
modernes peuvent être retracées à partir du moment où il y a eu séparation entre le
transport de matière et celui du signal. Au lieu d ’acheminer un orchestre complet pour
transmettre de la musique, nous pouvons envoyer des signaux radiophoniques. Au lieu
d ’expédier des lettres manuscrites, nous rédigeons des courriels. Au lieu de nous dépla-
cer à la bibliothèque nous surfons sur Internet.
Les plus grands progrès dans la communication sont issus de l ’utilisation des signaux
* La principale propriété est ∫ δxdx = 1. En termes mathématiques concis, la « fonction » delta est une
distribution.
pour transporter de grandes quantités d ’énergie. C ’est ce que font les câbles électriques :
ils acheminent de l ’énergie sans transporter de quantité (perceptible) de matière. Nous
n’avons pas nécessairement besoin de connecter nos appareils de cuisine directement à
une centrale électrique : nous pouvons obtenir l ’énergie par le biais de fils de cuivre.
Pour toutes ces raisons, le mot « signal » est fréquemment compris comme ayant uni-

quement rapport aux ondes. La voix, le son, les signaux électriques, les signaux radio et
lumineux sont les exemples les plus courants de signaux ondulatoires.
Les signaux sont caractérisés par leur vitesse et leur contenu en information. Il appa-
raît que ces deux grandeurs sont limitées. La limitation de la vitesse est le point d ’orgue
Page 15 de la théorie de la relativité restreinte.
Une limite élémentaire sur le contenu en information peut être formulée lorsque nous
remarquons que le flux d ’ information est donné par la forme précise du signal. La forme
est caractérisée par une fréquence (ou longueur d ’onde) et une position en fonction du
temps (ou espace). Pour chaque signal – et pour chaque onde – il existe une relation
entre l ’ incertitude sur le temps d ’arrivée ∆t et l ’ incertitude sur la fréquence angulaire
∆ω :
∆t ∆ω ⩾ .
1
(83)
2
Cette relation d ’ indétermination temps–fréquence exprime le fait que, dans un signal,
il est impossible de spécifier à la fois l ’ instant d ’arrivée et la fréquence avec une préci-
sion exacte. Les deux incertitudes sont (à un facteur numérique près) l ’ inverse l ’une
de l ’autre. (Nous disons également que le produit du temps par la bande passante est
toujours supérieur à 1/4π.) Nous sommes confrontés à cette restriction parce que, d ’une
part, nous avons besoin d ’une onde la plus proche possible d ’une onde sinusoïdale pour
déterminer précisément sa fréquence, mais que, d ’autre part, nous avons besoin d ’un
signal le plus étroit possible pour déterminer avec exactitude son temps d ’arrivée. La
contradiction entre ces deux exigences conduit à cette limitation. La relation d ’ indéter-
mination est donc une caractéristique intrinsèque de chaque phénomène ondulatoire.
Vous pourriez vouloir examiner cette relation avec n’ importe quelle onde dans votre
Défi 398 e environnement.
De manière équivalente, il existe une relation entre l ’ incertitude sur la position ∆x et
l ’ incertitude sur le vecteur d ’onde ∆k = 2π/∆λ d ’un signal :
∆x ∆k ⩾
1
. (84)
2
Comme dans la situation précédente, cette relation d ’ indétermination exprime aussi
qu ’ il est impossible de déterminer à la fois la position d ’un signal et sa longueur d ’onde
avec une précision parfaite. Cette relation d ’ indétermination position–vecteur d ’onde
est également une particularité de n’ importe quel phénomène ondulatoire.
Chaque relation d ’ incertitude est le corollaire de l ’existence d ’une minuscule entité.
Dans le cas des ondes, cette entité la plus petite du phénomène est la période (ou le cycle,
comme il est d ’usage de l ’appeler). À chaque fois qu ’ il y a une plus petite unité dans un
phénomène naturel, une relation d ’ incertitude en découle. Nous rencontrerons d ’autres
relations d ’ indétermination à la fois en relativité et dans la théorie quantique. Comme

Figure bientôt disponible
F I G U R E 113 Signaux électriques mesurés dans un nerf.
nous le découvrirons, elles sont toujours dues à l ’existence d ’entités infimes.

Toutes les fois que des signaux sont émis, leur contenu peut être perdu. Chacune des
six caractéristiques des ondes listées à la page 211 peut conduire à une dégradation de
Défi 399 pe l ’ information contenue. Pouvez-vous en fournir un exemple pour chaque cas ? L’éner-
gie, la quantité de mouvement et toutes les autres propriétés conservées des signaux ne
sont jamais perdues, bien entendu. L’atténuation des signaux est apparentée à la dispari-
tion du mouvement. Lorsque du mouvement disparaît par le frottement, il nous semble
disparaître, alors qu ’en réalité il est transformé en chaleur. Pareillement, quand un signal
semble disparaître, il est en fait transformé en bruit. Le bruit (physique) est un rassem-
blement de nombreux signaux désordonnés, de la même manière que la chaleur est une
collection de nombreux mouvements désordonnés.
Toute propagation du signal est décrite par une équation d ’onde. Un exemple célèbre
Réf. 162 est l ’équation découverte par Hodgkin et Huxley. C ’est une approximation réaliste du
comportement du potentiel électrique dans les nerfs. En utilisant les connaissances sur
le comportement des ions potassium et sodium, ils élaborèrent une équation compliquée
qui décrit l ’évolution de la tension V dans les nerfs, et ainsi la façon dont les signaux sont
propagés. Cette équation décrit de manière fiable les tensions de pointe caractéristiques
mesurées dans les nerfs, et indiquées sur la Figure 113. Cette figure indique clairement
que ces ondes diffèrent des ondes sinusoïdales : elles ne sont pas harmoniques. L’anhar-
monicité est une conséquence de la non-linéarité. Mais la non-linéarité peut provoquer
des effets encore plus profonds.
Ondes solitaires et solitons

En août 1834, l ’ ingénieur écossais John Scott Russell (1808–1882) consigna une ob-
servation étrange relevée dans un canal fluvial, dans la campagne située aux alentours
d ’ Édimbourg. Lorsqu ’un bateau tiré à travers le canal était subitement arrêté, une onde
bizarre sur l ’eau s’éloignait de celui-ci. Elle était constituée d ’ une seule crête, longue
d ’environ 10 m et haute de 0,5 m, se déplaçant à 4 m/s environ. Il poursuivit cette crête,
montrée dans la reconstitution de la Figure 114, sur plusieurs kilomètres avec son che-
val : la vague disparut seulement très lentement. Russel n’avait pas observé de dispersion,
comme pour les vagues classiques sur l ’eau : la largeur de la crête demeurait constante.
Russel commença alors à produire de telles ondes dans son laboratoire et étudia intensi-
Réf. 163 vement leurs propriétés. Il montra que la vitesse dépendait de l ’amplitude, contrairement
aux ondes harmoniques, linéaires. Il releva également que la profondeur d du canal était
un paramètre déterminant. En fait, la vitesse v, l ’amplitude A et la largeur L de ces ondes

F I G U R E 114 Une onde solitaire sur l’eau suivie par un canot à moteur, reconstituant la découverte de
Scott Russel. (© Dugald Duncan)
à crête unique sont reliées par

√
√ 4d 3
v= дd (1 + ) L=
A
et . (85)
2d 3A
Comme ces expressions l ’ indiquent, et comme Russel le notifia, les vagues hautes sont
étroites et rapides, alors que les vagues superficielles sont lentes et larges. La forme des
vagues est fixe durant leur déplacement. Aujourd ’ hui, celles-ci et toutes les autres vagues
stationnaires dotées d ’une seule crête sont appelées des ondes solitaires. Elles surgissent
uniquement lorsque la dispersion et la non-linéarité du système se compensent exacte-
ment l ’une l ’autre. Russel remarqua aussi que les ondes solitaires produites dans des
canaux fluviaux peuvent se traverser sans s’altérer, même quand elles voyagent dans des
directions opposées ; les ondes solitaires qui possèdent cette propriété sont baptisées des
solitons. Les solitons restent stables lorsqu ’ ils se rencontrent, comme indiqué sur la Fi-
gure 115, bien qu ’en général les ondes solitaires ne le soient pas.
Ce n’est que soixante ans plus tard, en 1895, que Korteweg et de Vries s’aperçurent
que des ondes solitaires produites dans des canaux possèdent une forme décrite par
u(x, t) = A sech2 sech x =

x − vt 2
où , (86)
L ex + e−x
(sech(x) représente la fonction sécante hyperbolique [N.d.T.]) et que la relation trouvée

par Russel était due à l ’équation d ’onde
1 3 ∂u d 2 ∂ 3 u
√ + (1 + u) =0.
∂u
+ (87)
дd ∂t 2d ∂x 6 ∂x 3

F I G U R E 115 Les solitons
restent stables lorsqu’ils se
rencontrent. (© Jarmo
Hietarinta)
Cette équation pour le développement de u est appelée équation de Korteweg–de Vries en
leur honneur*. L’étonnante stabilité des solutions solitaires est due à l ’effet antagoniste
des deux termes qui distinguent cette équation des équations d ’onde linéaires : pour les
solutions solitaires, le terme non linéaire compense exactement la dispersion induite par
le terme contenant la dérivée troisième.
Durant plusieurs décennies, de telles ondes solitaires ont été vues comme des curio-
sités mathématiques et physiques. Mais près d ’une centaine d ’années plus tard il devint
clair que l ’équation de Korteweg–de Vries est un modèle universel pour les ondes fai-
blement non linéaires dans le régime de faible dispersion, et ainsi d ’ importance primor-
diale. Cette conclusion fut révélée par Kruskal et Zabusky, qui démontrèrent mathéma-
tiquement en 1965 que les solutions (86) demeurent inchangées lors de collisions. Cette
Réf. 164 découverte les poussa à introduire le terme soliton. Ces solutions peuvent en réalité s’ in-
terpénétrer sans changement de vitesse ou de forme : une collision n’occasionne qu ’un
minuscule décalage de position pour chaque pulsation.
Les ondes solitaires jouent un rôle dans de nombreux exemples d ’écoulements fluides.
On les rencontre dans les courants océaniques, et même la grande tache rouge de Jupiter,
qui constitua une structure stable de son observation durant plusieurs siècles, en est un
exemple.
Les ondes solitaires apparaissent également lorsqu ’un son d ’ intensité extrêmement
forte est produit dans des solides. Dans ces situations, elles peuvent conduire à la créa-
Réf. 165 tion de pulsations sonores de quelques nanomètres seulement de longueur. Les pulsa-
tions lumineuses solitaires sont aussi utilisées à l ’ intérieur de certaines fibres optiques
de communication, où elles fournissent une transmission (presque) sans atténuation de
Réf. 163 signal.
* Cette équation peut être simplifiée en faisant un changement de variable pour u : plus précisément, elle
peut être réécrite comme u t +u x x x = 6uu x . Tant que les solutions sont des fonctions sech, celle-ci et d ’autres
versions remaniées de l ’équation sont connues sous le même nom.
Vers la fin du vingtième siècle, une deuxième vague d ’ intérêt pour les mathématiques
des solitons a ressurgi, lorsque les théoriciens quantiques s’ intéressèrent à eux. La raison
est simple mais profonde : un soliton est une « chose intermédiaire » située entre une
particule et une onde, il possède à la fois les particularités de ces deux entités. Pour cette
raison, les solitons constituent dorénavant une partie essentielle de toute description des

particules élémentaires, comme nous le découvrirons un peu plus loin.
Curiosités et défis amusants sur les ondes et les corps étendus

La société est une vague. La vague se déplace
“ vers l ’avant, mais pas l ’eau dont elle est

constituée.
Ralph Waldo Emerson, Self-Reliance.
”
Quand la fréquence d ’un son est doublée, nous disons que le son est plus haut d ’une
octave. Deux sons qui diffèrent d ’une octave sont agréables à entendre, lorsqu ’ ils sont
joués ensemble. Deux autres rapports harmonieux de fréquences – ou d ’ « intervalles »,
comme disent les musiciens – sont les quartes et les quintes. Quels sont les rapports
Défi 400 e correspondants des fréquences ? (Remarque : la réponse fut l ’une des plus anciennes
découvertes en physique, elle est attribuée à Pythagore, autour de 500 av. J.-C.)
∗∗
Un orchestre est en train de jouer de la musique dans une vaste salle. Quelqu ’un écoute
cette musique, à une distance de 30 m. Une autre personne écoute cette même musique
Défi 401 s avec un poste de radio, à une distance de 3 000 km. Qui entend la musique le premier ?
∗∗
Quelle est la période d ’un pendule simple, c ’est-à-dire d ’une masse m attachée à une
Défi 402 pe ficelle sans masse de longueur l ? Quelle est cette période si la ficelle est beaucoup plus
longue que le rayon de la Terre ?
∗∗
Quelle trajectoire est parcourue par un corps se déplaçant sur un plan, mais attaché par
Défi 403 s une ficelle à un point fixe de ce plan ?
∗∗
La sirène d ’alarme est un appareil qui indique comment la rotation et l ’oscillation sont re-
Défi 404 e liées entre elles. Découvrez comment elle fonctionne, et construisez-en une vous-même.
∗∗
La lumière est une onde, comme nous le découvrirons plus tard. Par conséquent, la lu-
mière atteignant la Terre depuis l ’espace est réfractée lorsqu ’elle pénètre dans l ’atmo-
sphère. Pouvez-vous confirmer que, par conséquent, les étoiles apparaissent, dans une
Défi 405 e certaine mesure, plus hautes dans le ciel nocturne qu ’elles ne le sont en réalité ?
∗∗
Quelles sont les plus hautes vagues océaniques ? Cette question n’a été systématiquement
air
air eau
jeton

F I G U R E 116 Ombres et réfraction.
Réf. 166 étudiée que très récemment, en utilisant des satellites. Le résultat époustouflant montre
que des vagues en mer d ’une hauteur de 25 m et plus sont courantes : il y a quelques
vagues de cette sorte sur les océans à chaque instant donné. Ce résultat confirme les
rares récits des capitaines de navire au long cours et explique de nombreux naufrages
maritimes.
Les surfeurs doivent donc avoir beaucoup de chance pour surfer sur une vague de
30 m. (Le record est situé juste en dessous de cette hauteur.) Mais, probablement, les
vagues les plus impressionnantes sur lesquels surfer sont celles de Pororoca, une série
d ’ondes de 4 m qui se déplacent de l ’océan vers le fleuve Amazone chaque printemps, à
contre-courant de l ’écoulement du fleuve. Ces vagues peuvent être chevauchées sur une
dizaine de kilomètres.
∗∗
Toutes les ondes sont, éventuellement, amorties. Cet effet est souvent dépendant de la
fréquence. Pouvez-vous fournir une confirmation de cette dépendance dans le cas du
Défi 406 s son dans l ’air ?
∗∗
Lorsque vous faites un trou avec une aiguille dans une feuille de papier noire, le trou peut
Défi 407 e être utilisé comme une lentille grossissante. (Essayez-le.) La diffraction est responsable
de l ’effet de lentille. D’ailleurs la diffraction de la lumière par des trous fut remarquée au
dix-septième siècle par Francesco Grimaldi, qui en déduisit que la lumière est une onde.
Ses observations furent discutées plus tard par Newton, qui les écarta ensuite à tort.
∗∗
Posez une tasse vide près d ’une lampe, de telle façon que le fond de la tasse reste à
l ’ombre. Lorsque vous remplissez la tasse avec de l ’eau, une partie du fond s’éclairera,
à cause de la réfraction de la lumière provenant de la lampe. Le même effet nous per-
met de concevoir des lentilles. Cet effet est aussi à la base des instruments tels que les
Page ?? télescopes.
∗∗
Défi 408 s Les vagues sur l ’eau sont-elles transverses ou longitudinales ?
∗∗
La vitesse des vagues sur l ’eau restreint la vitesse des navires. Un bateau√à la surface
ne peut pas se déplacer (beaucoup) plus rapidement qu ’environ v crit = 0, 16дl , où
д = 9,8 m/s2 , l étant sa longueur, et 0,16 un nombre déterminé expérimentalement, ap-

pelé le nombre de Froude critique. Cette relation reste valide pour tous les navires et
animaux, des énormes pétroliers (l = 100 m qui donne v crit = 13 m/s) jusqu ’aux canards
(l = 0,3 m qui donne v crit = 0,7 m/s). La vitesse critique est celle d ’une vague de même
longueur d ’onde que celle du navire. En fait, se déplacer à des vitesses supérieures à la

valeur critique est possible, mais nécessite nettement plus d ’énergie. (Une vitesse supé-
rieure est aussi possible si le navire surfe sur une vague.) Ainsi tous les animaux marins
et les navires sont plus rapides lorsqu ’ ils se déplacent sous la surface – où la limite due
aux ondes de surface n’existe pas – que lorsqu ’ ils nagent à la surface. Par exemple, les
canards peuvent nager trois fois plus vite sous l ’eau qu ’à la surface.
Défi 409 s Le record de natation olympique est-il très éloigné de la valeur critique ?
∗∗
La vitesse de groupe des vagues (dans les eaux profondes) est inférieure à la vitesse des
vagues prises individuellement. Par conséquent, lorsqu ’un groupe de crêtes ondulatoires
voyage, à l ’ intérieur du groupe les crêtes se déplacent de l ’arrière vers l ’avant, apparais-
sant à l ’arrière, voyageant vers l ’avant et s’éteignant au niveau du front avant.
∗∗
Nous pouvons entendre la mer au loin ou une autoroute lointaine beaucoup plus dis-
tinctement à la tombée de la nuit qu ’au lever du jour. C ’est un effet de la réfraction. La
vitesse du son décroît avec la température. Le soir, le sol se rafraîchit plus rapidement que
l ’air situé au-dessus. Par conséquent, le son qui quitte le sol et qui voyage vers le haut est
réfracté vers le bas, autorisant des distances d ’écoute plus longues. Dans la matinée, l ’air
est généralement froid au-dessus et chaud en dessous. Le son est réfracté vers le haut, et
les sons éloignés ne peuvent atteindre un auditeur situé au sol. La réfraction implique
donc que les matinées sont silencieuses, et que nous pouvons entendre des sons plus éloi-
gnés au cours des soirées. Les éléphants tirent profit de ce phénomène sonore durant les
soirées pour communiquer sur des distances de plus de 10 km. (Ils utilisent également
les ondes sonores du sol pour communiquer, mais c ’est une autre histoire.)
∗∗
La réfraction implique également qu ’ il existe un canal sonore dans l ’océan, et dans l ’at-
mosphère. La vitesse du son décroît avec la température, et augmente avec la pression.
À une profondeur océanique de 1 km, ou à une hauteur atmosphérique de 13 à 17 km
(c ’est le point culminant atteint par les cumulonimbus, les nuages les plus élevés ou, de
manière équivalente, c ’est le milieu de la couche d ’ozone), le son atteint sa vitesse mini-
male. En conséquence, le son qui est émis à cette distance et qui essaie de s’en écarter est
canalisé vers celle-ci. Les baleines utilisent cette canalisation sonore pour communiquer
avec leurs congénères grâce à des sons musicaux magnifiques ; nous pouvons trouver
Défi 410 e des enregistrements de ces chants sur Internet. L’armée utilise avec succès des micro-
phones placés au niveau du canal sonore de l ’océan pour localiser les sous–marins, et
des microphones sur des aérostats situés dans le canal atmosphérique pour épier les ex-
Réf. 167 plosions nucléaires. (En réalité, les expériences sonores dirigées par l ’armée restent la
cause principale d ’échouage des baleines, qui sont assourdies et perdent leur orientation.
Des expériences similaires dans l ’air avec des ballons de haute altitude sont fréquemment
confondues avec des soucoupes volantes, comme lors de la célèbre affaire Roswell.)
∗∗
Réf. 168 Des animaux beaucoup plus petits communiquent également par les ondes sonores. En
2003, il fut découvert que les harengs communiquent en utilisant des bruits qu ’ ils pro-

duisent lorsqu ’ ils pètent. Lorsque le gaz s’échappe, il produit un tic-tac dont le spectre de
fréquence atteint jusqu ’à 20 kHz. Nous pouvons même entendre des enregistrements de
ce son sur Internet. Les détails de cette communication, comme les différences entre les
mâles et les femelles, sont toujours en cours d ’étude. Il est possible que ces sons doivent
également être utilisés par des prédateurs pour détecter les harengs saurs, et ils pourraient
même être utilisés par de futurs bateaux de pêche.
∗∗
Sur les mers balayées par les vents, les crêtes blanches des vagues induisent plusieurs
effets importants. Le bruit provient de minuscules bulles d ’eau explosant et implosant.
Le bruit des vagues au large est donc la superposition de nombreuses petites explosions.
En même temps, les crêtes blanches représentent les lieux où les mers absorbent le gaz
carbonique de l ’atmosphère, et ainsi elles réduisent le réchauffement global de la planète.
∗∗
Pourquoi y a-t-il de nombreux petits trous dans les plafonds des bureaux d ’un grand
Défi 411 s nombre d ’entreprises ?
∗∗
Quelle quantité détermine la longueur d ’onde des vagues émises lorsqu ’une pierre est
Défi 412 pe jetée dans un étang ?
∗∗
Réf. 3 Yakov Perelman cite les quatre problèmes suivants dans son ravissant recueil de pro-
blèmes physiques.
(1) Une pierre tombant dans un lac produit des vagues circulaires. Quelle est la forme
des vagues produites par une pierre chutant dans une rivière, où l ’eau s’écoule dans une
Défi 413 s certaine direction ?
(2) Il est possible de construire une lentille pour le son, de la même manière qu ’ il est
Défi 414 s possible d ’en construire une pour la lumière. À quoi une telle lentille ressemblerait-elle ?
Défi 415 pe (3) Quel est le son que l ’on entend à l ’ intérieur des coquillages ?
(4) La lumière prend environ huit minutes pour voyager du Soleil à la Terre. Quelle
Défi 416 s conséquence cela a-t-il pour un lever du soleil ?
∗∗
Pouvez-vous décrire comment un Rubik’s Cube est conçu ? Et ses généralisations à des
Défi 417 s nombres plus élevés de segments ? Y a-t-il une limite au nombre de segments possibles ?
Ces énigmes sont encore plus tenaces que la quête du réarrangement du cube. Des casse-
tête identiques peuvent être relevés dans l ’étude de nombreux mécanismes, depuis les
robots jusqu ’aux machines textiles.
∗∗
Le son produit typiquement une variation de pression de 10−8 bar dans l ’oreille. Com-
Défi 418 pe ment est-elle déterminée ?
L’oreille est en fait un dispositif sensible. Il est maintenant établi que la plupart des cas
de mammifères marins, comme les baleines, dérivant vers le rivage sont dus à des pro-

blèmes auditifs : certains dispositifs militaires (soit des signaux sonar soit des explosions)
ont généralement détruit leur oreille de telle façon qu ’ ils deviennent sourds et perdent
l ’orientation.
∗∗
Les infrasons, sons inaudibles situés en dessous de 20 Hz, constituent un récent domaine
de recherche. Dans la nature, les infrasons sont émis par les séismes, les éruptions volca-
niques, le vent, le tonnerre, les chutes d ’eau, les météorites en chute et les vagues dé-
ferlantes. Le mouvement des glaciers, les tremblements de terre sous-marins, les ava-
Réf. 169 lanches et les orages géomagnétiques émettent également des infrasons. Les sources an-
thropiques sont représentées par les lancements de missiles, le trafic automobile, les mo-
teurs à essence et les compresseurs d ’air.
Il est avéré que des infrasons de haute intensité peuvent provoquer des vomissements
ou des perturbations du sens de l ’équilibre (140 dB ou plus pendant 2 minutes), et même
la mort (170 dB pendant 10 minutes). Les effets d ’ intensités plus basses sur la santé hu-
maine ne sont pas encore connus.
L’ infrason peut effectuer plusieurs fois le tour du monde avant de s’éteindre, comme
l ’explosion volcanique du Krakatoa le montra en 1883. Grâce aux détecteurs infrasonores
modernes, les vagues déferlantes marines peuvent être détectées à des centaines de kilo-
mètres de distance. Les vagues déferlantes engendrent un « fredonnement » permanent
de la croûte terrestre à des fréquences comprises entre 3 et 7 mHz. Le réseau global d’ in-
frason du SSI utilise les infrasons pour détecter les tests d ’armes nucléaires, les séismes
et les éruptions volcaniques, et peut comptabiliser les météorites. Les météorites ne sont
que très rarement audibles à l ’oreille humaine.
∗∗
La méthode utilisée pour mettre en évidence les ondes sinusoïdales contenues dans un
signal, comme indiqué sur la Figure 108, est appelée transformée de Fourier. Elle est pré-
pondérante dans toutes les sciences et dans la technologie. Dans les années 1980, une
généralisation intéressante se popularisa, dénommée la transformée en ondelettes. Au
contraire de la transformée de Fourier, la transformée en ondelettes nous permet de loca-
liser des signaux en fonction du temps. Des transformées en ondelettes sont utilisées pour
comprimer efficacement des images numériques, pour diagnostiquer des problèmes de
Réf. 170 turbine d ’avion, et dans de nombreuses autres applications.
∗∗
Si vous aimez les challenges d ’ ingénieurs, en voici un qui est toujours ouvert. Comment
pouvons-nous concevoir un système robuste et efficace qui puisse transformer l ’énergie
Défi 419 r des vagues en électricité ?
∗∗
Si vous êtes intéressé par les vagues océaniques, vous devriez également être fasciné par
la science de l ’ océanographie. Pour une introduction, consultez les manuels en libre accès
sur http://oceanworld.tamu.edu/.
∗∗

Dans notre description des corps étendus, nous avons supposé que chaque point d ’un
corps peut être analysé séparément tout au long de son mouvement. Cette hypothèse
Défi 420 r est-elle justifiée ? Que se passerait-il si ce n’était pas le cas ?
∗∗
Une espèce particulière d ’ondes apparaît dans les explosions et les vols supersoniques :
les ondes de choc. Dans une onde de choc, la densité de la pression d ’un gaz varie bru-
talement, sur des distances de l ’ordre de quelques micromètres. L’étude des ondes de
choc est un domaine de recherches à part entière, les ondes de choc déterminent le trajet
aérien des projectiles, le claquement des fouets et les effets des détonations.
∗∗
Les chauves-souris volent la nuit en utilisant l ’ écholocation*. Les dauphins l ’utilisent éga-
lement. Le sonar, utilisé par les navires de pêche pour détecter les bancs de poissons, re-
produit le système des dauphins. Il est beaucoup moins connu que les humains possèdent
Réf. 171 la même aptitude. Avez-vous déjà essayé d ’écholocaliser un mur dans une pièce complè-
tement sombre ? Vous serez surpris de constater comment cela est facilement réalisable.
Produisez simplement un sifflement criard ou un bruit sifflotant qui s’arrête brutalement,
Défi 421 e puis écoutez l ’écho. Vous serez alors capable de localiser les murs de manière fiable.
∗∗
Les oiseaux chantent. Si vous désirez explorer comment ce phénomène se réalise, regar-
dez le film en rayons X trouvé sur le site Web http://www.indiana.edu/~songbird/multi/
cineradiography_index.html.
∗∗
Chaque soliton est une structure unidimensionnelle. Les analogues bidimensionnels
existent-ils ? Ce problème demeura ouvert durant de nombreuses années. Finalement,
Réf. 172 en 1988, Boiti, Leon, Martina et Fumagalli remarquèrent qu ’une certaine équation d ’évo-
lution, l ’ équation de Davey–Stewartson, pouvait avoir des solutions qui sont localisées
en deux dimensions. Ces résultats furent généralisés par Fokas et Santini et plus encore
par Hietarinta et Hirota. Une telle solution est appelée aujourd ’ hui un dromion. Les dro-
mions sont des protubérances qui sont localisées en deux dimensions et qui peuvent se
déplacer sans disparaître tout au long de la diffusion, dans des systèmes non linéaires.
Un exemple est indiqué sur la Figure 117. Toutefois, jusqu ’à présent, aucune solution de
ce genre n’a été observée dans les expériences, ce qui constitue l ’un des plus importants
défis expérimentaux toujours ouverts en science non linéaire.
* Elles utilisent l ’écho renvoyé par des cris (des salves d ’ultrasons de fréquence f = 60 kHz) qu ’elles émettent
pour se repérer [N.d.T.].
10 mouvements élémentaires des corps étendus
mouvement d’un dromion à

F I G U R E 117 Simulation du
bidimensionnel. (© Jarmo
travers un milieu
Hietarinta)
226
C h a p i t r e 11
L E S C OR P S ÉT E N DU S E X I ST E N T-I L S ?

– L E S L I M I T E S DE L A C ON T I N U I T É
Nous venons de discuter du mouvement des corps étendus de manière assez détaillée.
Nous avons vu que les corps étendus dénotent un mouvement ondulatoire. Mais les corps
étendus existent-ils dans la nature ? Assez étrangement, cette interrogation a été l ’une
des questions les plus intensément débattues en physique. Au cours des siècles, elle est
réapparue de nombreuses fois et, à chaque amélioration de la description du mouvement,
la réponse a alterné entre l ’affirmatif et le négatif. Un grand nombre d ’ intellectuels ont
été mis en prison et de nombreux autres sont toujours persécutés pour avoir donné des
réponses qui ne sont pas politiquement correctes ! En réalité, ce problème se révèle déjà
dans la vie quotidienne.
Montagnes et fractales
À chaque fois que nous escaladons une montagne, nous suivons le contour de sa
forme. Nous décrivons généralement ce contour par une surface courbée bidimension-
nelle. Dans la vie courante nous remarquons que c ’est une bonne approximation. Mais
il existe des alternatives. La plus populaire est l ’ idée que les montagnes sont des sur-
faces fractales. Une fractale fut définie par Benoît Mandelbrot comme un ensemble qui
est auto-similaire sous une quantité dénombrable mais infinie de valeurs d ’agrandisse-
Page 44 ments*. Nous avons déjà rencontré les lignes fractales. Un exemple d ’algorithme pour
construire une surface fractale (aléatoire) est montré sur le côté droit de la Figure 118.
Réf. 173 Il produit des formes qui ressemblent remarquablement aux véritables montagnes. Les
résultats sont si réalistes qu ’ ils sont utilisés dans les productions d ’ Hollywood. Si cette
description était correcte, les montagnes seraient étendues, mais pas continues.
Mais les montagnes pourraient également être des fractales d ’un type différent,
comme indiqué dans la partie gauche de la Figure 118. Les surfaces montagneuses pour-
raient avoir une infinité de petits trous et d ’autres plus petits encore. En fait, nous pour-
rions aussi imaginer que les montagnes sont décrites comme des versions tridimension-
nelles de la partie gauche de la figure. Les montagnes seraient alors une espèce de gruyère
mathématique. Pouvez-vous inventer une expérience afin de décider si les fractales four-
Défi 422 s nissent la description correcte pour modéliser les montagnes ? Pour appréhender ce pro-
blème, aidons-nous d ’une barre de chocolat.
* Pour une définition de l ’ indénombrabilité, allez à la page ??.

228 11 corps étendus
n=1
n=2

n=5
n = infini
F I G U R E 118 Des paysages et des montagnes vus comme des fractales. (photographie © Paul Martz)
Une barre de cho colat peu t-elle durer pour toujours ?
D’une goutte d ’eau un logicien pourrait prévoir
“ un océan Atlantique ou un Niagara.

Arthur Conan Doyle, A Study in Scarlet
Tout enfant sait comment faire durer une barre de chocolat pour toujours : il mange ”
la moitié de ce qu ’ il reste chaque jour. Cependant, cette astuce ne fonctionne que si la
matière est un invariant d ’échelle. En d ’autres mots, la méthode ne fonctionne que si
la matière est soit fractale, car elle serait alors invariante d ’échelle pour un ensemble
discret de facteurs de zoom, soit continue, auquel cas elle serait invariante d ’échelle pour
n’ importe quel facteur de zoom. Quelle réponse, s’ il y en a une, s’applique à la nature ?
Page 43 Nous avons déjà rencontré un fait qui assimilait la continuité à une hypothèse contes-
table : la continuité nous permettrait, comme Banach et Tarski l ’ont montré, de démulti-
plier la nourriture et n’ importe quelle matière par un découpage et un réassemblage as-
tucieux. La continuité permettrait aux enfants de déguster la même quantité de chocolat
chaque jour, sans jamais acheter une nouvelle barre. La matière n’est donc pas continue.
Maintenant, le chocolat fractal n’est pas évincé par cette déduction, mais d ’autres expé-
riences examinent cette question. En réalité, nous remarquons que les matériaux fondus
n’occupent pas des volumes beaucoup plus petits que les mêmes à l ’état solide. Nous
découvrons aussi que les matériaux ne rétrécissent pas, même sous les pressions les plus
élevées. Donc la matière n’est pas fractale. Quelle est alors sa structure ?
Pour avoir une idée de la structure de la matière, nous pouvons considérer du choco-
lat fluide ou même uniquement de l ’ huile – qui reste malgré tout l ’ ingrédient principal
du chocolat – et l ’étaler sur une grande surface. Par exemple, nous pouvons étaler une
goutte d ’ huile sur une mare lors d ’une journée sans pluie ou sans vent ; il n’est pas diffi-
cile d ’observer quelles parties de l ’eau sont couvertes par l ’ huile et lesquelles ne le sont
pas. Une petite gouttelette d ’ huile ne peut pas recouvrir une surface plus grande que...
Défi 423 s pouvez-vous deviner cette valeur ? Essayer d ’étaler ce mince film plus loin conduira in-
évitablement à sa déchirure en morceaux. La méthode des enfants pour prolonger le plai-
sir du chocolat ne fonctionne donc pas pour toujours : elle prend soudainement fin un
les limites de la continuité de la matière 229
jour. L’expérience de l ’ huile montre qu ’ il existe une épaisseur minimale pour les films
d ’ huile, d ’une valeur d ’environ 2 nm. Cette simple expérience peut même être réalisée à
la maison, elle indique qu ’ il y a une taille minimale dans la matière. La matière est faite
de minuscules constituants. Cela confirme les observations réalisées par Joseph Losch-
midt* en 1865, qui fut le premier à mesurer la taille des constituants de la matière**. En

1865, ce n’était pas une surprise d ’apprendre que la matière était faite de petits éléments,
puisque l ’existence d ’une taille la plus petite – mais pas sa valeur – avait déjà été déduite
par Galilée, lorsqu ’ il étudiait quelques questions simples mais différentes***.
* Joseph Loschmidt (n. Pocerny 1821, d. Vienne 1895) était un physicien et chimiste autrichien. L’expérience
de l ’ huile fut popularisée quelques décennies plus tard, par Kelvin. Il est souvent affirmé que Benjamin
Franklin fut le premier à diriger l ’expérience de l ’ huile, c ’est faux. Franklin ne mesura pas l ’épaisseur, et
ne considéra même pas cette question. Il avait versé de l ’ huile sur l ’eau, mais manqua la conclusion la plus
importante qui pouvait se dessiner à partir de cela. Mêmes les génies ne découvrent pas tout.
** Loschmidt savait que la viscosité (dynamique) d ’un gaz était donnée par η = ρlv/3, où ρ représente la
densité du gaz, v la vitesse moyenne des constituants et l leur libre parcours moyen. À l ’aide de la prédiction
d ’Avogadro (faite en 1811 sans préciser aucune valeur) qu ’un volume V de √ n’ importe quel gaz contient
toujours le même nombre N de constituants, nous obtenons également l = V / 2πNσ 2 , où σ représente la
section efficace des constituants. (La section efficace est la surface fictive que devrait avoir une particule cible
pour reproduire la probabilité observée de collision ou de réaction avec une autre particule en supposant que
ces collisions se produisent entre des objets matériels impénétrables [N.d.T.].) Loschmidt présuma alors
que, lorsque le gaz est liquéfié, le volume du liquide est la somme des volumes des particules. Il mesura donc
toutes les quantités concernées et détermina N. La valeur contemporaine de N, appelé le nombre d ’Avogadro
ou nombre de Loschmidt, est de 6, 02 ⋅ 1023 particules pour 22,4 l de n’ importe quel gaz dans des conditions
normales de pression et de température (aujourd ’ hui appelé 1 mol).
*** Galilée fut assigné en justice à cause de ses idées concernant les atomes et non à propos du mouvement
de la Terre, comme il est souvent entendu. Pour avoir une idée précise des objets de la controverse dans le
cas de Galilée, particulièrement ceux qui intéressent les physiciens, le meilleur texte est l ’excellent livre de
P ietro Redondi, Galileo eretico, Einaudi, 1983, traduit en anglais dans Galileo Heretic, Princeton Univer-
sity Press, 1987. Il est également disponible dans de nombreuses autres langues. Redondi, qui est un illustre
historien des sciences et confrère de Pierre Costabel, raconte l ’ histoire de la querelle entre Galilée et les
instances réactionnaires de l ’ Église catholique. Il découvrit un document de cette époque – la dénonciation
anonyme qui donna naissance au procès – qui lui permit de montrer que la condamnation de Galilée à une
détention à perpétuité pour ses idées sur le mouvement de la Terre était montée de toutes pièces par son ami
le pape pour le protéger d ’une condamnation à mort inévitable par rapport à un sujet différent.
Les raisons de son arrestation, qui furent formulées par la dénonciation, n’étaient pas relatives à ses idées
sur l ’astronomie et sur le mouvement de la Terre, mais à ses affirmations concernant la matière. Galilée dé-
fendit l ’ idée que, puisque la matière n’est pas invariante d ’échelle, elle doit être constituée d ’ « atomes » ou,
comme il les nommait, de piccolissimi quanti – les plus petits quanta. C ’était et cela reste toujours une hérésie.
Un véritable catholique n’est toujours pas autorisé à croire aux atomes. En réalité, la théorie des atomes n’est
pas compatible avec la transformation du pain et du vin en chair et sang humains, dénommée transsubstantia-
tion, qui constitue un principe central de la foi catholique. À l ’époque de Galilée, les tribunaux inquisitoires
punissaient l ’ hérésie, c ’est-à-dire les opinions personnelles divergentes, par la peine de mort. Malgré qu ’ il
fût condamné à la prison lors de son procès, Galilée publia son dernier livre, rédigé par un vieil homme en
état d ’arrestation, sur le problème de la variation d ’échelle. Aujourd ’ hui, l ’ Église catholique refuse toujours
de publier les actes et d ’autres documents relatifs à ce procès. Ses dignitaires évitent prudemment le thème
des atomes, et n’ importe quelle parole sur ce sujet exposerait l ’ Église catholique à la dérision. En fait, la
théorie quantique, nommée d ’après l ’expression utilisée par Galilée, est devenue aujourd ’ hui la description
la plus précise de la nature.
À quelle hau teur les animaux peuvent-ils sau ter ?

Les puces peuvent sauter à des hauteurs équivalentes à une centaine de fois leur taille,
les hommes à des hauteurs d ’environ leur propre taille seulement. En fait, les études bio-
Réf. 174 logiques rapportent une observation simple : la plupart des animaux, en laissant de côté
leur taille, atteignent à peu près la même hauteur de saut comprise entre 0,8 et 2,2 m,

qu ’ ils soient des humains, des chats, des sauterelles, des singes, des chevaux ou des pan-
Défi 424 s thères. L’explication de cette réalité ne prend que deux lignes. Pouvez-vous la découvrir ?
L’observation ci-dessus semble être un exemple d ’ invariance d ’échelle. Mais il y a
quelques exceptions intéressantes aux deux extrémités de l ’échelle des masses. À l ’échelle
des petites masses, les acariens et autres petits arthropodes n’atteignent pas de telles hau-
teurs parce que, comme tous les petits objets, ils rencontrent le problème de la résistance
de l ’air. Du côté des grandes masses, les éléphants ne sautent pas aussi haut, parce que
cela briserait leur squelette. Mais finalement pourquoi les os se brisent-ils ?
Pourquoi tous les hommes sont-ils à peu près de la même taille ? Pourquoi n’y a-t-il
pas d ’adultes géants d ’une hauteur de dix mètres ? Pourquoi n’existe-t-il pas un quel-
conque animal terrestre plus grand que les éléphants ? La réponse fournit la clé de la
compréhension de la structure de la matière. En fait, les matériaux dont nous sommes
constitués ne permettraient pas de telles variations d ’échelle, puisque les os des géants
s’effondreraient sous le poids qu ’ ils auraient à supporter. Les os possèdent une force limi-
tée parce que leurs composants sont collés les uns aux autres avec une attraction limitée.
La matière continue – qui n’existe que dans les dessins animés – ne pourrait nullement
se briser, et la matière fractale serait infiniment fragile. La matière cède sous une charge
finie parce qu ’elle est composée de tous petits constituants élémentaires.
Élagage d ’ arbres
Les délicates pentes inférieures de la Montagne Mouvement sont recouvertes d ’arbres.
Les arbres sont des structures passionnantes. Prenez leur stature. Pourquoi les arbres
ont-ils une taille finie ? Déjà au seizième siècle, Galilée savait qu ’ il n’est pas possible
d ’augmenter la hauteur d ’un arbre jusqu ’à l ’ infini : à un certain point, un arbre n’aurait
pas la vigueur nécessaire pour supporter son propre poids. Il estima la hauteur maximale
à environ 90 m ; le record actuel, inconnu à son époque, semble être de 150 m, détenu
par l ’arbre australien Eucalyptus regnans. Mais après tout pourquoi y a-t-il une limite ?
La réponse est la même que pour les os : le bois possède une force limitée parce qu ’ il
n’est pas invariant d ’échelle, et il n’est pas invariant d ’échelle parce qu ’ il est composé
de petits constituants, à savoir des atomes*.
En réalité, le calcul de la valeur précise de la hauteur limite est plus compliqué. Les
arbres ne doivent pas se briser lors de violentes tempêtes. La résistance au vent limite le
rapport hauteur sur épaisseur h/d à environ 50 pour des arbres de taille normale (pour
Défi 425 pe 0,2 m < d < 2 m). Pouvez-vous dire pourquoi ? Des arbres plus fins sont limités en hau-
teur à moins de 10 m par l ’exigence qu ’ ils doivent regagner leur position verticale après
Réf. 176 avoir été courbés par le vent.
De telles études sur les contraintes naturelles répondent aussi à la question de savoir
Réf. 175 * Il existe un autre facteur limitant important : les colonnes d ’eau à l ’ intérieur des arbres ne doivent pas
céder. Ces deux facteurs semblent donner des hauteurs limites identiques.
trois
couches
mono-
atomiques
lampe œil

photographie à venir
F I G U R E 119 Les atomes existent : la F I G U R E 120 Des niveaux atomiques situés

rotation d’un rouleau d’aluminium dans des cristaux d’arséniure de gallium brisés
provoque des oscillations de peuvent être observés sous un microscope
luminosité. optique.
pourquoi les arbres sont faits de bois et non pas, par exemple, d ’acier. Vous pourriez vé-
rifier par vous-même que la hauteur maximale d ’un pilier d ’une masse donnée est déter-
Défi 426 s minée par le rapport E/ρ 2 entre le module d ’élasticité et le carré de la masse volumique.
Réf. 177 Le bois est en fait le matériau pour lequel ce rapport est le plus élevé. Les spécialistes des
matériaux sont parvenus, tout récemment, à obtenir des rapports légèrement meilleurs
avec des matériaux composites en fibre.
Mais après tout, pourquoi les matériaux se brisent-ils ? Toutes les observations four-
nissent la même réponse et confirment le raisonnement de Galilée : parce qu ’ il existe a
une taille minimale dans les matériaux. Par exemple, des corps sous contrainte sont dé-
chirés à l ’emplacement où leur résistance est minimale. Si un corps était complètement
homogène, il ne pourrait pas être déchiré, une fêlure ne pourrait être amorcée nulle part.
Si un corps avait une structure en gruyère fractal, les fêlures pourraient démarrer à des
emplacements multiples et un choc infinitésimal suffirait alors à les produire.
Une expérience simple qui indique que les solides possèdent une taille minimale est
montrée dans la Figure 119. Un rouleau cylindrique d ’un unique cristal d ’aluminium pur
révèle un comportement surprenant lorsqu ’ il est éclairé de côté : sa luminosité dépend
de la manière dont le rouleau est orienté, bien qu ’ il soit parfaitement circulaire. Cette
dépendance angulaire est due à l ’agencement des atomes d ’aluminium dans le rouleau.
Il n’est pas difficile de confirmer expérimentalement l ’existence d ’une dimension mi-
nimale dans les solides. Cette dernière est suffisante pour briser un unique cristal, comme
une galette d ’arséniure de gallium, en deux. La surface de rupture soit est parfaitement
plate, soit montre des niveaux extrêmement fins, comme indiqué sur la Figure 120. Ces
Défi 427 pe paliers sont visibles avec un microscope optique ordinaire. (Pourquoi ?) Il apparaît que
toutes les hauteurs des paliers sont des multiples d ’une taille minimale : sa valeur est
d ’environ 0,2 nm. L’existence d ’une dimension minimale, correspondant à la hauteur
d ’un atome, bannit toute opportunité d ’ invariance d ’échelle dans la matière.
L’ écho du silence
Après avoir escaladé les pentes de la Montagne Mouvement, nous arrivons dans une
région où la forêt est recouverte d ’une neige profonde. Nous nous arrêtons un instant et
observons autour de nous. Il fait sombre, tous les animaux sont endormis, il n’y a pas de
vent et aucun bruit ne se fait entendre. Nous nous immobilisons, sans respirer, et écou-
tons le silence. (Vous pouvez également reproduire cette expérience dans un studio tel
que ceux utilisés pour les enregistrements musicaux, ou dans une chambre paisible en
pleine nuit.) Dans les situations de silence parfait, l ’oreille devient automatiquement plus

sensible*, nous ressentons alors une étrange sensation. Nous entendons deux bourdon-
nements : un bruit faiblement aigu et un autre fortement aigu, qui sont manifestement
provoqués à l ’ intérieur de l ’oreille. Les expériences indiquent que la note la plus élevée
est due à l ’activité des cellules ciliées dans l ’oreille interne. La note la plus basse est due à
la pulsation sanguine qui traverse la tête. Mais finalement pourquoi entendons-nous un
bruit ?
De nombreuses expériences similaires confirment que, quoi que nous fassions, nous
ne pouvons jamais éliminer le bruit dans les mesures. Ce type inéluctable de bruit est
appelé bruit de grenaille en physique. Les propriétés statistiques de ce type de bruit cor-
respondent effectivement précisément à ce qui serait attendu si les écoulements, au lieu
d ’être des mouvements continus de matière, étaient des transports d ’un grand nombre
d ’entités identiques, petites et discrètes. Ainsi, le simple fait d ’écouter le bruit démontre
que le courant électrique est constitué d ’électrons, que l ’air et les liquides sont faits de
molécules, et que la lumière se compose de photons. Dans un sens, l ’écho du silence re-
présente le son des atomes. Le bruit de grenaille n’existerait pas dans les systèmes conti-
nus.
Des petites billes dures

Je préfère comprendre la cause d ’un
“ phénomène élémentaire qu ’être le roi de Perse.
Des observations précises montrent que la matière n’est ni continue ni fractale : la ma-
Démocrite
”
tière est constituée de particules fondamentales élémentaires. Galilée, qui déduisit leur
existence en pensant aux géants et aux arbres, les appela « les plus petits quanta ». Aujour-
d ’ hui ils sont appelés « atomes », en l ’ honneur d ’une discussion célèbre qui eut lieu dans
la Grèce antique. En réalité, il y a 2 500 ans, les Grecs se posèrent la question suivante :
si le mouvement et la matière sont conservés, comment le changement et la transforma-
tion peuvent-ils exister ? L’école philosophique de Leucippe et Démocrite d ’Abdère**
* L’ oreille humaine peut détecter des variations de pression d ’au moins 20 µPa.
** Leucippe d ’ Élée (Λευκιππος) (v. 490 à v. 430 av. J.-C. ) fut un philosophe grec. Élée était une petite ville
située au sud de Naples. Elle se trouve en Italie, mais appartenait à l ’époque à la Grande Grèce. Démocrite
(∆εµοκριτος) d ’Abdère (v. 460 à v. 356 ou 370 av. J.-C. ), également philosophe grec, fut indubitablement
le plus grand philosophe qui ait jamais vécu. En même temps que son maître Leucippe, il fut le fondateur
de la théorie atomiste. Démocrite était un penseur fort admiré, et un contemporain de Socrate. Le vaniteux
Platon ne mentionna jamais son nom, puisqu ’ il représentait un danger pour sa propre renommée. Démo-
crite écrivit de nombreux ouvrages qui ont tous été perdus, ils ne furent pas recopiés pendant le Moyen Âge
à cause de leur point de vue scientifique et rationnel sur le monde, qui était considéré comme blasphéma-
toire par les fanatiques religieux qui avaient le monopole sur l ’ industrie de la recopie des manuscrits. De
nos jours, il est devenu courant de revendiquer – de façon incorrecte – que Démocrite ne possédait aucune
preuve de l ’existence des atomes. C ’est un exemple caractéristique de désinformation couplée à la sombre
intention de se sentir supérieur aux Anciens.
effectuèrent deux observations particulières avec beaucoup de soins. Ils remarquèrent

que le sel se dissout dans l ’eau. Ils remarquèrent également qu ’un poisson peut nager
dans l ’eau. Dans le premier cas, le volume d ’eau n’augmente pas quand le sel est dis-
sous. Dans le second cas, lorsque le poisson avance, il doit pousser de l ’eau vers les côtés.
Leucippe et Démocrite déduisirent qu ’ il existe une seule explication possible qui puisse

vérifier ces observations et qui réconcilie également conservation et transformation : la
nature est faite de vide et de minuscules particules indivisibles et conservées*. De cette
manière n’ importe quel exemple de mouvement, de changement ou de transformation
est dû à des réorganisations de ces particules, le changement et la conservation sont donc
réconciliés.
En résumé, puisque la matière est dure, possède une forme et est divisible, Leucippe
et Démocrite l ’ imaginèrent comme étant constituée d ’atomes. Les atomes sont des parti-
cules qui sont dures, ont une forme, mais sont indivisibles. En d ’autres termes, les Grecs
se figurèrent la nature comme un vaste jeu de Lego. Les pièces de Lego sont en tout
premier lieu dures ou impénétrables, c ’est-à-dire répulsives à des distances extrêmement
petites. Elles sont attractives à petite distance : elles restent collées ensemble. Finalement,
elles ne dénotent aucune interaction à grande distance. Les atomes se comportent de la
même manière. (En réalité, ce que les Grecs appelèrent « atomes » correspondait en par-
tie à ce que nous appelons aujourd ’ hui des « molécules ». Ce dernier terme fut inventé
par Amadeo Avogadro en 1811 afin de clarifier cette distinction. Mais oublions ce détail
pour le moment.)
Puisque les atomes sont invisibles, il fallut de nombreuses années avant que tous les
scientifiques soient convaincus par les expériences démontrant leur existence. Au dix-
neuvième siècle, l ’ idée des atomes fut magnifiquement vérifiée par la découverte des
Page 258 « lois » de la chimie et celles du comportement des gaz. Plus tard, les effets du bruit furent
découverts.
De nos jours, avec les progrès de la technologie, des atomes isolés peuvent être ob-
Réf. 178, Réf. 179 servés, photographiés, hologrammés, comptabilisés, touchés, déplacés, soulevés, lévités
et tournés. Et en fait, comme la matière courante, les atomes possèdent une masse, une
taille, une forme et une couleur. Des atomes uniques ont même été utilisés comme am-
Réf. 180 poules et comme lasers.
Actuellement, des chercheurs issus de plusieurs disciplines prennent plaisir à jouer
avec les atomes de la même façon que les enfants jouent avec des Lego. La démonstra-
tion la plus admirable de ces possibilités est probablement fournie par les nombreuses
Réf. 181 applications du microscope à force atomique. Si jamais vous avez l ’occasion d ’en voir
* Cette histoire est contée par Lucrèce, dont le nom complet est Titus Lucretius Carus, dans son cé-
lèbre texte De rerum natura, autour de 60 av. J.-C. (Une traduction anglaise peut être consultée sur
http://perseus.uchicago.edu/hopper/text.jsp?doc=Perseus:text:1999.02.0131 et une traduction française sur
http://bcs.fltr.ucl.ac.be/LUCR/I.html et http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Lucrece/table.htm.) Lu-
crèce cite de nombreuses autres preuves. Dans le livre 1, il montre qu ’ il y a des espaces vides dans les solides
– comme l ’ indiquent la porosité et les différences de densité – et dans les gaz – comme le prouve le vent. Il
montre que les odeurs sont dues à des particules, et que c ’est ainsi de l ’évaporation. (Pouvez-vous trouver
Défi 428 pe plus de pièces à conviction ?) Il explique également que les particules ne peuvent être vues à cause de leur
petite taille, mais que leurs effets peuvent être ressentis et qu ’ ils permettent d ’expliquer logiquement toutes
les observations.
Surtout si nous imaginons ces particules comme étant des petites billes, nous ne pouvons pas nous em-
Défi 429 d pêcher de qualifier cette idée de typiquement masculine. (Quelle serait l ’approche féminine ?)
photo-détecteur diode
(fragmenté) laser
sensible à lentille
la position
contrôleur

porte-à-faux
piézo
vertical pointe
contrôleurs échantillon
piézo
horizontaux
F I G U R E 121 Le principe et une réalisation d’un microscope à force atomique. (photographie ©
Nanosurf)
F I G U R E 122 Les atomes situés sur la F I G U R E 123 Résultat du déplacement
surface d’un cristal de silicium d’atomes d’hélium sur une surface
cartographié avec un microscope à métallique. (© IBM)
force atomique. (© Universität
Augsburg)
un, ne la manquez pas* ! C ’est un dispositif simple qui jalonne la surface d ’un objet à
l ’aide d ’une aiguille dont la pointe est de la taille d ’un atome ; de telles aiguilles, généra-
lement en tungstène, sont aisément confectionnées avec une méthode simple de gravure
Réf. 182 à l ’eau-forte. Les fluctuations de la hauteur de l ’aiguille le long de son trajet au-dessus
de la surface sont enregistrées à l ’aide d ’un rayon lumineux qui s’ infléchit. Avec un peu
d ’attention, les atomes de l ’objet peuvent être décelés et rendus visibles sur un écran d ’or-
dinateur. En utilisant des types particuliers de ces microscopes, l ’aiguille peut être mise à
profit pour déplacer des atomes un par un à des emplacements voulus de la surface. Il est
également possible de balayer une surface, de soulever un atome donné et de le projeter
en direction d ’un spectromètre de masse pour déterminer à quelle famille d ’atomes il
Réf. 183 appartient.
* Une version économique ne coûte que quelques milliers d ’euros, et vous permettra d ’étudier la différence
entre une galette de silicium – cristalline – une couche de farine – amorphe et granuleuse – et une surface
pure.
À ce propos, la construction des microscopes à force atomique ne constitue qu ’une

petite amélioration de ce que la nature à déjà développé par millions : lorsque nous uti-
lisons nos oreilles pour écouter, nous détectons en réalité des variations d ’environ 1 nm
dans la position du tympan. En d ’autres termes, nous avons tous deux « microscopes à
force atomique » incorporés dans nos têtes.

En conclusion, la matière n’est pas invariante d ’échelle : en particulier, elle n’est ni
lisse ni fractale. La matière est constituée d ’atomes. Différents types d ’atomes, sans comp-
ter les diverses combinaisons possibles entre eux, donnent naissance aux différentes dé-
clinaisons de substances. Des images obtenues à partir de microscopes à force atomique
indiquent que la taille et l ’agencement des atomes représentent la forme et l ’ étendue des
objets, confirmant le modèle du Lego pour la matière*. Par conséquent, la description du
mouvement des objets étendus peut être réduite à la description du mouvement de leurs
atomes. Le mouvement atomique formera un thème primordial des pages suivantes. Une
de ses répercussions est particulièrement marquante : la chaleur. Avant que nous l ’étu-
diions, nous devons considérer les fluides.
Le mouvement des fluides
Les fluides peuvent être des liquides ou des gaz. Leur mouvement peut être excessive-
ment complexe, comme la Figure 124 le montre. De tels mouvements compliqués sont
fréquemment cités comme exemples d ’auto-organisation ou de chaos ; ces formes sont
Page 275 discutées ci-dessous.
Comme tout mouvement, le mouvement fluide obéit à la conservation de l ’énergie.
Dans le cas où il n’y a pas d ’énergie convertie en chaleur, la conservation de l ’énergie est
particulièrement simple. Le mouvement qui ne génère pas de chaleur implique l ’absence
de tourbillons, un tel mouvement fluide est qualifié de laminaire. Si la vitesse du fluide
ne dépend pas du temps quelle que soit la position, il est qualifié de stationnaire. Pour un
mouvement qui est à la fois laminaire et stationnaire, la conservation de l ’énergie peut
être exprimée à l ’aide de la vitesse v et de la pression p :
ρv + p + ρ дz = const
1 2
(88)
2
où z représente la hauteur au-dessus du sol. C ’est l ’ équation de Bernoulli, dans laquelle le
premier terme est l ’énergie cinétique (par unité de volume) du fluide, et les deux autres
termes sont des énergies potentielles (par unité de volume). Le dernier terme n’est impor-
tant que si le fluide se soulève par rapport au sol. Le second terme est l ’énergie potentielle
(par unité de volume) qui résulte de la compression du fluide. En réalité, la pression est
Défi 430 e une énergie potentielle par unité de volume.
* L’étude de la matière avec encore plus de raffinement conduit à l ’ idée dorénavant bien connue que la
matière, à des grossissements de plus en plus forts, est faite de molécules, d ’atomes, de noyaux, de protons
et de neutrons, et finalement de quarks. Les atomes contiennent également des électrons. Un dernier type
de matière, les neutrinos, est observé en provenance du Soleil et de certains types de matériaux radioactifs.
Et même si les briques fondamentales sont devenues de plus en plus petites avec le temps, l ’ idée de base
demeure identique : la matière est constituée d ’entités les plus petites, que l ’on appelle aujourd ’ hui des
particules élémentaires. Dans la seconde partie de notre ascension montagneuse nous explorerons cette idée
Page ?? en détail. L’ Annexe ?? liste les propriétés mesurées de toutes les particules élémentaires connues.

F I G U R E 124 Quelques exemples de mouvements fluides : un jet d’eau vertical frappant un obstacle
horizontal, deux jets d’un mélange glycérol–eau se rencontrant selon un angle oblique, un jet d’eau
pénétrant dans un réservoir, un verre de vin exhibant des larmes (tous © John Bush, MIT) et un robinet
qui fuit (© Andrew Davidhazy).
La conservation de l ’énergie implique que plus la pression est basse, plus la vitesse
d ’un fluide devient grande. Nous pouvons utiliser cette relation pour mesurer la vitesse
d ’un écoulement d ’eau stationnaire dans un tube. Nous avons juste besoin de rétrécir
partiellement le tube à un emplacement le long de celui-ci, et de mesurer la différence
√
de pression avant et au niveau du goulet d ’étranglement du tube. Nous trouvons que la
vitesse v est donnée par v = k p1 − p2 . (Que représente la constante k ?) Un dispositif

Défi 431 s
utilisant cette méthode est appelé un tube de Venturi.
Si la géométrie d ’un système reste figée et si la vitesse du fluide est accrue, à une cer-
taine vitesse nous observons une transition : le liquide perd sa limpidité, l ’écoulement
n’est plus stationnaire. Nous voyons cela à chaque fois que nous ouvrons un robinet
d ’eau. L’écoulement passe de laminaire à turbulent. Dans cette situation, l ’équation de
Bernoulli n’est plus valide.
La description de la turbulence est certainement le plus ardu de tous les problèmes de
la physique. Lorsque le jeune Werner Heisenberg fut assigné à poursuivre les recherches
sur la turbulence, il refusa – bien lui en prit – en disant que c ’était trop difficile. Il se
tourna vers quelque chose de plus facile puis initia et développa à la place la mécanique
quantique. La turbulence est un sujet tellement vaste, avec ses nombreux concepts qui
restent mal compris, qu ’en dépit du nombre et de l ’ importance de ses applications ce
n’est qu ’aujourd ’ hui, au début du vingt et unième siècle, que ses secrets commencent
Réf. 184 à être percés. Il est généralement admis que les équations du mouvement décrivant les
fluides, les équations de Navier–Stokes, sont suffisantes pour comprendre la turbulence*.
Mais les mathématiques derrière elles sont fantastiques. Il existe même une récompense
d ’ un million de dollars offerte par l ’ Institut Clay de mathématiques pour l ’achèvement
de certaines étapes sur le chemin de la résolution des équations.
Des systèmes importants qui montrent un écoulement laminaire, des tourbillons et
de la turbulence en même temps sont les ailes et les voiles. Toutes les ailes fonctionnent
mieux en mode laminaire. L’essentiel d ’une aile est qu ’elle attribue à l ’air une vitesse
dirigée vers le bas avec le moins de turbulence possible. (C ’est pour minimiser la turbu-
lence que les ailes sont courbées. Si le moteur est très puissant, une aile plate inclinée
d ’un certain angle fonctionne également. Les fortes turbulences sont aussi un avantage
pour atterrir en toute sécurité.) La vitesse dirigée vers le bas de la traînée d ’air provoque
Réf. 185 une force centrifuge qui agit sur l ’air qui passe au-dessus de l ’aile. Cela conduit à une
pression plus faible, et donc à un soulèvement. (Les ailes ne sont donc pas fondées sur
l ’équation de Bernoulli, où des pressions plus basses le long de l ’écoulement conduisent
à une vitesse de l ’air plus élevée, comme malheureusement de nombreux livres ont l ’ ha-
bitude de le dire. Au-dessus d ’une aile, la vitesse plus élevée est reliée à la pression plus
basse à travers l ’écoulement.)
Les vitesses différentes de l ’air au-dessus et en dessous de l ’aile provoquent des tour-
billons aux extrémités de chacune d ’elles. Ces tourbillons sont particulièrement impor-
tants pour le décollage de n’ importe quel insecte, oiseau ou avion. Nous donnons plus
Page ?? loin plus de détails sur les ailes.
* Elles sont baptisées d ’après Claude Navier (n. Dijon 1785, d. Paris 1836), important ingénieur français qui
dirigea la construction de plusieurs ponts, et George Gabriel Stokes (n. Skreen 1819, d. Cambridge 1903),
important physicien et mathématicien irlandais.
Curiosités et défis amusants sur les fluides

Quelle est la quantité d ’eau nécessaire pour humidifier l ’air dans une pièce en hiver ?
À 0 °C, la pression de vapeur saturante de l ’eau dans l ’air est de 6 mbar, à 20 °C elle
est de 23 mbar. Par conséquent, le réchauffement de l ’air en hiver donne tout au plus
Défi 432 e une humidité de 25 %. Pour augmenter l ’ humidité de 50 %, nous avons donc besoin

d ’environ 1 litre d ’eau pour 100 m3 .
∗∗
Vous êtes dans un bateau sur un étang avec une pierre, un seau d ’eau et un morceau de
bois. Qu ’advient-il du niveau de l ’eau de l ’étang après que vous aurez jeté la pierre de-
dans ? Après que vous aurez jeté l ’eau dans l ’étang ? Après que vous aurez jeté le morceau
Défi 433 s de bois ?
∗∗
Défi 434 s Un navire quitte un fleuve pour pénétrer dans la mer. Que se passe-t-il ?
∗∗
Accrochez un ballon de baudruche sur l ’extrémité d ’une bouteille et laissez-le suspendu
à l ’ intérieur de la bouteille. Jusqu ’où pouvez-vous gonfler le ballon à l ’ intérieur de la
Défi 435 e bouteille ?
∗∗
Posez une petite boulette de papier dans l ’encolure d ’une bouteille horizontale et essayez
de souffler dessus pour la faire entrer dedans. Le papier volera dans votre direction. Pour-
Défi 436 e quoi ?
∗∗
Il est possible de faire sauter un œuf d ’un coquetier dans un second situé juste derrière
Défi 437 e lui en soufflant dessus. Pouvez-vous exécuter ce tour ?
∗∗
Durant le dix-septième siècle, des ingénieurs qui avaient besoin de puiser de l ’eau fai-
saient face à un défi. Pour puiser de l ’eau depuis un puits minier jusqu ’à la surface, au-
cune pompe à eau n’est concevable si la différence de hauteur est supérieure à 10 m. Pour
le double de cette hauteur, nous avons toujours besoin de deux pompes en série, reliées
Défi 438 s par un réservoir intermédiaire. Pourquoi ? Comment les arbres parviennent-ils alors à
pomper de l ’eau vers le haut sur des hauteurs plus grandes ?
∗∗
Lorsque l ’ hydrogène et l ’oxygène sont combinés pour former de l ’eau, la quantité d ’ hy-
drogène nécessaire est exactement le double de la quantité d ’oxygène, s’ il ne reste aucune
quantité de gaz après la réaction. Comment cette observation confirme-t-elle l ’existence
Défi 439 s des atomes ?
∗∗
eau
F I G U R E 125 Quel est votre propre record du nombre de ricochets ?

F I G U R E 126 La fontaine de Héron.
Défi 440 s Comment les chocolats pralinés fourrés à l ’alcool sont-ils fabriqués ? Remarquez que
l ’alcool n’est pas injecté dedans après leur fabrication, parce qu ’ il n’y aurait aucune
façon de conserver le tout assez hermétiquement.
∗∗
Combien de fois une pierre peut-elle ricocher lorsqu ’elle est projetée sur la surface de
l ’eau ? Le record mondial actuel fut accompli en 2002 : 40 ricochets. Nous en savons plus
Réf. 186 concernant le précédent record mondial, accompli en 1992 : une pierre plate, triangulaire,
de la taille de la paume fut projetée à une vitesse de 12 m/s (d ’autres disent 20 m/s) et
une vitesse de rotation d ’environ 14 tours par seconde le long d ’une rivière, recouvrant à
peu près 100 m avec 38 sauts. (Cette succession de ricochets fut filmée par un caméscope
depuis un pont.)
Qu ’est-ce qui serait nécessaire pour accroître le nombre de ricochets ? Pouvez-vous
Défi 441 r concevoir une machine qui serait un meilleur lanceur que vous-même ?
∗∗
L’élément le plus abondant dans l ’air est l ’ azote (environ 78 %). Le deuxième élément le
plus abondant est l ’ oxygène (environ 21 %). Quel est le troisième élément le plus abon-
Défi 442 s dant ?
∗∗
L’eau peut s’écouler en montant : la fontaine de Héron en est la preuve vivante. Héron
d ’Alexandrie (v. 10 à v. 70) décrivit celle-ci il y a 2 000 ans. Elle peut être aisément fa-
briquée à la maison, en utilisant quelques bouteilles en plastique et une petite tuyauterie.
Défi 443 s Comment fonctionne-t-elle ?
∗∗

Une ampoule est placée, sous l ’eau, dans un cylindre fixe en acier d ’un diamètre de 16 cm.
Une Fiat Cinquecento (500 kg) est placé sur un piston poussant sur la surface de l ’eau.
Défi 444 s L’ampoule résistera-t-elle ?
∗∗
Défi 445 pe Quel est le gaz le plus dense ? La vapeur la plus dense ?
∗∗
Chaque année, l ’ Institut des systèmes maritimes de l ’ université de Rostock organise une
compétition. Le défi est de construire un bateau en papier ayant la charge utile la plus im-
portante. Le bateau en papier doit peser 10 g au maximum, la charge utile est mesurée en
déversant des petites charges de plomb dessus, jusqu ’à ce que le bateau coule. Le record
Défi 446 e de 2002 s’élève à 2,6 kg. Pouvez-vous atteindre cette valeur ? (Pour plus d ’ informations,
consultez le site Web http://www.paperboat.de.)
∗∗
Une version moderne d ’une ancienne question – déjà formulée par Daniel Colladon
(1802–1893) – est la suivante : un navire de masse m sur une rivière est tiré par des che-
vaux trottant le long de la rive et attachés par des cordes. Si la rivière est constituée d ’ hé-
lium superfluide, ce qui signifie qu ’ il n’y a pas de frottement entre le navire et la rivière,
quelle est l ’énergie nécessaire pour tirer le navire en amont le long de la rivière jusqu ’à
Défi 447 s ce qu ’une hauteur h ait été franchie ?
∗∗
L’enseignant suisse Auguste Piccard (1884–1962) était un célèbre explorateur de la stra-
tosphère. Il parvint à une hauteur de 16 km dans son aérostat. À l ’ intérieur de la cabine
hermétique suspendue en dessous de son ballon, il avait une pression d ’air normale. Tou-
tefois, il avait besoin d ’ introduire dans la cabine plusieurs cordes attachées au ballon, afin
d ’être capable de tirer sur celles-ci pour le commander. Comment disposa-t-il les cordes
Défi 448 s dans la cabine tout en empêchant l ’air de la quitter ?
∗∗
Un homme ne peut pas respirer quelle que soit sa profondeur sous l ’eau, même s’ il a
un tube rejoignant la surface. À une profondeur de quelques mètres, essayer d ’en faire
autant est inévitablement mortel ! Même à une profondeur de 60 cm seulement, le corps
Défi 449 s humain ne peut respirer de cette manière que pendant quelques minutes. Pourquoi ?
∗∗
Selon sa tenue vestimentaire, un homme en l ’air chute avec une vitesse limite d ’environ
180 km/h. Combien de temps faut-il pour tomber d ’un avion situé à 3 000 m jusqu ’à
Défi 450 pe une hauteur de 200 m ?
∗∗
Plusieurs personnes ont survécu à des chutes libres en sautant depuis des avions situés à
Défi 451 s mille mètres ou plus, sans même avoir un parachute. Comment cela fut-il possible ?
∗∗

La pression liquide dépend de la hauteur. Si la pression sanguine humaine moyenne à la
hauteur du cœur est de 13,3 kPa, pouvez-vous deviner sa valeur à l ’ intérieur du pied en
Défi 452 s position debout ?
∗∗
Le cœur humain pompe le sang à un taux d ’environ 0,1 l/s. Un vaisseau capillaire possède
un diamètre identique à celui d ’un globule rouge, autour de 7 µm, et dans celui-ci le
sang se déplace à une vitesse d ’un demi-millimètre par seconde. Combien de vaisseaux
Défi 453 s capillaires y a-t-il chez un homme ?
∗∗
Quelques gouttes de thé coulent toujours le long de la partie basse du bec d ’une théière
(ou alors elles tombent sur la table). Ce phénomène a même été reproduit en utilisant des
simulations du mouvement des liquides avec des supercalculateurs, par Kistler et Scriven,
Réf. 187 en employant les équations de Navier–Stokes. Malgré tout cela, les théières déversent
toujours quelques gouttes.
∗∗
Les meilleures bulles de savon géantes peuvent être obtenues en mélangeant 1,5 l d ’eau,
200 ml de sirop de glucose et 450 ml de liquide vaisselle. Mélangez tout ceci et laissez re-
poser pendant quatre heures. Vous pouvez alors réaliser les plus grosses bulles en trem-
pant un anneau métallique faisant jusqu ’à 100 mm de diamètre dans le mélange. Mais
Défi 454 s pourquoi les bulles de savon éclatent-elles ?
∗∗
Une goutte d ’eau qui tombe dans une casserole contenant de l ’ huile brûlante danse*
sur la surface pendant un temps très long, si l ’ huile est à plus de 220 °C. Les cuisiniers
testent la température de l ’ huile de cette manière. Pourquoi cet effet, connu sous le nom
Défi 455 pe d ’ effet Leidenfrost**, se produit-il ?
∗∗
Défi 456 s Pourquoi les molécules d ’air ne tombent-elles pas par terre puis restent ainsi ?
∗∗
Défi 457 s Lequel des deux entonnoirs remplis d ’eau de la Figure 127 est-il vidé le plus rapidement ?
Appliquez la conservation de l ’énergie au mouvement du fluide (également appelé « loi »
Réf. 188 de Bernoulli) pour découvrir la bonne réponse.
* Elle est en réalité en lévitation au-dessus de la surface [N.d.T.].

** Il est nommé d ’après Johann Gottlieb Leidenfrost (1715–1794), physicien allemand.

F I G U R E 127 Quel entonnoir est plus rapide ?
∗∗
Comme nous l ’avons vu, un écoulement rapide provoque une dépression. Comment les
poissons font-ils pour éviter de se faire happer les yeux lorsqu ’ ils nagent très rapide-
Défi 458 s ment ?
∗∗
Les balles de golf possèdent des creux pour les mêmes raisons que les balles de tennis sont
duveteuses et que l ’épiderme des requins et des dauphins n’est pas lisse : des aspérités sur
la surface réduisent la résistance à l ’écoulement parce que de nombreux petits remous
Défi 459 pe produisent moins de frottement que quelques-uns plus grands. Pourquoi ?
∗∗
Le verre est un solide. Toutefois, de nombreux manuels soutiennent que le verre est un
liquide. Cette confusion a été diffusée pendant environ une centaine d ’années, probable-
ment à l ’origine d ’une erreur de traduction d ’une phrase d ’un manuel allemand publié
en 1933 par Gustav Tamman, Der Glaszustand. Pouvez-vous donner au moins trois rai-
Défi 460 s sons qui prouvent que le verre est un solide et non un liquide ?
∗∗
Le record officiel de hauteur atteint par un hélicoptère est de 12 442 m au-dessus du ni-
veau de la mer, bien que celui de 12 954 m ait également été revendiqué. (Le premier fut
obtenu en 1972, le second en 2002, tous les deux par des pilotes français dans des hélico-
ptères français.) Pourquoi, alors, les gens persistent-ils à utiliser leurs jambes pour gravir
Défi 461 s le sommet du mont Sagarmatha*, la plus haute montagne du monde ?
∗∗
Un fil à coudre quelque peu emmêlé se trouve sur la surface d ’une coupe remplie d ’eau.
Le fait de déposer un petit peu de liquide vaisselle à l ’ intérieur du périmètre délimité par
Défi 462 e le fil oblige celui-ci à adopter immédiatement une forme circulaire. Pourquoi ?
∗∗
Pouvez-vous déposer un mouchoir sous l ’eau en utilisant un verre, tout en le gardant
Défi 463 s sec ?
* Nom népalais du mont Everest qui signifie « le front du ciel » en sanskrit [N.d.T.].

F I G U R E 128 Deux anneaux
tourbillonnaires sautant l’un par-dessus
l’autre. (© Lim Tee Tai)
∗∗
Êtes-vous capable de souffler sur une balle de ping-pong pour la faire sortir d ’un enton-
noir ? Que se passe-t-il si vous soufflez dans un entonnoir en direction d ’une bougie
allumée ?
∗∗
La chute d ’une feuille, avec sa trajectoire complexe, est toujours un sujet d ’expérimen-
tation. Nous sommes encore loin d ’être capables de prédire le temps que prendra une
feuille pour parvenir au sol. Le mouvement de l ’air autour d ’une feuille n’est pas aisé à
décrire. Un des phénomènes les plus simples de l ’ hydrodynamique demeure également
un de ses plus farouches casse-tête.
∗∗
Les fluides exhibent de nombreux effets captivants. Les bulles de savon dans l ’air sont
constituées d ’un mince film sphérique de liquide avec de l ’air de chaque côté. En 1932,
des anti-bulles, de minces films sphériques d ’air avec du liquide des deux côtés, ont été
Réf. 190 observées pour la première fois. En 2004, le physicien belge Stéphane Dorbolo et son
équipe montrèrent qu ’ il est possible de les produire dans des expériences simples et, en
particulier, dans la bière belge.
∗∗
Avez-vous déjà laissé tomber un bonbon Mentos dans une bouteille de Coca Cola Light ?
Vous obtiendrez un effet intéressant. (Faites-le à vos propres risques et périls...) Est-il
Défi 464 e possible de construire une fusée de cette manière ?
∗∗
Une aiguille peut flotter sur l ’eau, si vous la déposez avec précaution. Essayez simplement,
Défi 465 e en utilisant une fourchette.
∗∗
Les fluides exhibent de nombreux mouvements compliqués. Pour en avoir un aperçu,
jetez un œil sur la magnifique galerie d ’ images du site Web http://serve.me.nus.edu.sg/

Défi 466 e limtt. Un des exemples les plus fascinants du mouvement fluide est le motif des tour-
billons en anneaux imbriqués les uns dans les autres (comme s’ ils jouaient à saute-
mouton), indiqué dans la Figure 128. Lim Tee Tai explique qu ’ il est extrêmement dif-
ficile d ’obtenir plus de deux anneaux imbriqués, à cause du subtil non-alignement des

Réf. 194 anneaux tourbillonnaires qui conduit à l ’effondrement de ce système.
Curiosités et défis amusants sur les solides

Quelle est la longueur maximale d ’un câble métallique suspendu verticalement ? Un
Défi 467 s câble pourrait-il être descendu depuis un satellite géostationnaire jusqu ’à la Terre ?
Cela signifierait que nous pourrions réaliser un « ascenseur » spatial. Quelle longueur le
câble devrait-il avoir ? Quel poids ? Comment pourriez-vous construire un tel système ?
Quelles embûches rencontreriez-vous ?
∗∗
La matière est constituée d ’atomes. Au cours des siècles, l ’entêtement persistant de nom-
breuses personnes à nier cette idée a conduit à la perte de nombreux trésors. Durant plus
de mille ans, les gens pensaient que les véritables perles pourraient être discernées des
fausses en les martelant avec une masse : seules les fausses perles se briseraient. Pour-
tant, toutes les perles se brisent. (Même les diamants se brisent dans cette situation.) Par
conséquent, la grande majorité des perles magnifiques collectées dans le monde ont été
fracassées en morceaux.
∗∗
Les livres de bandes dessinées ont des ennuis avec le concept d ’atomes. Astérix pourrait-
il réellement balancer des Romains en l ’air en utilisant son poing ? Les coups de feu
précis du revolver de Lucky Luke sont-ils possibles ? Le fil de soie de Spiderman peut-il
le supporter dans ses balancements de building en building ? Bip Bip peut-il s’ immobi-
liser dans sa course effrénée en trois temps trois mouvements ? Peut-on commander au
Soleil de s’arrêter dans le ciel ? Les vaisseaux spatiaux planent-ils en utilisant du carbu-
rant ? Prenez n’ importe quel héros de bande dessinée et demandez-vous si la matière
Défi 468 e faite d ’atomes lui permettrait de réaliser les prouesses dont il semble capable. Vous dé-
couvrirez que la plupart des dessins animés sont comiques précisément parce qu ’ ils pré-
supposent que la matière n’est pas constituée d ’atomes, mais qu ’elle est continue ! Dans
un certain sens, les atomes assimilent la vie à une aventure sérieuse.
∗∗
Les hommes peuvent-ils provoquer des séismes ? Que se passerait-il si 1 000 millions
Défi 469 s d ’ Indiens sautaient en même temps de leur table de cuisine sur le sol ?
En réalité, plusieurs tremblements de terre particulièrement violents ont été déclen-
chés par les êtres humains. Cela s’est produit lorsque des barrages fluviaux ont été rem-
plis, ou quand de l ’eau a été injectée dans des forages miniers. Il a été suggéré que l ’ex-
traction des eaux souterraines profondes provoquerait également des séismes. Si cela est
confirmé, une proportion notable de tous les tremblements de terre pourrait avoir été
déclenchée par l ’ homme.
∗∗
Comment une pointe d ’une stalactite peut-elle être distinguée d ’une pointe d ’une sta-
Défi 470 s lagmite ? Ces différences existent-elles aussi pour des pics de glace ?
∗∗

Quelle masse beaucoup plus grande vos pèse-personnes indiqueraient-ils si vous vous
Défi 471 s teniez debout dessus dans un espace vide ?
∗∗
Le corps humain est l ’un des corps étendus les plus complexes. Dans de récentes simu-
lations sur le comportement d ’êtres humains lors d ’accidents de voiture, les modèles les
plus avancés incluent les côtes, les vertèbres ainsi que tous les autres os et les divers or-
ganes. Pour chaque composant, ses propriétés spécifiques à la déformation sont prises en
compte. Avec de tels modèles et de telles simulations, la protection des passagers et des
conducteurs dans les véhicules peut être optimisée.
∗∗
Le trou le plus profond jamais foré sur la Terre fait 12 km de profondeur. En 2003, quel-
qu ’un suggéra d ’élargir un tel trou et d ’y déverser des millions de tonnes de fer liquide. Il
affirmait que le fer coulerait vers le centre de la Terre. Si un dispositif de mesure commu-
nicant était abandonné dans le fer, il pourrait transmettre ses observations jusqu ’à la sur-
face en utilisant des ondes sonores. Pouvez-vous fournir quelques raisons qui montrent
Défi 472 s que cela ne pourrait pas fonctionner ?
∗∗
La puissance économique d ’une nation a longtemps été associée à sa capacité à pro-
duire de l ’acier de bonne qualité. En réalité, la révolution industrielle commença avec
la production massive d ’acier. Chaque scientifique devrait connaître les principes fonda-
mentaux concernant l ’acier. L’ acier est une combinaison de fer et de carbone auxquels
peuvent également être ajoutés d ’autres éléments, principalement des métaux. Nous pou-
vons distinguer trois principaux types d ’acier, en fonction de sa structure cristalline. Les
aciers ferritiques possèdent une structure cristalline cubique à corps centré, comme indi-
qué sur la Figure 129, les aciers austénitiques possèdent une structure cristalline cubique
à faces centrées et les aciers martensitiques ont une structure tétragonale à corps centré.
Le Tableau 29 fournit plus de détails.
La photographie de l ’Atomium est aimablement fournie par Eric Vandeginste (droits
d ’auteurs réservés), et est tirée de son site Web http://atmospheres.be. L’Atomium lui-
même est protégé par les droits d ’auteurs, la permission de la reproduire ici a été accor-
dée par Asbl Atomium Vzw et SABAM Belgium.
∗∗
Le claquement du fouet est un phénomène élémentaire qui nécessite une explication com-
Réf. 189 plexe. Depuis le travail expérimental de Peter Krehl, nous avons appris que le fouet claque
lorsque l ’extrémité atteint une vitesse égale au double de la vitesse du son. Pouvez-vous
Défi 473 pe imaginer pourquoi ?
TA B L E AU 29 Les types d’acier, leurs propriétés et utilisations.
Acier ferritique Acier Acier

au s t é nit i q u e martensitiqu e
acier « ordinaire » acier « mou » acier de grande dureté, fragile

cubique à corps centré (ccc) cubique à faces centrées (cfc) tétragonale à corps centré (tcc)
fer et carbone fer, chrome, nickel, acier au carbone et alliages
manganèse, carbone
Exemples
constructions en acier la majorité des aciers surfaces des forets de perçeuses
inoxydables (18/8 Cr/Ni)
tôles en acier de voiture ustensiles de cuisine lames de couteaux
Navires en acier industrie alimentaire ressorts en acier, vilebrequins
ferrite inoxydable à 12 % Cr aciers Cr/V pour réacteurs
nucléaires
Propriétés
phases décrites par le phases décrites par le phases décrites par le
diagramme de phase diagramme de Schaeffler diagramme fer-carbone et le
fer-carbone diagramme TTT
(transformation
temps–température)
en équilibre à température certains alliages en équilibre à n’est pas en équilibre à TA,
ambiante (TA) TA mais stable
les propriétés mécaniques et la les propriétés mécaniques et les propriétés mécaniques et la
taille du grain dépendent du la taille du grain dépendent taille du grain dépendent
traitement thermique du pré-traitement fortement du traitement
thermo-mécanique thermique
endurci en réduisant la taille du endurci uniquement par de toute façon très dure –
grain, par forgeage, en travail à froid façonné par irradiation laser,
augmentant la quantité de induction thermique, etc.
carbone ou par nitration
grains de ferrite et perlite, avec grains d ’austénite grains de martensite
cémentite (Fe3 C)
ferromagnétique pas ou faiblement ferromagnétique
magnétique
∗∗
Une chaîne de bicyclette est un objet étendu dépourvu de raideur. Toutefois, si elle est
mise en rotation rapide, elle acquiert une raideur dynamique et peut rouler de haut en bas
sur un plan incliné ou sur le sol. Cet effet surprenant peut être contemplé sur http://www.
iwf.de/NR/rdonlyres/EEFA7FDC-DDDC-490C-9C49-4537A925EFE6/718/C14825.asx
ou
http://www.iwf.de/NR/rdonlyres/EEFA7FDC-DDDC-490C-9C49-4537A925EFE6/
793/C148292.smil.

F I G U R E 129 Les aciers ferritiques sont ccc (cubiques à corps centré), comme le montre le célèbre
Atomium à Bruxelles, une partie d’un cristal de fer agrandi jusqu’à une hauteur de plus de 100 m (photo
© Eric Vandeginste, le mot Atomium lui-même est déposé par Atomium – SABAM)
∗∗
Les dispositifs mécaniques ne sont pas abordés dans ce texte. Beaucoup de progrès sont
aujourd ’ hui encore réalisés dans ce domaine. Par exemple, des individus ont construit
Réf. 191 des robots qui sont capables de rouler sur un monocycle. Mais même la physique de la
Réf. 192 conduite humaine du monocycle n’est pas simple.
∗∗
Il existe de nombreux arguments contre l ’existence des atomes assimilés à des billes dures.
Réf. 193 Thomson-Kelvin le mit par écrit : « L’ hypothèse monstrueuse de morceaux de matière
infiniment forts et infiniment rigides. » Même si Thomson avait raison dans son com-
Défi 474 s mentaire, les atomes existent. Pourquoi ?
Q u ’ est-ce qui peu t b ouger dans la nature ?

Avant de passer à l ’étape suivante pour décrire le mouvement de manière globale,
nous allons examiner les possibilités de mouvement dans la vie quotidienne. Un tour
d ’ horizon en est donné dans le Tableau 30. Les domaines qui appartiennent à la vie quo-
tidienne – le mouvement des fluides, de la matière, des types de matière, de la chaleur, de
la lumière et de la charge – constituent les domaines de la physique des milieux continus.
Dans la physique des milieux continus, il y a trois domaines que nous n’avons pas
encore étudiés : le mouvement de la charge électrique et de la lumière, appelé électrody-
namique, le mouvement de la chaleur, appelé thermodynamique, et le mouvement du
vide. Une fois que nous aurons exploré ces domaines, nous aurons achevé la première
étape de notre description du mouvement : la physique des milieux continus. En phy-
sique des milieux continus, le mouvement et les entités mobiles sont décrits avec des
TA B L E AU 30 Quantités étendues dans la nature, c’est-à-dire des quantités qui s’écoulent et

s’accumulent.
D oma ine Q ua nt it é Courant Q ua n - Flux R é s i s ta nc e
étendue tité d ’ éner- au dé pl a -
intrin- gie cement

sèque
(trans- (intensité (force (puis- (intensité
p orteur du flux) motrice) sance) de la
d ’ énergie) c r é at i o n
d ’ entro -
pie)
Rivières masse m écoulement différence de P = дh m/t R m = дht/m

massique m/t hauteur дh [m2 /s kg]
Gaz volume V écoulement pression p P = pV/t R V = pt/V
volumique V /t [kg/s m5 ]
force F = dp/dt P = vF R p = t/m [s/kg]
Mécanique quantité de vitesse v
mouvement p
moment couple vitesse P =ωM R L = t/mr 2
cinétique L M = dL/dt angulaire ω [s/kg m2 ]
Chimie quantité de écoulement de potentiel P = µ In R n = µt/n
matière n matière chimique µ [Js/mol2 ]
I n = dn/dt
Thermo- entropie S écoulement température P = T I S R S = Tt/S
dynamique d ’entropie T [K2 /W]
I S = dS/dt
Lumière comme tout rayonnement sans masse, elle peut s’écouler mais ne peut s’accumuler.
Électricité charge q courant potentiel P=UI R = U/I [Ω]
électrique électrique U
I = dq/dt
Magnétisme on ne rencontre aucune source magnétique accumulable dans la nature.
Physique des quantités étendues existent, mais n’apparaissent pas dans la vie quotidienne.
nucléaire
Gravitation un espace vide peut bouger et s’écouler, non observé dans la vie quotidienne.
quantités continues qui peuvent prendre n’ importe quelle valeur, y compris des valeurs
arbitrairement petites ou arbitrairement grandes.
Mais la matière n’est pas continue. Nous avons déjà vu que la matière ne peut pas
être indéfiniment divisée en entités toujours plus petites. En réalité, nous découvrirons
qu ’ il existe des expériences précises qui définissent des limites aux valeurs observées
pour tous les domaines de la physique des milieux continus. Il y a une limite à la masse,
à la vitesse, au moment cinétique, à la force, à l ’entropie et à la variation de la charge. Les
conséquences de ces découvertes forment la seconde étape de notre description du mou-

vement : la théorie quantique et la relativité. La théorie quantique est basée sur des limites
microscopiques, la relativité est fondée sur des limites macroscopiques. La troisième et
dernière étape de notre description du mouvement sera accomplie par l ’unification de
la théorie quantique et de la relativité générale.

Chaque domaine de la physique, quelle que soit son appartenance à l ’une de ces étapes
précitées, décrit finalement le changement à l ’aide de deux quantités : l ’énergie et une
Réf. 196 quantité étendue caractéristique du domaine étudié. Une quantité observable est quali-
fiée d ’ étendue si elle augmente avec la taille du système. Le Tableau 30 en fournit une
synthèse. Les quantités intrinsèque et étendue associées à ce que nous appelons dans le
langage courant la « chaleur » sont la température et l ’ entropie.
C h a p i t r e 12
DE L A C HA L E U R À L’ I N VA R IA NC E

T E M P OR E L L E
Nous continuons notre brève déambulation à travers le domaine des descriptions gé-
nérales du mouvement avec un tour d ’ horizon sur la chaleur et les concepts principaux
qui lui sont associés. Pour notre propos, nous n’aurons besoin de connaître que les prin-
Réf. 197 cipes fondamentaux de la chaleur. Les connaissances de base qui sont enseignées à l ’école
sont pour la plupart suffisantes.
Température
Les corps macroscopiques, c ’est-à-dire les corps constitués de nombreux atomes, ont
une température. La température d ’un corps macroscopique est un élément de son état.
On observe que deux corps quelconques en contact tendent ensemble à avoir la même
température : la température est contagieuse. En d ’autres termes, la température décrit
une situation d ’équilibre. L’existence de celle-ci et sa contagiosité sont souvent nommées
le principe zéro de la thermodynamique. Le réchauffement est l ’augmentation de la tem-
pérature.
Comment la température est-elle mesurée ? Le dix-huitième siècle mit le doigt sur la
réponse la plus évidente : la notion qui définit et quantifie le mieux la température est
celle de l ’ expansion des gaz. Pour l ’exemple le plus simple, appelé gaz parfait, le produit
de la pression p par le volume V est proportionnel à la température :
pV ∼ T . (89)
La constante de proportionnalité est fixée par la quantité de gaz utilisé. (Nous en saurons
plus bientôt.) La relation du gaz parfait nous permet de déterminer la température en
mesurant la pression et le volume. C ’est de cette manière que la température (absolue) a
Réf. 198 été définie et mesurée durant environ un siècle. Pour définir l ’ unité de température, nous
avons seulement besoin de fixer la quantité de gaz prise en considération. Il est coutumier
Page 300 de fixer cette quantité à 1 mol : pour l ’oxygène cela correspond à 32 g. Cette constante
de proportionnalité, appelée constante du gaz parfait R, est définie comme étant égale
à R = 8,3145 J/mol K. Ce nombre a été choisi dans le but d ’obtenir la meilleure adéqua-
tion avec l ’échelle de température établie indépendamment de celle-ci : le Celsius. En
fixant la constante du gaz parfait de cette manière nous définissons 1 K, ou un Kelvin,
comme étant l ’unité de la température. En termes concis, une augmentation de tempéra-
ture d ’un Kelvin est définie comme étant l ’augmentation de température qui provoque
l ’accroissement du volume d ’un gaz parfait – à pression constante – d ’un rapport de
de la chaleur à l ’ invariance temporelle 251

F I G U R E 130 Le freinage produit de la chaleur sur le sol et dans le pneu. (© Klaus-Peter Möllmann et
Michael Vollmer)
Défi 475 pe 1/273,15 ou 0,3661 %.

En règle générale, si nous avons besoin de déterminer la température d ’un objet, nous
prenons une mole de gaz, nous la mettons en contact avec l ’objet, patientons un instant,
et mesurons alors la pression et le volume du gaz. La relation (89) du gaz parfait déter-
mine alors la température. De façon plus importante, la relation du gaz parfait indique
qu ’ il existe une température la plus basse dans la nature, à savoir la température à laquelle
un gaz parfait aurait un volume quasi nul. Cela devrait survenir à T = 0 K, c ’est-à-dire à
−273,15 °C. Certes, d ’autres effets, comme le volume des atomes eux-mêmes, empêchent
toujours le volume du gaz d ’atteindre une valeur nulle. Le troisième principe de la ther-
modynamique fournit une autre raison pour laquelle cela est également impossible.
La température atteinte par une civilisation peut être utilisée comme une mesure de
son progrès technologique. Nous pouvons définir l ’âge du bronze (1,1 kK, 3500 av. J.-
C.), l ’âge du fer (1,8 kK, 1000 av. J.-C.), l ’âge électrique (3 kK, à partir de env. 1880)
et l ’âge atomique (plusieurs MK, à partir de 1944) de cette manière. En tenant compte
également de la quête vers les températures les plus basses, nous pouvons définir l ’âge
Réf. 199 quantique (4 K, depuis 1908).
Le réchauffement implique l ’existence d ’un flux d ’énergie. Par exemple, le frottement
échauffe et ralentit des corps en mouvement. Il y a longtemps, la « création » de la chaleur
par du frottement fut même testée expérimentalement. On montra que la chaleur pou-
vait être produite à partir du frottement, à l ’aide seulement d ’une friction continuelle,
Réf. 195 sans aucune restriction (un exemple est indiqué dans la Figure 130). Cette « création »
implique que la chaleur n’est pas un fluide matériel extorqué d ’un corps – laquelle dans
cette situation serait épuisée au bout d ’un certain temps – mais quelque chose d ’autre.
En réalité, aujourd ’ hui, nous savons que la chaleur, bien qu ’elle se comporte d ’une cer-
taine manière comme un fluide, est due au mouvement désordonné des particules. La
conclusion de ces recherches est simple. Le frottement est la transformation de l ’énergie
mécanique en énergie thermique.
Pour réchauffer 1 kg d ’eau de 1 K avec du frottement, il faut transformer 4,2 kJ d ’éner-
gie mécanique. Le premier à avoir mesuré cette quantité avec précision fut, en 1842,
le physicien allemand Julius Robert Mayer (1814–1878). Il considérait son expérience
comme une preuve de la conservation de l ’énergie. En réalité, il fut la première personne
à formuler celle-ci ! Cela semble être embarrassant pour la physique moderne qu ’un mé-
decin fût le premier à démontrer la conservation de l ’énergie et, du reste, qu ’ il fût ridicu-
lisé par la plupart des physiciens de son époque. Pire, la conservation de l ’énergie ne fut
252 12 de la chaleur à l ’ invariance temporelle
TA B L E AU 31 Quelques valeurs de température.
O b s e r va t i o n Te m p é r at u r e
Température la plus petite, mais inaccessible 0 K = −273,15 °C

Dans le cas des lasers, il peut parfois y avoir un sens à parler

de température négative.
Température qu ’un vide parfait aurait à la surface de la Terre 40 zK
Page ??
Gaz de sodium dans certaines expériences de laboratoire – sys- 0,45 nK
tème matériel le plus froid réalisé par l ’ homme et peut-être
dans l ’univers
Température du fond cosmologique des neutrinos dans l ’uni- ≈ 2 K
vers
Température du fond cosmologique du gaz de photons (ou 2,7 K
fond de rayonnement cosmologique) dans l ’univers
Hélium liquide 4,2 K
Point triple de l ’oxygène 54,3584 K
Azote liquide 77 K
Temps le plus froid jamais mesuré (Antarctique) 185 K = −88 °C
Point de congélation de l ’eau à pression normale 273,15 K = 0,00 °C
Point triple de l ’eau 273,16 K = 0,01 °C
Température moyenne à la surface de la Terre 287,2 K
La plus petite température inconfortable pour la peau 316 K (normale + 10 K)
Intérieur du corps humain 310,0 ± 0,5 K = 36,8 ± 0,5 °C
Temps le plus chaud mesuré 343,8 K = 70,7 °C
Point d ’ébullition de l ’eau à pression normale 373,13 K ou 99,975 °C
Bronze liquide ≈ 1 100 K
Fer pur liquide 1 810 K
Point de congélation de l ’or 1 337,33 K
Filament incandescent d ’une ampoule 2,9 kK
Centre de la Terre 4 kK
Surface du Soleil 5,8 kK
L’air dans l ’éclair foudroyant 30 kK
Surface d ’étoile la plus chaude (au centre de NGC 2240) 250 kK
Espace entre la Terre et la Lune (il n’y a pas de coquille) jusqu ’à 1 MK
Centre du Soleil 20 MK
À l ’ intérieur du tokamak à fusion nucléaire JET 100 MK
Centre des astres les plus chauds 1 GK
Température maximale des systèmes sans création de paire ≈ 6 GK
électron–positron
L’univers lorsqu ’ il avait 1 s 100 GK
Température de Hagedorn 1,9 TK
Collisions d ’ ions lourds – valeur max. anthropique jusqu ’à 3,6 TK
Température de Planck – limite maximale dans la nature
acceptée que lorsqu ’elle fut réexprimée de nombreuses années 1032 K
plus tard par deux autori-
tés en la matière : Hermann von Helmholtz – lui-même également médecin reconverti

en physicien – et William Thomson, qui avait également cité les recherches similaires
mais postérieures de James Joule*. Chacun d ’entre eux reconnut la prévalence de Mayer.
La publicité faite par William Thomson conduisit par la suite à l ’appellation de l ’unité
de l ’énergie en l ’ honneur de Joule.

En résumé, la somme de l ’énergie mécanique et de l ’énergie thermique est constante.
C ’est ce que nous appelons généralement le premier principe de la thermodynamique. De
manière équivalente, il est impossible de produire de l ’énergie mécanique sans compen-
ser celle-ci par une certaine autre forme d ’énergie. C ’est un énoncé fondamental, parce
que par-dessus tout il signifie que l ’ humanité s’arrêtera de vivre un jour. En fait, nous
vivons principalement grâce à l ’énergie du Soleil, et puisque le Soleil est de taille finie,
son contenu en énergie se consumera tôt ou tard. Pouvez-vous estimer quand cela sur-
Défi 476 s viendra ?
Il existe également un deuxième (en sus du troisième déjà mentionné) principe de
la thermodynamique, lequel sera présenté plus loin. L’étude de ces thèmes est dénom-
mée la thermostatique si les systèmes concernés sont en équilibre, et la thermodynamique
s’ ils ne le sont pas. Dans ce dernier cas, nous discernons les situations proches de l ’équi-
libre, quand les concepts d ’équilibre tels que la température peuvent encore être utilisés,
des situations éloignées de l ’équilibre, comme l ’auto-organisation, où de tels concepts ne
Page 275 peuvent généralement pas être appliqués.
Y a-t-il un sens à distinguer l ’énergie thermique de la chaleur ? La réponse est oui.
De nombreux textes anciens utilisent le mot « chaleur » pour exprimer la même chose
que l ’énergie thermique. Cependant cela est confus : dans ce texte « chaleur » est uti-
lisé, en accord avec les pratiques modernes, comme étant le terme courant employé pour
désigner l ’entropie. L’énergie thermique et la chaleur s’écoulent d ’un corps à un autre,
et s’accumulent tous les deux. Ils n’ont aucune masse mesurable**. À la fois la quan-
tité d ’énergie thermique et la quantité de chaleur à l ’ intérieur d ’un corps augmentent
avec l ’augmentation de température. La relation précise sera donnée sous peu. Mais la
chaleur possède de nombreuses autres propriétés intéressantes et d ’anecdotes à raconter.
De celles-ci, deux sont particulièrement importantes : premièrement, la chaleur est issue
des particules, et, deuxièmement, la chaleur est au cœur de la démarcation entre le passé
et le futur. Ces deux histoires sont entrelacées.
* Hermann von Helmholtz (n. Potsdam 1821, d. Berlin 1894), scientifique prussien prépondérant. William
Thomson (devenu plus tard Lord Kelvin) (1824–1907), éminent physicien irlandais. James Prescott Joule
(1818–1889), physicien anglais. Joule est prononcé de telle façon qu ’ il rime avec « cool », comme ses descen-
dants aiment à le souligner. (La prononciation du nom « Joule » varie d ’une famille à l ’autre.)
** Cela pourrait changer à l ’avenir, quand les mesures des masses augmenteront en précision, permettant
Page 61 ainsi la détection d ’effets relativistes. Dans ce cas, l ’augmentation de température peut être détectée par le
biais de son augmentation de masse associée. Toutefois, de tels changements sont perceptibles seulement
avec une douzaine de chiffres, voire plus, dans la précision des mesures de masse.
TA B L E AU 32 Quelques valeurs mesurées d’entropie.
Processus/Système Va l e u r d ’ e n t r o -
pie
Fonte de 1 kg de glace 1,21 kJ/K kg = 21,99 J/K mol

Eau dans des conditions normales 70,1 J/K mol
Ébullition de 1 kg d ’eau liquide à 101,3 kPa 6,03 kJ/K= 110 J/K mol
Fer dans des conditions normales 27,2 J/K mol
Oxygène dans des conditions normales 161,1 J/K mol
Entropie
– C ’est irréversible.
“ – Comme mon imperméable !

Mel Brooks, Spaceballs, 1987
Chaque domaine de la physique décrit le changement en relation avec deux quanti- ”
Réf. 196 tés : l ’énergie et une quantité étendue caractéristique du domaine étudié. Bien que la
chaleur soit reliée à l ’énergie, la quantité que les physiciens nomment généralement cha-
leur n’est pas une quantité étendue. Pire, ce que les physiciens appellent chaleur n’est pas
la même chose que ce que nous appelons chaleur dans notre langage courant. La quan-
tité étendue correspondant à ce que nous appelons « chaleur » dans la langue courante est
appelée entropie*. L’entropie décrit la chaleur de la même façon que la quantité de mou-
vement décrit le mouvement. Lorsque deux objets différents en température sont mis en
contact, un écoulement d ’entropie a lieu entre eux, comme l ’écoulement de la quantité
de mouvement qui se produit lorsque deux objets de vitesses différentes se rencontrent.
Définissons la notion d ’entropie plus explicitement et explorons ses propriétés avec un
peu plus de précision.
L’entropie mesure le degré de mélange de l ’énergie à l ’ intérieur d ’un système, c ’est-
à-dire comment l ’énergie est répandue ou partagée parmi les constituants d ’un système.
Donc, l ’entropie se cumule lorsque des systèmes identiques sont réunis pour n’en for-
mer qu ’un. Quand deux bouteilles d ’un litre d ’eau à la même température sont versées
ensemble, l ’entropie de l ’eau s’ajoute.
Comme n’ importe quelle autre quantité étendue, l ’entropie peut être accumulée dans
un corps, elle peut s’écouler dans ou en dehors des corps. Lorsque l ’eau est transformée
en vapeur, l ’entropie ajoutée dans l ’eau est en réalité contenue dans la vapeur. En bref,
l ’entropie est ce qui est appelé « chaleur » dans notre langage quotidien.
Contrairement à plusieurs autres quantités étendues importantes, l ’entropie n’est pas
conservée. Le partage de l ’énergie dans un système peut être accru, par exemple en le
réchauffant. Cependant, l ’entropie est « à moitié conservée » : dans les systèmes isolés,
l ’entropie ne décroît pas, le mélange ne peut pas être défait ou annulé. Ce qui est appelé
équilibre est simplement la situation du mélange** le plus élevé possible. En résumé, l ’en-
* Le terme « entropie » fut inventé par le physicien allemand Rudolph Clausius (1822–1888) en 1865. Il le for-
mula à partir du grec ἐν « en » et τρόπος « direction », pour lui donner une consonance similaire à « énergie ».
Il a toujours possédé la signification donnée ici.
** En physique, on parle plus exactement du désordre [N.d.T.].
tropie dans un système isolé augmente jusqu ’à ce qu ’ il atteigne la valeur la plus élevée
possible.
Lorsqu ’un morceau de rocher est détaché d ’une montagne, il chute, dégringole dans
la vallée, se réchauffe un petit peu, et en fin de compte s’ immobilise. Le processus opposé,
par lequel un rocher se refroidit et tombe vers le haut, n’est jamais observé. Pourquoi ?

Le mouvement inverse ne contredit aucune loi ou aucun modèle que nous ayons déduit
Défi 477 pe jusqu ’à présent concernant le mouvement.
Les rochers ne tombent jamais vers le haut parce que les montagnes, les vallées et les
roches sont constituées de nombreuses particules. Les mouvements des systèmes compor-
tant de nombreuses particules, particulièrement dans le domaine de la thermostatique,
sont appelés des processus. La distinction entre des processus réversibles, tels que la tra-
jectoire d ’une pierre lancée, et des processus irréversibles, tels que la dégringolade du
rocher mentionné ci-dessus, est centrale en thermostatique. Les processus irréversibles
sont tous ces processus dans lesquels le frottement et ses généralisations jouent un rôle.
Ils sont ceux qui augmentent la répartition ou le mélange de l ’énergie. Ils sont prépondé-
rants : s’ il n’y avait pas de frottement, les boutons des chemises et les lacets des chaus-
Réf. 200 sures ne resteraient pas attachés, nous ne pourrions pas marcher ou courir, les machines
à café ne pourraient délivrer du café, et, peut-être encore plus important que tout le reste,
Page ?? nous n’aurions pas de mémoire.
Les processus irréversibles, au sens où ce terme est utilisé en thermostatique, trans-
forment le mouvement macroscopique en mouvement désordonné de la part de tous les
petits constituants microscopiques impliqués : ils augmentent le partage et le mélange
de l ’énergie. Les processus irréversibles ne sont donc pas rigoureusement irréversibles –
mais leur renversement est extrêmement improbable. Nous pouvons dire que l ’entropie
mesure la « quantité d ’ irréversibilité » : elle quantifie le degré de mélange ou de désordre
qu ’un mouvement collectif a subi.
L’entropie n’est pas conservée. L’entropie – la « chaleur » – peut survenir de nulle
part, puisque la répartition ou le mélange d ’énergie peut se produire spontanément, de
lui-même. Par exemple, quand deux liquides différents de même température sont mé-
langés – comme de l ’eau avec de l ’acide sulfurique – la température finale de la mixture
peut être différente. De façon similaire, quand des courants électriques circulent à travers
des matériaux à température ambiante, le système peut se réchauffer ou se refroidir, en
fonction du matériau.
Le second principe de la thermodynamique déclare que « l ’entropie n’est jamais ce
qu ’elle était ». Plus précisément, l ’entropie dans un système isolé tend vers son maximum.
Ici, un système isolé est un système qui n’échange pas d ’énergie ou de matière avec son
Défi 478 pe environnement. Pouvez-vous en imaginer un exemple ?
L’entropie ne décroît jamais. La vie de tous les jours montre que, dans un système
isolé, le désordre augmente avec le temps, jusqu ’à ce qu ’ il atteigne un certain maximum.
Pour réduire le désordre, nous avons besoin d ’exercer un effort, c ’est-à-dire du travail et
de l ’énergie. En d ’autres termes, afin de réduire le désordre dans un système, nous avons
besoin de relier ce système à une source d ’énergie d ’une manière particulièrement éla-
borée. Les réfrigérateurs nécessitent du courant électrique précisément pour cette raison.
Parce que l ’entropie ne diminue jamais, la couleur blanche ne persiste jamais. Toutes les
fois que le désordre augmente, la couleur blanche devient « sale », habituellement grise
ou marron. C ’est probablement pour cette raison que les objets blancs, comme les vê-
tements blancs, les maisons blanches et les sous-vêtements blancs, sont appréciés dans
notre société. Les objets blancs défient le désordre.
L’entropie permet de définir le concept d ’ équilibre plus précisément comme étant
l ’état d ’entropie maximale, ou de répartition maximale d ’énergie.

C ourant d ’ entropie
Nous savons par l ’expérience quotidienne que le transport d ’une quantité étendue
implique systématiquement du frottement. Le frottement implique de la création d ’en-
tropie. En particulier, la circulation de l ’entropie elle-même produit de l ’entropie supplé-
mentaire. Par exemple, quand un logement est chauffé, de l ’entropie est produite dans les
murs. Le réchauffement implique de conserver une différence de température ∆T entre
l ’ intérieur et l ’extérieur de l ’appartement. Le flux J de chaleur traversant un mètre carré
de mur est donné par
J = κ∆T = κ(Ti − Te ) (90)
où κ représente une constante caractérisant l ’aptitude du mur à conduire la chaleur. Pen-
dant qu ’ il conduit la chaleur, le mur produit également de l ’entropie. La création d ’en-
tropie σ est proportionnelle à la différence entre les courants d ’entropie intérieur et ex-
térieur. En d ’autres termes, nous avons
(Ti − Te )2
σ= − =κ
J J
. (91)
Te Ti Ti Te
Remarquez que nous avons supposé dans ces calculs que tout ce qui est situé dans chaque
tranche parallèle au mur est proche de l ’équilibre, hypothèse raisonnable dans la vie cou-
rante. Un exemple typique d ’un mur convenable possède une valeur κ = 1 W/m2 K dans
une échelle de températures situées entre 273 K et 293 K. Avec cette valeur, nous obtenons
une création d ’entropie de
σ = 5 ⋅ 10−3 W/m2 K . (92)
Pouvez-vous comparer la quantité d ’entropie qui est produite dans le courant avec celle
Défi 479 pe qui est transportée ? En comparaison, un excellent duvet en plumes d ’oie possède une
valeur κ = 1,5 W/m2 K, laquelle est également appelée 15 tog dans les magasins*.
Il existe deux autres manières, excepté la conduction de chaleur, pour transporter
de l ’entropie : la convection, utilisée par les appareils de chauffage domestiques, et le
rayonnement, qui est possible uniquement à travers un espace vide. Par exemple, la Terre
rayonne environ 1,2 W/m2 K dans l ’espace, soit au total environ 0,51 PW/K. L’entropie
est (presque) identique à celle que la Terre reçoit du Soleil. Si une quantité plus impor-
tante d ’entropie devait être rayonnée au loin par rapport à celle reçue, la température
* Cette unité n’est pas plus ridicule que celle officielle BthU ⋅ h/sqft/cm/°F (ce n’est pas une blague) utilisée
dans quelques provinces éloignées de notre galaxie.
La puissance d ’ isolation des matériaux est habituellement mesurée par la constante λ = κd qui est in-
dépendante de l ’épaisseur d de la couche isolante. Des valeurs relevées dans la nature s’échelonnent de
2 000 W/K m environ pour le diamant, qui est le meilleur conducteur de tous, à la valeur minuscule de
5 ⋅ 10−3 W/K m pour le gaz krypton, en passant par des valeurs comprises entre 0,1 W/K m et 0,2 W/K m
pour le bois, entre 0,015 W/K m et 0,05 W/K m pour la laine, le liège et la mousse.

F I G U R E 131 L’idée fondamentale de la mécanique statistique, concernant les gaz.
F I G U R E 132 Daniel Bernoulli.
de la surface de la Terre devrait augmenter. C ’est ce qui est appelé l ’ effet de serre. (Il est
aussi nommé réchauffement global.) Espérons qu ’ il restera insignifiant dans les années à
venir.
Les systèmes isolés existent-ils ?

Jusqu ’à présent, dans toute notre discussion nous avons supposé que nous pouvions
distinguer le système en observation de son environnement. Mais de tels systèmes iso-
lés ou fermés, c ’est-à-dire des systèmes qui n’ interagissent pas avec leur environnement,
existent-ils réellement ? Notre propre existence humaine fut vraisemblablement le mo-
dèle originel de ce concept : nous ressentons la possibilité d ’agir indépendamment de
notre environnement. Un système isolé peut être simplement défini comme étant un sys-
tème qui n’échange aucune énergie ou matière avec son milieu environnant. Durant de
nombreux siècles, les scientifiques ne virent aucune raison de contester cette définition.
La notion de système isolé dut être clarifiée dans une certaine mesure avec l ’avène-
ment de la mécanique quantique. Néanmoins, cette notion fournit encore des descrip-
tions utiles et précises de la nature dans ce domaine. Ce ne sera que dans la troisième
partie de notre promenade qu ’elle changera du tout au tout. Auparavant, la question de
savoir si l ’univers est un système isolé nous conduira à des résultats surprenants. (Qu ’en
Défi 480 s pensez-vous* ?) Nous aborderons bientôt la première étape vers cette réponse.
Pourquoi les ballons ont-ils besoin d ’ espace ? – L a fin de la

continuité
Les propriétés de la chaleur dépendent du matériau. Leur étude devrait donc nous per-
mettre de comprendre quelque chose concernant les constituants de la matière. Mainte-
* Une suggestion bizarre : votre réponse est presque certainement fausse.

nant, de toutes les substances, les plus simples sont les gaz*. Les gaz ont besoin d ’espace :
une certaine quantité de gaz possède une pression et un volume. En fait, il ne fallut pas
beaucoup de temps pour montrer que les gaz ne peuvent pas être continus. Un des pre-
miers scientifiques à imaginer les gaz comme étant constitués d ’atomes fut Daniel Ber-
noulli**. Bernoulli argumenta que, si les atomes sont des petites particules dotées d ’une

masse et d ’une quantité de mouvement, il devrait être capable de réaliser des prédic-
tions quantitatives sur le comportement des gaz et de les vérifier grâce à l ’expérience. Si
les particules voltigent partout dans un gaz, alors la pression d ’un gaz dans un récipient
est produite par le flux régulier de particules frappant les parois. Il était alors facile de
conclure que, si les particules sont supposées se comporter comme des minuscules billes
dures et parfaitement élastiques, la pression p, le volume V et la température T doivent
Défi 481 pe être reliés par l ’égalité
pV = N T
3k
(93)
2
où N est le nombre de particules contenues dans le gaz. (La constante de Boltzmann k,

une des constantes fondamentales de la nature, est définie ci-dessous.) Un gaz constitué
de particules ayant un tel comportement théorique est appelé un gaz parfait. La relation
(93) a été vérifiée par des expériences à température ambiante et d ’autres à température
plus élevée, pour tous les gaz connus.
Bernoulli dériva ainsi cette relation pour les gaz, avec une prédiction particulière pour
la constante de proportionnalité, à partir de l ’unique hypothèse que les gaz sont consti-
tués de petits composants massifs. Cette dérivation fournit un argument décisif en faveur
de l ’existence des atomes et de leur comportement similaire à celui d ’objets ordinaires,
bien que minuscules. (Pouvez-vous imaginer comment N pourrait être déterminé expé-
Défi 482 pe rimentalement ?)
Le modèle du gaz parfait nous permet de répondre à des questions telles que celle
illustrée dans la Figure 133. Deux ballons de baudruche identiques, dont l ’un est plus
gonflé que l ’autre, sont reliés via un tuyau et une valve. La valve est ouverte. Lequel des
Défi 483 s deux se dégonfle ?
La relation des gaz parfaits établit que des gaz plus chauds, à une pression donnée,
requièrent plus de volume. Cette relation explique donc pourquoi les vents et les orages
Défi 484 e existent, pourquoi les ballons emplis d ’air chaud s’élèvent, pourquoi les moteurs à explo-
sion fonctionnent, pourquoi la couche d ’ozone est détruite par certains gaz, ou pourquoi,
* Par ailleurs, le mot gaz est une construction moderne. Il fut inventé par l ’alchimiste et physicien bruxellois
Johan Baptista van Helmont (1579–1644), de façon à avoir une consonance similaire à « chaos ». C ’est un de
ces rares mots qui ont été inventés par une seule personne puis adoptés par la suite partout dans le monde.
** Daniel Bernoulli (n. Groningue 1700, d. Bâle 1782), fut un important mathématicien et physicien suisse.
Son père Johann et son oncle Jakob étaient des mathématiciens célèbres, comme l ’étaient ses frères et cer-
tains de ses neveux. Daniel Bernoulli publia beaucoup de résultats mathématiques et physiques. En phy-
sique, il étudia la décomposition du mouvement complexe en translation et en rotation. En 1738 il publia
l ’ Hydrodynamique, dans lequel il déduisit tous les résultats à partir d ’un unique principe, à savoir la conser-
vation de l ’énergie. Le principe de Bernoulli, ainsi nommé, établit pourquoi (et comment) la pression d ’un
fluide décroît lorsque sa vitesse augmente. Il étudia les marées et de nombreux problèmes mécaniques com-
plexes, et interpréta la « loi » de Boyle–Mariotte pour les gaz. Pour la publication de ses travaux il obtint le
prestigieux prix de l ’Académie française des sciences – un précurseur du prix Nobel – à dix reprises.

F I G U R E 133 Quel ballon gagne ?
pendant l ’été extrêmement chaud de 2001 dans le sud de la Turquie, les masques à oxy-
gène étaient nécessaires pour se promener dehors en milieu de journée.
Maintenant vous pouvez relever le défi suivant : comment pouvez-vous mesurer le
Défi 485 s poids d ’une voiture ou d ’un vélo uniquement avec une règle ?
La métaphore des gaz, comme étant constitués d ’éléments durs sans aucune inter-
action à longue distance, s’écroule à des températures très basses. Pourtant, la relation
du gaz parfait (93) peut être améliorée pour surmonter ces embûches grâce à la prise
en compte des variations dues aux interactions entre les atomes ou les molécules. Cette
Réf. 201 approche est aujourd ’ hui de pratique courante et nous permet de mesurer des tempéra-
tures, même à des valeurs extrêmement basses. Les effets observés en dessous de 80 K,
tels que la solidification de l ’air, la circulation du courant électrique sans aucun frotte-
Réf. 202 ment, ou l ’écoulement des liquides sans frottement, forment à eux seuls un domaine
fascinant : le monde captivant de la physique des basses températures. Elle sera explorée
Page ??, page ?? plus loin.
Mouvement brownien
Il est facile d ’observer, sous un microscope, que des petites particules (comme du pol-
len) dans un liquide ne restent jamais au repos. Elles semblent suivre un mouvement en
zigzag aléatoire. En 1827, le botaniste anglais Robert Brown (1773–1858) montra à l ’aide
d ’une série d ’expériences que cette observation est indépendante du type de particule
et du type de liquide utilisé. En d ’autres termes, Brown avait découvert un bruit fonda-
mental dans la nature. Autour de 1860, ce mouvement était attribué aux molécules du
liquide qui heurtent les particules. En 1905 et 1906, Marian von Smoluchowski et, indé-
Réf. 203 pendamment, Albert Einstein argumentèrent que cette théorie pouvait être testée expé-
rimentalement, bien qu ’à cette époque personne ne fût capable d ’observer directement
les molécules. Ce test tire profit des propriétés spécifiques du bruit thermique.
Il était déjà clair depuis longtemps que si les molécules, c ’est-à-dire les particules in-
divisibles de matière, existaient réellement, alors la chaleur devait être un mouvement
désordonné de ces constituants et la température devait être l ’énergie moyenne par de-
gré de liberté de ces éléments. Le modèle de Bernoulli de la Figure 131 suggère que, pour
Défi 486 pe des gaz monoatomiques, l ’énergie cinétique Tcin pour une particule est donnée par
Tcin = kT
3
(94)
2
où T représente la température. La constante de Boltzmann déjà citée k = 1,4 ⋅ 10−23 J/K

b évolution de la densité de probabilité

b
F I G U R E 134 Exemples de trajectoires pour des particules en mouvement brownien et leur distribution
de déplacements.
représente le facteur de conversion standard entre la température et l ’énergie*. À la tem-
pérature ambiante de 293 K, l ’énergie cinétique est ainsi de 6 zJ.
Si l ’on utilise la relation (94) pour calculer la vitesse des molécules de l ’air à tempé-
Défi 487 pe rature ambiante, on aboutit à des valeurs de plusieurs centaines de mètres par seconde.
Alors pourquoi la fumée issue d ’une flamme met-elle si longtemps à se diffuser à tra-
vers une pièce ? Rudolph Clausius (1822–1888) répondit à cette question au milieu du
dix-neuvième siècle : la diffusion est ralentie par les multiples collisions avec les molé-
cules de l ’air, de la même manière que les particules de pollen heurtent les molécules du
liquide.
À première vue, nous pourrions stipuler que la distance moyenne que la particule de
pollen a parcourue après n collisions devrait être nulle, parce que les vitesses des molé-
cules sont aléatoires. Cependant, c ’est faux, comme le montre l ’expérience.
Nous pouvons observer la moyenne du carré d ’un déplacement, noté ⟨d 2 ⟩, pour la
particule de pollen. Nous ne pouvons pas prédire dans quelle direction la particule se
déplacera, mais nous savons qu ’elle se déplace. Si la distance que la particule parcourt
après une collision est l, la moyenne du carré du déplacement après n collisions est don-
Défi 488 pe née, comme vous devriez être capable de le montrer par vous-même, par
⟨d 2 ⟩ = nl 2 . (95)
Pour des molécules ayant une vitesse moyenne v au cours d ’un temps t ceci donne
⟨d 2 ⟩ = nl 2 = vl t . (96)
* L’ important physicien autrichien Ludwig Boltzmann (n. Vienne 1844, d. Duino 1906) est très célèbre pour
ses travaux sur la thermodynamique, pour laquelle il interpréta tous les phénomènes thermodynamiques
et les observables, y compris l ’entropie, comme des conséquences du comportement des molécules. Planck
baptisa la constante de Boltzmann en l ’ honneur de ses recherches. Il fut l ’un des plus importants physiciens
de la fin du dix-neuvième siècle et le précurseur de nombreux développements qui conduisirent à la théorie
quantique. On dit que Boltzmann s’est suicidé en partie à cause de la réticence de la communauté scientifique
à reconnaître ses idées. De nos jours, son œuvre constitue toujours le savoir de référence inculqué par les
manuels.
TA B L E AU 33 Quelques valeurs caractéristiques d’entropie par

particule à température et pression standards comme
multiples de la constante de Boltzmann.
M at i è r e E n t r o p i e pa r pa r -
ticule

Solides monoatomiques 0,3 k à 10 k
Diamant 0,29 k
Graphite 0,68 k
Plomb 7,79 k
Gaz monoatomiques 15-25 k
Hélium 15,2 k
Radon 21,2 k
Gaz diatomiques 15 k à 30 k
Solides polyatomiques 10 k à 60 k
Liquides polyatomiques 10 k à 80 k
Gaz polyatomiques 20 k à 60 k
Eicosane 112 k
En d ’autres termes, la moyenne du carré du déplacement augmente proportionnellement

avec le temps. Bien sûr, ce n’est vrai que si le liquide est constitué de molécules séparées.
En mesurant à plusieurs reprises la position d ’une particule, on devrait obtenir la dis-
tribution indiquée dans la Figure 134 pour la probabilité que la particule soit repérée à
une distance donnée du point de départ. Celle-ci est appelée la loi normale (ou distribu-
Réf. 204 tion gaussienne). En 1908, Jean Perrin* réalisa de vastes expériences dans le but de tes-
ter cette prédiction. Il trouva que l ’équation (96) décrivait exactement les observations
consignées, persuadant ainsi quiconque que le mouvement brownien est en réalité dû aux
collisions avec les molécules du liquide environnant, comme Smoluchowski et Einstein
l ’avaient suggéré**. Perrin reçu le prix Nobel de physique de 1926 pour ces expériences.
Einstein montra également que la même expérience pouvait être utilisée pour déter-
miner le nombre de molécules contenues dans un litre d ’eau (ou, de manière équivalente,
Défi 489 d la constante de Boltzmann k). Pouvez-vous développer la manière dont il s’y prit ?
Entropie et particules
Une fois qu ’ il fut clair que la chaleur et la température sont dues au mouvement de par-
ticules microscopiques, les gens se demandèrent ce que l ’entropie représente au niveau
* Jean Perrin (1870–1942), important physicien français, consacra la majeure partie de sa carrière à la re-
cherche de la preuve expérimentale de l ’ hypothèse atomique et à la détermination du nombre d ’Avogadro.
Dans sa quête, il perfectionna l ’usage des émulsions, du mouvement brownien et des films d ’ huile. Son dis-
cours de prix Nobel (http://nobelprize.org/physics/laureates/1926/perrin-lecture.html) relate l ’ histoire capti-
vante de sa recherche. Il rédigea le livre incontournable Les atomes et fonda le Centre national de la recherche
scientifique. Il était également le premier à postuler, en 1901, qu ’un atome est similaire à un système solaire
tout entier.
** Dans une ravissante démonstration expérimentale, Pierre Gaspard et son équipe montrèrent en 1998 que
Page
Réf. 280
205 le mouvement brownien est également chaotique, au strict sens physique qui sera donné plus tard.
microscopique. La réponse peut être formulée de plusieurs manières. Les deux réponses
les plus radicales sont :
— L’entropie est le nombre attendu de questions à oui ou non, multiplié par k ln 2,
dont les réponses nous renseigneraient complètement sur la description du système,
c ’est-à-dire sur son état microscopique.

— L’entropie mesure le (logarithme du) nombre W d ’états microscopiques possibles.
Un état macroscopique donné peut avoir de nombreuses réalisations microscopiques.
Le logarithme de ce nombre, multiplié par la constante de Boltzmann k, donne l ’en-
tropie*.
En résumé, plus l ’entropie est élevée, plus il y a de micro-états possibles. À travers
l ’une ou l ’autre de ces définitions, l ’entropie mesure la quantité de hasard dans un sys-
tème. En d ’autres termes, elle mesure la transformabilité de l ’énergie : une entropie
plus élevée signifie que la transformabilité est moins importante. D’autre part, l ’entro-
pie quantifie la liberté dans le choix du micro-état qu ’un système possède. Une forte en-
tropie signifie un haut degré de liberté dans le choix du micro-état. Par exemple, quand
une molécule de glucose (une sorte de sucre) est produite par la photosynthèse, environ
40 bits d ’entropie sont libérés. Cela signifie qu ’après que le glucose s’est formé 40 ques-
tions supplémentaires à oui ou non doivent trouver une réponse afin de déterminer l ’état
microscopique complet du système. Les physiciens utilisent fréquemment une unité ma-
croscopique, la plupart des systèmes intéressants sont vastes, et donc une entropie de
1023 bits est notée 1 J/K**.
Pour résumer, l ’entropie est donc une mesure particulière qui permet de quantifier le
Réf. 206 désordre dans des systèmes thermiques. Trois points méritent d ’être soulignés. En pre-
mier lieu, l ’entropie n’est pas la mesure du désordre, mais une mesure du désordre. Il
est par conséquent incorrect d ’utiliser l ’entropie comme un synonyme du concept de
désordre, comme il est souvent évoqué dans la littérature populaire. L’entropie n’est dé-
finie que pour des systèmes qui ont une température, en d ’autres termes, uniquement
pour des systèmes qui sont en équilibre ou proches de l ’équilibre. (Pour des systèmes
loin de l ’équilibre, aucune mesure de désordre n’a été trouvée jusqu ’à présent, peut-être
parce qu ’aucune d ’entre elles n’est possible.) En fait, l ’utilisation du terme entropie a
tellement dégénéré que parfois nous sommes obligés de parler de l ’entropie thermodyna-
mique pour être plus clairs.
En second lieu, l ’entropie est reliée à l ’ information seulement si l ’ information est
aussi définie comme étant −k ln W. Pour éclaircir ce point, prenez un livre d ’une masse
d ’un kilogramme. À température ambiante, son contenu en entropie est d ’environ
4 kJ/K. L’ information imprimée à l ’ intérieur d ’un livre, disons de 500 pages de 40
lignes ayant chacune 80 caractères parmi 64 possibilités, correspond à une entropie de
4 ⋅ 10−17 J/K. En bref, ce qui est habituellement appelé « information » dans notre vie quo-
tidienne représente une fraction négligeable de ce qu ’un physicien nomme information.
L’entropie est définie en utilisant le concept physique de l ’ information.
* Lorsque Max Planck se rendit en Autriche pour rechercher la tombe anonyme de Boltzmann dans le but
de l ’ inhumer dans une tombe convenable, il inscrivit la formule S = k ln W sur la pierre tombale. (Quel
physicien aurait, de nos jours, les moyens de financer la tombe d ’un autre ?)
Défi 490 pe ** Ce n’est qu ’approximativement vrai. Pouvez-vous trouver la valeur exacte ?
Finalement, l ’entropie n’est pas non plus une mesure de ce qui est appelé la complexité
d ’une situation dans la vie ordinaire. En réalité, personne n’a encore trouvé une quantité
Réf. 207 décrivant cette notion quotidienne. Cette tâche est étonnamment difficile. Essayez !
Défi 491 pe
En résumé, si vous entendez le mot entropie utilisé avec une signification différente
de S = k ln W, méfiez-vous : quelqu ’un est en train de vous rouler, probablement avec

quelques idéologies.
L’ entropie minimale de la nature – le quantum d ’ information

Avant que nous achevions complètement notre discussion sur la thermostatique, nous
devons mettre le doigt d ’une autre manière sur l ’ importance de la constante de Boltz-
mann k. Nous avons vu que cette constante apparaît à chaque fois que la granularité de
la matière joue un rôle ; elle exprime le fait que la matière est constituée de petites entités
élémentaires. La manière la plus saisissante de formuler cette vérité est la suivante : il
existe une entropie minimale dans la nature. En réalité, pour tous les systèmes, l ’entropie
vérifie
S⩾ .
k
(97)
2
Ce résultat est vieux de presque 100 ans, il fut exprimé plus clairement (avec un facteur
Réf. 208 numérique différent) par le physicien hongro-allemand Leo Szilard. La même remarque
fut soulevée par le physicien français Léon Brillouin (encore une fois avec un facteur
Réf. 209 numérique différent). Cette assertion peut également être prise pour la définition de la
constante de Boltzmann.
L’existence d ’une entropie minimale dans la nature est une idée profonde. Elle éli-
mine la possibilité de la continuité de la matière et aussi celle de sa « fractalité ». Une
entropie minimale implique que la matière est constituée d ’un nombre fini de petits élé-
ments. La limite de l ’entropie exprime l ’ idée que la matière est faite de particules*. La
limite de l ’entropie montre également que la physique galiléenne ne peut pas être cor-
recte : la physique galiléenne suppose que des quantités arbitrairement petites doivent
exister. L’entropie limite est la première des diverses limites du mouvement que nous
rencontrerons jusqu ’à ce que nous achevions la seconde partie de notre ascension. Dès
que nous aurons découvert toutes les limites, nous pourrons démarrer la troisième et
dernière partie, qui conduit à l ’unification.
La présence d ’une quantité minimale suggère l ’existence d ’une limite sur la précision
des mesures. Les mesures ne peuvent pas avoir une précision infinie. Cette limitation est
généralement exprimée sous la forme d ’une relation d ’ incertitude. En réalité, l ’existence
d ’une entropie minimale peut être reformulée comme une relation d ’ incertitude entre
la température T et l ’énergie interne U d ’un système :
∆U ⩾ .
1 k
∆ (98)
T 2
* L’entropie minimale laisse sous-entendre que la matière est constituée de minuscules sphères. L’ action
minimale, que nous rencontrerons dans la théorie quantique, suggère implicitement que ces sphères sont en
réalité des nuages miniatures.
Réf. 210 Cette relation* fut exprimée par Niels Bohr et fut discutée par Werner Heisenberg, qui
Page ?? la catalogua comme l ’un des principes d ’ incertitude fondamentaux de la nature. La
constante de Boltzmann (divisée par 2) cristallise ainsi la valeur de la plus petite entropie
Réf. 212 possible dans la nature. Pour cette raison, Gilles Cohen-Tannoudji la qualifie de quantum
Réf. 209 d’ information et Herbert Zimmermann la dénomme le quantum d’entropie.

L’expression (98) lève le voile sur une idée encore plus générale. Pour chaque valeur
minimale attribuable à une observable, il existe un principe d ’ incertitude associé. Nous
soulignerons plusieurs fois cette remarque durant le reste de notre aventure, et de façon
la plus importante lorsque nous aborderons le quantum d ’action et le principe d ’ incer-
Page ?? titude de Heisenberg.
La mise en évidence d ’une entropie minimale possède de nombreuses conséquences.
En tout premier lieu, elle met en lumière le troisième principe de la thermodynamique.
Une entropie minimale implique que le zéro absolu de la température ne peut être atteint.
Deuxièmement, une entropie minimale explique pourquoi les valeurs d ’entropie sont
finies et non pas infinies. Troisièmement, elle détermine la valeur absolue de l ’entropie
pour chaque système. En physique des milieux continus, l ’entropie, comme l ’énergie,
n’est définie qu ’à une constante additive près. La limite de l ’entropie remédie à tous ces
problèmes.
L’existence d ’une valeur minimale pour une observable signifie qu ’un principe d ’ in-
certitude existe entre deux quantités quelconques dont le produit donne cette observable.
Par exemple, le taux de production d ’entropie et le temps forment une telle paire. En réa-
lité, un principe d ’ incertitude relie le taux de production d ’entropie P = dS/dt et le
temps t :
∆P ∆t ⩾ .
k
(99)
2
À partir de celui-ci et de la relation antérieure (98) il est possible de déduire tous les
résultats de la physique statistique, c ’est-à-dire la théorie précise de la thermostatique
Réf. 212, Réf. 211 et de la thermodynamique. Nous n’explorerons pas davantage celle-ci ici. (Pouvez-vous
Défi 492 pe montrer que le principe zéro découle de l ’existence d ’une entropie minimale ?) Nous
nous restreindrons à l ’une des pierres angulaires de la thermodynamique : le deuxième
principe.
Pourquoi ne pouvons-nous pas nous souvenir du fu tur ?

Une mémoire qui n’opère que dans le passé n’a
“ rien de bien fameux, déclara la Reine.

Lewis Carroll, Alice au pays des merveilles – De
”
l ’autre côté du miroir
Page 32 Auparavant, lorsque nous avons discuté du temps, nous ignorions la différence entre
le passé et le futur. Mais manifestement une différence existe, puisque nous n’avons pas la
faculté de nous remémorer le futur. Ce n’est pas une restriction due uniquement à notre
cerveau. Tous les appareils que nous avons inventés, tels que les magnétophones, les ap-
pareils photographiques, les journaux et les livres, nous transmettent des informations
uniquement sur le passé. Existe-t-il une manière de concevoir un caméscope doté d ’un
Réf. 211 * Il apparaît que la valeur historique du terme de droite, donné par k, doit être rectifiée par k/2.
bouton « futur » ? Une telle fonction aurait à résoudre un sérieux problème : comment
Défi 493 pe distinguerait-elle le futur proche du futur éloigné ? Il n’y a pas besoin de réfléchir énor-
mément pour s’apercevoir que n’ importe quelle façon de la mettre en œuvre entrerait
en conflit direct avec le second principe de la thermodynamique. C ’est un manque de
chance, car nous aurions précisément besoin de ce dispositif pour prouver qu ’ il existe

Défi 494 pe un mouvement plus rapide que la lumière. Pouvez-vous découvrir ce rapport ?
En résumé, le futur ne peut pas être connu à l ’avance parce que des systèmes isolés
tendent toujours vers un état d ’entropie maximale. Dit encore plus simplement, la mé-
moire existe car le cerveau est fait de nombreuses particules, et donc le cerveau en est
réduit au passé*. Cependant, pour les types de mouvement les plus simples, dans les-
quels quelques particules seulement sont impliquées, la différence entre le passé et le fu-
tur s’évanouit. Pour des systèmes dotés d ’un petit nombre de particules, il n’y a aucune
distinction entre des temps qui s’éloignent et des temps qui s’approchent de l ’ instant
présent. Nous pouvons dire que le futur diffère du passé uniquement dans notre cerveau,
ou, de manière équivalente, uniquement à cause du frottement. Par conséquent, la dif-
férence entre le passé et le futur n’est pas souvent évoquée dans cette promenade, bien
qu ’elle représente une partie essentielle de notre expérience humaine. Mais tout le plaisir
de cette présente aventure est justement de pouvoir dépasser nos limites.
Est-ce que tou t est fait de particules ?

Un physicien est la réalisation des atomes pour
Réf. 213
“ comprendre les atomes.
Historiquement, l ’étude de la mécanique statistique a été d ’une importance cruciale

George Wald
”
pour la physique. Elle a fourni la première démonstration que des objets physiques sont
constitués de particules en interaction. L’ histoire de ce domaine représente en fait une
longue chaîne de découvertes montrant que toutes les propriétés que nous attribuons
aux objets, comme la taille, la rigidité, la couleur, la masse volumique, le magnétisme, la
conductivité électrique ou thermique, sont issues des interactions entre les nombreuses
particules dont ils sont composés. La révélation que tous les objets sont constitués de parti-
cules en interaction a souvent été citée comme étant la principale découverte de la science
moderne.
Page 248 Comment cette découverte fut-elle réalisée ? Le Tableau 30 listait les principales quan-
tités étendues utilisées en physique. Les quantités étendues sont capables de s’écouler. Il
apparaît que tous les écoulements dans la nature sont composés de processus élémentaires,
comme indiqué dans le Tableau 34. Nous avons vu que les flux de masse, de volume, de
charge, d ’entropie et de substance sont composés. Plus tard, la théorie quantique mon-
trera la même chose à propos du flux de la quantité de mouvement et du moment ciné-
tique. Tous les écoulements sont constitués de particules.
Le succès de cette idée a incité beaucoup de gens à la généraliser jusqu ’à cette dé-
claration : « Tout ce que nous observons est constitué de parties. » Cette approche a été
Réf. 214 appliquée avec succès à la chimie avec les molécules, aux sciences des matériaux et à la
* Ou, dit encore autrement, le cerveau est « obligé » d ’évoluer d ’un état d ’entropie donnée vers un état de
plus forte entropie [N.d.T.].
TA B L E AU 34 Quelques valeurs minimales de flux relevées dans la nature.
O b s e r va t i o n Va l e u r m i n i m a l e
Flux de matière une molécule, un atome ou une particule

Flux volumique une molécule, un atome ou une particule

Flux de quantité de mouvement constante de Planck divisée par la longueur d ’onde
Flux de moment cinétique constante de Planck
Quantité chimique d ’une substance une molécule, un atome ou une particule
Flux d ’entropie entropie minimale
Flux de charge charge élémentaire
Flux de lumière constante de Planck divisée par la longueur d ’onde
F I G U R E 135 Une surface d’un unique cristal d’or (111), chaque point lumineux étant un atome, avec un
déboîtement de sa surface. (© CNRS)
géologie avec les cristaux, à l ’électricité avec les électrons, aux atomes avec les particules
élémentaires, à l ’espace avec les points, au temps avec les instants, à la lumière avec les
photons, à la biologie avec les cellules, à la génétique avec les gènes, à la neurologie avec
les neurones, aux mathématiques avec les ensembles et les relations, à la logique avec
les propositions élémentaires, et même à la linguistique avec les morphèmes et les pho-
nèmes. Toutes ces sciences se sont développées sur l ’ idée que tout est constitué de parties
en relation. Cette idée élémentaire est si évidente en soi que nous éprouvons beaucoup
Défi 495 pe de difficulté à en formuler une alternative. Essayez seulement !
Toutefois, dans le cas de la nature tout entière, l ’ idée que celle-ci soit une somme de
Page ?? parties en relation est inexacte. Elle s’avère être seulement un préjugé, et un préjugé si
enraciné qu ’ il retarda des évolutions postérieures en physique dans les dernières décen-
nies du vingtième siècle. En particulier, elle ne s’applique pas aux particules élémentaires
ou à l ’espace-temps. La révélation de la véritable description de la totalité de la nature
est le défi le plus redoutable et le plus passionnant de notre aventure, car il nécessite un
renversement complet de nos habitudes de réflexion. Ce sujet renferme énormément de
surprises ludiques.

tête d'
allumette
F I G U R E 136 La pompe à combustion.
“
Jede Aussage über Komplexe läßt sich in eine
Aussage über deren Bestandteile und in
diejenigen Sätze zerlegen, welche die Komplexe
vollständig beschreiben*.
Pourquoi les pierres ne peuvent être ni continues ni fractales,

ni faites de petites billes dures
L’exploration de la température produit un autre résultat intéressant. Les chercheurs
étudièrent d ’abord les gaz, et mesurèrent quelle quantité d ’énergie était nécessaire pour
les réchauffer de 1 K. Le résultat est étonnamment simple : tous les gaz se partagent seule-
ment quelques valeurs, lorsque le nombre de molécules N est pris en considération. Les
gaz monoatomiques (situés dans un récipient à un volume constant) nécessitent une éner-
gie de 3N k/2, les gaz diatomiques (et ceux qui possèdent une molécule linéaire) 5N k/2,
Page 260 et la majorité des autres gaz 3N k, où k = 1,4 ⋅ 10−23 J/K est la constante de Boltzmann.
L’explication de cette constatation allait bientôt poindre : chaque degré de liberté ther-
modynamique** contribue à une énergie de kT/2 sur l ’énergie totale, où T représente la
température. Donc le nombre de degrés de liberté dans les corps physiques est fini. Les
corps ne sont pas continus, ils ne sont pas fractals non plus : s’ ils l ’étaient, leur énergie
thermique spécifique*** serait infinie. La matière est donc en réalité constituée de petites
entités élémentaires.
Tous les degrés de liberté contribuent à l ’énergie thermique spécifique. Du moins,
c ’est ce que les physiciens classiques prédisent. Les solides, comme les pierres, possèdent
6 degrés de liberté thermodynamiques et devraient comporter une énergie thermique
spécifique de 3N k. À haute température, c ’est ce qui est réellement observé. Mais les
* « Tout énoncé portant sur des complexes se laisse analyser en un énoncé sur leurs éléments et en proposi-
tions telles qu ’elles décrivent complètement ces complexes. »
** Un degré de liberté thermodynamique est, pour chaque particule d ’un système, le nombre de dimensions
dans lesquelles elle peut se déplacer plus le nombre de dimensions dans lesquelles elle est retenue dans un
potentiel. Des atomes dans un solide en ont six, des particules dans des gaz monoatomiques n’en ont que
trois, des particules dans des gaz diatomiques ou des molécules linéaires rigides en ont cinq. Le nombre de
Réf. 215 degrés de liberté des molécules plus grandes dépend de leur forme.
*** Qui représente la quantité d ’énergie thermique par unité de masse [N.d.T.].
mesures effectuées sur les solides à température ambiante produisent des valeurs plus
basses, et, plus la température est basse, plus la valeur devient petite. Même les gaz in-
diquent des valeurs inférieures à celles mentionnées ci-dessus lorsque la température est
suffisamment basse. En d ’autres termes, les molécules et les atomes se comportent diffé-
remment à des énergies très basses : les atomes ne sont pas des petites billes dures inchan-

geables. La variation de ces valeurs constitue l ’un des premiers indices vers l ’avènement
de la théorie quantique.
Curiosités et défis amusants sur la chaleur

La compression de l ’air accroît sa température, ce qui est indiqué directement par la
pompe à combustion, une variante de la pompe à vélo, représentée sur la Figure 136.
(Pour voir un exemplaire en fonctionnement, consultez le site http://www.tn.tudelft.nl/
cdd.) Une tête d ’allumette au fond d ’une pompe à air faite d ’un matériau transparent
est facilement enflammée par la compression de l ’air au-dessus d ’elle. La température
de l ’air après la compression est si élevée que le bout de l ’allumette s’enflamme sponta-
nément.
∗∗
Si la chaleur est véritablement un mouvement désordonné d ’atomes, un énorme pro-
blème surgit. Lorsque deux atomes se frappent de plein fouet, à l ’ instant où leur distance
est la plus petite, ils ont une vitesse nulle. Où l ’énergie cinétique part-elle ? Certes, elle
est transformée en énergie potentielle. Mais cela implique alors que les atomes peuvent
être déformés, qu ’ ils possèdent une structure interne, qu ’ ils sont constitués de parties,
et qu ’ ils peuvent donc en principe être brisés. En bref, si la chaleur est un mouvement
atomique désordonné, les atomes ne sont pas indivisibles ! Au dix-neuvième siècle, cet ar-
gument fut avancé pour montrer que la chaleur ne peut pas être un mouvement atomique,
mais doit être une certaine espèce de fluide. Mais puisque nous tenons pour certain que
la chaleur est réellement de l ’énergie cinétique, les atomes doivent en réalité être divi-
sibles, bien que leur nom signifie « indivisible ». Nous n’avons pas besoin de mener une
expérience onéreuse pour le montrer.
∗∗
Réf. 216 En 1912, Émile Borel remarqua que, si un gramme de matière était déplacé d ’un cen-
timètre sur Sirius, cela modifierait le champ gravitationnel de la Terre d ’une quantité
minuscule. Ce changement infinitésimal serait suffisant pour rendre la trajectoire des
molécules dans un gaz impossible à calculer au bout d ’une fraction de seconde.
∗∗
Non seulement les gaz, mais également la plupart des autres matériaux voient leur vo-
lume augmenter lorsque la température s’élève. En conséquence, les câbles électriques
Défi 496 s supportés par les pylônes pendent beaucoup plus bas en été qu ’en hiver. Est-ce vrai ?
∗∗
Réf. 217 Ce qui suit est un célèbre problème dû à Fermi. Étant donné qu ’un cadavre humain se re-
froidit en quatre heures après le décès, quel est le nombre minimal de calories nécessaires

1 2 3 4
F I G U R E 137 Pouvez-vous faire bouillir de l’eau dans cette tasse en papier ?
Défi 497 pe par jour dans notre alimentation ?

∗∗
L’énergie contenue dans le mouvement thermique n’est pas insignifiante. Une balle de
fusil de 1 g voyageant à la vitesse du son possède une énergie cinétique d ’uniquement
0,01 kcal.
∗∗
Défi 498 s Comment un ballon d ’air chaud ordinaire de 1 500 m3 fonctionne-t-il ?
∗∗
Si vous ne trouvez pas ce texte passionnant, voici une suggestion. Vous pouvez utiliser du
papier pour réaliser une tasse, comme indiqué sur la Figure 137, et faire bouillir de l ’eau
contenue dedans au-dessus d ’une flamme. Cependant, pour réussir, vous devez être un
Défi 499 s tant soit peu prudent. Pouvez-vous indiquer de quelle manière ?
∗∗
Le mélange de 1 kg d ’eau à 0 °C et de 1 kg d ’eau à 100 °C donne 2 kg d ’eau à 50 °C. Quel
Défi 500 pe est le résultat du mélange de 1 kg de glace à 0 °C et de 1 kg d ’eau à 100 °C ?
∗∗
Réf. 218 La température de l ’air la plus élevée jamais enregistrée dans laquelle un homme a sur-
vécu est 127 °C. Cette expérience fut menée en 1775 à Londres par le secrétaire de la
Royal Society, Charles Blagden, accompagné de quelques-uns de ses amis, qui demeura
dans une pièce à cette température durant 45 minutes. De façon intéressante, le bifteck
saignant qu ’ il avait pris avec lui était cuit (« bien cuit ») quand lui et ses amis quittèrent la
pièce. Quelle condition devait être scrupuleusement respectée afin d ’empêcher de cuire
Défi 501 s les individus de la même manière que le bifteck ?
∗∗
Défi 502 s Pourquoi l ’eau bout-elle à 99,975 °C au lieu de 100 °C ?
∗∗
Défi 503 s Pouvez-vous remplir une bouteille avec exactement 1 ± 10−30 kg d ’eau ?
rayon laser
pulsé invisible
émettant du son

laser
câble vers
l'amplificateur
F I G U R E 138 Le haut-parleur invisible.
∗∗
Un gramme de graisse, que ce soit du beurre ou de la graisse humaine, contient 38 kJ
d ’énergie chimique (ou, en unités anciennes plus familières aux nutritionnistes, 9 kcal).
C ’est la même valeur que celle de l ’essence. Pourquoi les gens et le beurre sont-ils moins
Défi 504 s dangereux que l ’essence ?
∗∗
En 1992, le physicien hollandais Martin van der Mark inventa un haut-parleur qui fonc-
tionne en chauffant l ’air avec un rayon laser. Il démontra que, avec la bonne longueur
d ’onde et une modulation convenable de l ’ intensité, un rayon laser dans l ’air peut géné-
rer du son. Cet effet à la base de ce dispositif, appelé effet photoacoustique, se révèle dans
de nombreux matériaux. La meilleure longueur d ’onde du laser pour l ’air est située dans
le domaine de l ’ infrarouge, sur l ’une des quelques lignes d ’absorption du spectre de la
vapeur d ’eau. En d ’autres termes, un rayon laser infrarouge correctement modulé qui
rayonne à travers l ’atmosphère produit du son. Une telle lumière peut être émise à par-
tir d ’un petit semi-conducteur à laser de la taille d ’une boîte d ’allumettes masquée au
plafond et dirigée vers le bas. Le son est émis dans toutes les directions perpendiculaires
au rayon. Puisque la lumière laser infrarouge n’est pas visible, Martin van der Mark in-
venta un haut-parleur invisible ! Malheureusement, l ’efficacité des modèles actuels reste
encore faible, de sorte que la puissance du haut-parleur n’est pas encore suffisante pour
des applications pratiques. Les progrès dans la technologie des lasers devraient changer
la donne, de telle sorte qu ’à l ’avenir nous devrions être capables d ’entendre des sons qui
sont émis depuis le centre d ’une pièce apparemment vide.
∗∗
Une célèbre question d ’examen : comment pouvez-vous mesurer la hauteur d ’un im-
meuble à l ’aide d ’un baromètre, d ’une corde et d ’une règle ? Découvrez au moins six
Défi 505 s manières différentes d ’y répondre.
∗∗
Quelle est la probabilité approximative que, parmi un million de lancers d ’une pièce de
Défi 506 pe monnaie, vous obteniez exactement 500 000 fois pile et autant de fois√face ?
Vous aurez certainement besoin de la formule de Stirling n! ≈ 2πn (n/e) n pour
calculer la réponse*.

∗∗
Défi 507 s Parler de l ’entropie de l ’univers a-t-il un sens ?
∗∗
Défi 508 pe Un ballon gonflé à l ’ hélium peut-il soulever le réservoir qui a servi à le remplir ?
∗∗
Tous les processus faisant intervenir du frottement, telles l ’ osmose, la diffusion,
l ’ évaporation, ou la dégénérescence, sont lents. Ils prennent un certain temps carac-
téristique. Il apparaît que n’ importe quel processus (macroscopique) doté d ’une échelle
de temps est irréversible. Ce n’est pas une véritable surprise : nous savons intuitivement
que défaire des choses prend toujours plus de temps que de les faire. C ’est une nouvelle
fois une manifestation du deuxième principe de la thermodynamique.
∗∗
Il apparaît que le stockage de l ’ information est possible avec une création d ’entropie mi-
Réf. 219 nime. Cependant, l ’ effacement de l ’ information réclame de l ’entropie. C ’est la raison
principale pour laquelle les ordinateurs, ainsi que les cerveaux, ont besoin de sources
d ’énergie et de systèmes de refroidissement, même si leurs mécanismes n’avaient, mis à
part cela, pas besoin d ’énergie.
∗∗
Lorsque nous mélangeons du rhum chaud avec de l ’eau froide, quelle est la proportion
entre l ’augmentation de l ’entropie due au mélange et l ’augmentation de l ’entropie due
Défi 509 pe à la différence de température ?
∗∗
Pourquoi n’y a-t-il pas de petits hommes, par exemple d ’une taille de 10 mm, comme
dans de nombreux contes de fées ? En fait, il n’existe aucun animal à sang chaud de cette
Défi 510 s taille. Pourquoi ?
∗∗
Éclairer un objet avec un rayon lumineux puis l ’éteindre et le rallumer à plusieurs re-
prises produit du son. Ceci est appelé l ’ effet photoacoustique, et est dû à l ’expansion
thermique du matériau. En modifiant la fréquence de la lumière, et en mesurant l ’ in-
tensité du bruit, nous dévoilons un spectre photoacoustique caractéristique du matériau.
Cette méthode nous permet de détecter des concentrations gazeuses dans l ’air d ’une
partie pour 109 . Elle est utilisée, parmi d ’autres méthodes, pour étudier les gaz émis par
√ √ √
* Il existe de nombreuses variantes de la formule de Stirling, dont une, élémentaire : n! ≈
(2n + 1/3)π (n/e)n . Une autre est 2πn (n/e)n e /(12n+1) < n! < 2πn (n/e)n e /(12n) .
1 1
les plantes. Les plantes émettent du méthane, de l ’alcool et de l ’acétaldéhyde en petites

quantités, l ’effet photoacoustique peut détecter ces gaz et nous aider à comprendre le
processus sous-jacent à leur émission.
∗∗

Quelle est la probabilité approximative pour que toutes les molécules d ’oxygène de l ’air
Défi 511 pe quittent une ville donnée pendant quelques minutes, tuant ainsi tous les habitants ?
∗∗
Si vous versez un litre d ’eau dans la mer et que vous le mélangez complètement à tra-
vers tous les océans, et qu ’alors vous soutirez un litre de ce mélange, quelle quantité des
Défi 512 pe atomes originaux récupérerez-vous ?
∗∗
Combien de temps resteriez-vous à respirer dans la pièce dans laquelle vous vous trouvez
Défi 513 pe si elle était hermétique ?
∗∗
Qu ’est-ce qui se passe si vous déposez un peu de cendre sur un morceau de sucre et que
Défi 514 pe vous mettez le feu à l ’ensemble ? (Attention : c ’est dangereux et pas pour les enfants.)
∗∗
Les calculs sur l ’entropie sont souvent étonnants. Pour un système de N particules ayant
chacune deux états possibles, il y a Wtout = 2 N états. La configuration la plus probable,
avec exactement la moitié des particules dans un état et l ’autre moitié dans l ’autre état,
nous donne Wmax = N!/((N/2)!)2 . Maintenant, pour un système macroscopique de
particules, nous devrions avoir typiquement N = 1024 . Cela donne Wtout ≫ Wmax ; en
réalité, le premier est 1012 fois plus grand que le second. D’un autre côté, nous trouvons
Défi 515 pe que les 20 premiers chiffres de ln Wtout et ln Wmax coïncident ! Bien que la configuration
avec exactement la moitié des particules dans chaque état soit beaucoup plus rare que le
Défi 516 pe cas général, où ce rapport peut varier, l ’entropie se révèle être la même. Pourquoi ?
∗∗
Si la chaleur est due au mouvement des atomes, nos facultés sensorielles de percep-
tion de la chaleur et du froid sont simplement des détecteurs de mouvement. Comment
Défi 517 pe pourraient-elles fonctionner ?
Par ailleurs, les sens de l ’odorat et du goût peuvent également être assimilés à des
détecteurs de mouvement, puisqu ’ ils signalent la présence de molécules se baladant dans
Défi 518 pe l ’air ou dans des liquides. Êtes-vous d ’accord avec cette idée ?
∗∗
La Lune possède une atmosphère, bien qu ’extrêmement ténue, composée de sodium
(Na) et de potassium (K). Cette atmosphère a été détectée jusqu ’à neuf rayons lunaires
à partir de sa surface. Cette atmosphère de la Lune est produite à la surface par le rayon-
nement ultraviolet issu du Soleil. Pouvez-vous estimer la densité atmosphérique de la
Défi 519 s Lune ?
air froid
air chaud

air à température ambiante
F I G U R E 139 Le tube à tourbillons de Wirbelrohr ou de Ranque-Hilsch.
∗∗
Est-il sensé d ’ajouter une ligne au Tableau 30 concernant la quantité d ’action physique ?
Défi 520 pe Une colonne ? Pourquoi ?
∗∗
La diffusion fournit une échelle de longueur. Par exemple, les insectes assimilent l ’oxy-
gène à travers leur épiderme. Par conséquent, les parties intérieures de leur corps ne
peuvent pas être situées à plus d ’un centimètre environ de la surface. Pouvez-vous lister
certaines autres échelles de longueur dans la nature sous-tendues par des processus de
Défi 521 s diffusion ?
∗∗
L’ascension de l ’air chaud est la raison pour laquelle de nombreux insectes sont retrouvés
dans des nuages en altitude à la tombée de la nuit. Beaucoup d ’ insectes, particulièrement
ceux qui se nourrissent du sang des animaux, sont attirés par l ’air chaud et humide.
∗∗
Les thermomètres fondés sur le mercure peuvent atteindre 750 °C. Comment cela est-il
Défi 522 s possible, étant donné que le mercure bout à 357 °C ?
∗∗
Défi 523 s À quoi une bougie allumée dans des conditions d ’apesanteur ressemble-t-elle ?
∗∗
Il est possible de construire une centrale électrique en édifiant une grande cheminée, de
telle façon que l ’air chauffé par le Soleil s’écoule vers le haut dans celle-ci, entraînant une
turbine dans son ascension. Il est également possible de réaliser une centrale électrique
en mettant en œuvre un long tube vertical, et en y laissant un gaz tel que l ’ammoniaque
s’élever dans celui-ci, lequel est alors liquéfié au sommet par les températures basses des
couches supérieures de l ’atmosphère. Quand il retombe dans un second tube comme un
liquide – exactement comme la pluie – il entraîne une turbine. Pourquoi de tels projets,
Défi 524 s qui sont pour la plupart entièrement écologiques, ne sont-ils pas encore utilisés ?
∗∗
Le tube à tourbillons de Ranque-Hilsch ou de Wirbelrohr est un des dispositifs les plus
surprenants jamais inventés. En exhalant, au milieu de celui-ci, de l ’air comprimé à tem-

pérature ambiante, deux écoulements d ’air se forment à ses extrémités. L’un d ’eux est ex-
trêmement froid, pouvant atteindre facilement −50 °C, et l ’autre extrêmement chaud, al-
lant jusqu ’à 200 °C. Aucune partie mobile et aucun appareil de chauffage ne se trouvent
Défi 525 s à l ’ intérieur. Comment fonctionne-t-il ?

∗∗
Il est facile de faire cuire un œuf de telle façon que le blanc soit dur mais que le jaune
Défi 526 s d ’œuf reste liquide. Pouvez-vous accomplir l ’ inverse ?
∗∗
Les moteurs thermoacoustiques, les pompes et les réfrigérateurs fournissent de nom-
breuses applications étranges et fascinantes de la chaleur. Par exemple, il est possible de
produire un bruit élevé dans des cavités métalliques fermées pour déplacer de la chaleur
d ’un emplacement froid à un autre chaud. De tels dispositifs possèdent quelques parties
mobiles et sont toujours en cours d ’étude dans l ’espoir de leur trouver des applications
Réf. 220 pratiques à l ’avenir.
∗∗
Est-ce qu ’un système isolé contenant quelques particules contredit le deuxième principe
Défi 527 pe de la thermodynamique ?
∗∗
Qu ’advient-il de l ’entropie lorsque la gravitation est prise en compte ? Nous avons soi-
gneusement mis de côté la gravitation dans notre discussion. En réalité, de nombreux
problèmes surgissent – essayez simplement de réfléchir à ce sujet. Par exemple, Jakob Be-
kenstein a découvert que la matière atteint son entropie la plus élevée possible lorsqu ’elle
Défi 528 pe forme un trou noir. Pouvez-vous le confirmer ?
∗∗
Les exposants et les trois premiers chiffres des valeurs numériques de la constante de
Boltzmann k = 1,38 ⋅ 10−23 J/K et de la combinaison h/ce concordent (mais pas les uni-
tés !), où h représente la constante de Planck et e est la charge de l ’électron. Pouvez-vous
Défi 529 pe montrer que cela n’est que pure coïncidence ?
C h a p i t r e 13
AU TO -ORG A N I S AT ION ET C HAO S

– L’ É L É G A NC E DE L A C OM PL E X I T É
Parler de la physique non linéaire c ’est comme
Réf. 221
“ qualifier la zoologie d ’étude des animaux autres
que les éléphants.
Stanislaw Ulam
”
Dans notre énumération des descriptions générales du mouvement, le dernier point
concerne l ’étude de l ’auto-organisation. L’auto-organisation est l ’apparition de l ’ordre.
L’ ordre est un mot qui fait référence aux formes, comme la symétrie complexe des flocons
Réf. 222 de neige, aux motifs, comme les rayures des zèbres, et aux cycles, comme l ’ harmonie mu-
sicale lors d ’un chant. Chaque exemple de ce que nous appelons beauté est une combi-
Défi 530 s naison de formes, de motifs et de cycles. (Êtes-vous d ’accord ?) L’auto-organisation peut
donc être définie comme étant l ’étude de l ’origine de la beauté.
L’apparition de l ’ordre dans la nature est une observation générale que nous pouvons
faire sur celle-ci. Les fluides en particulier exhibent de nombreux phénomènes où l ’ordre
apparaît et disparaît. Nous pouvons citer le vacillement plus ou moins régulier d ’une bou-
gie allumée, le claquement d ’un drapeau dans le vent, le flot régulier des bulles jaillissant
à partir de petites irrégularités dans la surface d ’une coupe à champagne, et la chute ré-
gulière ou irrégulière des gouttes d ’eau d ’un robinet qui fuit.
L’apparition de l ’ordre est relevée dans la différenciation cellulaire d ’un embryon à
l ’ intérieur du corps d ’une femme, dans la formation des motifs colorés des tigres, des
poissons tropicaux et des papillons, dans les agencements symétriques des pétales d ’une
fleur, dans la formation des rythmes biologiques et ainsi de suite.
Tous les processus de croissance sont des phénomènes d ’auto-organisation. Avez-
vous déjà médité sur la manière merveilleuse dont les dents croissent ? Un matériau prati-
quement inorganique façonne des formes dans les rangées supérieures et inférieures des
dents, s’ajustant exactement les unes aux autres. La façon dont ce processus est contrôlé
constitue toujours un thème de recherche. De façon équivalente, la formation, avant et
après la naissance, de réseaux de neurones dans le cerveau est un autre processus d ’auto-
organisation. Même les processus physiques sous-jacents à la pensée, impliquant des si-
gnaux électriques variables, doivent être décrits en termes d ’auto-organisation.
L’ évolution biologique est un cas exceptionnel de croissance. Prenez l ’évolution des
formes animales. Il apparaît que la langue des serpents est fourchue parce que c ’est la
forme la plus efficace pour suivre des traces chimiques laissées par des proies et d ’autres
Réf. 223 serpents de la même espèce. (Les serpents flairent à l ’aide de leur langue.) Le nombre fixe
des doigts dans une main humaine ou des pétales d ’une fleur est aussi une conséquence
Page ?? de l ’auto-organisation.
276 13 auto-organisation et chaos

Figure bientôt disponible
F I G U R E 140 Exemples d’auto-organisation pour le sable.
TA B L E AU 35 Motifs sur le sable dans la mer et sur la plage.
Motif Période Amplitude Origine
talus de sable 2 à 10 km 2 à 20 m marées
dunes de sable 100 à 800 m 5m marées
méga- 1m 0,1 m marées
ondulations
ondulations 5 cm 5 mm vagues
sable musical 95 à 105 Hz jusqu ’à 105 dB vent sur les dunes de sable,
avalanches faisant vibrer la
dune
De nombreux problèmes d ’auto-organisation sont des problèmes mécaniques : par

exemple, l ’élaboration des chaînes de montagnes lorsque les continents bougent, la créa-
tion des séismes ou la formation des agencements réguliers de nuages dans le ciel. Il peut
être captivant de méditer, durant un voyage en avion quelque peu monotone, sur les mé-
Défi 531 e canismes sous-jacents à la formation des nuages que vous apercevez depuis cet avion.
Les études sur les conditions requises pour l ’apparition ou la disparition d ’ordre ont
montré que leur description ne nécessite qu ’un petit nombre seulement de concepts élé-
mentaires, indépendamment des détails du système physique étudié. Cela devient fla-
grant lorsque nous analysons quelques exemples.
Toute la richesse de l ’auto-organisation se dévoile elle-même, tout simplement, dans
l ’étude du sable. Pourquoi les dunes de sable sont-elles ondulées, comme sur le sol sablon-
neux au fond de la mer ? Nous pouvons également étudier comment les avalanches se pro-
duisent sur les tas de sable escarpés et comment le sable se comporte dans les sabliers,
dans les mixeurs ou dans les récipients en vibration. Ces résultats sont souvent étonnants.
Réf. 224 Par exemple, aussi récemment qu ’en 1996, Paul Umbanhowar et ses collaborateurs décou-
vrirent que, lorsqu ’un récipient plat contenant de minuscules billes de bronze (autour de
0,165 mm de diamètre) est secoué de haut en bas dans le vide à certaines fréquences, la
surface de ce « sable » de bronze forme des amoncellements stables. Ils sont montrés sur
la Figure 141. Ces tas, dénommés oscillons, montent et descendent également. Un oscillon
peut se déplacer et interagir avec un autre.
l ’ élégance de la complexité 277
n = 21

n = 23
temps
F I G U R E 141 Oscillons formés par des F I G U R E 142 Les nombres magiques : 21 sphères,
billes de bronze secouées, la taille lorsqu’on les fait tourbillonner dans un tambour, se
horizontale est d’environ 2 cm. (© Paul comportent différemment des nombres non magiques
Umbanhowar) de sphères, comme 23. (redessiné à partir de
photographies, © Karsten Kötter)
Les oscillons dans le sable représentent un exemple simple d ’un effet plus général
dans la nature : des systèmes discrets dotés d ’ interactions non linéaires peuvent arbo-
Réf. 225 rer des excitations localisées. Ce sujet fascinant commence tout juste à être étudié. Il se
pourrait bien qu ’ il donne des résultats concernant notre compréhension des particules
élémentaires.
Le sable renferme de nombreux autres processus de formation de motifs. Un mélange
de sable et de sucre, lorsqu ’ ils sont déversés sur un tas, forme une structure en couches ré-
gulières qui, vue de biais, ressemble aux rayures d ’un zèbre. Des cylindres en rotation ho-
rizontale, contenant des mélanges binaires, séparent les composants du mélange au bout
d ’un certain temps. Ou encore prenez un récipient comportant deux compartiments sé-
parés par une cloison de 1 cm. Remplissez les deux moitiés avec du sable et secouez rapi-
dement le récipient tout entier à l ’aide d ’une machine. À la fin, tout le sable s’accumulera
spontanément dans une moitié du récipient. Comme autre exemple d ’auto-organisation
du sable, certains ont analysé les divers types de dunes de sable qui « chantent » lorsque
Réf. 226 le vent souffle sur elles. En réalité, le comportement du sable et de la poussière s’avère
être un thème tellement magnifique et fascinant que la perspective que chaque homme
redevienne poussière ne paraît finalement pas si sinistre.
Karsten Kötter et son équipe découvrirent en 1999 un autre exemple simple et élé-
Réf. 227 gant d ’auto-organisation. Ils notèrent que le comportement d ’un ensemble de sphères
qui tourbillonnent dans un tambour dépend du nombre de sphères utilisées. Générale-
ment, toutes les sphères sont continuellement mélangées entre elles. Mais pour certains
nombres « magiques », comme 21, des motifs stables en anneau émergent, pour lesquels
les sphères extérieures restent à l ’extérieur et les sphères intérieures demeurent à l ’ in-

F I G U R E 143 Auto-organisation : un flocon de
neige en croissance. (quicktime © Kenneth
Libbrecht)
térieur. Les anneaux, mieux discernés en colorant les sphères, sont montrés sur la Fi-
gure 142.
Tout cela, ainsi que de nombreuses autres études de systèmes auto-organisés, a boule-
versé notre compréhension de la nature sur un grand nombre de plans. En tout premier
lieu, cela nous indique que les motifs et les formes sont similaires aux cycles : ils sont tous
dus au mouvement. Sans le mouvement, et donc sans l ’ histoire, il n’y a pas d ’ordre, ni
Réf. 228 de motifs ou de formes. Chaque motif a une histoire, chaque motif est une conséquence
du mouvement. Un exemple en est représenté sur la Figure ??.
Deuxièmement, les motifs, les formes et les cycles sont dus au mouvement cohérent
d ’un grand nombre de petits constituants. Des systèmes qui s’auto-organisent sont tou-
jours composés : ils constituent des structures coopératives.
Troisièmement, tous ces systèmes vérifient les équations d ’évolution qui sont non li-
néaires pour les variables de configuration.Les systèmes linéaires ne s’auto-organisent
pas. De nombreux systèmes auto-organisés exhibent également un mouvement chao-
tique.
Quatrièmement, l ’apparition et la disparition de l ’ordre dépendent de la vigueur
d ’une force motrice, que l ’on appelle le paramètre d’ordre. Souvent, le mouvement chao-
tique survient lorsque la force motrice s’accroît au-delà de la valeur nécessaire à l ’appa-
rition de l ’ordre. La turbulence est un exemple de mouvement chaotique, qui apparaît
lorsque le paramètre d ’ordre, qui est proportionnel à la vitesse du fluide, s’accroît jus-
qu ’à des valeurs élevées.
De plus, toute forme d ’ordre et toute structure apparaissent lorsque deux types de
mouvement, en général, se concurrencent l ’un l ’autre, à savoir un processus « moteur »
d ’augmentation de l ’énergie et un mécanisme « dissipatif » de freinage. La thermodyna-
mique joue un rôle dans toute auto-organisation. Les systèmes auto-organisés sont tou-
jours des systèmes dissipatifs et sont toujours loin de l ’équilibre. Quand le moteur et la
dissipation sont du même ordre de grandeur, et quand le comportement clé du système
ne représente pas une fonction linéaire de l ’action motrice, de l ’ordre peut apparaître*.
* Pour décrire le « mystère » de la vie humaine, des mots tels que « flamme », « fleuve » ou « arbre » sont
Tous les systèmes auto-organisés au commencement de l ’apparition de l ’ordre

peuvent être explicités par des équations décrivant l ’amplitude A du motif sous la forme
générale
= λA − µ∣A∣2 A + κ ∆A + ordres plus élevés .
∂A(t, x)
(100)
∂t

Ici, l ’observable A – qui peut être complexe – est celle qui apparaît, lorsque l ’ordre appa-
raît, comme étant l ’amplitude d ’oscillation ou l ’amplitude du motif. Le premier terme
λA est le terme moteur, dans lequel λ est un paramètre décrivant la force de ce moteur.
Le terme suivant est une non-linéarité caractéristique en A, µ étant un paramètre qui
décrit sa force, et le troisième terme κ ∆A = κ(∂ 2 A/∂x 2 + ∂ 2 A/∂y 2 + ∂ 2 A/∂z 2 ) est un
terme dissipatif (et diffusif) caractéristique.
Nous pouvons distinguer deux situations principales. Dans les cas où le terme dissi-
patif ne joue aucun rôle (κ = 0), nous trouvons que, lorsque le paramètre moteur λ aug-
mente au-dessus de zéro, une oscillation temporelle surgit, c ’est-à-dire un cycle stable
Défi 532 pe avec une amplitude non nulle. Dans les cas où le terme diffusif joue un rôle, l ’équation
(100) décrit comment une amplitude pour une oscillation spatiale survient lorsque le pa-
ramètre moteur λ devient positif, puisque la solution A = 0 devient alors spatialement
Défi 533 pe instable.
Dans les deux cas, le déclenchement de l ’ordre est appelé une bifurcation, parce qu ’à
cette valeur critique du paramètre moteur λ la situation avec une amplitude nulle, c ’est-à-
dire l ’état homogène (ou non ordonné), devient instable, et l ’état ordonné devient stable.
Dans des systèmes non linéaires, l ’ordre est stable. C ’est le résultat conceptuel majeur de
ce domaine. L’équation (100) et ses nombreuses variantes nous permettent de décrire un
grand nombre de phénomènes, allant des spirales, des ondes, des motifs hexagonaux, et
Réf. 229 des défauts topologiques, jusqu ’à certaines formes de turbulence. Pour chaque système
physique qui est étudié, la principale tâche consiste à extraire l ’observable A et les para-
mètres λ, µ et κ des processus physiques sous-jacents.
L’auto-organisation est un vaste domaine qui produit de nouveaux résultats presque
chaque semaine. Pour découvrir de nouveaux sujets d ’étude, il est souvent suffisant de
garder tout simplement un œil alerte, la plupart des effets sont accessibles sans connais-
Défi 534 pe sance des mathématiques avancées. Bonne chasse !
La plupart des systèmes qui montrent de l ’auto-organisation montrent également un
autre type de mouvement. Quand le paramètre moteur d ’un système auto-organisé est
augmenté vers des valeurs de plus en plus élevées, l ’ordre devient de plus en plus irrégu-
lier, et au final nous rencontrons généralement du chaos. Pour les physiciens, le mouve-
ment c ha o T Q u e est le type de mouvement le plus irrégulier qui puisse exister*. Le
i
chaos peut être défini indépendamment de l ’auto-organisation, à savoir comme étant le

souvent utilisés par analogie. Ceux-ci sont tous des exemples de systèmes auto-organisés : ils possèdent de
nombreux degrés de liberté, ont des forces motrices et de freinage en compétition, dépendent de manière
critique de leurs conditions initiales, dénotent un comportement chaotique et irrégulier, et montrent parfois
des cycles et un comportement régulier. Les êtres humains et la vie humaine leur ressemblent à tous ces
égards, et il existe ainsi un fondement solide pour leur usage en tant que métaphore. Nous pourrions même
aller plus loin et stipuler que la beauté à l ’état pur est de l ’auto-organisation à l ’état pur. Le manque de beauté
résulte en fait souvent d ’un équilibre perturbé entre un moteur externe et un freinage externe.
* Sur le thème du chaos, lisez le livre magnifique de H. -O. P eitgen, H. Jürgens & D. Saupe, Chaos
and Fractals, Springer Verlag, 1992. Il contient des images renversantes, le bagage mathématique nécessaire
point oscillation, mouvement

stationnaire cycle limite quasipériodique mouvement chaotique

variables de configuration variables de configuration
F I G U R E 144 Exemples de différents types de mouvement dans l’espace des configurations.
valeur d'état
système 1
système 2
temps
F I G U R E 145 Sensibilité aux conditions initiales.
mouvement des systèmes pour lesquels de petites variations dans les conditions initiales
évoluent vers des écarts énormes dans le mouvement (de croissance exponentielle avec le
temps), comme indiqué sur la Figure 145. Plus précisément, le chaos est un mouvement
désordonné caractérisé par un exposant de Lyapounov positif. Le temps (météorologique)
est un tel système, comme le sont les robinets d ’eau qui fuient, le lancer d ’un dé et de
nombreux autres systèmes courants. Par exemple, la recherche sur les mécanismes qui
produisent le battement du cœur a révélé que le cœur n’est pas un oscillateur, mais un
système chaotique doté de cycles irréguliers. Cela permet au cœur d ’être prêt en perma-
nence à faire face à des demandes de changement dans la cadence du battement, ce qui
Réf. 230 se produit dès que le corps a besoin d ’augmenter ou de diminuer ses efforts.
À ce propos, pouvez-vous citer un argument simple qui montre que ce que nous ap-
Défi 535 s pelons l ’ effet papillon n’existe pas ? Cet « effet » est souvent évoqué dans les revues : l ’ex-
plication généralement donnée est que les non-linéarités impliquent qu ’une petite vari-
ation dans les conditions initiales peut conduire à de vastes effets, donc le battement de
l ’aile d ’un papillon est censé être capable de provoquer une tornade. Bien que les non-
linéarités puissent réellement conduire à la croissance de perturbations, l ’effet papillon
n’a jamais été observé. Il n’existe pas.
Le mouvement chaotique existe également dans les machines : le chaos apparaît dans
le mouvement des trains sur les rails, dans les boîtes de vitesses et dans les tuyaux des
sapeurs-pompiers. L’étude précise du mouvement qui apparaît dans un briquet zippo
Défi 536 pe fera également, très probablement, ressortir un exemple de chaos. La description mathé-
et quelques programmes informatiques permettant une exploration personnelle de ce sujet. « Chaos » est
un terme ancien : d ’après la mythologie grecque, la première déesse, Gaia, c ’est-à-dire la Terre, émergea du
chaos qui régnait au Commencement du monde. Elle donna alors naissance aux autres dieux, aux animaux
et aux premiers êtres humains.
matique du chaos – simple pour certains cas d ’école mais extrêmement alambiquée pour
d ’autres – reste un important sujet de recherches.
Toutes les étapes du désordre à l ’ordre, à la quasi-périodicité et finalement au chaos
sont des exemples d ’auto-organisation. Ces types de mouvement, illustrés sur la Fi-
gure 144, sont observés dans un grand nombre de systèmes fluides. Leur étude devrait

Réf. 231 conduire, un jour, à une compréhension plus profonde des mystères de la turbulence. En
dépit de la fascination pour ce sujet, nous ne l ’explorerons pas davantage, parce qu ’elle
ne nous conduit pas dans la direction du sommet de la Montagne Mouvement.
Mais l ’auto-organisation est également d ’un grand intérêt pour une raison plus géné-
rale. Des gens affirment parfois que notre aptitude à formuler les modèles et les règles de
la nature à partir de l ’observation n’ implique pas que nous ayons la capacité de prédire
toutes les observations à partir de ces règles. D’après ce point de vue, des propriétés quali-
fiées d ’ « émergentes » existent, c ’est-à-dire des propriétés apparaissant dans des systèmes
complexes comme quelque chose de nouveau qui ne peut pas être déduit des propriétés
de leurs parties et de leurs interactions. (La toile de fond idéologique relative à cette idée
est évidente, ce fut la dernière tentative pour lutter contre le déterminisme.) L’étude de
l ’auto-organisation a définitivement tranché ce débat. Les propriétés des molécules d ’eau
doivent nous autoriser à prédire les chutes du Niagara*. De manière identique, la diffu-
sion des molécules messagères détermine le développement d ’une cellule unique dans
un corps humain tout entier : en particulier, des phénomènes coopératifs déterminent
les emplacements où les bras et les jambes sont formés. Ils garantissent la symétrie droite-
gauche (approximative) des corps humains, évitent les amalgames dans les connexions
lorsque les cellules de la rétine sont reliées au cerveau, et expliquent les motifs présents
sur la fourrure des zèbres et des léopards, pour ne citer que quelques exemples. De la
même manière, les mécanismes à l ’origine du battement du cœur et de nombreux autres
cycles ont été déchiffrés.
L’auto-organisation fournit des préceptes généraux qui nous permettent en principe
de prédire le comportement d ’un système complexe, quel qu ’ il soit. Ils sont actuellement
appliqués au système le plus complexe connu dans l ’univers : le cerveau humain. Les
particularités de la manière dont il apprend à coordonner le mouvement du corps, et
dont il extrait l ’ information à partir des images situées dans l ’œil sont en train d ’être
examinées intensivement. Le travail en cours dans ce domaine est passionnant. Si vous
Défi 538 pe projetez de devenir un scientifique, envisagez de prendre cette voie.
Toutes ces études apportent l ’argument décisif qui confirme ce que J. Offrey de la Met-
trie explorait et disséquait dans son célèbre ouvrage L’ homme machine en 1748 : les êtres
humains sont des machines complexes. En réalité, nos lacunes sur la compréhension des
systèmes complexes, par le passé, étaient dues principalement à l ’enseignement restric-
tif de l ’étude du mouvement, qui se concentrait généralement – comme nous le faisons
dans cette promenade – sur des exemples du mouvement dans des systèmes simples. Bien
que le sujet de l ’auto-organisation fournisse des perspectives séduisantes, et continuera
* Déjà, des versions réduites des chutes du Niagara, à savoir des robinets d ’eau qui fuient, dévoilent une
Réf. 232 grande étendue de phénomènes coopératifs, incluant la chute chaotique, c ’est-à-dire non périodique, des
gouttes d ’eau. Cela se produit lorsque l ’écoulement de l ’eau possède la bonne valeur, comme vous pouvez le
Défi 537 pe vérifier dans votre propre cuisine. Plusieurs phénomènes coopératifs fluides ont été simulés même au niveau
moléculaire.

tuyau
d'eau
perles
λ doigt
F I G U R E 146 La F I G U R E 147 Des F I G U R E 148 Un
surface perles d’eau. ruissellement d’eau en
ondulée des forme de tresses. (©
pics de glace. Vakhtang Putkaradze)
d ’en faire autant pendant les années à venir, nous le laissons maintenant de côté. Nous
poursuivons notre aventure destinée à l ’exploration des fondamentaux du mouvement*.
Ich sage euch : man muss noch Chaos in sich
“ haben, um einen tanzenden Stern gebären zu

können. Ich sage euch : ihr habt noch Chaos in
euch**.
Curiosités et défis amusants sur l ’ au to-organisation

Friedrich Nietzsche, Also sprach Zarathustra.
”
Tous les pics de glace possèdent une surface ondulée, avec une distance entre deux crêtes
d ’environ 1 cm, comme indiqué sur la Figure 146. La distance est déterminée par l ’ in-
fluence réciproque qui existe entre l ’écoulement de l ’eau et le refroidissement de la sur-
Défi 539 pe face. Comment ?
∗∗
Lorsque l ’on fait tournoyer du vin dans un verre à pied, après que le mouvement s’est
adouci, le vin qui coule vers le bas le long de la paroi du verre forme des petits arcs.
Défi 540 pe Pouvez-vous expliquer en quelques mots ce qui provoque cet effet ?
∗∗
Réf. 233 * Un exemple important d ’auto-organisation est l ’ humour.

** Je vous le dis : on doit encore avoir le chaos en nous-mêmes pour pouvoir naître d ’une étoile dansante. Je
vous le dis : vous avez encore le chaos en vous-mêmes.
Comment la distance moyenne entre des véhicules stationnés le long d ’une rue change-t-
elle au cours du temps, en supposant qu ’ il y ait un taux constant de véhicules qui arrivent
Défi 541 d et qui partent ?
∗∗

Lorsqu ’un délicat filet d ’eau coule d ’un robinet, mettre un doigt dans le ruissellement
provoque l ’apparition d ’une forme ondulée, telle que représentée sur la Figure 147. Pour-
Défi 542 d quoi ?
∗∗
Quand de l ’eau émerge d ’une ouverture oblongue, l ’écoulement produit un motif en
forme de tresses, comme indiqué sur la Figure 148. Cet effet résulte de l ’action mutuelle
Réf. 234 et de la compétition entre l ’ inertie et la tension de surface : l ’ inertie tend à élargir le flot,
alors que la tension de surface tend à le resserrer. La prédiction de la distance qui existe
entre une région rétrécie et la suivante constitue toujours un domaine de recherche.
Si l ’expérience est menée à l ’air libre, sans récipient, nous observons généralement un
effet supplémentaire : il y a un tressage chiral au niveau des zones resserrées, induit par
les asymétries de l ’écoulement de l ’eau. Vous pouvez observer cet effet dans les toilettes
lorsque vous urinez ! La curiosité scientifique ne connaît pas de limites : êtes-vous un
Défi 543 pe tresseur à droite, à gauche ou les deux à la fois ? Tous les jours ?
∗∗
Gerhard Müller a découvert une voie magnifique mais élémentaire pour observer l ’auto-
organisation dans les solides. Son système fournit également un modèle pour un pro-
cessus géologique très connu : la formation de colonnes hexagonales dans les basaltes,
comme dans le Devil ’s Staircase (l ’ Escalier du Diable) en Écosse. Des formations iden-
tiques sont repérées dans de nombreux autres endroits sur la Terre. Prenez simplement
Réf. 235 de la poudre de riz ou de la fécule de maïs, mélangez-la avec à peu près la moitié de cette
quantité en eau, déposez ce mélange dans une casserole et asséchez-le avec une chandelle.
Défi 544 e Des colonnes hexagonales se forment. L’analogie fonctionne parce que l ’assèchement de
l ’amidon et le refroidissement de la lave volcanique sont des processus diffusifs gouver-
nés par les mêmes équations, parce que les conditions limites sont les mêmes, et parce
que les deux matières réagissent avec une diminution modérée du volume.
∗∗
L’écoulement de l ’eau dans des tuyaux peut être laminaire (continu) ou turbulent (irré-
gulier et désordonné). La transition dépend du diamètre d du tuyau et de la vitesse v
de l ’eau. La transition se produit généralement lorsque le nombre de Reynolds – défini
comme étant égal à R = vd/η (η étant la viscosité cinématique de l ’eau, valant approxima-
tivement 1 mm2 /s) – devient supérieur à environ 2 000. Toutefois, des expériences atten-
tives montrent qu ’avec une manipulation adéquate des écoulements laminaires peuvent
être produits jusqu ’à R = 100 000. Une analyse linéaire des équations du mouvement du
fluide, les équations de Navier-Stokes, prédit même la stabilité de l ’écoulement laminaire
pour tous les nombres de Reynolds. Ce n’est que dans les années 2003 et 2004 que cette
énigme fut résolue. Premièrement, une analyse mathématique complexe indiqua que cet
écoulement laminaire n’est pas toujours stable, et que la transition vers la turbulence
dans un long tuyau survient lorsque des ondes se propagent. C ’est alors qu ’en 2004 des
expériences méticuleuses montrèrent que ces ondes de propagation apparaissent en fait
Réf. 236 lorsque de l ’eau s’écoule à travers un tuyau avec de grands nombres de Reynolds.
∗∗

Pour voir quelques images magnifiques de l ’auto-organisation dans les fluides, consul-
tez le site Web http://serve.me.nus.edu.sg/limtt. Entre autres, il montre qu ’un tourbillon
circulaire peut être « aspiré » dans un second situé juste derrière lui, et que ce processus
peut alors se répéter.
∗∗
La danse, aussi, est un exemple d ’auto-organisation. L’auto-organisation prend sa source
dans le cerveau. Comme pour tous les gestes compliqués, l ’apprentissage est alors sou-
vent un défi. De nos jours il existe des livres admirables qui disent comment la physique
Réf. 237 peut vous aider à améliorer votre habileté à la danse et votre grâce dans les mouvements.
∗∗
Voulez-vous vous amuser pendant vos études en doctorat de physique ? Allez dans un
magasin de jouets scientifiques et cherchez un objet qui se déplace d ’une manière parti-
culièrement complexe. Il y a de fortes chances que ce mouvement soit chaotique, explo-
rez ce mouvement et présentez une thèse sur celui-ci. (Ou plus simplement explorez le
mouvement d ’un câble suspendu dont l ’extrémité supérieure est remuée par une source
externe.)
C h a p i t r e 14
DE S F RON T I È R E S DE L A PH YSIQU E

AU X L I M I T E S DU MOU V E M E N T
Tout ce que je sais, c ’est que je ne sais rien.
“ Socrate, cité par Platon
La sentence de Socrate s’applique également à la physique galiléenne, en dépit de son

”
large succès triomphant dans les applications techniques et dans la description de la vie
quotidienne. Nous allons maintenant donner un court aperçu des lacunes existant dans
ce domaine.
Thèmes de recherche en dynamique classique

Bien que la science de la mécanique soit maintenant vieille de plusieurs centaines
d ’années, la recherche dans la compréhension de ses rouages est toujours en cours.
— Nous avons déjà mentionné ci-dessus le problème de la stabilité du Système solaire.
L’avenir à long terme des planètes est inconnu. En général, le comportement des sys-
tèmes à quelques corps qui interagissent à travers la gravitation est encore un sujet
Réf. 238 d ’ investigations de la physique mathématique. La recherche de la réponse à la ques-
tion simple de savoir combien de temps un ensemble donné de corps gravitant les
uns autour des autres restent ensemble est un défi fantastique. L’ histoire de ce pro-
blème à plusieurs corps est ancienne et compliquée. Des progrès intéressants ont été
accomplis, mais la réponse définitive nous échappe toujours.
— De nombreuses questions demeurent sans réponse dans le domaine de l ’auto-
organisation, des équations d ’évolution non linéaires, et du mouvement chaotique.
Elles motivent un grand nombre de chercheurs en mathématiques, physique, chimie,
biologie, médecine, et dans les autres disciplines scientifiques.
Q u ’ est-ce que le contact ?

Démocrite proclamait qu ’ il n’existe qu ’une
“ espèce de mouvement : celui qui découle de la

collision.
Simplicius de Cilicie, Commentaire sur la
Réf. 239 Physique d ’Aristote, 42, 10
De toutes les questions sans réponse de la physique classique, celles sur les détails
du contact et des collisions se situent parmi les plus pressantes. En réalité, nous avons
”
Page 72 défini la masse en termes de variations de vitesse durant des collisions. Mais pourquoi
286 14 des frontières de la physique
les objets changent-ils leur mouvement dans de telles occasions ? Pourquoi des collisions
entre deux boules faites en chewing-gum diffèrent-elles de celles entre deux boules en
acier inoxydable ? Que se passe-t-il pendant ces instants où le contact est établi ?
Le contact est associé aux propriétés matérielles, qui influencent à leur tour le mou-
vement d ’une manière complexe. La complexité est telle que les sciences qui étudient

les propriétés de la matière se développèrent indépendamment du reste de la physique
pendant très longtemps. Par exemple, les techniques de la métallurgie (fréquemment ci-
tée comme étant la plus ancienne de toutes les sciences), de la chimie et de la cuisine ne
furent rapprochées des propriétés du mouvement qu ’au vingtième siècle, après avoir été
exercées de manière indépendante pendant des centaines d ’années. Puisque les proprié-
tés matérielles déterminent l ’essence même du contact, nous avons besoin de la connais-
sance de la matière et des matériaux pour comprendre la notion de masse, et donc celle
du mouvement. La seconde partie de notre escalade de la montagne lèvera le voile sur
ces relations.
Précision et exactitude
Lorsque nous avons commencé à escalader la Montagne Mouvement, nous avons dé-
claré que pour gagner de l ’altitude il fallait accroître la précision dans notre description de
la nature. Pour rendre cette formulation elle-même encore plus précise, nous faisons une
distinction entre deux termes : la précision est le degré de reproductibilité, l ’ exactitude
représente le degré de conformité à la situation réelle. Ces deux notions s’appliquent aux
mesures*, aux énoncés et aux concepts physiques.
Appendix B En ce moment, le record du nombre de chiffres mesurés pour une quantité physique
est de 14. Pourquoi si peu ? La physique classique ne fournit pas de réponse. Quel est le
nombre maximum de chiffres que nous pouvons attendre des mesures, qu ’est-ce qui le
détermine, et comment pouvons-nous espérer l ’atteindre ? Ces questions sont toujours
sans réponses à ce niveau de notre ascension, elles seront abordées dans la seconde partie
de celle-ci.
D’un autre côté, les énoncés ayant une fausse exactitude abondent. Que devrions-
nous penser d ’un constructeur automobile – Ford – qui revendique que le coefficient de
Défi 545 s traînée c w d ’un de ses modèles est de 0,375 ? Ou de l ’affirmation officielle que le record
mondial de la consommation de carburant pour des véhicules est de 2 315,473 km/l ?
Ou de l ’allégation que 70,3 % de tous les citoyens partagent une certaine opinion ? Une
leçon que nous avons apprise des recherches sur les erreurs de mesures est que nous
ne devrions jamais fournir plus de chiffres concernant un résultat donné que celui dont
nous sommes sûrs et certains.
Est-il possible de dessiner ou de produire un rectangle pour lequel le rapport des lon-
gueurs est un nombre réel, par exemple 0, 131520091514001315211420010914..., dont les
Défi 546 s chiffres pourraient crypter un livre entier ? (Une méthode simple pourrait encoder un
espace comme 00, la lettre « a » comme 01, « b » comme 02, « c » comme 03, etc. De façon
encore plus intéressante, le nombre pourrait-il être imprimé à l ’ intérieur du livre qu ’ il
code ?)
* Pour les mesures, la précision et l ’exactitude sont toutes les deux mieux décrites par leur écart-type, comme
expliqué dans l ’ Annexe B, à la page 312.
aux limites du mouvement 287
Dans notre promenade, nous aspirons à toujours plus de précision et d ’exactitude,

tout en évitant en même temps la fausse exactitude. Donc, les concepts doivent en pre-
mier lieu être précis et les descriptions doivent être exactes. N ’ importe quelle inexacti-
tude est une preuve du manque de connaissance. Pour le dire sans ambages, « inexact »
signifie faux. L’augmentation de l ’exactitude et de la précision de notre description de

la nature nous suggère de laisser derrière nous toutes les erreurs que nous avons faites
jusqu ’à présent. Ce sera notre objectif pour la suite.
Est-ce que tou te la nature peu t être décrite dans un livre ?

Amusons-nous avec un casse-tête relatif à notre aventure. La parution d ’un ouvrage
de physique parfait, celui qui décrirait toute la nature, pourrait-elle se produire ? Si elle
le pouvait, le livre devrait également se décrire lui-même, sa propre construction – en
incluant ses lecteurs et son auteur – et, le plus important de tout, son propre contenu.
Un tel livre peut-il exister ? En utilisant le concept d ’ information, nous pouvons établir
que ce livre devrait inclure toute l ’ information contenue dans l ’univers. Est-ce possible ?
Examinons les possibilités.
Si la nature avait besoin d ’un livre infiniment long pour être entièrement décrite, une
telle publication ne pourrait évidemment pas exister. Dans ce cas, seules des descriptions
approximatives de la nature seraient possibles, et un livre exhaustif de physique ne pour-
rait être concevable.
Si la nature avait besoin d ’une quantité finie d ’ information pour sa description, deux
voies possibles se présentent. La première est que l ’ information de l ’univers ne pourrait
pas être récapitulée dans un livre, donc un livre de physique parfait serait une nouvelle
fois impossible. L’autre option est que l ’univers doit contenir une quantité finie d ’ in-
formation et qu ’ il peut être résumé en quelques petites formules. Cela impliquerait que
le reste de l ’univers n’ajouterait pas d ’ information à celle déjà contenue dans ce livre
complet sur la physique. Dans ce cas, il apparaît que l ’ entropie du livre et l ’entropie de
l ’univers devraient être identiques. Ceci semble tout à fait improbable.
Nous remarquons que la réponse à cette énigme fournit également la réponse à une
autre énigme : celle de savoir si un cerveau peut contenir une description complète de
la nature. En d ’autres termes, la véritable question est : pouvons-nous comprendre la
nature ? Notre excursion jusqu ’au sommet de la Montagne Mouvement est-elle possible ?
En général, nous le croyons. Finalement, nous croyons en quelque chose qui est plutôt
improbable : nous croyons que l ’univers ne contient pas plus d ’ information que ce que
notre cerveau peut contenir ou même contient déjà.
Avons-nous fait une erreur dans notre raisonnement ? Oui. Les mots « univers » et
« information » ne sont pas correctement utilisés dans l ’analyse qui précède, comme vous
Page ?? devriez pouvoir le vérifier. Nous trouverons une solution à ce casse-tête plus tard dans
Défi 547 e notre aventure. En attendant, creusez-vous la tête pour vous en faire une idée.
Pourquoi la mesure est-elle possible ?

Dans la description de la gravitation brossée jusqu ’à présent, l ’ information que cha-
cun a apprise – ou devrait avoir apprise – à l ’école, est que l ’accélération est reliée à
la masse et à la distance par a = GM/r 2 . C ’est tout. Mais cette simplicité est trompeuse.
Afin de vérifier si cette description est correcte, nous devons mesurer des longueurs et des
288 14 des frontières de la physique
durées. Cependant, il est impossible de mesurer des longueurs et des intervalles de temps
avec une horloge quelconque ou une règle quelconque fondées uniquement sur l ’ interac-
tion gravitationnelle ! Essayez de concevoir un tel dispositif et vous serez inévitablement
Défi 548 s déçu. Vous avez toujours besoin d ’une méthode non gravitationnelle pour actionner et
arrêter le chronomètre. De manière similaire, lorsque vous mesurez une longueur, par

exemple celle d ’une table, vous devez disposer une règle ou tout autre dispositif à proxi-
mité de celle-ci. L’ interaction nécessaire pour aligner la règle et la table ne peut pas être
gravitationnelle.
Une limitation identique s’applique même aux mesures des masses. Tentez de pe-
Défi 549 s ser une masse en utilisant seulement la gravitation. Toute bascule ou balance néces-
site d ’autres interactions – généralement mécaniques, électromagnétiques ou optiques –
pour remplir son rôle. Pouvez-vous confirmer que la même chose s’applique à la vitesse
Défi 550 s et aux mesures des angles ? En résumé, quelle que soit la méthode que nous utilisons,
pour mesurer la vitesse, la longueur, le temps et la masse, des interactions autres que la
gravité sont nécessaires. Notre capacité à faire des mesures montre que la gravité n’est pas
la seule à agir.
Le mouvement est-il illimité ?
La physique galiléenne n’explique pas notre aptitude à faire des mesures. En réa-
lité, elle n’explique pas non plus l ’existence des étalons de mesure. Pourquoi les objets
possèdent-ils des longueurs fixes ? Pourquoi les horloges fonctionnent-elles comme des
métronomes ? La physique galiléenne ne parvient pas à expliquer ces observations.
Elle ne formule également aucune explication évidente sur l ’univers de manière géné-
rale. Elle semble suggérer qu ’ il est infini. La finitude ne s’ajuste pas avec la description
galiléenne du mouvement. Celle-ci n’est donc que partielle dans ses explications parce
qu ’elle ne tient pas compte des limites du mouvement.
Nous remarquons également que l ’existence de vitesses infinies dans la nature ne nous
permettrait pas de définir des tranches de temps. La conception des horloges serait alors
impossible. En d ’autres termes, une description de la nature qui autorise des vitesses illi-
mitées n’est pas du tout précise. La précision requiert des limites. Pour atteindre la plus
haute précision possible, nous avons besoin de découvrir toutes les limites relatives au
mouvement. Jusqu ’à présent, nous n’en avons découvert qu ’une seule : il existe une en-
tropie minimale. Nous nous tournons dorénavant vers une autre limite, plus saisissante :
celle de la vitesse. Pour appréhender cette limite, nous allons explorer le mouvement le
plus rapide que nous connaissions : le mouvement de la lumière.
Annexe A
NOTAT ION ET C ON V E N T ION S

ous avons introduit puis défini, dans ce texte, des concepts nouveaux qui sont
N otés en italique. Ces nouvelles définitions sont également signalées dans l ’ index
par des numéros de page en italique. Naturellement, nous employons les unités du SI par-
tout dans ce livre, celles-ci sont définies dans l ’ Annexe B. Les résultats expérimentaux
sont cités avec une précision limitée, généralement à deux chiffres significatifs seulement,
puisque la plupart du temps cela est suffisant pour notre discussion. Des valeurs de réfé-
rence, de précision plus élevées, peuvent être consultées dans les annexes B et ??.
En relativité nous utilisons la convention de genre temps, où la métrique possède la
Réf. 240 signature (+ − − − ). 70 % environ de la littérature dans le monde entier l ’utilise. Nous
notons i, j, k, les indices des trivecteurs et a, b, c, etc. les indices des quadrivecteurs.
D’autres conventions spécifiques à la relativité générale sont expliquées lorsqu ’elles sont
mentionnées dans cet ouvrage.
L’ alphabet latin
Ce qui est rédigé sans effort est lu, en général,
Réf. 241
“ sans plaisir.
Samuel Johnson
Les livres sont des collections de symboles. L’écriture fut probablement inventée entre ”
3400 et 3300 av. J.-C. par les Sumériens, en Mésopotamie (bien que d ’autres éventua-
lités soient également discutées). Il fallut alors plus de mille ans pour que les gens com-
mencent à utiliser des symboles pour représenter des sons en lieu et place des concepts :
c ’est de cette manière que le premier alphabet fut créé. Cela s’est produit entre 2000
et 1600 av. J.-C. (peut-être en Égypte) et a marqué l ’avènement de l ’alphabet sémi-
tique. L’usage de cet alphabet offrit tant d ’avantages qu ’ il fut immédiatement adopté
dans toutes les cultures avoisinantes, sous différentes formes cependant. Par conséquent,
l ’alphabet sémitique est l ’ancêtre de tous les alphabets utilisés dans le monde.
Ce livre est rédigé en utilisant l ’alphabet latin. Au premier abord, cela semble vouloir
dire que sa prononciation ne peut être expliquée par écrit, contrairement à la pronon-
ciation d ’autres alphabets ou de l ’ Alphabet Phonétique International (API). (Celles-ci
peuvent être expliquées en utilisant l ’alphabet du texte fondateur.) Néanmoins, il est pos-
sible en principe d ’écrire un texte qui décrit exactement comment remuer les lèvres, la
bouche et la langue pour chaque lettre, en faisant appel à des concepts physiques, lorsque
cela s’avère nécessaire. Les descriptions des prononciations que nous trouvons dans les
dictionnaires utilisent indirectement ce procédé : ils se réfèrent à la mémoire des mots
290 a notation et conventions
ou des sons prononcés, que l ’on rencontre dans la nature.

Historiquement, l ’alphabet latin a été dérivé de l ’alphabet étrusque, qui constitue lui-
même une dérivation de l ’alphabet grec. Il en existe deux principales variantes.
L’alphabet latin archaïque,

utilisé à partir du sixième siècle av. J.-C. :
A B C D E F Z H I K L M N O P Q R S T V X
L’alphabet latin classique,

utilisé du deuxième siècle av. J.-C. jusqu ’au onzième siècle :
A B C D E F G H I K L M N O P Q R S T V X Y Z
La lettre G fut ajoutée au cours du troisième siècle av. J.-C., par le premier romain qui
ouvrit une école où il fallait s’acquitter d ’une taxe, Spurius Carvilius Ruga. Il ajouta une
barre horizontale à la lettre C et substitua cette nouvelle lettre à la lettre Z, qui n’était plus
utilisée en latin. Au cours du deuxième siècle av. J.-C., après la conquête de la Grèce,
les romains inclurent les lettres Y et Z de l ’alphabet grec à la fin du leur (réintroduisant
donc effectivement le Z) afin de pouvoir écrire les mots grecs. Cet alphabet latin classique
demeura inchangé pendant le millénaire suivant*.
L’alphabet latin classique a été diffusé à travers l ’ Europe, l ’Afrique et l ’Asie par les ro-
mains pendant leurs conquêtes. Grâce à sa simplicité, il commença à être utilisé pour
l ’écriture dans de nombreuses autres langues. La plupart des alphabets « latins » mo-
dernes comportent quelques autres lettres. La lettre W fut introduite au onzième siècle
en français et fut alors adoptée dans la majorité des langues européennes. La lettre U
fut introduite au milieu du quinzième siècle en Italie, la lettre J à la fin de ce siècle-là
Réf. 242 en Espagne, pour faire la distinction entre certains sons qui étaient précédemment re-
présentés par V et I. Cette distinction démontra son utilité et était déjà courante dans la
plupart des langues européennes, au seizième siècle. Les contractions æ et œ datent du
Moyen Âge. D’autres alphabets latins comportent des lettres supplémentaires, comme le
scharfes S allemand, noté ß, une contraction de « ss » ou « sz », the et les lettres nordiques
Réf. 243 thorn, écrites Þ ou þ, et eth, notée Ð ou ð, tirées du futhark**, plus d ’autres signes.
Les lettres minuscules n’étaient pas utilisées en latin classique, elles datent du Moyen
Âge seulement, de l ’époque de Charlemagne. Comme la plupart des accents, tels que ê,
ç ou ä, lesquels furent également utilisés pour la première fois au Moyen Âge, les lettres
minuscules furent introduites pour économiser la surface du papier, très cher à l ’époque,
en raccourcissant les mots écrits.
* Pour rencontrer des gens qui parlent et qui écrivent en latin, allez sur www.alcuinus.net.
** L’ écriture runique, également appelée futhark ou futhorc, un type d ’alphabet utilisé au Moyen Âge dans
les territoires germaniques, anglo-saxons et nordiques, dérive probablement aussi de l ’alphabet étrusque. La
désignation est issue des six premières lettres : f, u, th, a (ou o), r, k (ou c). La troisième lettre est la lettre
thorn mentionnée ci-dessus, elle est souvent écrite « Y » en ancien anglais, comme dans « Ye Olde Shoppe ».
L’ancien anglais a également emprunté à l ’alphabet runique la lettre wyn pour représenter le son « w », et le
Réf. 244 eth déjà mentionné. (Les autres lettres utilisées en ancien anglais – qui ne sont pas issues du futhorc – furent
le yogh, une vieille variante du g, et les ligatures æ ou Æ, appelées ash, et œ ou Œ, appelées ethel.)
notation et conventions 291
En dehors du chien, le livre est le meilleur ami
“ de l ’ homme. À l ’ intérieur du chien, il fait trop

sombre pour lire.
Groucho Marx
”
TA B L E AU 36 Les alphabets grecs archaïque et classique, et la correspondance avec le latin et le

système de numération indienne.
Arch. Class. Nom Corresp. Arch. Class. Nom Corresp.

Α Α α alpha a 1 Ν Ν ν nu n 50
Β Β β bêta b 2 Ξ Ξ ξ xi x 60
Γ Γ γ gamma g, n1 3 Ο Ο ο omicron o 70
∆ ∆ δ delta d 4 Π Π π pi p 80
Ε Ε ε epsilon e 5 P Ϟ, koppa3 q 90
F ϝ, Ϛ digamma, w 6 Ρ Ρ ρ rhô r, rh 100
stigma2 Σ Σ σ, ς sigma4 s 200
Ζ Ζ ζ zêta z 7 Τ Τ τ tau t 300
Η Η η êta e 8 Υ υ upsilon y, u5 400
Θ Θ θ thêta th 9 Φ φ phi ph, f 500
Ι Ι ι iota i, j 10 Χ χ chi ch 600
Κ Κ κ kappa k 20 Ψ ψ psi ps 700
Λ Λ λ lambda l 30 Ω ω oméga o 800
Μ Μ µ mu m 40 Λ Ϡ
v sampi6 s 900
Les lettres archaïques régionales yot, sha et san ne sont pas incluses dans ce tableau. La lettre san était l ’an-
cêtre de sampi.
1. Seulement s’ il est avant les vélaires, c ’est-à-dire avant kappa, gamma, xi et chi.
2. « Digamma » est la désignation employée pour la variante en forme de F. Il était principalement utilisé
comme lettre (mais aussi parfois, dans sa variante minuscule, en tant que nombre), alors que le tracé et
le terme « stigma » sont employés uniquement pour désigner le nombre 6. Ces deux désignations ont été
dérivées des tracés respectifs, en réalité le stigma est une variante médiévale et onciale de digamma. Le nom
« stigma » découle du fait que cette lettre ressemble à un sigma avec un tau attaché en dessous – bien que
malheureusement ce ne soit pas le cas dans toutes les polices de caractère modernes. Le nom original de la
lettre, donnant aussi sa prononciation, était « waw ».
3. La version de koppa qui ressemble à un z inversé et incliné est toujours utilisée de manière occasionnelle
en grec moderne. La norme Unicode appelle cette variante « koppa ».
4. La deuxième variante de sigma est employée uniquement à la fin des mots.
5. Uspilon correspond au « u » seulement en tant que seconde lettre dans les diphtongues.
6. Jadis, la lettre sampi était positionnée entre pi et koppa.
L’ alphabet grec
L’alphabet latin est dérivé de l ’étrusque, et l ’étrusque du grec. L’alphabet grec fut
lui-même issu de l ’alphabet phénicien ou d ’un alphabet, similaire, sémitique du nord
Réf. 245 au cours du dixième siècle av. J.-C. L’alphabet grec, pour la première fois, comportait
aussi des lettres pour représenter les voyelles, ce qui n’était pas le cas des alphabets sé-
mitiques (lesquels en trahissent encore souvent l ’absence). Dans l ’alphabet phénicien et

dans un grand nombre de ses dérivés, comme l ’alphabet grec, chaque lettre possède une
dénomination propre. Cela est en contradiction avec les alphabets étrusque et latin. Le
nom des deux premières lettres grecques sont, bien évidemment, à l ’origine du terme
alphabet lui-même.

Au dixième siècle av. J.-C., le ionien ou alphabet grec (oriental) archaïque était consti-
tué des lettres majuscules uniquement. Au sixième siècle av. J.-C. plusieurs lettres furent
abandonnées, tandis que quelques nouvelles lettres et les versions en minuscule furent
introduites, donnant naissance à l ’alphabet grec classique. Par la suite, les accents, les
indices et les aspirées furent introduits. Le Tableau 36 donne également les valeurs indi-
quées par ces lettres lorsqu ’elles étaient utilisées comme nombre. Pour cet usage particu-
lier, les anciennes lettres obsolètes furent conservées pendant la période classique, elles
se sont ainsi également vues attribuer des formes minuscules.
La correspondance latine dans le tableau est celle classique, qui est utilisée de manière
standard pour la transcription des mots grecs. La question de la prononciation correcte
du grec a été ardemment débattue dans les cercles de spécialistes, la prononciation éras-
mienne traditionnelle ne correspond ni aux résultats de la recherche linguistique, ni au
grec moderne. En grec classique, le bêlement de la brebis s’écrit βη–βη. (La prononcia-
tion érasmienne insiste à tort sur un η plus court, la prononciation du grec moderne est
différente pour β, lequel est dorénavant prononcé « v », et pour η, qui est maintenant pro-
noncé comme « i∶ » – un long « i ».) La prononciation du grec a manifestement varié au
cours du temps et d ’une région à l ’autre. Pour le grec attique, le principal dialecte parlé
dans la période classique, la question est dorénavant tranchée. La recherche linguistique
a montré que chi, phi et thêta étaient moins aspirés que tel qu ’ ils sont généralement
prononcés en français, et sonnent plus comme le son initial de « cartable », « parfait » et
« tintin ». De surcroît, le zêta semble avoir été prononcé plus comme « zd » tel que dans
le mot « mazdéen ». De même que pour les voyelles, contrairement à la tradition, epsilon
est fermé et court alors que êta est ouvert et long, omicron est fermé et court tandis que
oméga est large et long, et upsilon est en vérité un son « ou » comme dans « mou », et ne
ressemble pas au « u » français ou au « ü » allemand.
Les voyelles grecques peuvent avoir des aspirées rudes ou douces, des indices, et des
accents circonflexes ou diérèses aigus et graves. Les aspirées – utilisées également pour
ρ – déterminent si la lettre est prononcée en expirant l ’air. Les accents, qui étaient inter-
prétés avec une idée d ’ insistance dans la prononciation érasmienne, représentaient en
fait la hauteur des intonations. Le grec classique pouvait avoir jusqu ’à trois de ces signes
supplémentaires par lettre, le grec moderne n’en a jamais plus d ’un.
L’ alphabet cyrillique est un autre descendant de l ’alphabet grec*, il est employé avec
* L’alphabet grec est également à l ’origine de l ’ alphabet gotique, qui a été défini au quatrième siècle par
Wulfila pour la langue gotique, en utilisant également quelques signes provenant de l ’écriture latine et du
futhorc.
L’alphabet gotique ne doit pas être confondu avec ce que nous appelons l ’ écriture gothique, un style de
l ’alphabet latin utilisé dans toute l ’ Europe à partir du onzième siècle. Dans les territoires latins, les lettres go-
thiques furent remplacées au seizième siècle par l ’ Antiqua, l ’ancêtre de la fonte sur laquelle s’appuie ce texte.
Dans d ’autres pays, l ’écriture gothique resta en usage pendant plus longtemps. Elle était utilisée dans l ’ im-
primerie et dans les manuscrits en Allemagne jusqu ’en 1941, date où le gouvernement nazi l ’a subitement
abolie, afin de se conformer à une forte demande de la population. Elle fit l ’objet d ’un usage sporadique
des légères variantes dans de nombreuses langues slaves, comme le russe et le bulgare.
Néanmoins, il n’existe aucune transcription standard du cyrillique au latin, de telle sorte
que souvent, le même nom russe est épelé différemment dans des pays différents ou en-
core dans le même pays à différentes occasions.

TA B L E AU 37 Les débuts de l’abjad hébreu.
Lettre Nom Correspondance

ℵ aleph a 1
ℶ beth b 2
ℷ gimel g 3
ℸ daleth d 4
etc.
Alphabet hébreu et au tres écritures
L’alphabet phénicien est aussi à l ’origine de l ’alphabet hébraïque à base de consonnes
Réf. 246 ou abjad. Ses premières lettres sont données dans le Tableau 37. Seule la lettre aleph est
Page ?? communément utilisée en mathématiques, bien que d ’autres aient été proposées.
Une centaine de systèmes d ’écriture environ sont utilisés partout dans le monde. Les
spécialistes les classent en cinq groupes. Les alphabets phonématiques, tels que le latin ou
le grec, possèdent un signe pour chaque consonne et chaque voyelle. Les abjads ou alpha-
bets consonantiques, tels que l ’ hébreu ou l ’arabe, ont un signe pour chaque consonne
(en incluant parfois quelques voyelles, comme aleph), et ne transcrivent pas (toutes) les
voyelles, la plupart des abjads sont écrits de la droite vers la gauche. Les abugidas, égale-
ment dénommés alphabets syllabiques ou alphasyllabaires, tels que le balinais, le birman,
le devanagari, le tagalog, le thaïlandais, le tibétain ou le laotien, écrivent des consonnes
et des voyelles. Chaque consonne possède une voyelle par défaut qui peut être changée
en une autre à l ’aide d ’un signe diacritique. Les syllabaires, tels que le hiragana ou le
guèze, possèdent un signe pour chaque syllabe de la langue. Finalement, des écritures
complexes, comme le chinois, les hiéroglyphes mayas ou égyptiens, utilisent des signes
qui possèdent à la fois un son et une signification. Les systèmes d ’écriture peuvent avoir
un texte qui se lit de droite à gauche, et de bas en haut, et peuvent ainsi numéroter les
pages d ’un livre dans le sens opposé à ce livre.
Bien qu ’ il y ait environ 7 000 langues sur Terre, il n’existe à peu près qu ’une cen-
Réf. 247 taine de systèmes d ’écriture seulement en usage aujourd ’ hui. Cinquante autres systèmes
d ’écritures environ ne sont plus utilisés*. Pour les formules physiques et mathématiques,
cependant, le système de symboles utilisé dans ce texte, basé sur des lettres latines et
grecques, écrit de la gauche vers la droite et de haut en bas, est un standard employé par-
tout dans le monde. Il est utilisé de manière indépendante du système d ’écriture du texte
à travers l ’ Europe. Dans de nombreux livres de physique et de mathématiques, les lettres gothiques sont
utilisées pour symboliser des quantités vectorielles.
* Le site www.omniglot.com est un site Web bien conçu sur ce sujet. Les principaux systèmes d ’écriture
passés et actuels sont encodés en Unicode standard, qui englobe à présent 52 systèmes d ’écriture. Consultez
www.unicode.org.
qui le contient.
Chiffres et nombres
Les chiffres et la méthode utilisée dans ce livre pour écrire les nombres sont tous
deux originaires de l ’ Inde. Ils furent véhiculés jusqu ’à la méditerranée par les mathé-

maticiens arabes pendant le Moyen Âge. Le système de numération employé dans cet
ouvrage est ainsi beaucoup plus récent que l ’alphabet*. Les nombres indiens furent po-
pularisés en Europe par Léonard de Pise, appelé Fibonacci**, dans son ouvrage Liber
Abaci ou « Le livre des calculs », qu ’ il publia en 1202. Ce chef-d ’ œuvre révolutionna les
mathématiques. Quiconque avait une feuille de papier et une plume (le crayon n’avait
pas encore été inventé) était dorénavant capable d ’évaluer et de noter des nombres aussi
grands que lui permettait son imagination, ou plus grands encore, et d ’effectuer des cal-
culs avec eux. Le livre de Fibonacci commençait ainsi :
Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figu-
ris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet
numerus, ut inferius demonstratur***.
La méthode indienne pour écrire les nombres est constituée d ’une grande innovation, la
notation positionnelle, et d ’une petite, le chiffre zéro. La notation positionnelle, comme
elle fut décrite par Fibonacci, était tellement plus efficace qu ’elle remplaça entièrement le
système de numération romain antérieur, qui écrivait 1996 comme IVMM ou MCMIVC ou
MCMXCVI, ainsi que le système de numération grec, dans lequel les lettres grecques étaient
employées comme nombres de la manière indiquée dans le Tableau 36, écrivant donc
1996 ainsi : ͵αϠϞϚʹ. Par rapport à ces systèmes, les chiffres indiens sont beaucoup plus
perfectionnés. En vérité, le système indien s’avéra être si pratique que les calculs effectués
sur une feuille évincèrent complètement l ’usage impérieux du boulier, qui tomba par
conséquent en désuétude. Le boulier est toujours utilisé, seulement dans les régions qui
n’emploient pas une notation positionnelle pour écrire les nombres. (Le système indien
élimina également la nécessité d ’avoir des systèmes pour représenter les nombres à l ’aide
des doigts. De tels systèmes, qui peuvent représenter des nombres allant jusqu ’à 10 000 et
plus, n’ont laissé qu ’une seule trace : le mot anglais qui veut dire chiffre, « digit », dérive
du mot latin qui signifie doigt****.) De manière similaire, seul le système de numération
* L’ histoire du développement des nombres est contée de façon très intéressante par G. Ifrah, Histoire
universelle des chiffres, Seghers, 1981, qui a été traduit dans plusieurs langues. Il en synthétisa la généalogie en
dix magnifiques tableaux, un pour chaque chiffre, à la fin de son livre. Néanmoins, il contient de nombreuses
erreurs factuelles, comme expliqué dans les critiques www.ams.org/notices/200201/rev-dauben.pdf et www.
ams.org/notices/200202/rev-dauben.pdf.
Il n’est pas exact de qualifier les chiffres de 0 à 9 d ’ arabes. Les véritables chiffres arabes et les chiffres
utilisés dans les textes en latin, de même que le présent texte, dérivent tous des chiffres indiens. Seuls les
chiffres 0, 2, 3 et 7 ressemblent à ceux utilisés dans l ’écriture arabe, et alors seulement s’ ils sont inclinés de
90° dans le sens horaire.
** Léonard de Pise, appelé Fibonacci (n. vers 1175 Pise, d. 1250 Pise), fut un mathématicien italien, et le plus
important mathématicien de son époque.
*** « Les neuf figures des indiens sont : 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Avec ces neuf figures, et avec ce signe 0 qui est appelé
zephirum en arabe, n’ importe quel nombre peut être écrit, comme nous le démontrerons ci-dessous. »
**** En français, le mot chiffre vient de l ’arabe sifr, utilisé pour « zéro » et signifiant « le vide ». [N.d.T.]
à position permet les calculs mentaux et a rendu – et rend toujours – les prodiges du
calcul possibles*.
Les symb oles u tilisés dans ce texte

Pour éviter la fastidieuse répétition de ces mots

« est égal à » je poserai, comme je le fais souvent,
une paire de parallèles, ou deux lignes jumelles
de même longueur, donc « = », parce que rien
n’est plus pareil que deux jumeaux.
Outre le texte et les nombres, les livres de physique contiennent d ’autres symboles.
La plupart de ces symboles ont été développés sur des centaines d ’années, de telle façon
Robert Recorde**
”
que seuls les plus évidents et les plus simples d ’entre eux sont maintenant utilisés. Dans
cette ascension montagneuse, les symboles utilisés comme abréviations pour des quan-
tités physiques sont tous empruntés aux alphabets latin et grec et sont toujours définis
dans le contexte où ils sont employés. Les symboles désignant des unités, des constantes
et des particules sont définis dans les Annexes B et ??. Il existe une norme internationale
pour leur usage (ISO 31), mais elle est en fait inaccessible, les symboles utilisés dans ce
Réf. 246 texte sont ceux qui sont couramment utilisés.
Les symboles mathématiques dont fait usage ce livre, en particulier ceux concernant
les opérations et les relations, sont donnés dans la liste qui suit, en même temps que leurs
Réf. 249 origines. Leur genèse précise a été largement étudiée dans la littérature.
D’autres signes utilisés ici ont des origines plus compliquées. Le signe & est une
Réf. 250 contraction du latin et, comme cela se manifeste souvent plus clairement dans ses dif-
férentes déclinaisons, comme &, la forme italique commune.
Chacun des signes de ponctuation employés dans les phrases avec les alphabets latins
modernes, tels que , . ; : ! ? ‘ ’ « » – ( ) ... possède sa propre histoire. Nombre d ’entre eux
sont issus de la Grèce antique, mais le point d ’ interrogation provient du règne de Charle-
Réf. 251 magne, et le point d ’exclamation apparaît pour la première fois au seizième siècle***. Le
@ ou arobase émerge probablement d ’une abréviation médiévale du latin ad, signifiant
Réf. 252 « à », de la même manière que le signe & évolua du latin et. Très récemment, le smiley :-)
et ses diverses déclinaisons sont devenus populaires. Le smiley est en fait une nouvelle
version du « point d ’ ironie » qui a été autrefois proposé, sans succès, par A. de Brahm
(1868–1942).
* Actuellement, le temps le plus court pour découvrir la treizième racine (entière) d ’un nombre à cent
chiffres, dont le résultat est à 8 chiffres, est de 11,8 secondes. Pour en savoir plus sur les récits et les méthodes
Réf. 248 des prodiges du calcul, consultez la bibliographie.
** Robert Recorde (vers 1510–1558) était un mathématicien et médecin anglais, il mourut en prison car il
avait des dettes. Cette citation est tirée de son ouvrage The Whetstone of Witte, 1557. Une image indiquant
cette phrase dans son manuscrit peut être consultée sur le site Web members.aol.com/jeff94100/witte.jpg.
On propose en général que cette citation est la première introduction du signe égal, des revendications qui
stipulent que les mathématiciens italiens employaient le signe égal avant Recorde, ne sont confirmés par
Réf. 249 aucun exemple convaincant.
*** Sur les parenthèses, lisez le magnifique ouvrage de J. Lennard, But I Digress, Oxford University Press,
1991.
Symbole S i g n i f i c at i o n Origine
+, − plus, moins J. Regiomontanus 1456 ; le signe plus est

dérivé du latin « et »
√
se prononce « racine carée » utilisé par C. Rudolff en 1525 ; ce signe
provient d ’une déformation de la lettre

« r », initiale du mot latin radix
= égal à R. Recorde 1557
{ }, [ ], ( ) symboles de groupement son usage commença au seizième siècle
>, < plus grand que, plus petit que T. Harriot 1631
× multiplié par, fois W. Oughtred 1631
∶ divisé par G. Leibniz 1684
⋅ multiplié par, fois G. Leibniz 1698
an puissance R. Descartes 1637
x, y, z coordonnées, inconnues R. Descartes 1637
ax +b y + c = 0 constantes et équations pour des incon- R. Descartes 1637
nues
d/dx, dx, dérivée, différentielle, intégrale G. Leibniz 1675
∫ y dx
φx fonction de x J. Bernoulli 1718
f x, f (x) fonction de x L. Euler 1734
∆x, ∑ différence, somme L. Euler 1755
≠ est différent de L. Euler dix-huitième siècle
∂/∂x dérivée partielle, lire comme « d/dx » il fut emprunté à une forme cursive de
« d » ou de la lettre « de » de l ’alphabet
cyrillique par A. Legendre en 1786
∆ opérateur laplacien R. Murphy 1833
∣x∣ valeur absolue K. Weierstrass 1841
∇ prononcer « nabla » (ou « del ») introduit par William Hamilton en 1853
et P.G. Tait en 1867, par analogie avec la
forme d ’un ancien instrument musical
égyptien
[x] l ’unité de mesure d ’une quantité x vingtième siècle
∞ infini J. Wallis 1655
π 4 arctan 1 H. Jones 1706
e ∑ n=0 n!1 = lim n→∞ (1 + 1/n)n L. Euler 1736
∞
√
i + −1 L. Euler 1777
∪, ∩ union et intersection d ’ensembles G. Peano 1888
∈ élément de G. Peano 1888
∅ ensemble vide André Weil en tant que membre du
groupe N. Bourbaki au début du ving-
tième siècle
⟨ψ∣, ∣ψ⟩ vecteurs d ’état bra et ket Paul Dirac 1930
⊗ produit dyadique, produit tensoriel ou inconnue
produit de Kronecker
Le symbole paragraphe § apparut au treizième siècle en Italie du nord, comme le montra

Réf. 253 le paléographe allemand Paul Lehmann. Il fut dérivé de versions ornementales de la lettre
capitale C pour capitulum, c ’est-à-dire « petite tête » ou « chapitre ». Ce signe se manifesta
pour la première fois dans les textes juridiques, où il est toujours d ’usage aujourd ’ hui,

puis se répandit dans d ’autres domaines.
Le pied de mouche ¶ a été dérivé d ’une forme ancienne plus simple ressemblant à la
lettre grecque Γ, un signe qui était utilisé dans les manuscrits de la Grèce antique jusque
tard au Moyen Âge, pour marquer le début d ’un nouveau paragraphe de texte. Au Moyen
Âge il prit sa forme moderne, probablement parce qu ’une lettre c pour caput fut ajoutée
devant lui.
Un des plus importants symboles parmi tous, l ’ espace blanc qui sépare les mots,
Réf. 254 provient des influences celtiques et germaniques lorsque ces sociétés commencèrent à uti-
liser l ’alphabet latin. Il devint d ’usage commun entre le neuvième et le treizième siècle,
en fonction de la langue considérée.
C alendriers
Les multiples manières de conserver une trace du temps diffèrent grandement d ’une
civilisation à l ’autre. Le calendrier le plus courant, et celui utilisé dans ce texte, est éga-
lement l ’un des plus insensé, puisqu ’ il constitue un compromis entre les diverses forces
politiques qui s’efforcèrent de le façonner.
Jadis, des entités localement indépendantes, comme des tribus ou des villes, préfé-
raient les calendriers lunaires, parce que la mesure du temps lunaire est localement fa-
cile à mettre en œuvre. Cela a conduit à l ’usage du mois comme unité calendaire. Les
états centralisés ont imposé des calendriers solaires, fondés sur l ’année. Les calendriers
solaires exigent des astronomes, et donc une autorité centrale pour les financer. Pour
diverses raisons, les agriculteurs, les hommes politiques, les percepteurs des impôts, les
astronomes, et certains groupes religieux, mais pas tous, voulaient que le calendrier suive
l ’année solaire aussi précisément que possible. Les ajustements nécessaires entre les jours
et les années sont à l ’origine des jours intercalaires. Les compromis indispensables entre
les mois et l ’année qui conduisirent aux longueurs variables des mois sont différents se-
lon les calendriers. La structure année–mois la plus couramment employée fut aménagée
il y a plus de 2 000 ans par Jules César, et est donc appelée le calendrier julien.
Ce système fut anéanti quelques années plus tard seulement : août fut allongé à 31
jours lorsqu ’ il fut baptisé d ’après le nom de l ’empereur Auguste. Initialement, ce mois
ne comportait que 30 jours, mais afin de montrer qu ’Auguste était aussi important que
César, qui donna son nom à juillet, toutes les longueurs des mois de la seconde moitié
de l ’année furent modifiées, et février fut raccourci d ’un jour supplémentaire.
Réf. 255 La semaine est une invention du royaume de Babylone. Une journée dans la semaine
babylonienne était « malfaisante » ou « malchanceuse », donc il valait mieux ne rien faire
ce jour-là. Le cycle moderne de la semaine, avec son jour de repos, est issu de cette super-
stition. (La manière dont la superstition astrologique et l ’astronomie coopérèrent pour
Page 152 déterminer l ’ordre des jours de la semaine est exposée dans la section sur la gravitation.)
Bien qu ’ayant à peu près trois mille ans d ’âge, la semaine fut pleinement intégrée dans
le calendrier julien autour de l ’an 300 environ, vers la fin de l ’ Empire romain d ’Occi-
dent. L’ultime changement dans le calendrier julien se produisit entre 1582 et 1917 (en
fonction du pays), lorsque des mesures plus précises de l ’année solaire furent utilisées
pour établir une nouvelle méthode permettant de déterminer les jours intercalaires, une
procédure toujours utilisée aujourd ’ hui. Associé à une réinitialisation de la date et la

détermination du rythme de la semaine, ce standard est appelé le calendrier grégorien
ou plus simplement le calendrier moderne. Il est utilisé par la majorité de la population
mondiale.
Malgré sa complexité, le calendrier moderne vous permet vraiment de déterminer le
jour de la semaine d ’une date donnée que vous auriez en tête. Exécutez simplement les
six étapes qui suivent :
1. Prenez les deux derniers chiffres de l ’année, et divisez par 4, mettez de côté toute
fraction résiduelle ;
2. Ajoutez les deux derniers chiffres de l ’année ;
3. Défalquez 1 pour janvier ou février ou une année bissextile ;
4. Ajoutez 6 pour les années 2000 ou 1600, 4 pour les années 1700 ou 2100,
2 pour les années 1800 ou 2200, et 0 pour les années 1900 ou 1500 ;
5. Ajoutez le jour du mois ;
6. Ajoutez la valeur clé correspondant au mois, à savoir 144 025 036 146 pour JFM AMJ
JAS OND.
Le reste de la division par 7 donne le jour de la semaine, sachant que la correspondance
1-2-3-4-5-6-0 signifie Dimanche–Lundi–Mardi–Mercredi–Jeudi–Vendredi–Samedi*.
La manière de commencer à compter les années est une question de choix. La plus
ancienne méthode non liée aux structures du pouvoir politique en place, est celle qui
était utilisée dans la Grèce antique, les années étaient alors comptées à partir des pre-
miers Jeux Olympiques. Les gens avaient l ’ habitude de dire, par exemple, qu ’ ils étaient
nés dans la première année de la vingt-troisième olympiade. Par la suite, les forces po-
litiques ont systématiquement imposé la numérotation des années à compter d ’un cer-
tain événement important**. Peut-être qu ’ il serait digne d ’envisager la réintroduction
du comptage olympique ?
* Le fait de se souvenir du résultat intermédiaire pour l ’année en cours peut simplifier encore plus les choses,
en particulier puisque les dates 4.4, 6.6, 8.8, 10.10, 12.12, 9.5, 5.9, 7.11, 11.7 et le dernier jour de février tombent
tous sur le même jour de la semaine, à savoir sur le résultat intermédiaire de l ’année plus 4.
** La comptabilisation actuelle des années fut définie au Moyen Âge en fixant la date du fondement de Rome
à l ’an 753 av. J.-C., ou 753 avant Jésus-Christ, et en comptant donc en arrière, de telle sorte que les années
av. J.-C. se comportent presque comme des nombres négatifs. Cependant, l ’an 1 suit immédiatement l ’an
1 av. J.-C. : il n’y a pas eu d ’an 0.
Certains autres standards établis par l ’ Empire Romain expliquent plusieurs abréviations employées dans
la littérature :
- c. est une abréviation latine pour circa et signifie « environ »,
- i.e. est une abréviation latine pour id est et signifie « c ’est-à-dire »,
- e.g. est une abréviation latine pour exempli gratia et signifie « par la grâce de l ’exemple »,
- ibid. est une abréviation latine pour ibidem et signifie « au même endroit »,
- inf. est une abréviation latine pour infra et signifie « (voir) ci-dessous »,
- op. cit. est une abréviation latine pour opus citatum et signifie « le travail cité »,
- et al. est une abréviation latine pour et alii et signifie « et les autres ».
Par ailleurs, idem signifie « le même » et passim veut dire « çà et là » ou « en tous sens ». De nombreuses
expressions employées en physique, comme la fréquence, l ’accélération, la vitesse, la masse, la force, la quan-
Abréviations et éponymes ou concepts ?

Des propositions telle que celle qui suit sont une calamité pour la physique moderne :
Le paradoxe EPR dans la formulation de Bohm peut probablement être résolu en
faisant appel à l ’approche GRW, en utilisant l ’approximation WKB de l ’équation de
Schrödinger.

L’usage de ce vocabulaire constitue la meilleure façon de rendre le discours inintelligible
pour les profanes. En premier lieu, il utilise des abréviations, ce qui est une infamie. Par
dessus tout, cette phrase utilise le nom d ’ individus pour caractériser des concepts, c ’est-
à-dire qu ’elle utilise des éponymes. À l ’origine, les éponymes étaient adressés comme
hommages à d ’éminents accomplissements. Aujourd ’ hui, alors que la formulation de
nouvelles lois ou variables fondamentales est devenue pratiquement impossible, la diffu-
sion d ’éponymes, compréhensibles pour un nombre sans cesse décroissant de personnes,
reflète simplement une course vers la renommée de plus en plus stérile.
Les éponymes représentent une preuve du manque d ’ imagination des scientifiques.
Nous les évitons autant que possible dans notre promenade et donnons des noms com-
muns aux équations ou entités mathématiques, partout où cela est possible. Les noms des
personnes sont alors utilisés comme appositions à ces désignations. Par exemple, « l ’équa-
tion du mouvement de Newton » n’est jamais appelée « l ’équation de Newton », « les équa-
tions du champ d ’ Einstein » est cité au lieu des « équations d ’ Einstein » et « l ’équation
du mouvement de Heisenberg » est employé à la place de « l ’équation de Heisenberg ».
Toutefois, certaines exceptions sont inévitables : quelques termes employés en phy-
sique moderne n’ont aucune véritable alternative. La constante de Boltzmann, l ’échelle
de Planck, la longueur d ’onde de Compton, l ’effet Casimir, les groupes de Lie et l ’algèbre
de Virasoro en sont des exemples. En compensation, ce texte s’assure que vous pouvez
consulter les définitions de ces concepts grâce à l ’ index. De surcroît, celui-ci tente d ’en
Réf. 257 rendre sa lecture très agréable.
tité de mouvement, l ’ inertie, la gravitation et la température, sont dérivées du latin. En réalité, l ’ idée selon
laquelle la langue de la science a été le latin pendant plus de deux mille ans reste un sujet de controverses. À
l ’époque des romains c ’était le vocabulaire latin avec la grammaire latine, à l ’époque moderne elle se chan-
gea en vocabulaire latin avec grammaire française, puis pendant une brève période en vocabulaire latin avec
grammaire allemande, après quoi elle se modifia en vocabulaire latin avec grammaire anglaise/américaine.
Un grand nombre d ’unités de mesure date également de l ’époque romaine, comme nous l ’expliquerons
Réf. 256 dans le prochain annexe. Même l ’engouement pour les termes techniques grecs, comme le montre l ’ inven-
tion des mots « gyroscope », « entropie » ou « proton », date de l ’époque des romains.
Annexe B
U N I T É S , M E SU R E S ET C ON STA N T E S

esurer consiste à comparer avec un étalon. Un étalon est basé sur une unité. Une
M ultitude de systèmes d ’unités différents ont été utilisés à travers le monde. La plu-
part des étalons confèrent du pouvoir à l ’organisme qui en a la charge. Une telle autorité
peut être utilisée abusivement : c ’est le cas aujourd ’ hui, par exemple dans l ’ industrie
informatique, et il en était de même jadis. La solution est identique dans les deux situa-
tions : mettre sur pied un étalon indépendant et général. Au sujet des unités, cela eut
lieu au dix-huitième siècle : pour éviter des abus de la part d ’ institutions autoritaires,
pour évincer les problèmes dus aux unités de référence différentes, variables et non re-
productibles, et – ce n’est pas une blague – pour simplifier le recouvrement des impôts,
un groupe de scientifiques, d ’ hommes politiques et d ’économistes se sont mis d ’accord
sur un ensemble d ’unités. On l ’appelle le Système International d’ Unités, SI en abrégé, et
il est défini par un traité international, la « Convention du Mètre ». Les unités sont régies
par un organisme international, la « Conférence Générale des Poids et Mesures », et ses
organisations filles, la « Commission Internationale des Poids et Mesures » et le « Bureau
International des Poids et Mesures » (BIPM), qui ont toutes vu le jour au même moment,
Réf. 258 juste avant la Révolution française.
Toutes les unités du SI sont construites à partir de sept unités de base, dont les défini-
tions officielles sont données ci-dessous, avec les dates de leurs formulations :
« La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la
transition entre les deux niveaux hyperfins de l ’état fondamental de l ’atome de césium
133 à une température de 0 kelvin. » (1967)*
« Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une
durée de 1/299 792 458 seconde. » (1983)
« Le kilogramme est l ’unité de masse. Il est égal à la masse du prototype international
du kilogramme. » (1901)*
« L’ ampère est l ’ intensité d ’un courant constant qui, maintenu dans deux conduc-
teurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés
à une distance de un mètre l ’un de l ’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs
une force égale à 2 ⋅ 10−7 newton par mètre de longueur. » (1948)
« Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273,16 de la
température thermodynamique du point triple de l ’eau. » (1967)*
« La mole est la quantité de matière d ’un système contenant autant d ’entités élémen-
taires qu ’ il y a d ’atomes dans 0,012 kilogramme de carbone 12. » (1971)*
« La candela est l ’ intensité lumineuse, dans une direction donnée, d ’une source qui
émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540⋅1012 hertz et dont l ’ intensité
unités, mesures et constantes 301
énergétique dans cette direction est de 1/683 watt par stéradian. » (1979)*
Notez que les unités de temps et de longueur sont toutes les deux définies à partir de
certaines propriétés d ’un modèle de référence du mouvement, à savoir la lumière. C ’est
une illustration supplémentaire qui souligne le fait que l ’observation du mouvement, qui
est le type fondamental de changement, est une condition préalable à la définition et à la

construction du temps et de l ’espace. Par ailleurs, l ’emploi de la lumière dans les défini-
tions avait déjà été proposé en 1827 par Jacques Babinet*.
À partir de ces unités de base, toutes les autres unités sont définies par multiplication
et division. Ainsi, toutes les unités du SI possèdent les propriétés suivantes :
Les unités du SI forment un système ayant la précision de l ’état de l ’art : toutes les
unités sont définies avec une précision qui est supérieure à la précision des mesures cou-
ramment effectuées. De plus, la précision de ces définitions est régulièrement améliorée.
L’ incertitude relative actuelle dans la définition de la seconde se situe autour de 10−14 ,
10−10 environ pour le mètre, 10−9 environ pour le kilogramme, 10−7 pour l ’ampère, moins
de 10−6 pour la mole, 10−6 pour le kelvin et 10−3 pour la candela.
Les unités du SI forment un système absolu : toutes les unités sont définies de telle
manière qu ’elles puissent être reproduites dans tout laboratoire convenablement équipé,
de manière indépendante, et avec une précision élevée. Cela permet d ’éviter autant que
possible tout abus de la part de l ’organisation qui détermine les étalons. (Le kilogramme,
toujours défini à l ’aide d ’un artéfact, est la dernière exception à cette exigence, une re-
cherche intensive est en cours pour éliminer cet objet de la définition – une compétition
internationale qui prendra encore quelques années. Il existe deux approches : dénombrer
des particules ou fixer ħ. La première peut être accomplie dans des cristaux, la dernière
en utilisant n’ importe quelle formule où ħ apparaît, comme la formule de la longueur
d ’onde de de Broglie ou celle de l ’ effet Josephson.)
Les unités du SI forment un système pratique : les unités de base sont des quantités
dont la grandeur est familière. Les unités couramment employées possèdent des dénomi-
nations et des abréviations standard. La liste complète inclut les sept unités de base, les
unités supplémentaires, les unités dérivées et les unités admises.
Les unités supplémentaires du SI sont les deux suivantes : l ’unité de l ’angle (plan),
défini comme étant le rapport de la longueur de l ’arc au rayon, est le radian (rad). Pour
l ’angle solide, défini comme étant le rapport de la surface sous-tendue au carré du rayon,
l ’unité est le stéradian (sr).
Les unités dérivées ayant un nom spécial, dans leur désignation officielle en français,
c ’est-à-dire sans lettre capitale et sans accent, sont :
* Les symboles respectifs sont s, m, kg, A, K, mol et cd. Le prototype international du kilogramme est un
cylindre en platine–iridium conservé au BIPM à Sèvres, en France. Pour obtenir plus de précisions sur les
Réf. 259 niveaux de l ’atome de césium, consultez un livre sur la physique atomique. L’échelle Celsius d ’une tempé-
rature θ est définie ainsi : θ/°C = T/K − 273, 15, remarquez le minuscule écart avec le nombre apparaissant
dans la définition du kelvin. Le SI stipule également : « Lorsqu ’on emploie la mole, les entités élémentaires
doivent être spécifiées et peuvent être des atomes, des molécules, des ions, des électrons, d ’autres particules
ou des groupements spécifiés de telles particules ». Dans la définition de la mole, nous sous-entendons que
les atomes du carbone 12 sont non liés, au repos et dans leur état fondamental. Dans la définition de la can-
dela, la fréquence de la lumière correspond à 555,5 nm, c ’est-à-dire la couleur verte, qui est à peu près égale
à la longueur d ’onde où l ’ œil est le plus sensible.
* Jacques Babinet (1794–1874) fut un physicien français qui publia des travaux importants en optique.
302 b unités, mesures et constantes
Nom Symbole Nom Symbole
hertz Hz = 1/s newton N = kg m/s2

pascal Pa = N/m2 = kg/m s2 joule J = Nm = kg m2 /s2
watt W = kg m2 /s3 coulomb C = As
V = kg m2 /As3 F = As/V = A2 s4 /kg m2

volt farad
ohm Ω = V/A = kg m2 /A2 s3 siemens S = 1/Ω
weber Wb = Vs = kg m2 /As2 tesla T = Wb/m2 = kg/As2 = kg/Cs
henry H = Vs/A = kg m2 /A2 s2 degré Celsius °C (cf. définition du kelvin)
lumen lm = cd sr lux lx = lm/m2 = cd sr/m2
becquerel Bq = 1/s gray Gy = J/kg = m2 /s2
sievert Sv = J/kg = m2 /s2 katal kat = mol/s
Nous remarquons que dans toutes les définitions de ces unités, le kilogramme n’ap-
paraît qu ’aux puissances 1, 0 et -1. L’explication finale de cette réalité n’est apparue que
Défi 551 pe récemment. Pouvez-vous tenter d ’en formuler la raison ?
Les unités admises non SI sont la minute, l ’ heure, le jour (pour le temps), le degré 1○ =
π/180 rad, la minute 1′ = π/10 800 rad, la seconde 1′′ = π/648 000 rad (pour les angles), le
litre et la tonne. On doit éviter toutes les autres unités.
On rend plus pratiques toutes les unités du SI grâce à l ’ introduction de désignations
et d ’abréviations standard pour les puissances de dix, que nous appelons les préfixes* :
10n N o m S y m b . 10n N o m S y m b . 10n N o m S y m b . 10n N o m S y m b .

101 déca da 10−1 déci d 1018 exa E 10−18 atto a
102 hecto h 10−2 centi c 1021 zetta Z 10−21 zepto z
103 kilo k 10−3 milli m 1024 yotta Y 10−24 yocto y
106 méga M 10−6 micro µ non officiel : Réf. 260
109 giga G 10−9 nano n 10 27
xenta X 10−27 xenno x
1012 téra T 10−12 pico p 1030 wekta W 10−30 weko w
1015 péta P 10−15 femto f 1033 vendekta V 10−33 vendeko v
1036 udekta U 10−36 udeko u
* Certains de ces noms sont inventés (yocto qui se prononce de manière presque identique au latin octo
« huit », zepto qui se prononce presque comme le mot latin septem, yotta et zetta qui leur ressemblent, exa
et péta qui se prononcent comme les mots grecs ἑξάκις et πεντάκις pour « six fois » et « cinq fois », ceux qui
ne sont pas officiels se prononcent comme les mots grecs désignant neuf, dix, onze et douze). Certains sont
issus du danois/norvégien (atto pour atten « dix-huit », femto pour femten « quinze »), certains proviennent
du latin (de mille, de centum « cent », de decem « dix », de nanus « nain »), certains sont tirés de l ’ italien
(de piccolo « petit »), certains sont grecs (micro provient de µικρός « petit », déca/déka de δέκα « dix », hecto
de ἑκατόν « cent », kilo de χίλιοι « mille », méga de µέγας « grand », giga de γίγας « géant », téra de τέρας
« monstre »).
Interprétez : J ’étais bloqué dans un tel embouteillage que j’ai mis un microsiècle pour faire un picoparsec
Défi 552 e et que ma consommation de carburant fut de deux dixièmes d ’un millimètre carré.
Les unités du SI forment un système exhaustif : elles recouvrent de manière systé-

matique l ’ensemble complet des observables de la physique. Qui plus est, elles fixent
également les unités de mesure de toutes les autres sciences.
Les unités du SI forment un système universel : elles peuvent être utilisées dans le
monde des affaires, dans l ’ industrie, dans le commerce, à la maison, dans l ’enseigne-

ment et dans la recherche. Elles pourraient même être employées par des civilisations
extraterrestres, si celles-ci existaient.
Les unités du SI forment un système cohérent : le produit ou le quotient de deux
unités du SI est aussi une unité du SI. Cela signifie qu ’en principe, la même abréviation,
« SI » par exemple, pourrait être utilisée pour chaque unité.
Les unités du SI ne constituent pas l ’unique ensemble possible qui puisse vérifier
toutes ces conditions, mais elles sont le seul système existant qui le fait*.
Rappelez-vous que puisque chaque mesure est une comparaison avec un étalon de
référence, toute mesure exige de la matière pour réaliser l ’étalon (oui, même pour la
vitesse standard), et du rayonnement pour accomplir cette comparaison. Le concept de
mesure suppose donc que la matière et le rayonnement existent et qu ’ ils peuvent être
Page ?? clairement dissociés l ’un de l ’autre.
Unités naturelles de Planck

Puisque la forme exacte de nombreuses équations dépend du système d ’unités uti-
lisé, les physiciens théoriciens emploient souvent des systèmes d ’unités optimisés pour
produire des équations sous une forme simple. Les unités choisies et les valeurs des
constantes de la nature sont reliées. En physique microscopique, le système des unités
naturelles de Planck est souvent utilisé. Il est défini en posant c = 1, ħ = 1, G = 1, k = 1,
ε 0 = 1/4π et µ 0 = 4π. Les unités de Planck sont donc définies à partir de combinaisons
de constantes fondamentales, celles qui correspondent aux unités de base du SI sont don-
nées dans le Tableau 39**. Ce tableau est également utile pour convertir des équations
Défi 553 e notées en unités naturelles aux unités du SI : substituez simplement chaque quantité X
par X/X Pl .
* La plupart des unités non SI qui sont toujours d ’usage dans le monde sont d ’origine romaine. Le mile pro-
vient de milia passum, qui était équivalent à mille (doubles) enjambées d ’environ 1 480 mm chacune. Aujour-
d ’ hui un mile nautique, autrefois défini comme une minute d ’arc à la surface de la Terre, vaut exactement
1 852 m. Le pouce vient de uncia/onzia (un douzième – d ’un pied actuel). La livre (de l ’anglais « pound » qui
vient de pondere « peser ») est employée comme une traduction de libra – balance – qui est à l ’origine de son
abréviation lb. Même la coutume de compter en douzaines au lieu de dizaines est d ’origine romaine. Celles-
ci et les autres unités toutes aussi cocasses – comme le système dans lequel toutes les unités commencent
avec un « f », et qui utilise le furlong/quinze jours comme unité de vitesse – sont dorénavant officiellement
définies comme des multiples des unités du SI.
** Les unités naturelles xPl données ici sont celles qui sont couramment utilisées aujourd ’ hui, c ’est-à-dire
celles définies en utilisant la constante ħ, et non, comme le fit à l ’origine Planck, en utilisant la constante
h = 2πħ. Les unités électromagnétiques peuvent aussi être définies à l ’aide d ’autres facteurs que 4πε0 dans
les expressions : par exemple, en utilisant 4πε0 α, avec la constante de structure fine α, on obtient q Pl = e.
Pour des explications sur les nombres situés entre parenthèses, les écarts types, lisez la page 312.
TA B L E AU 39 Les unités naturelles (non corrigées) de Planck.
Nom Définition Va l e u r
Unités de base
√
Longueur de Planck l Pl = ħG/c 3 = 1,616 0(12) ⋅ 10−35 m

√
Durée de Planck t Pl = ħG/c 5 = 5,390 6(40) ⋅ 10−44 s
√
Masse de Planck m Pl = ħc/G = 21,767(16) µg
√
Courant de Planck I Pl = 4πε 0 c 6 /G = 3,479 3(22) ⋅ 1025 A
√
Température de Planck TPl = ħc 5 /Gk 2 = 1,417 1(91) ⋅ 1032 K
Unités triviales
Vitesse de Planck v Pl = c = 0,3 Gm/s
Moment cinétique de Planck L Pl = ħ = 1,1 ⋅ 10−34 Js
Quantum d ’action de Planck S aPl = ħ = 1,1 ⋅ 10−34 Js
= =
Entropie de Planck S ePl k 13,8 yJ/K
Unités dérivées
Densité de Planck ρ Pl = c 5 /G 2 ħ
√ = 5,2 ⋅ 1096 kg/m3
Énergie de Planck E Pl = ħc 5 /G = 2,0 GJ = 1,2 ⋅ 1028 eV
√
Quantité de mouvement de Planck p Pl = ħc 3 /G = 6,5 Ns
Puissance de Planck PPl = c /G
5
= 3,6 ⋅ 1052 W
Force de Planck FPl = c 4 /G = 1,2 ⋅ 1044 N
Pression de Planck p Pl = c 7 /Għ
√ = 4,6 ⋅ 10113 Pa
Accélération de Planck a Pl = c 7 /ħG = 5,6 ⋅ 1051 m/s2
√
Fréquence de Planck f Pl = c 5 /ħG = 1,9 ⋅ 1043 Hz
√
Charge électrique de Planck q Pl = 4πε 0 cħ = 1,9 aC = 11,7 e
√
Tension de Planck U Pl = c 4 /4πε 0 G = 1,0 ⋅ 1027 V
Résistance de Planck R Pl = 1/4πε√ 0c = 30,0 Ω
Capacité électrique de Planck C Pl = 4πε 0 ħG/c 3 = 1,8 ⋅ 10−45 F
√
Inductance de Planck L Pl = (1/4πε 0 ) ħG/c 7 = 1,6 ⋅ 10−42 H
√
Champ électrique de Planck E Pl = c 7 /4πε 0 ħG 2 = 6,5 ⋅ 1061 V/m
√
Densité du flux magnétique de Planck B Pl = c 5 /4πε 0 ħG 2 = 2,2 ⋅ 1053 T
Les unités naturelles sont importantes à un autre égard : à chaque fois qu ’une quantité
est imprudemment qualifiée d ’ « infiniment petite (ou grande) », l ’expression correcte
à considérer est « aussi petite (ou aussi grande) que l ’unité de Planck corrigée corres-
pondante ». Comme on l ’explique tout au long de ce texte, et particulièrement dans la
Page ?? partie finale, cette substitution est possible parce que presque toutes les unités de Planck
fournissent, dans la limite d ’un facteur de correction de l ’ordre de 1, la valeur extré-
male pour l ’observable correspondante – certaines une borne supérieure et d ’autres une
limite inférieure. Malheureusement, ces facteurs de correction ne sont pas encore large-
ment déterminés. La valeur extrémale exacte pour chaque observable dans la nature est
obtenue lorsque G est remplacé par 4G, ħ par ħ/2, k par k/2 et 4πε 0 par 8πε 0 α dans
toutes les quantités de Planck. Ces valeurs extrémales, ou unités de Planck corrigées, sont
les véritables unités naturelles. Il est possible de dépasser les valeurs extrémales, mais uni-

Défi 554 s quement pour certaines quantités étendues. (Pouvez-vous deviner lesquelles ?)
Au tres systèmes d ’ unités

Un objectif central de la recherche en physique des hautes énergies est l ’évaluation
des intensités de toutes les interactions. Par conséquent il n’est pas pratique de fixer la
constante de la gravitation G à un, comme dans le système des unités de Planck. Pour
cette raison, les physiciens des hautes énergies fixent souvent c = ħ = k = 1 et µ 0 = 1/ε 0 =
4π*, laissant seulement la constante gravitationnelle G dans les équations.
Dans ce système, il n’y a qu ’une seule unité fondamentale, mais son choix reste libre.
Souvent, une longueur standard est choisie comme unité de base, longueur qui est l ’ar-
chétype d ’une quantité mesurée. Les observables physiques les plus importantes sont
alors reliées par
1/[l 2 ] = [E]2 = [F] = [B] = [E électrique ] ,

1/[l] = [E] = [m] = [p] = [a] = [ f ] = [I] = [U] = [T] ,
1 = [v] = [q] = [e] = [R] = [S action ] = [S entropie ] = ħ = c = k = [α] , (101)
[l] = 1/[E] = [t] = [C] = [L] et
[l]2 =1/[E]2 = [G] = [P]
où nous avons noté [x] l ’unité de la quantité x. Cependant, l ’utilisation de la même

unité pour le temps, la capacité électrique et l ’ inductance n’est pas du goût de tout le
monde, et par conséquent les électriciens n’utilisent pas ce système**.
Souvent, afin d ’avoir un aperçu des énergies nécessaires pour observer un effet en
cours d ’étude, on choisit une énergie de référence comme unité fondamentale. En phy-
sique des particules l ’unité d ’énergie la plus courante est l ’ électronvolt (eV), défini
comme étant l ’énergie cinétique acquise par un électron lorsqu ’ il est accéléré par une
* Des définitions différentes pour les constantes de proportionnalité en électrodynamique conduisent, entres
autres, au système d ’unités gaussiennes souvent utilisé dans les calculs théoriques, au système d ’unités de
Réf. 261 Heaviside–Lorentz, au système d ’unités électrostatiques et au système d ’unités électromagnétiques.
** Dans cette liste, l est la longueur, E l ’énergie, F la force, Eélectrique le champ électrique et B le champ ma-
gnétique, m la masse, p la quantité de mouvement, a l ’accélération, f la fréquence, I l ’ intensité du courant
électrique, U la tension, T la température, v la vitesse, q la charge électrique, R la résistance, P la puissance,
G la constante de la gravitation.
La page Web www.chemie.fu-berlin.de/chemistry/general/units_en.html fournit un outil pour convertir
diverses unités l ’une vers l ’autre.
Les chercheurs en relativité générale emploient fréquemment un autre système, dans lequel le rayon de
Schwarzschild rs = 2Gm/c 2 est utilisé pour mesurer des masses, en posant c = G = 1. Dans ce cas, la masse
et la longueur possèdent la même dimension, et ħ possède la dimension d ’une surface.
√ √
Réf. 262 Déjà au dix-neuvième siècle, George Stoney avait suggéré d ’utiliser comme unités de longueur, de temps
et de √masse les quantités lS = Ge 2 /(c 4 4πε0 ) = 1,4 ⋅ 10−36 m, tS = Ge 2 /(c 6 4πε0 ) = 4,6 ⋅ 10−45 s et
Défi 555 s mS = e 2 /(G4πε0 ) = 1,9 µg. Comment ces unités sont-elles reliées aux unités de Planck ?
différence de potentiel électrique de 1 volt (« protonvolt » serait une désignation plus ap-
propriée). Ainsi nous avons 1 eV = 1,6 ⋅ 10−19 J, ou approximativement
1 eV ≈ 1
6
aJ (102)
ce qui est facile à mémoriser. La simplification c = ħ = 1 donne G = 6,9 ⋅ 10−57 eV−2 et

nous permet aussi d ’utiliser l ’unité eV pour la masse, la quantité de mouvement, la tem-
pérature, la fréquence, le temps et la distance, à l ’aide des correspondances respectives
Défi 556 e 1 eV ≡ 1,8 ⋅ 10−36 kg ≡ 5,4 ⋅ 10−28 Ns ≡ 242 THz ≡ 11,6 kK et 1 eV−1 ≡ 4,1 fs ≡ 1,2 µm.
Pour pouvoir se représenter l ’unité eV, les relations qui suivent sont utiles. La tempé-
rature ambiante, généralement considérée comme étant de 20°C ou 293 K, correspond à
une énergie cinétique par particule de 0,025 eV ou 4,0 zJ. L’énergie la plus élevée d ’une
particule, mesurée jusqu ’à présent, appartient à un rayon cosmique d ’une énergie de
Réf. 263 3 ⋅ 1020 eV ou 48 J. Ici bas, sur la Terre, nous avons construit un accélérateur capable de
produire une énergie d ’environ 105 GeV ou 17 nJ pour des électrons et des anti-électrons,
et un autre capable de produire une énergie de 10 TeV ou 1,6 µJ pour des protons sera
bientôt achevé. Ils appartiennent tous les deux au CERN à Genève et possèdent une cir-
conférence de 27 km.
La température la plus basse mesurée jusqu ’à présent est de 280 pK, dans un système
Réf. 264 de noyaux de rhodium maintenus par un procédé de refroidissement particulier. L’ inté-
rieur de ce cryostat serait même le point le plus froid de tout l ’univers. L’énergie ciné-
tique par particule correspondant à cette température est également la plus petite jamais
mesurée : elle correspond à 24 feV ou 3,8 vJ = 3,8 ⋅ 10−33 J. Pour des particules isolées, le
record semble être celui de neutrons : des énergies cinétiques aussi faibles que 10−7 eV
ont été obtenues, ce qui correspond à des longueurs d ’onde de de Broglie de 60 nm.
Curiosités et défis amusants sur les unités

Le fait de ne pas utiliser les unités du SI peut coûter cher. En 1999, la NASA a perdu un
satellite sur Mars parce que certains programmeurs de logiciels avaient utilisé des unités
impériales* à la place des unités du SI dans des lignes de code. En conséquence, Mars
Climate Orbiter s’écrasa sur la planète, au lieu de graviter autour de celle-ci. La perte fut
évaluée à 100 millions d ’euros environ**.
∗∗
Le gray est la quantité de radioactivité qui dépose 1 J sur 1 kg de matière. Le sievert est
l ’unité de radioactivité adaptée aux êtres humains en pondérant chaque type de tissu
humain à l ’aide d ’un facteur représentatif de l ’ impact que le rayonnement dépose sur
celui-ci. Quatre à cinq sieverts constituent une dose létale pour les êtres humains. En
comparaison, la radioactivité naturelle présente à l ’ intérieur du corps humain conduit
à une dose de 0,2 mSv par an. Une radiographie moyenne aux rayons X engendre une
Réf. 265 radiation de 1 mSv, un scanner, 8 mSv.
* Des unités de mesure anglo-saxonnes. [N.d.T.]

** Ce récit ranima une vieille (et fausse) rumeur qui affirme que seuls trois pays dans le monde n’utilisent
pas les unités du SI : le Libéria, les États-Unis et la Birmanie.
TA B L E AU 40 Quelques valeurs mesurées de puissances visibles (intensités lumineuses).
O b s e r va t i o n Intensité
lumineuse
Flamme de bougie 1 cd

Lampe de poche 2 cd
Feux de position d ’une voiture 10 cd
Plein phare d ’une voiture (avec réflecteur, centre du faisceau) 60 cd
Lampe de cinéma 1,5 kcd
Flash photographique 1 Mcd
Phare 2 Mcd
Les plus gros projecteurs 80 Mcd
∗∗
Vous êtes décontenancés par la candela ? La définition dit simplement que 683 cd =
683 lm/sr correspond à 1 W/sr. La candela est donc une unité de la puissance lumineuse
par angle (solide), ou d ’ intensité lumineuse, mis à part qu ’elle est corrigée pour s’ajus-
ter à la sensibilité de l ’ œil : la candela mesure simplement la puissance visible par unité
d ’angle.
De manière similaire, 683 lm = 683 cd sr correspond à 1 W. Donc le lumen et le watt
mesurent tous les deux de la puissance, ou du flux d ’énergie, mais le lumen mesure uni-
quement la partie visible de la puissance ou flux énergétique. Cette différence est expri-
mée en insérant les qualificatifs « radiant » ou « lumineux » : ainsi, le watt mesure le flux
radiant, tandis que le lumen mesure le flux lumineux.
Le facteur 683 est d ’origine historique. Une chandelle ordinaire émet une intensité
lumineuse d ’environ une candela. Par conséquent, la nuit, une chandelle peut être vue
Défi 557 e jusqu ’à une distance de 10 ou 20 kilomètres. Une ampoule à incandescence de 100 W
produit 1 700 lm, et les diodes émettrices de lumière les plus brillantes environ 5 lm. Les
projecteurs de cinéma produisent environ 2 Mlm, et les flashs les plus intenses, comme
l ’ éclair, 100 Mlm.
L’ éclairement énergétique de la lumière du soleil est d ’environ 1 300 W/m2 lors d ’une
journée ensoleillée. Par ailleurs, l ’ éclairement lumineux n’est que de 120 klm/m2 =
120 klux ou 170 W/m2 . (Une journée d ’été recouverte de nuages ou une journée d ’ hiver
dégagée produit environ 10 klux. L’éclairement lumineux est principalement ce que nous
appelons la « luminosité » dans la vie courante.) Ces nombres indiquent que la plupart
de l ’énergie du Soleil qui parvient à la Terre se situe en dehors du spectre visible.
Sur un glacier, près de la côte, sur le sommet d ’une montagne, ou lors de conditions
météorologiques particulières, la luminosité peut atteindre 150 klux. Les lampes les plus
brillantes, celles utilisées pendant les opérations chirurgicales, produisent 120 klux. Les
hommes ont besoin d ’environ 30 lux pour une lecture confortable. Les musées sont sou-
vent maintenus dans l ’obscurité parce que les peintures à l ’eau sont dégradées par la
lumière au-delà de 100 lux, et les peintures à l ’ huile au dessus de 200 lux. La pleine lune
Réf. 266 produit 0,1 lux, et le ciel lors d ’une nuit sombre sans lune, environ 1 mlux. Les yeux
conservent leur aptitude à distinguer les couleurs quelque part entre 0,1 lux et 0,01 lux,
TA B L E AU 41 Quelques valeurs mesurées d’éclairements lumineux.
O b s e r va t i o n Éclairement
lumineux
Pâle étoile 0,1 nlx

Sirius 10 µlx
Le phot (ancienne unité d ’éclairement lumineux) 10 µlx
Jupiter 20 µlx
Pleine Lune 0,01 à 0,24 lx
La rue la nuit, faible trafic, faible éclairage 0,1 à 3 lx
La rue la nuit, fort trafic 10 à 30 lx
Pour la lecture 50 à 100 lx
Écran de cinéma 100 lx
Lieu de travail 0,2 à 5 klx
Journée nuageuse 1 klx
Journée ensoleillée 120 klx
Film dans un projecteur de cinéma 5 Mlx
Douloureux pour l ’ œil 100 Mlx
l ’ œil cesse de remplir sa fonction en deçà de 1 nlux. Les dispositifs techniques qui pro-
duisent des images dans l ’obscurité, telles que les lunettes de vision nocturne, com-
mencent à fonctionner à partir de 1 µlux. Par ailleurs, le corps humain lui-même brille à
environ 1 plux, une valeur trop faible pour pouvoir être décelée par l ’ œil, mais facilement
mesurable à l ’aide d ’appareils spécialisés. La source de cette émission reste toujours du
domaine de la recherche.
∗∗
Les plus fortes intensités lumineuses atteignent plus de 1018 W/m2 , soit plus de 15 ordres
de grandeur au dessus de l ’ intensité de la lumière du soleil. Elles sont produites par des
focalisations très étroites de lasers pulsés. Le champ électrique de ces impulsions lumi-
neuses est du même ordre que le champ situé à l ’ intérieur des atomes, un tel faisceau
Réf. 267 ionise par conséquent toute la matière qu ’ il rencontre.
∗∗
La densité lumineuse est une quantité qui est souvent utilisée par les spécialistes de la
lumière. Son unité est 1 cd/m2 , que l ’on désigne officieusement 1 Nit et abrégé 1 nt. Les
yeux voient, uniquement avec les bâtonnets, de 0,1 µcd/m2 à 1 mcd/m2 , ils voient avec
les cônes simplement au-dessus de 5 cd/m2 , la perception est meilleure entre 100 et
50 000 cd/m2 , et ils deviennent complètement éblouis au-delà de 10 Mcd/m2 : soit une
étendue totale de 15 ordres de grandeur.
∗∗
La longueur de Planck est approximativement égale à la longueur d ’onde de de Broglie
Réf. 268 λB = h/mv d ’un homme marchant à son aise (m = 80 kg, v = 0,5 m/s), ce mouvement
est par conséquent appelé à juste titre la « promenade de Planck ».

∗∗
La masse de Planck est égale à la masse d ’environ 1019 protons. C ’est approximativement
la masse d ’un embryon humain, à l ’âge de dix jours environ.

∗∗
La seconde ne correspond plus à 1/86 400ème du jour, bien que ce fût le cas en l ’an
1900. La Terre met maintenant environ 86 400,002 s pour effectuer une rotation, de telle
sorte que le Service international de la rotation terrestre doit régulièrement introduire une
seconde intercalaire pour s’assurer que le Soleil est à son plus haut niveau dans le ciel à
midi tapante*. Le temps défini de cette manière est appelé Temps Universel Coordonné. La
vitesse de rotation de la Terre varie également de manière irrégulière d ’un jour à l ’autre
à cause des conditions météorologiques, la vitesse de rotation moyenne fluctue même
entre l ’ hiver et l ’été à cause des changements qui surviennent dans les calottes glaciaires
polaires, et de surcroît cette moyenne diminue au cours du temps à cause du frottement
engendré par les marées. La fréquence d ’ insertion de ces secondes intercalaires est par
conséquent supérieure à une fois tous les 500 jours, et n’est pas constante dans le temps.
∗∗
Les quantités mesurées de la manière la plus précise dans la nature sont les fréquences de
certains pulsars millisecondes**, la fréquence de certaines transitions atomiques étroites,
et la constante de Rydberg de l ’ hydrogène atomique, qui peuvent toutes être mesurées
aussi précisément qu ’est définie la seconde. La transition du césium qui définit la seconde
possède une largeur finie de sa raie spectrale, ce qui restreint la précision accessible : cette
limite est d ’environ 14 chiffres.
∗∗
L’ horloge la plus précise jamais réalisée, en utilisant des micro-ondes, possède une stabi-
Réf. 269 lité de 10−16 pendant une durée de fonctionnement de 500 s. Pour des durées plus longues,
le record en 1997 fut d ’environ 10−15 , mais des valeurs tournant autour de 10−17 semblent
Réf. 270 rester du domaine du technologiquement possible. La précision des horloges est limitée
par le bruit pour des brèves durées de mesure, et pour des longues durées de mesure par
des biais, c ’est-à-dire par des effets systématiques. La région de la plus forte stabilité dé-
pend du type d ’ horloge utilisée, elle se situe généralement entre 1 ms pour des horloges
optiques et 5 000 s pour des masers. Les pulsars sont le seul type d ’ horloge pour lequel
cette région n’est pas encore déterminée, elle se situe vraisemblablement à plus de 20
années, c ’est-à-dire le temps qui s’est écoulé entre leur découverte et l ’ instant où nous
écrivons ces lignes.
∗∗
* Leur site Web sur hpiers.obspm.fr donne plus de précisions sur les particularités de ces insertions, comme
sur maia.usno.navy.mil, l ’un des quelques sites Web militaires utiles. Consultez aussi www.bipm.fr, le site
du BIPM.
** Un tour d ’ horizon de ce travail fascinant en est donné par J. H. Taylor, Pulsar timing and relativistic
gravity, Philosophical Transactions of the Royal Society, London A 341, pp. 117–134, 1992.
Les durées les plus brèves qui ont été mesurées sont les durées de vie de certaines parti-
cules « élémentaires ». En particulier, la durée de vie de certains mésons D a été évaluée à
Réf. 271 moins de 10−23 s. De telles périodes sont mesurées en utilisant une chambre à bulles, dans
laquelle la trace est photographiée. Pouvez-vous estimer quelle est la longueur de cette
Défi 558 s trajectoire ? (C ’est une question trompeuse – si votre longueur ne peut pas être observée

à l ’aide d ’un microscope optique, c ’est que vous avez fait une erreur dans vos calculs.)
∗∗
Les durées les plus longues que l ’on rencontre dans la nature sont les durées de vie de
certains isotopes radioactifs, plus de 1015 années, et la limite inférieure de certaines dés-
intégrations de protons, soit 1032 années. Ces périodes sont donc beaucoup plus grandes
Réf. 272 que l ’âge de l ’univers, estimé à quatorze milliards d ’années.
∗∗
Les constantes fondamentales de la physique mesurées avec le moins de précision sont la
constante de la gravitation G et la constante de couplage de l ’ interaction forte α s . L’âge
de l ’univers et sa densité sont déterminés avec encore moins de précision (regardez le
Page 315 Tableau 44).
∗∗
La précision des mesures de masse des solides est limitée par des effets simples tels que
l ’adsorption de l ’eau. Pouvez-vous estimer la masse d ’une monocouche d ’eau – une
Défi 559 s couche ayant l ’épaisseur d ’une seule molécule – sur un métal pesant 1 kg ?
∗∗
Les variations des quantités sont souvent beaucoup plus faciles à mesurer que leurs va-
leurs. Par exemple, dans les détecteurs d ’ondes gravitationnelles, la sensibilité atteinte
Réf. 273 en 1992 était ∆l/l = 3 ⋅ 10−19 pour des longueurs de l ’ordre de 1 m. Autrement dit, pour
un bloc de métal d ’environ un mètre cube il est possible de mesurer des variations de
longueur à peu près 3 000 fois plus petites que le rayon d ’un proton. Ces dispositifs sont
dorénavant en train d ’être surpassés par les interféromètres en anneau. Des interféro-
mètres en anneau mesurant des différences de fréquence de 10−21 ont déjà été construits,
Réf. 274 et ils sont toujours en cours de perfectionnement.
∗∗
L’astronome suédois Anders Celsius (1701–1744) fixa initialement le point de congélation
de l ’eau à 100 degrés et le point d ’ébullition à 0 degré. Cette échelle fut inversée par la
Réf. 275 suite. Cependant, l ’ histoire ne se termine pas là. Avec la définition officielle du kelvin
et du degré Celsius, à la pression standard de 1 013,25 Pa, l ’eau bout à 99,974°C. Pouvez-
Défi 560 s vous expliquer pourquoi ce n’est plus 100°C ?
∗∗
Au cours du millénaire précédent, on avait coutume de mesurer l ’énergie thermique en
utilisant la calorie comme unité, notée cal. 1 cal est l ’énergie nécessaire pour réchauffer 1 g
d ’eau de 1 K. Pour compliquer les choses, 1 kcal était souvent noté 1 Cal. (Nous parlions
également de grande et de petite calorie.) 1 kcal vaut 4,1868 kJ.
∗∗
Les unités du SI sont adaptées aux êtres humains : les valeurs du battement de cœur, de la
taille humaine, du poids, de la température et de la quantité de substance d ’un homme
se rapprochent de la valeur unitaire à guère plus d ’un couple d ’ordres de grandeurs.
Les unités du SI confirment donc (approximativement) ce que disait Protagoras il y a 25

siècles : « L’ homme est la mesure de toutes choses ».
∗∗
Certains systèmes d ’unités sont particulièrement mal adaptés aux hommes. Le plus in-
fâme d ’entre eux est la taille S des chaussures. C ’est un nombre pur calculé ainsi :
S France = 1,5 cm−1 (l + 1 ± 1 cm)

S Europe centrale = 1,5748 cm−1 (l + 1 ± 1 cm)
S Homme anglo−saxon = 1,181 cm−1 (l + 1 ± 1 cm) − 22 (103)
où l représente la longueur d ’un pied et la correction de longueur dépend de l ’entreprise
de confection. De surcroît, la formule anglo-saxonne n’est pas valable pour les femmes
et les enfants, où le premier facteur dépend, pour des raisons marketing, à la fois du fa-
bricant et de la taille elle-même. Le standard ISO exige, de façon non surprenante, d ’ex-
primer la longueur du pied en millimètres.
∗∗
Le tableau des préfixes du SI recouvre 72 ordres de grandeurs. Combien de préfixes sup-
plémentaires seraient nécessaires ? Même une liste très longue n’ incorporera qu ’une par-
tie infime de l ’étendue infinie des possibilités. La Conférence Générale des Poids et Me-
sures devra-t-elle se poursuive éternellement, pour définir un nombre infini de préfixes
Défi 561 s du SI ? Pourquoi ?
∗∗
Le philosophe français Voltaire, après avoir rencontré Newton, publia l ’ histoire mainte-
nant célèbre qui raconte que la correspondance entre la chute des objets et le mouvement
de la Lune fut découverte par Newton lorsqu ’ il vit une pomme tomber d ’un arbre. Plus
d ’un siècle plus tard, juste avant la Révolution Française, un jury de scientifiques dé-
cida de prendre comme unité de la force précisément celle exercée par la gravité sur une
pomme étalon, et de la baptiser du nom de ce scientifique anglais. Après une étude ap-
profondie, on trouva que la masse de la pomme étalon était de 101,9716 g, son poids fut
donc appelé 1 newton. Depuis lors, les visiteurs du musée à Sèvres près de Paris ont eu la
possibilité d ’admirer le mètre étalon, le kilogramme étalon et la pomme étalon*.
* Pour être franc, c ’est une blague : il n’existe aucune pomme étalon. Par contre, ce qui suit n’est pas une
plaisanterie : des propriétaires de plusieurs pommiers en Grande-Bretagne et aux États-Unis prétendirent
descendre, suite à un déracinement, de l ’arbre original sous lequel Newton eut sont trait de génie. Des tests
Réf. 276 ADN ont même été réalisés pour décider s’ ils dérivaient tous du même arbre. De façon non surprenante, le
résultat a établi que l ’arbre situé au MIT, contrairement à ceux de Grande-Bretagne, est un faux.
N
nombre de mesures
écart type

largeur totale à la moitié du maximum
(LTMM)
courbe limite pour un grand nombre

de mesures
x x
valeur moyenne valeurs mesurées
F I G U R E 149 Une expérience de précision et sa distribution des mesures.
Précision et exactitude des mesures
Comme nous l ’avons expliqué à la page 286, la précision exprime dans quelle mesure
un résultat est bien reproduit lorsque l ’évaluation est réitérée, l ’ exactitude est le degré de
correspondance d ’une mesure à la véritable valeur. Le manque de précision est dû à des
erreurs aléatoires ou accidentelles, la meilleure façon de les quantifier consiste à évaluer
l ’ écart-type, généralement noté σ, qui est défini par :
1 n
σ2 = 2
∑(x i − x̄) , (104)
n − 1 i=1
où x̄ représente la moyenne des mesures x i . (Pouvez-vous imaginer pourquoi on utilise

Défi 562 s n − 1 dans la formule au lieu de n ?)
Pour la plupart des expériences, la distribution des valeurs des mesures tend vers une
loi normale, également appelée loi de Laplace–Gauss, à partir du moment où nous ac-
croissons le nombre de mesures. La distribution, indiquée dans la Figure 149, est décrite
par l ’expression
N(x) ≈ e−
(x− x̄)2
2σ 2 . (105)
Le carré de l ’écart type, σ 2 , est également appelé la variance. Pour une loi gaussienne des
Défi 563 e valeurs de mesure, 2, 35σ est la largeur totale de la courbe à la moitié du maximum.
Le manque d ’exactitude est dû à des erreurs systématiques, on ne peut généralement
que les estimer, seulement. Cette estimation est souvent ajoutée aux erreurs aléatoires
pour produire une erreur expérimentale totale, également parfois dénommée incertitude
Réf. 277 totale.
Les tableaux qui suivent fournissent les valeurs des constantes physiques et des pro-
priétés des particules les plus importantes, en unités du SI et dans quelques autres uni-
Réf. 278 tés courantes, comme on les trouve dans les sources de référence. Ces valeurs sont les
moyennes mondiales des meilleures mesures effectuées jusqu ’à présent. Comme d ’ ha-
bitude, les biais expérimentaux, incluant à la fois les erreurs aléatoires et les erreurs sys-
tématiques estimées, sont exprimées en donnant l ’écart type dans les derniers chiffres,
par exemple 0,31(6) signifie – grosso modo – 0, 31 ± 0, 06. En réalité, derrière chacun des
nombres qui apparaissent dans les tableaux suivants se cache une longue histoire qu ’ il

serait digne de conter, mais pour lesquelles nous n’avons pas suffisamment de place ici*.
Quelles sont les limites à l ’exactitude et à la précision ? Il n’existe aucun procédé,
même en principe, permettant de mesurer une longueur x jusqu ’à une précision supé-
rieure à environ 61 chiffres, parce que ∆x/x > l Pl /dhorizon = 10−61 . (Cela est-il également
Défi 564 pe vrai pour la force ou pour le volume ?) Dans la dernière partie de notre texte, l ’examen
Page ?? des horloges et des mètres étalons renforcera cette limite théorique.
Mais il n’est pas difficile de déduire des limites pratiques plus strictes. Aucune ma-
chine imaginable ne peut mesurer des quantités avec une précision plus élevée que la
mesure du diamètre de la Terre à une incertitude près égale à la longueur la plus petite
jamais mesurée, soit 10−19 m environ, c ’est-à-dire environ 26 chiffres de précision. En
utilisant une limite plus réaliste d ’une machine d ’une taille de 1 000 m, on obtient une
limite de 22 chiffres. Si, comme nous l ’avons prédit plus haut, les mesures du temps at-
teignent vraiment 17 chiffres de précision, alors elles seront proches de la limite pratique,
parce que mis à part la taille, il existe une contrainte pratique supplémentaire : le coût. En
réalité, un chiffre supplémentaire dans la précision d ’une mesure signifie souvent qu ’ il
faille un chiffre supplémentaire dans le coût de l ’équipement.
C onstantes physiques fondamentales

Réf. 278 En principe, toutes les propriétés quantitatives de la matière peuvent être calculées
avec la théorie quantique. Par exemple, la couleur, la densité et les propriétés élastiques
peuvent être prédites en faisant appel aux valeurs des constantes qui suivent, en utilisant
les équations du modèle standard de la physique des hautes énergies.
TA B L E AU 42 Constantes physiques fondamentales.
Q ua nt it é Symbole Va l e u r u n i t é s S I I n c e r t. a
nombre de dimensions d ’espace-temps 3+1 0b

vitesse de la lumière dans le videc c 299 792 458 m/s 0
perméabilité magnétique du videc µ 0 4π ⋅ 10−7 H/m 0
= 1,256 637 061 435 ... µH/m0
permittivité diélectrique du videc ε 0 = 1/µ 0 c 2 8,854 187 817 620 ... pF/m 0
constante de Planck originale h 6,626 068 76(52) ⋅ 10 Js 7, 8 ⋅ 10−8
−34
constante de Planck réduite ħ 1,054 571 596(82) ⋅ 10−34 Js 7, 8 ⋅ 10−8

charge du positron e 0,160 217 646 2(63) aC 3, 9 ⋅ 10−8
* Certains de ces récits peuvent être retrouvés dans l ’ouvrage de N. W. Wise, The Values of Precision, Prince-
ton University Press, 1994. Le domaine des mesures de haute précision, à partir duquel sont tirés les résultats
de ces pages, est un monde à lui seul. Une magnifique introduction en est donnée par J. D. Fairbanks,
B. S. Deaver, C. W. Everitt & P. F. Michaelson, eds., Near Zero : Frontiers of Physics, Freeman,
1988.
Q ua nt it é Symbole Va l e u r u n i t é s S I I n c e r t. a
constante de Boltzmann k 1,380 650 3(24) ⋅ 10−23 J/K 1, 7 ⋅ 10−6

constante gravitationnelle G 6,673(10) ⋅ 10−11 Nm2 /kg2 1, 5 ⋅ 10−3
constante de couplage gravit. κ = 8πG/c 4 2,076(3) ⋅ 10−43 s2 /kg m 1, 5 ⋅ 10−3
α = 4πεe 0 ħc
2

constante de structure fined , 1/137,035 999 76(50) 3, 7 ⋅ 10−9
constante de couplage e.m. = дem (m 2e c 2 ) = 0, 007 297 352 533(27) 3, 7 ⋅ 10−9
d
constante de couplage de Fermi , G F /(ħc)3 1,166 39(1) ⋅ 10−5 GeV−2 8, 6 ⋅ 10−6
constante de couplage faible α w (M Z ) = дw2 /4π 1/30,1(3) 1 ⋅ 10−2
angle de mélange électrofaible sin2 θ W (MS) 0,231 24(24) 1, 0 ⋅ 10−3
2
angle de mélange électrofaible sin θ W (enveloppe)0,2224(19) 8, 7 ⋅ 10−3
= 1 − (m W /m Z )2
constante de couplage fortd α s (M Z ) = дs2 /4π 0,118(3) 25 ⋅ 10−3
a. Incertitude : écart-type des erreurs de mesure.

b. De 10−19 m et jusqu ’à 1026 m, uniquement.
c. Définition numérique de la constante. (La permittivité diélectrique du vide est aussi appelée constante
électrique et la perméabilité du vide, constante magnétique [N.d.T.].)
d. Toutes les constantes de couplage dépendent du transfert du quadrivecteur impulsion, comme expliqué
Page ?? dans la section sur la renormalisation. La constante de structure fine est le nom traditionnel de la constante de
couplage électromagnétique дem dans le cas d ’un transfert de quadrivecteur impulsion de Q 2 = m2e c 2 , ce qui
est la valeur la plus petite possible. Pour des transferts d ’ impulsion plus élevés elle possède des valeurs plus
grandes, par exemple дem (Q 2 = M W c ) ≈ 1/128. La constante de couplage de l ’ interaction forte possède des
2 2
valeurs supérieures pour des transferts d ’ impulsion moins importants, par exemple αs (34 GeV) = 0, 14(2).
Pourquoi toutes ces constantes possèdent-elles les valeurs qu ’elles ont ? La réponse
est différente dans chacune des situations. Pour toute constante possédant une dimen-
sion, tel que le quantum d ’action ħ, la valeur numérique a seulement une signification
historique. Elle est de 1,054 ⋅ 10−34 Js à cause de la définition du SI du joule et de la se-
conde. La question de savoir pourquoi la valeur d ’une constante dimensionnelle n’est
pas plus grande ni plus petite nous oblige toujours à comprendre l ’origine de certains
nombres sans dimension qui donnent le rapport entre la constante et l ’unité naturelle
correspondante. La compréhension des tailles des atomes, des gens, des arbres et des
étoiles, de la durée des processus moléculaires et atomiques, ou de la masse des noyaux
et des montagnes, implique de comprendre les ratios entre ces valeurs et les unités natu-
relles correspondantes. La clé de la compréhension de la nature se trouve donc dans la
compréhension de tous les ratios, et ainsi de toutes les constantes sans dimension. L’ his-
toire des rapports les plus importants est contée dans la partie qui conclut cette aventure.
Les constantes fondamentales engendrent les observations utiles suivantes, de haute
précision.
TA B L E AU 43 Constantes physiques dérivées.
Q ua nt it é Symbole Va l e u r u n i t é s S I I n c e r t.
√
impédance caractéristique du vide Z 0 = µ 0 /ε 0 376,730 313 461 77... Ω 0
nombre d ’Avogadro NA 6,022 141 99(47) ⋅ 1023 7, 9 ⋅ 10−8
constante de Rydberg a R∞ = m e cα 2 /2h 10 973 731,568 549(83) m−1 7, 6 ⋅ 10−12
Q ua nt it é Symbole Va l e u r u n i t é s S I I n c e r t.
quantum de conductance G 0 = 2e 2 /h 77,480 916 96(28) µS 3, 7 ⋅ 10−9

quantum du flux magnétique φ 0 = h/2e 2,067 833 636(81) pWb 3, 9 ⋅ 10−8
rapport de fréquence de Josephson 2e/h 483,597 898(19) THz/V 3, 9 ⋅ 10−8
h/e 2 = µ 0 c/2α

constante de von Klitzing 25 812,807 572(95) Ω 3, 7 ⋅ 10−9
magnéton de Bohr µ B = eħ/2m e 9,274 008 99(37) yJ/T 4, 0 ⋅ 10−8
fréquence cyclotron f c /B = e/2πm e 27,992 4925(11) GHz/T 4, 0 ⋅ 10−8
de l ’électron
rayon classique de l ’électron r e = e 2 /4πε 0 m e c 2 2,817 940 285(31) fm 1, 1 ⋅ 10−8
longueur d ’onde de Compton λ c = h/m e c 2,426 310 215(18) pm 7, 3 ⋅ 10−9
de l ’électron λ c = ħ/m e c = r e /α 0,386 159 264 2(28) pm 7, 3 ⋅ 10−9
rayon de Bohr a a∞ = r e /α 2 52,917 720 83(19) pm 3, 7 ⋅ 10−9
magnéton nucléaire µ N = eħ/2m p 5,050 783 17(20) ⋅ 10−27 J/T 4, 0 ⋅ 10−8
rapport de masse proton–électron m p /m e 1 836,152 667 5(39) 2, 1 ⋅ 10−9
constante de Stefan–Boltzmann σ = π 2 k 4 /60ħ 3 c 2 56,704 00(40) nW/m2 K4 7, 0 ⋅ 10−6
constante de la loi du déplacement b = λ max T 2,897 768 6(51) mmK 1, 7 ⋅ 10−6
de Wien
constante de conversion de bits en entropie 1023 bit = 0,956 994 5(17) J/K 1, 7 ⋅ 10−6
contenu énergétique du TNT de 3,7 à 4,0 MJ/kg 4 ⋅ 10−2
a. Pour une masse infinie du noyau.
Certaines propriétés générales de la nature sont énumérées dans le tableau qui suit. (Si
vous voulez un défi, pouvez-vous déterminer si une quelconque propriété de l ’ Univers
Défi 565 s lui-même est listée ?)
TA B L E AU 44 Constantes astrophysiques.
Q ua nt it é Symbole Va l e u r
constante gravitationnelle G 6,672 59(85) ⋅ 10−11 m3 /kg s2

constante cosmologique Λ env. 1 ⋅ 10−52 m−2
a
année tropicale en 1900 a 31 556 925,974 7 s
année tropicale en 1994 a 31 556 925,2 s
jour sidéral moyen d 23 h 56′ 4, 090 53′′
année-lumière al 9,460 528 173 ... Pm
unité astronomiqueb ua 149 597 870,691(30) km
parsec pc 30,856 775 806 Pm = 3,261 634 al
âge de l ’ Universc t0 4,333(53) ⋅ 1017 s = 13,73(0,17) ⋅ 109 a
(déterminé par l ’espace-temps, via l ’expansion, d ’après la relativité générale)
âge de l ’ Universc t0 3,5(4) ⋅ 1017 s = 11,5(1,5) ⋅ 109 a, au plus
(déterminé par la matière, via les galaxies et les étoiles, d ’après la mécanique quantique)
constante de Hubblec H0 2,3(2) ⋅ 10−18 s−1 = 0,73(4) ⋅ 10−10 a−1
H 0 = h 0 ⋅ 100 km/sMpc = h 0 ⋅ 1,0227 ⋅ 10−10 a−1
constante de Hubble réduitec h0 0,71(4)

paramètre de décélération q 0 = −( ä/a)0 /H 02−0, 66(10)
distance de l ’ horizon de l ’ Universc d 0 = 3ct 0 40,0(6) ⋅ 1026 m = 13,0(2) Gpc

topologie de l ’ Univers inconnue
nombre de dimensions spatiales 3, jusqu ’à 1026 m de distance
densité critique ρ c = 3H 0 /8πG
2
h 02 ⋅ 1,878 82(24) ⋅ 10−26 kg/m3
de l ’ Univers = 0,95(12) ⋅ 10−26 kg/m3
paramètre de densité (totale)c Ω 0 = ρ 0 /ρ c 1,02(2)
paramètre de densité baryoniquec Ω B0 = ρ B0 /ρ c 0,044(4)
paramètre de densité Ω CDM0 = ρ CDM0 /ρ c 0,23(4)
de matière noire froidec
paramètre de densité des neutrinosc Ω ν0 = ρ ν0 /ρ c 0,001 à 0,05
paramètre de densité Ω X0 = ρ X0 /ρ c 0,73(4)
de l ’énergie sombrec
paramètre de l ’équation d ’état w = p X /ρ X −1, 0(2)
de l ’énergie sombre
masse baryonique mb 1,67 ⋅ 10−27 kg
densité baryonique 0,25(1) /m3
densité de matière lumineuse 3,8(2) ⋅ 10−28 kg/m3
étoiles dans l ’ Univers ne 1022±1
baryons dans l ’ Univers nb 1081±1
température du fond diffus T0 2,725(1) K
micro-onded
photons dans l ’ Univers nγ 1089
densité d ’énergie des photons ρ γ = π 2 k 4 /15T04 4,6 ⋅ 10−31 kg/m3
densité de photons 410,89 /cm3 ou 400 /cm3 (T0 /2, 7 K)3
√
amplitude des perturbations S 5, 6(1, 5) ⋅ 10−6
de densité
√ √
amplitude des ondes T < 0, 71 S
gravitationnelles
fluctuations de masse sur 8 Mpc σ8 0,84(4)
indice spectral scalaire n 0,93(3)
variation de l ’ indice spectral dn/d√
ln k -0,03(2)
longueur de Planck l Pl = ħG/c 3 1,62 ⋅ 10−35 m
√
temps de Planck t Pl = ħG/c 5 5,39 ⋅ 10−44 s
√
masse de Planck m Pl = ħc/G 21,8 µg
nombre d ’ instants dans l ’ histoirec t 0 /t Pl 8,7(2,8) ⋅ 1060
points de l ’espace-temps N 0 = (R 0 /l Pl )3 ⋅ 10244±1
dans l ’ horizonc (t 0 /t Pl )
masse dans l ’ horizon M 1054±1 kg
a. Définition de la constante, d ’un équinoxe vernal à l ’autre équinoxe vernal. Elle était autrefois utilisée pour
définir la seconde. (Rappelez-vous : π secondes représentent à peu près un nanosiècle.) La valeur de 1990
compte environ 0,7 s de moins, correspondant à un ralentissement d ’approximativement 0,2 ms/a. (Faites
Défi 566 s attention : pourquoi ?) Il existe même une formule empirique pour évaluer la variation de la durée de l ’année
Réf. 279 au cours du temps.
b. Distance moyenne Terre–Soleil. Cette précision vraiment stupéfiante de 30 m résulte des durées moyennes

de propagation des signaux envoyés par les navettes spatiales Viking en orbite et les atterrisseurs martiens,
récoltées durant une période de plus de vingt ans.
c. L’ indice 0 représente les valeurs d ’aujourd ’ hui.
d. Ce rayonnement fut produit lorsque l ’ Univers était âgé de 380 000 ans et avait une température d ’envi-
ron 3 000 K. Les fluctuations ∆T0 qui déclenchèrent la formation des galaxies sont aujourd ’ hui d ’environ
Page 210 16 ± 4 µK = 6(2) ⋅ 10−6 T0 .
Soyez vigilants : dans l ’ultime partie de cet ouvrage on montre qu ’un grand nombre
des constantes du Tableau 44 ne sont pas des quantités physiquement raisonnables. Elles
doivent être considérées avec beaucoup de circonspection. Les constantes plus spéci-
fiques données dans le tableau qui suit sont toutes raisonnables, cependant.
TA B L E AU 45 Constantes astronomiques.
masse de la Terre M♁ 5,972 23(8) ⋅ 1024 kg

longueur gravitationnelle l♁ = 2GM/c 2 8,870(1) mm
de la Terre
rayon de la Terre, à l ’équateur a R♁eq 6 378,1367(1) km
rayon de la Terre, aux pôles a R ♁p 6 356,7517(1) km
distance Équateur–pôle a 10 001,966 km (moyenne)
aplatissement de la Terre a e♁ 1/298, 25231(1)
densité moyenne de la Terre ρ♁ 5,5 Mg/m3
âge de la Terre T♁ 4,55 Ga = 143 Ps
rayon de la Lune R $v 1 738 km dans la direction de la Terre
rayon de la Lune R $h 1 737,4 km dans les deux autres directions
masse de la Lune M$ 7,35 ⋅ 1022 kg
distance moyenne de la Luneb d$ 384 401 km
distance de la Lune au périgéeb typiquement 363 Mm, minimum historique
359 861 km
distance de la Lune à l ’ apogéeb typiquement 404 Mm, maximum historique
406 720 km
taille angulaire de la Lunec en moyenne 0, 5181○ = 31, 08′ , minimum
0, 49○ , maximum - ligne la plus courte 0, 55○
densité moyenne de la Lune ρ$ 3,3 Mg/m3
masse du Soleil M⊙ 1,988 43(3) ⋅ 1030 kg
longueur gravitationnelle l⊙ = 2GM⊙ /c 2 2,953 250 08 km
du Soleil
luminosité du Soleil L⊙ 384,6 YW
rayon solaire équatorial R⊙ 695,98(7) Mm
taille angulaire du Soleil 0, 53○ en moyenne ; minimum le quatre

juillet (aphélie) 1888′′ , maximum le quatre
janvier (périhélie) 1952′′
densité moyenne du Soleil ρ⊙ 1,4 Mg/m3

distance moyenne du Soleil UA 149 597 870,691(30) km
âge du Soleil T⊙ 4,6 Ga
vitesse solaire v⊙g 220(20) km/s
autour du centre de la galaxie
vitesse solaire v⊙b 370,6(5) km/s
par rapport au fond diffus cosmologique
distance au centre galactique 8,0(5) kpc = 26,1(1,6) kal
âge de la Voie lactée 13,6 Ga
taille de la Voie lactée env. 1021 m ou 100 kal
masse de la Voie lactée 1012 masses solaires, env. 2 ⋅ 1042 kg
masse de Jupiter MX 1,90 ⋅ 1027 kg
rayon jovien équatorial RX 71,398 Mm
rayon jovien polaire RX 67,1(1) Mm
distance moyenne de Jupiter DX 778 412 020 km
au Soleil
galaxie connue la plus éloignée 1835 IR1916 13,2 ⋅ 109 al = 1,25 ⋅ 1026 m, redshift 10
a. La forme de la Terre est décrite de la manière la plus précise par le Système géodésique mondial. La der-
nière édition date de 1984. Pour une présentation largement développée de ses contextes et de ses détails,
consultez le site Web www.wgs84.com. L’ Union Géodésique et Géophysique Internationale révisa les don-
nées en l ’an 2000. Les rayons et l ’aplatissement donnés ici sont ceux du système de marée « mean tide sys-
tem ». Ils diffèrent de 0,7 m environ de ceux du système de marée « zero tide system » et de d ’autres systèmes.
Les particularités de ce domaine représentent une science à part.
b. Mesurée de centre à centre. Pour trouver la position précise de la Lune à une date donnée, consultez la
page www.fourmilab.ch/earthview/moon_ap_per.html. Pour les planètes, consultez la page www.fourmilab.
ch/solar/solar.html et les autres pages du même site.
c. Les angles sont définis comme suit : 1 degré = 1○ = π/180 rad, 1 (première) minute d ’arc = 1′ = 1○ /60, 1
seconde (minute) d ’arc = 1′′ = 1′ /60. Les anciennes unités « tierce minute d ’arc » et « quarte minute d ’arc »,
valant chacune 1/60e de la précédente, ne sont plus utilisées. (« Minute » signifiait à l ’origine « très petit »,
comme c ’est toujours le cas dans l ’anglais moderne.)
Nombres u tiles
π 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 375105
e 2, 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 699959
γ 0, 57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 939923
Réf. 280
ln 2 0, 69314 71805 59945 30941 72321 21458 17656 80755 00134 360255
ln
√ 10 2, 30258 50929 94045 68401 79914 54684 36420 76011 01488 628772
10 3, 16227 76601 68379 33199 88935 44432 71853 37195 55139 325216
Si le nombre π est normal, c ’est-à-dire si les chiffres et les combinaisons de chiffres

dans ses développements décimaux apparaissent tous avec la même fréquence limite,
alors tous les textes qui ont été écrits ou qui vont l ’être, de même que tous les mots
qui ont été prononcés ou qui vont l ’être, peuvent être retrouvés de manière codée
dans ses suites. La propriété de normalité n’a pas encore été démontrée, bien qu ’on
suspecte qu ’elle soit valide. Cela signifie-t-il que toute la science soit encodée dans le

simple cercle ? Non. Cette propriété n’a rien de particulier : elle s’applique également au
nombre 0, 123456789101112131415161718192021.... et de nombreux autres. Pouvez-vous en
Défi 567 s citer quelques exemples ?
Par ailleurs, dans le graphe de la fonction exponentielle e x , le point (0, 1) est le seul
point ayant deux coordonnées rationnelles. Si vous vous imaginez colorier en bleu tous
les points situés sur le plan et ayant deux coordonnées rationnelles, ce plan paraîtrait
quasiment bleu. Néanmoins, le graphe passe par un de ces points seulement et parvient
à éviter tous les autres.
Annexe C
S OU RC E S D ’ I N F OR M AT ION SU R L E

MOU V E M E N T
Nul lieu n’offre de la vanité des espérances
“ humaines une preuve plus frappante qu ’une

bibliothèque publique.
Samuel Johnson
Dans une société de consommation il y a ”
“ inévitablement deux formes d ’esclavage : les
prisonniers de la dépendance et les prisonniers
de l ’envie.
D ans ce texte, on présente les ouvrages de référence et d ’ introduction aux

omaines attenants, en note de bas de page. Les bibliographies en fin de chaque cha-
Ivan Illich*
”
pitre rassemblent les ressources générales afin de satisfaire une curiosité plus pointue à
propos de ce qui est traité dans cette ascension montagneuse. Toutes les citations peuvent
également être retrouvées en regardant dans l ’ index, au nom de l ’auteur concerné. Pour
obtenir des informations complémentaires, les bibliothèques et Internet peuvent être
utiles.
Dans une bibliothèque, les articles de revue de la recherche en cours apparaissent
dans des périodiques tels que Reviews of Modern Physics, Reports on Progress in Physics,
Contemporary Physics et Advances in Physics. On trouve des excellentes introductions pé-
dagogiques dans l ’ American Journal of Physics, l ’ European Journal of Physics et Physik
in unserer Zeit. Une autre ressource très utile est Living Reviews in Relativity, consultable
sur www.livingreviews.org.
Des synthèses sur les orientations de la recherche apparaissent occasionnellement
dans des magazines tels que Physics World, Physics Today, Europhysics Journal, Physik
Journal et Nederlands tijdschrift voor natuurkunde. Pour une vue d ’ensemble de toutes
les sciences, les meilleures sources sont les revues Nature, New Scientist, Naturwissen-
schaften, La Recherche et Science News, qui est bon marché mais excellent.
Les articles de recherche sont principalement édités dans Physics Letters B, Nuclear
Physics B, Physical Review D, Physical Review Letters, Classical and Quantum Gravity,
General Relativity and Gravitation, International Journal of Modern Physics et Modern
Physics Letters. On retrouve les résultats les plus récents et les conjectures spéculatives
dans les comptes-rendus de conférence, tels que les Nuclear Physics B Supplements. Des
articles de recherche apparaissent également dans Fortschritte der Physik, Zeitschrift für
* Ivan Illich (n. Vienne 1926, d. Brême 2002), fut un théologien, un penseur social et politique autrichien.
c sources d ’ information sur le mouvement 321
TA B L E AU 46 La structure de l’archive de prépublications électroniques Arxiv

pour la physique et les disciplines associées sur fr.arxiv.org.
Discipline A b r é v i at i o n
relativité générale et cosmologie quantique gr-qc

astrophysique astro-ph

physique expérimentale nucléaire nucl-ex
physique théorique nucléaire nucl-th
physique théorique des hautes énergies hep-th
physique numérique des hautes énergies hep-lat
physique phénoménologique des hautes énergies hep-ph
physique expérimentale des hautes énergies hep-ex
mécanique quantique quant-ph
physique générale physics
physique de la matière condensée cond-mat
sciences non linéaires nlin
physique mathématique math-ph
mathématiques math
informatique théorique CoRR
biologie quantitative q-bio
Pour recevoir des prépublications électroniques par courriel, envoyez

un message électronique à une adresse de la forme gr-qc@arxiv.org (ou
l ’abréviation correspondante à la place de « gr-qc »), avec un objet com-
posé simplement du mot « help », sans les guillemets.
Physik C, La Rivista del Nuovo Cimento, Europhysics Letters, Communications in Mathe-

matical Physics, Journal of Mathematical Physics, Foundations of Physics, International
Journal of Theoretical Physics et Journal of Physics G. Il existe aussi le New Journal of Phy-
sics, purement électronique, qui est consultable sur le site Web www.njp.org.
Les articles sur la description du mouvement sans le temps ni l ’espace, qui sont ap-
parus après que ce texte soit publié peuvent être trouvés via le Scientific Citation Index.
Il est publié sous forme imprimée et sous forme de disque compact, et nous permet de
rechercher toutes les publications qui citent un article donné. Ensuite, en utilisant le bi-
mensuel Physics Abstracts, qui existe, lui aussi, à la fois sous forme papier et électronique,
vous pouvez consulter le résumé de l ’article et vérifier s’ il est intéressant.
Mais la manière la plus efficace et la plus simple de rester en contact avec la re-
cherche en cours sur le mouvement reste de loin l ’usage d ’ Internet, la toile informatique
mondiale. Pour quiconque ayant un ordinateur personnel connecté à une prise télépho-
nique, la majorité des articles de physique théorique est disponible gratuitement, sous
la forme de prépublications électroniques, c ’est-à-dire avant leur publication officielle et
avant contrôle par un jury, sur le site Web fr.arxiv.org. Des détails sont fournis dans le Ta-
bleau 46. Un service permettant de retrouver des prépublications qui en citent une autre
antérieure donnée, est également disponible.
322 c sources d ’ information sur le mouvement
Durant la dernière décennie du vingtième siècle, Internet s’est étendu à une combinai-
son de bibliothèque, de magasin de médias, de plateforme de discussion, de boutique en
ligne, de collection de brochures et de passe-temps. Aujourd ’ hui, le commerce, la publi-
cité et – de façon déplorable – les crimes de toutes sortes font également partie intégrante
du Web. À l ’aide d ’un ordinateur personnel, d ’un modem et d ’un navigateur libre, nous

pouvons consulter des informations situées dans des millions de pages de documents. Les
diverses parties de ces documents sont localisées dans de nombreux ordinateurs répartis
dans le monde, mais l ’utilisateur final n’a pas besoin de s’en soucier*.
Pour commencer à surfer sur le Web, demandez à un ami qui connaît**. Rechercher
sur le Web des auteurs, des organisations, des ouvrages, des publications, des sociétés ou
de simples mots-clés en utilisant des moteurs de recherche peut vite se révéler être une
expérience efficace ou une perte de temps. Une sélection des sites intéressants est donnée
ci-dessous.
TA B L E AU 47 Quelques sites intéressants sur le World Wide Web.
Sujet A d r e s s e d u s i t e We b o u « U R L »
Sujets généraux
Wikipédia fr.wikipedia.org
Moteurs de recherche www.altavista.com
d ’ information www.metager.de
www.google.fr
* Il y a plusieurs décennies, le livre provoquant d ’ Ivan Illich, Deschooling Society, Harper & Row, 1971,
listait quatre ingrédients fondamentaux pour tout système d ’éducation :
1. l ’accès aux ressources nécessaires pour l ’apprentissage, c ’est-à-dire les livres, les accessoires, les exa-
mens, etc. à un prix abordable pour quiconque, à n’ importe quel moment de sa vie ;
2. pour tous ceux qui veulent apprendre, établir un contact avec des camarades dans la même situation
d ’apprentissage, pour pouvoir discuter, confronter, coopérer et être en compétition ;
3. établir un contact avec des aînés, c ’est-à-dire des professeurs, pour leur surveillance et leur critique
envers ceux qui apprennent ;
4. établir des échanges entre les étudiants et les acteurs du domaine d ’ intérêt, de telle sorte que ces der-
niers peuvent être des modèles pour les premiers. Par exemple, il devrait y avoir la possibilité d ’écouter des
musiciens professionnels et de lire l ’ œuvre d ’écrivains spécialistes. Cela donne aussi aux acteurs la possibi-
lité de partager, de mettre en avant et d ’utiliser leurs compétences.
Illich développe l ’ idée que si un tel système était informel – il l ’appelle alors un « réseau d ’apprentissage »
ou « réseau d ’opportunités » – il serait supérieur aux institutions formelles, financées par l ’état, comme les
écoles conventionnelles, en ce qui concerne le développement d ’êtres humains mûrs. Ces idées sont appro-
fondies dans ses travaux ultérieurs, Deschooling Our Lives, Penguin, 1976, et Tools for Conviviality, Penguin,
1973.
Aujourd ’ hui, n’ importe quel ordinateur connecté fournit un ou plusieurs services parmi les suivants : le
courriel (messagerie électronique), le FTP (transfert de fichier vers et depuis un autre ordinateur), accès au
système UseNet (les groupes de discussion sur des sujets spécifiques, telle que la physique des particules), et le
puissant World Wide Web. (On peut dire approximativement que chacun de ceux-ci incluent ceux d ’avant.)
D’une manière quelque peu inattendue, toutes ces facilités d ’ Internet l ’ont transformé en l ’épine dorsale
du « réseau d ’opportunités » mentionné par Illich. Cependant, comme dans toute école, le fait qu ’ Internet
fournisse un véritable réseau d ’apprentissage est fortement lié à la discipline de l ’utilisateur.
** Il est également possible d ’utiliser à la fois Internet et de télécharger des fichiers par FTP à l ’aide du
courriel seulement. Mais les outils changent trop souvent pour en fournir ici un guide stable. Demandez à
un ami.
www.yahoo.fr
Archives des groupes
de discussion groups.google.fr

Foires aux questions sur la
physique et d ’autres sujets www.faqs.org
Bibliothèques en ligne www.konbib.nl
portico.bl.uk
www.theeuropeanlibrary.org
www.hero.ac.uk/uk/niss/niss_library4008.cfm
www.bnf.fr
www.grass-gis.de/bibliotheken
www.loc.gov
Physique
Recherche, prépublications fr.arxiv.org – voir la page 321
électroniques
www.slac.stanford.edu/spires
Données sur les particules pdg.web.cern.ch/pdg
Physics news, hebdomadaire www.aip.org/physnews/update
Journal de physique, quotidien http://www.innovations-report.de/berichte/berichte_liste.php?
show=18
Problèmes de physique de star.tau.ac.il/QUIZ
Yakov Kantor
Problèmes de physique de www.phy.duke.edu/~hsg/physics-challenges/challenges.html
Henry Greenside
La « question de la semaine » www.physics.umd.edu/lecdem/outreach/QOTW/active
en physique
« Petits problèmes » de www.nyteknik.se/miniproblemet
physique
Site officiel des unités du SI www.bipm.fr
Conversion d ’unités www.chemie.fu-berlin.de/chemistry/general/units.html
« Demandez aux experts » www.sciam.com/askexpert_directory.cfm
Résumés d ’articles de
journaux
de physique www.osti.gov
Science News www.sciencenews.org
Lauréats du Prix Nobel www.nobel.se/physics/laureates
Portraits de physiciens www.if.ufrj.br/famous/physlist.html
Journal sur la gravitation www.phys.lsu.edu/mog/
Living Reviews in Relativity www.livingreviews.org
Informations sur la relativité math.ucr.edu/home/baez/relativity.html
Simulations et films relativistes www.tat.physik.uni-tuebingen.de/~weiskopf
Organismes de physique www.cern.ch

www.hep.net
www.nikhef.nl

www.het.brown.edu/physics/review/index.html
Livres de physique sur le Web www.plasma.uu.se/CED/Book
www.biophysics.org/education/resources.htm
www.lightandmatter.com
www.motionmountain.eu
Trois magnifiques ensembles feynman.phy.ulaval.ca/marleau/notesdecours.htm
de notes françaises sur la
mécanique classique et la
physique des particules
L’excellent Radical Freshman www.physics.nmt.edu/~raymond/teaching.html
Physics de David Raymond
Notes de cours de physique du ocw.mit.edu/OcwWeb/web/courses/courses/index.htm#Physics
MIT
Notes de conférences en
physique en
allemand et en anglais www.akleon.de
« World lecture hall » www.utexas.edu/world/lecture
Formules et données pour www.efunda.com
l ’ ingénieur
La Science à l ’école www.wissenschaft-schulen.de
Mathématiques
« Math forum » collection de mathforum.org/library
ressources sur Internet
Biographies de mathématiciens www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/BiogIndex.html
Le problème de maths de la
semaine de l ’ Université www.math.purdue.edu/academics/pow
Purdue
Le problème de maths de la
semaine du Macalester College mathforum.org/wagon
Formules mathématiques dlmf.nist.gov
Fonctions functions.wolfram.com
Intégration analytique www.integrals.com
« Weisstein’s World of mathworld.wolfram.com
Mathematics »
Curiosités
Minéralogie webmineral.com
www.mindat.org
ESA sci.esa.int
NASA www.nasa.gov
Hubble, télescope spatial hubble.nasa.gov
Sloan Digital Sky Survey skyserver.sdss.org

Le « miroir cosmique » www.astro.uni-bonn.de/~dfischer/mirror
Simulateur du Système solaire space.jpl.nasa.gov
Satellites observables liftoff.msfc.nasa.gov/RealTime/JPass/20
« Astronomy picture of the antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/astropix.html
day »
La Terre vue de l ’espace www.visibleearth.nasa.gov
From Stargazers to Starships www.phy6.org/stargaze/Sintro.htm
Données solaires actualisées www.n3kl.org/sun
Illusions d ’optique www.sandlotscience.com
Bandes dessinées scientifiques www.jp-petit.org
de Jean-Pierre Petit
Jouets en physique www.e20.physik.tu-muenchen.de/~cucke/toylinke.htm
Humour en physique www.dctech.com/physics/humor/biglist.php
Littérature sur la magie www.faqs.org/faqs/magic-faq/part2
Surfaces algébriques www.mathematik.uni-kl.de/~hunt/drawings.html
Confection d ’ avions en papier www.pchelp.net/paper_ac.htm
www.ivic.qc.ca/~aleexpert/aluniversite/klinevogelmann.html
Petits hélicoptères volants pixelito.reference.be
Horloge de dix mille ans www.longnow.org
Le « Gesellschaft Deutscher www.gdnae.de
Naturforscher und Ärzte »
Pseudo-science suhep.phy.syr.edu/courses/modules/PSEUDO/pseudo_main.
html
Cinglés www.crank.net
Citations mathématiques math.furman.edu/mwoodard/~mquot.html
Le « World Question Center » www.edge.org/questioncenter.html
Plagiats www.plagiarized.com
Canulars www.museumofhoaxes.com
Voulez-vous étudier la physique sans véritablement vous rendre à l ’université ? De nos

jours il est possible de le faire via la messagerie électronique et Internet, en allemand, à
l ’université de Kaiserslautern*. Dans un avenir proche, un projet à l ’échelle du territoire
de la Grande-Bretagne devrait permettre la même chose pour les étudiants anglophones.
En guise d ’ introduction, utilisez la dernière version de ce texte de physique !
Das Internet ist die offenste Form der
* Consultez le site Web www.fernstudium-physik.de.

“ geschlossenen Anstalt**.
Matthias Deutschmann
”
** « Internet est la forme la plus ouverte d ’ institution fermée. »
Si tacuisses, philosophus mansisses*.
“ D’après Boèce.
”

* « Si tu t ’étais tu, tu serais resté un philosophe. » D’après l ’ histoire que Boèce conte dans Consolation de la
philosophie, 2.7, 67 ff.
BI BL IO G R A PH I E

Aiunt enim multum legendum esse, non multa.
1
“ Pline l ’Ancien, Epistulae.*
Pour un historique des sciences pendant l ’Antiquité, voir Lucio Russo, La rivoluzione
”
dimenticata, Feltrinelli 1996, également disponible dans plusieurs autres langues. Cité en
page 14.
Un aperçu des illusions sur le mouvement peut être consulté sur l ’excellent site Web http://
2
www.michaelbach.de/ot/. Cité en page 15.
3 Un magnifique livre expliquant la physique et ses nombreuses applications dans
la nature et la technologie de manière vivante et exhaustive : Paul G. Hewitt
& John Suchocki & Leslie A. Hewitt, Conceptual Physical Science, Bejamin-
Cummings, 1999.
Un ouvrage célèbre pour sa passion et sa curiosité est celui-ci : Richard P. Feynman
& R. B. Leighton & M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addison Wesley,
1977.
On peut en apprendre énormément sur le mouvement dans les livres de casse-tête. Un
des meilleurs est la collection bien organisée de problèmes admirables qui ne nécessitent
aucune mathématique, rédigée par Jean-Marc Lév y-Leblond, La physique en ques-
tions – mécanique, Vuibert, 1998.
Un autre recueil excellent d ’énigmes se trouve dans Yakov Perelman, Oh, la phy-
sique, Dunod, 2000, une traduction de l ’original russe.
Le livre suivant est également une merveilleuse compilation de problèmes : W. G. Rees,
Physics by Example : 200 Problems and Solutions, Cambridge University Press, 1994.
Un bon historique des idées en physique est exposé dans l ’excellent ouvrage de Da-
vid Park, The How and the Why, Princeton University Press, 1988.
On trouve une admirable introduction à la physique dans Robert Pohl, Pohl ’s
Einführung in die Physik, Klaus Lüders & Robert O. Pohl editors, Springer, 2004, en deux
volumes avec CD. C ’est une nouvelle édition d ’un livre vieux de plus de 70 ans, mais sa
qualité pédagogique, en particulier concernant le côté expérimental de la physique, est sans
égale. Cité aux pages 14, 90, 150 et 223.
4 Un principe bien connu en sciences sociales stipule que, étant donné une question, pour
chaque réponse possible, aussi mystérieuse qu ’elle puisse paraître, il y a un individu – et
souvent même un groupe tout entier – qui la tient pour vraie. Nous avons simplement be-
soin de compulser la littérature (ou Internet) pour en avoir la confirmation.
* « Lisez beaucoup, mais pas n’ importe quoi. » Ep. 7, 9, 15. Gaius Plinius Secundus (n. Novum Comum
23/4, d. éruption du Vésuve 79), auteur romain, notamment célèbre pour son œuvre scientifique majeure et
monumentale, Histoire naturelle, qui a été traduite et est restée la référence principale durant presque 2 000
ans.
328 bibliographie
À propos des comportements grégaires en général, consultez R. Axelrod, The Evolu-

tion of Cooperation, Harper Collins, 1984. La diffusion et l ’acceptation des idées, comme
celles de la physique, sont également des exemples de la coopération humaine, avec tous les
risques potentiels et les défauts qu ’elle contient. Cité en page 16.
5 Tous les textes connus de Parménide et d ’ Héraclite peuvent être trouvés dans Jean-
Paul Dumont, Les écoles présocratiques, Folio-Gallimard, 1988. Les visions sur l ’ inexis-

tence du mouvement ont également été avancées par des auteurs beaucoup plus récents et
Page ?? beaucoup plus contestables, comme Berkeley en 1710. Cité en page 16.
6 Un exemple de la perplexité occasionnée par les idées de Zénon est donné par
William McLaughlin, Resolving Zeno’s paradoxes, Scientific American pp. 66–71,
Novembre 1994. Le véritable argument ne concernait pas une main qui donnait une claque
sur la joue, mais plutôt une flèche atteignant sa cible. Consultez aussi Réf. 44. Cité en page
16.
7 Le texte complet de La Beauté et les autres poèmes tirés des Fleurs du mal, un des
meilleurs ouvrages de poésie jamais écrits, peuvent être lus sur le site Web http://hypermedia.
univ-paris8.fr/bibliotheque/Baudelaire/Spleen.html. Cité en page 17.
8 Le texte le plus célèbre est Jearl Walker, The Flying Circus of Physics, Wiley, 1975.
Pour des conséquences physiques plus captivantes dans notre vie quotidienne, lisez Er-
wein Flachsel, Hundertfünfzig Physikrätsel, Ernst Klett Verlag, 1985. Ce livre cite éga-
lement plusieurs énigmes d ’ horloges, dans les énigmes numéros 126 à 128. Cité en page
18.
9 Une introduction concise et instructive à l ’ histoire de la physique classique est fournie dans
le premier chapitre du livre de F. K. Richtmeyer, E. H. Kennard & J. N. Cooper,
Introduction to Modern Physics, McGraw–Hill, 1969. Cité en page 18.
10 Un bon tour d ’ horizon sur les arguments utilisés pour démontrer l ’existence de Dieu à
partir du mouvement est donné par Michael Buckley, Motion and Motion’s God, Prin-
ceton University Press, 1971. L’ intensité des luttes qui firent rage autour de ces tentatives
avortées constitue un des chapitres tragiques de l ’ histoire. Cité en page 19.
11 Thomas d ’Aquin, Somme Théologique ou Summa Theologica, 1265–1273, en ligne
en latin sur http://www.newadvent.org/summa, en français sur le site Web http://
docteurangelique.free.fr/index.html. Cité en page 19.
12 Pour une explication des mouvements « intérieurs », consultez le magnifique ouvrage de
Richard Schwartz, Internal Family Systems Therapy, The Guilford Press, 1995. Cité en
page 19.
13 Lisez par exemple le texte fascinant de David G. Chandler, The Campaigns of Napoleon
- The Mind and Method of History’s Greatest Soldier, Macmillan, 1966. Cité en page 19.
14 Richard Marcus, American Roulette, St Martin’s Press, 2003, un récit haletant tiré
d ’une histoire vraie. Cité en page 19.
15 Un livre agréable et divertissant sur le changement de comportement est le manuel connu de
R. Bandler, Using Your Brain for a Change, Real People Press, 1985. Consultez également
Richard Bandler & John Grinder, Frogs into princes – Neuro Linguistic Program-
ming, Eden Grove Editions, 1990. Cité aux pages 20 et 28.
16 Le livre suivant est un livre admirable sur les mécanismes de la croissance humaine depuis la
cellule originelle jusqu ’à la taille définitive : Lewis Wolpert, The Triumph of the Embryo,
Oxford University Press, 1991. Cité en page 20.
17 Sur le thème de la grâce et de l ’équilibre, lisez par exemple les nombreux livres sur la tech-
nique Alexander, tels que M. Gelb, Body Learning – An Introduction to the Alexander Tech-
bibliographie 329
nique, Aurum Press, 1981, et Richard Brennan, Introduction to the Alexander Technique,
Little Brown and Company, 1996. Entre autres, l ’ idée de la technique Alexander est de reve-
nir à la situation où les groupes de muscles nécessaires à la sustentation et ceux nécessaires
au mouvement sont utilisés uniquement pour leurs fonctions respectives, et non l ’ inverse.
Toute tension musculaire inutile, telle que le durcissement du cou, est un gaspillage d ’éner-
gie dû à l ’usage de muscles de la sustentation pour le mouvement et de muscles du mouve-

ment pour la sustentation. La technique enseigne la manière de revenir à l ’usage naturel des
muscles.
Le déplacement des animaux fut considérablement débattu déjà au dix-septième siècle
par G. B orelli, De motu animalium, 1680. Un exemple d ’une approche plus moderne est
J. J. Collins & I. Stewart, Hexapodal gaits and coupled nonlinear oscillator models,
Biological Cybernetics 68, pp. 287–298, 1993. Voyez aussi I. Stewart & M. Golubitsky,
Fearful Symmetry, Blackwell, 1992. Cité aux pages 22 et 91.
18 Les résultats sur le développement des enfants mentionnés ici et dans les lignes suivantes
ont été esquissés principalement à partir des recherches initiées par Jean Piaget. Pour plus
de détails sur le développement de l ’enfant, lisez l ’ intermède qui suit ce chapitre, à la page
??. Sur http://www.piaget.org vous pouvez découvrir le site Web maintenu par l ’association
Jean Piaget Society. Cité aux pages 22, 33 et 35.
19 Le cerveau reptilien (manger ? s’enfuir ? ignorer ?), appelé également l ’ archipallium ou R-
complex, contient le tronc cérébral, le cervelet, les noyaux gris centraux et le thalamus. Le
cerveau paléo-mammalien (émotions), appelé aussi système limbique, contient l ’amygdale,
l ’ hypothalamus et l ’ hippocampe. Le cerveau humain (et primate) (raisonnement logique),
dit néo-mammalien ou néocortex, est constitué de la célèbre matière grise. Pour des images
du cerveau, consultez l ’atlas de John Nolte, The Human Brain : An Introduction to its
Functional Anatomy, Mosby, fourth edition, 1999. Cité en page 23.
20 Le film du coin inférieur gauche peut être reproduit sur un ordinateur après avoir tapé les
lignes suivantes dans le logiciel Mathematica : Cité en page 24.
« Graphics‘Animation‘
Nxpixels=72 ; Nypixels=54 ; Nframes=Nxpixels 4/3 ;
Nxwind=Round[Nxpixels/4] ; Nywind=Round[Nypixels/3] ;
front=Table[Round[Random[]],{y,1,Nypixels},{x,1,Nxpixels}] ;
back =Table[Round[Random[]],{y,1,Nypixels},{x,1,Nxpixels}] ;
frame=Table[front,{nf,1,Nframes}] ;
Do[ If[ x>n-Nxwind && x<n && y>Nywind && y<2Nywind,
frame[[n,y,x]]=back[[y,x-n]] ],
{x,1,Nxpixels}, {y,1,Nypixels}, {n,1,Nframes}] ;
film=Table[ListDensityPlot[frame[[nf ]], Mesh-> False,
Frame-> False, AspectRatio-> N[Nypixels/Nxpixels],
DisplayFunction-> Identity], {nf,1,Nframes}]
ShowAnimation[film]
Mais notre système de détection du mouvement est beaucoup plus puissant que l ’exemple
montré dans les coins inférieurs gauches. Le film suivant, différent, souligne ce point.
« Graphics‘Animation‘
Nxpixels=72 ; Nypixels=54 ; Nframes=Nxpixels 4/3 ;
Nxwind=Round[Nxpixels/4] ; Nywind=Round[Nypixels/3] ;
front=Table[Round[Random[]],{y,1,Nypixels},{x,1,Nxpixels}] ;
back =Table[Round[Random[]],{y,1,Nypixels},{x,1,Nxpixels}] ;
330 bibliographie
frame=Table[front,{nf,1,Nframes}] ;
Do[ If[ x>n-Nxwind && x<n && y>Nywind && y<2Nywind,
frame[[n,y,x]]=back[[y,x]] ],
{x,1,Nxpixels}, {y,1,Nypixels}, {n,1,Nframes}] ;
film=Table[ListDensityPlot[frame[[nf ]], Mesh-> False,

Frame-> False, AspectRatio-> N[Nypixels/Nxpixels],
DisplayFunction-> Identity], {nf,1,Nframes}]
ShowAnimation[film]
Des expériences identiques, par exemple en utilisant des motifs aléatoires se modifiant au
hasard, montrent que l ’œil perçoit le mouvement même dans les cas où toutes les compo-
santes de Fourier de l ’ image sont pratiquement nulles. Un tel effet du mouvement est qua-
lifié de non-Fourier. De nombreux exemples sont présentés dans J. Zanker, Modelling
human motion perception I : Classical stimuli, Naturwissenschaften 81, pp. 156–163, 1994,
et J. Zanker, Modelling human motion perception II : Beyond Fourier motion stimuli,
Naturwissenschaften 81, pp. 200–209, 1994.
21 Une introduction à l ’étude de la perception : Bruce Goldstein, Perception, Books/Cole,
5th edition, 1998. Cité aux pages 19 et 24.
22 Toutes les citations d ’ Héraclite sont tirées de John Mansley Robinson, An Introduc-
tion to Early Greek Philosophy, Houghton Muffin 1968, chapitre 5. Cité en page 25.
23 Une introduction à l ’alchimie selon Newton se trouve dans les deux ouvrages de
Betty Jo Teeter Dobbs, The Foundations of Newton’s Alchemy, Cambridge Uni-
versity Press, 1983, et The Janus Face of Genius, Cambridge University Press, 1992. Newton
y apparaît comme étant une sorte de magicien hautement intellectuel, cherchant désespé-
remment des exemples de processus divins qui interagissent avec le monde matériel. C ’est
un récit profond mais tragique. Un bon aperçu en est donné par R. G. Keesing, Essay
Review : Newton’s Alchemy, Contemporary Physics 36, pp. 117–119, 1995.
La théologie puérile de Newton, caractéristique de ceux qui sont en quête de Dieu et
qui ont grandi sans avoir de père, peut être relevée dans les nombreux livres récapitulant
les échanges de lettres entre Clarke, son secrétaire, et Leibniz, le rival de Newton pour la
renommée. Cité en page 30.
24 Une introduction à l ’ histoire de la mécanique classique, qui destitue également un certain
nombre de légendes qui tournent autour d ’elle – telles que l ’ idée que Newton pouvait ré-
soudre des équations différentielles ou celle qu ’ il introduisit l ’expression F = ma – est
contée par Clifford A. Truesdell, Essays in the History of Mechanics, Springer, 1968.
Cité aux pages 30, 130 et 156.
25 C. Liu, Z. Dutton, C. H. Behroozi & L. Vestergaard Hau, Observation of
coherent optical information storage in an atomic medium using halted light pulses, Nature
409, pp. 490–493, 2001. Il existe aussi un commentaire sur cet article dans E. A. Cornell,
Stopping light in its track, 409, pp. 461–462, 2001. Toutefois, malgré la prétention, les pul-
sations lumineuses n’ont bien sûr pas été stoppées. Pouvez-vous en donner au moins deux
Défi 568 s raisons sans avoir lu cet article, et peut-être une troisième après l ’avoir lu ?
Le travail était un perfectionnement d ’une expérience précédente dans laquelle
une vitesse de groupe de la lumière de 17 m/s a été atteinte, dans un gaz ultra-froid
d ’atomes de sodium, à des températures de l ’ordre du nanokelvin. Ceci a été rapporté par
L. Vestergaard Hau, S. E. Harris, Z. Dutton & C. H. Behroozi, Light speed
reduction to 17 meters per second in an ultracold atomic gas, Nature 397, pp. 594–598, 1999.
Cité en page 33.
bibliographie 331
26 Rainer Flindt, Biologie in Zahlen – Eine Datensammlung in Tabellen mit über 10.000
Einzelwerten, Spektrum Akademischer Verlag, 2000. Cité en page 33.
27 Deux jets cosmiques de cette vitesse ont été observés par I. F. Mirabel &
L. F. Rodríguez, A superluminal source in the Galaxy, Nature 371, pp. 46–48, 1994,
en plus des commentaires de la p. 18. Cité en page 34.

28 Une admirable introduction aux mouvements les plus lents dans la nature, les modifications
des paysages, est dans Detlev Busche, Jürgen Kempf & Ingrid Stengel, Land-
schaftsformen der Erde – Bildatlas der Geomorphologie, Primus Verlag, 2005. Cité en page
32.
29 Une introduction à la perception du temps comme conséquence des horloges dans le cer-
veau est fournie dans R. B. Ivry & R. Spencer, The neural representation of time, Cur-
rent Opinion in Neurobiology 14, pp. 225–232, 2004. Les horloges chimiques qui se trouvent
dans notre corps sont décrites dans John D. Palmer, The Living Clock, Oxford Univer-
sity Press, 2002, ou dans A. Ahlgren & F. Halberg, Cycles of Nature : An Introduction
to Biological Rhythms, National Science Teachers Association, 1990. Consultez aussi le site
Web http://www.msi.umn.edu/~halberg/introd/. Cité en page 36.
30 Ceci a été montré, entre autres, par le travail d ’Anna Wierzbicka cité avec plus de détails
dans l ’ intermède qui suit ce chapitre, à la page ??. Le best-seller passionné de l ’auteur chom-
skien Steven Pinker, The Language Instinct – How the Mind Creates Language, Harper
Perennial, 1994, discute également des sujets relatifs à cette question, réfutant entre autres à
la page 63 l ’affirmation fausse souvent réitérée que la langue hopi est une exception. Cité en
page 37.
31 Aristote repoussait l ’ idée de l ’écoulement du temps dans le chapitre IV de sa Physique. Lisez
le texte complet sur le site Web http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.4.iv.html. Cité en
page 38.
32 Le livre le plus instructif de tous les livres sur la « flèche du temps » est probablement
Hans Dieter Zeh, The Physical Basis of the Direction of Time, Springer Verlag, 4th
edition, 2001. C ’est toujours le meilleur livre sur le sujet. La plupart des autres textes –
regardez sur le Web – manquent de clarté dans les idées.
Un compte rendu caractéristique de conférence est J. J. Halliwell, J. Pérez–
Mercader & Wojciech H. Zurek, Physical Origins of Time Asymmetry, Cambridge
University Press, 1994. Cité en page 39.
33 Sur le thème du mouvement absolu et relatif il existe de nombreux manuels qui traitent
de certains problèmes. Par exemple John Barbour, Absolute or Relative Motion ? Vol.
1 : A Study from the Machian Point of View of the Discovery and the Structure of Space-
time Theories, Cambridge University Press, 1989, John Barbour, Absolute or Relative Mo-
tion ? Vol. 2 : The Deep Structure of General Relativity, Oxford University Press, 2005, ou
John Earman, World Enough and Spacetime : Absolute vs Relational Theories of Space-
time, MIT Press, 1989. Cité en page 43.
34 R. Dougherty & M. Foreman, Banach-Tarski decompositions using sets with the pro-
perty of Baire, Journal of the American Mathematical Society 7, pp. 75–124, 1994. Voir égale-
ment Alan L. T. Paterson, Amenability, American Mathematical Society, 1998, et Ro-
bert M. French, The Banach-Tarski theorem, The Mathematical Intelligencer 10, pp. 21–
28, 1998. Enfin, il y a les livres de Bernard R. Gelbaum & John M. H. Olmsted,
counter-examples in Analysis, Holden–Day, 1964, et leur Theorems and counter-examples in
Mathematics, Springer, 1993. Cité en page 46.
35 Ce magnifique ouvrage, qui n’est pas facile à lire, est Stan Wagon, The Banach Tarski
Paradox, Cambridge University Press, 1993. Cité aux pages 47 et 357.
332 bibliographie
36 À propos des formes des bactéries d ’eau salée, lisez la section appropriée dans le livre capti-
vant de Bernard Dixon, Power Unseen – How Microbes Rule the World, W.H. Freeman,
1994. Le livre possède environ 80 sections, dans lequelles plusieurs micro-organismes sont
présentés de manière vivante. Cité en page 47.
37 Les distances les plus petites sont sondées dans les accélérateurs de particules, la distance
peut être déterminée d ’après l ’énergie du flux des particules incidentes. En 1996, la valeur de

10−19 m (pour la limite supérieure à la taille des quarks) fut frôlée dans l ’expérience décrite
dans F. Abe & al., Measurement of dijet angular distributions by the collider detector at
Fermilab, Physical Review Letters 77, pp. 5336–5341, 1996. Cité en page 51.
38 Alexander K. Dewdney, The Planiverse – Computer Contact with a Two-dimensional
World, Poseidon Books/Simon & Schuster, 1984. Plusieurs autres auteurs de fictions ont au-
paravant exploré la possibilité d ’un univers bidimensionnel, répondant toujours, de manière
incorrecte, par l ’affirmative. Cité en page 56.
39 Il y a toute une histoire masquée derrière les variations de д. Elle peut être trouvée dans
Chuji Tsuboi, Gravity, Allen & Unwin, 1979, ou dans Wolf gang Torge, Gravimetry,
de Gruyter, 1989, ou dans Milan Burša & Karel Pěč, The Gravity Field and the Dy-
namics of the Earth, Springer, 1993. La variation de la hauteur du sol d ’environ 0,3 m causée
par la Lune est un des effets intéressants découverts par ces recherches. Cité aux pages 58
et 136.
40 Andrea Frova, La fisica sotto il naso – 44 pezzi facili, Biblioteca Universale Rizzoli, Mi-
lano, 2001. Cité en page 58.
41 L’étude des excréments projetés (c ’est-à-dire, la merde) et de ses mécanismes forme une
partie de la biologie moderne. Les raisons pour lesquelles les chenilles en font ainsi ont été
déterminées par M. Weiss, Good housekeeping : why do shelter-dwelling caterpillars fling
their frass ?, Ecology Letters 6, pp. 361–370, 2003, qui donne également le record actuel de
1,5 m pour des boulettes de 24 mg de Epargyreus clarus. La photographie des fèces volantes
est tirée de S. Caveney, H. McLean & D. Surry, Faecal firing in a skipper caterpillar
is pressure-driven, The Journal of Experimental Biology 201, pp. 121–133, 1998. Cité en page
60.
42 Ceci fut discuté dans le Frankfurter Allgemeine Zeitung du 2 août 1997, au même moment
que le Championnat du monde d ’athlétisme. Ces valeurs concernent la partie la plus ra-
pide de la course d ’un sprinteur du 100 m, les valeurs exactes citées furent qualifiées de re-
cords mondiaux de la course de vitesse en 1997, et sont données comme valant 12,048 m/s =
43,372 km/h par Ben Johnson pour les hommes, et 10,99 m/s = 39,56 km/h pour les femmes.
Cité en page 60.
43 La littérature et les données sur le saut en longueur peuvent être consultées dans trois articles
tous intitulés Is a good long jumper a good high jumper ?, dans American Journal of Physics
69, pp. 104–105, 2001. En particulier, les sauteurs en longueur de rang mondial courent à
9,35 ± 0,15 m/s, avec une vitesse verticale de décollage de 3,35 ± 0,15 m/s, fournissant des
angles de décollage d ’environ 20° (seulement). Une nouvelle technique pour atteindre des
angles de décollage plus importants permettrait d ’accroître considérablement le record mon-
dial de saut en longueur. Cité en page 60.
44 Les hypothèses de Zénon peuvent être consultées dans Aristote, Physique, VI, 9. On peut
en trouver la traduction dans la plupart des langues. Le site Web http://classics.mit.edu/
Aristotle/physics.6.vi.html en fournit une version en ligne en anglais. Cité aux pages 62
et 328.
45 L’étymologie peut se révéler être un domaine fascinant, par exemple lorsque des chercheurs
découvrirent l ’origine du mot allemand « Weib » (« femme », relié à la traduction anglaise de
bibliographie 333
« épouse », « wife »). Il a été découvert, via quelques textes en Tokharien – une langue indo-
européenne éteinte issue d ’une région située à l ’ intérieur de la Chine moderne –, qu ’ il si-
gnifiait à l ’origine « honte ». Il était utilisé pour désigner la partie génitale de la femme dans
une expression qui signifiait « zone de la honte ». Avec le temps, cette expression fut utilisée
pour dire « femme » en général, tout en étant réduite au second terme uniquement. Ce lien
de parenté fut découvert par le linguiste allemand Klaus T. Schmidt, il explique notamment

pourquoi le mot n’est pas féminin mais neutre, c ’est-à-dire pourquoi il utilise l ’article alle-
mand « das » (le) au lieu de « die » (la). (Julia Simon, communication privée.)
L’étymologie peut également être un divertissement simple et accessible, par exemple
lorsque nous découvrons dans le dictionnaire Oxford English Dictionary que « testimony »
(« témoignage ») et « testicle » (« testicule ») ont la même origine, c ’est-à-dire qu ’ ils dérivent
du même mot latin « testis » qui était utilisé pour les deux à la fois. Cité aux pages 65 et 73.
46 Une synthèse des derniers développements en est donnée par J. T. Armstrong,
D. J. Hunter, K. J. Johnston & D. Mozurkewich, Stellar optical interferome-
try in the 1990s, Physics Today pp. 42–49, Mai 1995. Plus de 100 diamètres stellaires étaient
déjà recensés en 1995. Plusieurs instruments de haute précision spécialement dédiés ont été
prévus. Cité en page 66.
47 Un excellent manuel de biologie sur la croissance : Arthur F. Hopper & Na-
than H. Hart, Foundations of Animal Development, Oxford University Press, 2006.
Cité en page 66.
48 Ceci est discuté par exemple dans C. L. Stong, The amateur scientist – how to supply elec-
tric power to something which is turning, Scientific American pp. 120–125, décembre 1975. Il
décrit également comment réaliser une image immobile d ’un objet en rotation simplement
en utilisant quelques prismes, que l ’on appelle des prismes de Dove. D’autres exemples d ’ob-
jets attachés à un corps en rotation sont donnés par E. Rieflin, Some mechanisms related
to Dirac ’s strings, American Journal of Physics 47, pp. 379–381, 1979. Cité en page 67.
49 James A. Young, Tumbleweed, Scientific American 264, pp. 82–87, mars 1991. Le buisson
épineux est en réalité extrêmement rare, excepté dans les westerns de Hollywood, dans les-
quels tous les metteurs en scène se sentent obligés de leur donner leur aspect si particulier.
Cité en page 67.
50 Les premières expériences qui ont mis en évidence la rotation des flagelles étaient de
M. Silverman & M. I. Simon, Flagellar rotation and the mechanism of bacterial mo-
tility, Nature 249, pp. 73–74, 1974. Pour voir quelques belles images des molécules im-
pliquées, consultez K. Namba, A biological molecular machine : bacterial flagellar mo-
tor and filament, Wear 168, pp. 189–193, 1993, ou le site Web http://www.nanonet.go.
jp/english/mailmag/2004/011a.html. Le record actuel de vitesse de rotation, 1 700 rota-
tions par seconde, est signalé par Y. Magariyama, S. Sugiyama, K. Muramoto,
Y. Maekawa, I. Kawagishi, Y. Imae & S. Kudo, Very fast flagellar rotation, Nature
371, p. 752, 1994.
On peut en apprendre davantage sur les bactéries dans David Dusenbery, Life at a
Small Scale, Scientific American Library, 1996. Cité en page 69.
51 Sur les ombres, lisez le texte populaire agréable de Roberto Casati, Alla scoperta
dell ’ombra – Da Platone a Galileo la storia di un enigma che ha affascinato le grandi menti
dell ’umanità, Oscar Mondadori, 2000, et ses sites Web situés sur http://www.shadowmill.
com et http://roberto.casati.free.fr/casati/roberto.htm. Cité en page 70.
52 Il y a également le magnifique ouvrage de Penelope Farrant, Colour in Nature, Bland-
ford, 1997. Cité en page 70.
53 Les « lois » de la physique des dessins animés peuvent aisément être débusquées en utilisant
334 bibliographie
n’ importe quel moteur de recherche sur Internet. Cité en page 70.

54 Pour les curieux, une vue d ’ensemble des illusions utilisées au cinéma et à la télévision, qui
conduisent à quelques-unes des étranges propriétés des images mentionnées ci-dessus, est
donnée dans Bernard Wilkie, The Technique of Special Effects in Television, Focal Press,
1993, et dans ses autres livres, ou dans le magazine Cinefex. Cité en page 71.

55 Aetius, Opinions, I, XXIII, 3. Voir Jean-Paul Dumont, Les écoles présocratiques, Folio
Essais, Gallimard, p. 426, 1991. Cité en page 71.
56 Giuseppe Fumagalli, Chi l ’ ha detto ?, Hoepli, 1983. Cité aux pages 72 et 162.
57 Pour le rôle et la chimie de l ’ adénosine triphosphate (ATP) dans les cellules et dans les êtres
vivants, lisez n’ importe quel livre de biochimie, ou cherchez sur le Web. La révélation des
mécanismes relatifs à l ’ ATP fut récompensée par des prix Nobel en chimie en 1978 et en 1997.
Cité en page 80.
58 Une photographie de cette horloge unique au monde peut être trouvée dans l ’article de
A. Garrett, Perpetual motion – a delicious delirium, Physics World pp. 23–26, décembre
1990. Cité en page 81.
59 Une étude de Shell a estimé la consommation mondiale totale d ’énergie en l ’an 2000 à
500 EJ. Le département américain de l ’ Énergie l ’a estimée autour de 416 EJ. Nous avons
pris ici la valeur la plus basse. Une discussion et une analyse de l ’usage de l ’électricité
(14 EJ) et d ’autres formes d ’énergie, avec des variations par pays, peuvent être consultées
dans S. Benka, The energy challenge, Physics Today 55, pp. 38–39, avril 2002, et dans
E. J. Monitz & M. A. Kenderdine, Meeting energy challenges : technology and policy,
Physics Today 55, pp. 40–46, avril 2002. Cité en page 83.
60 Pour une synthèse, lisez l ’article de J. F. Mulligan & H. G. Hertz, An unpublished lec-
ture by Heinrich Hertz : ’On the energy balance of the Earth’, American Journal of Physics
65, pp. 36–45, 1997. Cité en page 85.
61 Pour une magnifique photographie de cette prouesse féline, regardez la couverture du jour-
nal et l ’article de J. Darius, A tale of a falling cat, Nature 308, p. 109, 1984. Cité en page
90.
62 Natthi L. Sharma, A new observation about rolling motion, European Journal of Phy-
sics 17, pp. 353–356, 1996. Cité en page 91.
63 C. Singh, When physical intuition fails, American Journal of Physics 70, pp. 1103–1109,
64 Serge Gracovetsky, The Spinal Engine, Springer Verlag, 1990. Il est aussi maintenant
établi que la démarche humaine est chaotique. Cela est expliqué par M. Perc, The dyna-
mics of human gait, European Journal of Physics 26, pp. 525–534, 2005. Cité en page 92.
65 Thomas Heath, Aristarchus of Samos – the Ancient Copernicus, Dover, 1981, réimpres-
sion de l ’édition originale de 1913. Le traité d ’Aristarque est disponible en grec et en anglais.
Aristarque fut le premier instigateur du système héliocentrique. Il avait mesuré la durée du
jour (en fait, en déterminant le nombre de jours par an) à la précision ahurissante de moins
d ’une seconde. Cet excellent ouvrage fournit également un tour d ’ horizon de l ’astronomie
grecque avant Aristarque, décrite en détail pour chaque penseur grec. Le texte d ’Aristarque
est aussi reproduit dans Aristarchos, On the sizes and the distances of the Sun and the
Moon, v. 280 av. J.-C. dans Michael J. Crowe, Theories of the World From Antiquity
to the Copernican Revolution, Dover, 1990, particulièrement aux pp. 27–29. Cité en page 94.
66 L’ influence de la force de Coriolis sur les icebergs fut étudiée de manière plus approfondie
par le physicien suédois qui devint océanographe par la suite Walfrid Ekman (1874–1954).
Ce sujet fut suggéré par le grand explorateur Fridtjof Nansen, qui fit également les premières
bibliographie 335
observations. En son honneur, nous parlons de la couche d ’ Ekman, du transport d ’ Ekman

et des spirales d ’ Ekman. N ’ importe quel texte sur l ’océanographie ou sur la géographie
physique fournit plus d ’ informations à ce propos. Cité en page 96.
67 Une synthèse des conséquences de l ’ accélération de Coriolis a = −2ω × v dans le référentiel
en rotation est donnée par Edward A. Desloge, Classical Mechanics, Volume 1, John
Wiley & Sons, 1982. Même le courant dénommé Gulf Stream, ce courant d ’eau chaude qui

circule de la mer des Caraïbes vers la mer du Nord, est influencé par celui-ci. Cité en page
96.
68 La publication originale est de A. H. Shapiro, Bath-tub vortex, Nature 196, pp. 1080–1081,
1962. Il produisit aussi deux films de l ’expérience. L’expérience a été reproduite de nom-
breuses fois dans les hémisphères Nord et Sud, où l ’eau s’écoule dans le sens des aiguilles
d ’une montre. Le premier test dans l ’ hémisphère Sud a été fait par L.M. Trefethen &
al., The bath-tub vortex in the southern hemisphere, Nature 201, pp. 1084–1085, 1965. Une
bibliographie complète se trouve dans les notes aux éditeurs de American Journal of Physics
62, p. 1063, 1994. Cité en page 96.
69 Les astuces sont expliquées par Richard Crane, Short Foucault pendulum : a way to
eliminate the precession due to ellipticity, American Journal of Physics 49, pp. 1004–1006,
1981, et plus particulièrement dans Richard Crane, Foucault pendulum wall clock,
American Journal of Physics 63, pp. 33–39, 1993. Le pendule de Foucault a été également
le sujet de la thèse de Heike Kamerling Onnes, Nieuwe bewijzen der aswenteling der
aarde, Universiteit Groningen, 1879. Cité en page 97.
70 La référence est J. G. Hagen, La rotation de la terre : ses preuves mécaniques anciennes et
nouvelles, Sp. Astr. Vaticana Second. App. Rome, 1910. Son autre expérience est publiée dans
J. G. Hagen, How Atwood ’s machine shows the rotation of the Earth even quantitatively,
International Congress of Mathematics, août 1912. Cité en page 98.
71 R. Anderson, H. R. Bilger & G. E. Stedman, The Sagnac-effect : a century of Earth-
rotated interferometers, American Journal of Physics 62, pp. 975–985, 1994.
Lisez également l ’article exhaustif et limpide de G. E. Stedman, Ring laser tests of fun-
damental physics and geophysics, Reports on Progress in Physics 60, pp. 615–688, 1997. Cité
en page 99.
72 À propos de la durée du jour, consultez le site Web http://maia.usno.navy.mil ou les livres de
K. Lambeck, The Earth’s Variable Rotation : Geophysical Causes and Consequences, Cam-
bridge University Press, 1980, et de W. H. Munk & G. J. F. MacDonald, The Rotation
of the Earth, Cambridge University Press, 1960. Concernant une installation récente de laser
en anneau, voyez http://www.wttzell.ifag.de. Cité aux pages 99 et 138.
73 Un exemple de données expérimentales se trouve dans C. P. Sonett, E. P. Kvale,
A. Zakharian, M. A. Chan & T. M. Demko, Late proterozoic and paleozoic tides, re-
treat of the moon, and rotation of the Earth, Science 273, pp. 100–104, 5 juillet 1996. Les
auteurs concluent à partir des analyses de sédiments marins que les jours duraient 18 à 19
heures seulement durant le protérozoïque, c ’est-à-dire il y a 900 millions d ’années. Ils sup-
posent que l ’année est longue de 31 millions de secondes depuis cette période jusqu ’à au-
jourd ’ hui. Une autre détermination fut donnée par G. E. Williams, Precambrian tidal
and glacial clastic deposits : implications for precambrian Earth–Moon dynamics and pa-
laeoclimate, Sedimentary Geology 120, pp. 55–74, 1998. En utilisant une configuration géolo-
gique appelée rythmites tidales, il déduisit qu ’ il y a environ 600 millions d ’années il y avait
13 mois par an et que la journée comportait 22 heures. Cité en page 99.
74 Le récit de cette association entre l ’ histoire et l ’astronomie est contée dans Ri-
chard Stephenson, Historical Eclispes and Earth’s Rotation, Cambridge University
336 bibliographie
Press, 1996. Cité en page 100.

75 Sur cette rotation et l ’ histoire du Système solaire, lisez S. Brush, Theories of the origin of
the solar system 1956–1985, Reviews of Modern Physics 62, pp. 43–112, 1990. Cité en page
100.
76 Le site Web http://maia.usno.navy.mil montre le mouvement de l ’axe de la Terre durant les

dix dernières années. Le Service international des latitudes fondé par Küstner fait mainte-
nant partie du Service international de la rotation terrestre, plus d ’ informations peuvent
être trouvées sur le site Web http://www.iers.org. La dernière avancée est que les deux tiers
de la composante circulaire du mouvement polaire, qui est dénomée « oscillation de Chand-
ler » aux USA d ’après la personne qui s’attribua la découverte de Küstner, sont dus aux fluc-
tuations de la pression des océans au fond de ceux-ci et un tiers est dû aux variations de
pression dans l ’atmosphère terrestre. L’explication en est fournie par R. S. Gross, The ex-
citation of the Chandler wobble, Geophysical Physics Letters 27, pp. 2329–2332, 2000. Cité
en page 101.
77 Pour avoir plus d ’ informations sur Alfred Wegener, lisez le texte (accessible) de
Klaus Rohrbach, Alfred Wegener – Erforscher der wandernden Kontinente, Verlag
Freies Geistesleben, 1993. À propos de la tectonique des plaques, allez sur le site Web http://
www.scotese.com. Pour les séismes, voir les sites http://www.geo.ed.ac.uk/quakexe/quakes
et http://www.iris.edu/seismon. Consultez les sites http://vulcan.wr.usgs.gov et http://www.
dartmouth.edu/~volcano/ pour avoir plus d ’ informations sur les volcans. Cité en page 102.
78 J. D. Hays, J. Imbrie & N. J. Shackleton, Variations in the Earth’s orbit : pacemaker
of the ice ages, Science 194, pp. 1121–1132, 1976. Ils découvrirent ce résultat en s’enfonçant
littéralement dans la vase qui recouvre le plancher des océans à certains endroits. Remarquez
que le Web regorge d ’ informations sur les ères glaciaires. Tapez simplement « Milankovitch »
dans un moteur de recherche. Cité en page 104.
79 Roberta Humphreys & Jeffrey Larsen, The sun’s distance above the galactic plane,
Astronomical Journal 110, pp. 2183–2188, novembre 1995. Cité en page 105.
80 C. L. Bennet, M. S. Turner & M. White, The cosmic rosetta stone, Physics Today 50,
pp. 32–38, novembre 1997. Cité en page 105.
81 Un bon récit des prédictions sur le jeu de roulette des années 1970 est relaté par Tho-
mas A. Bass, The Eudaemonic Pie également publié sous le titre The Newtonian Casino,
Backinprint, 2000. Un tour d ’ horizon jusqu ’en 1998 en est donné dans l ’article d ’ Ed-
ward O. Thorp, The invention of the first wearable computer, Proceedings of the Second
International Symposium on Wearable Computers (ISWC 1998), 19-20 octobre 1998, Pitts-
burgh, Pennsylvania, USA (IEEE Computer Society), pp. 4–8, 1998, téléchargeable sur http://
csdl.computer.org/comp/proceedings/iswc/1998/9074/00/9074toc.htm. Cité en page 108.
82 Les articles originaux sont A. H. Compton, A laboratory method of demonstrating the
Earth’s rotation, Science 37, pp. 803–806, 1913, A. H. Compton, Watching the Earth re-
volve, Scientific American Supplement no. 2047, pp. 196–197, 1915, et A. H. Compton, A
determination of latitude, azimuth and the length of the day independent of astronomical
observations, Physical Review (second series) 5, pp. 109–117, 1915. Cité en page 98.
83 Ceci, ainsi que de nombreuses autres surprises en physique, est décrit dans la magnifique
retranscription de la conférence de Josef Zweck, Physik im Alltag, notes de ses cours qui
se tinrent en 1999-2000 à l ’université de Regensburg (Ratisbonne). Cité aux pages 109 et 113.
84 L’équilibre des navires, si primordial dans les car-ferries, est une partie captivante de la
construction navale, une introduction en était déjà faite par Leonhard Euler, Scientia
navalis, 1749. Cité en page 110.
bibliographie 337
85 K. R. Weninger, B. P. Barber & S. J. Putterman, Pulsed Mie scattering measure-

ments of the collapse of a sonoluminescing bubble, Physical Review Letters 78, pp. 1799–
1802, 1997. Cité en page 110.
86 Sur le site http://www.sff.net/people/geoffrey.landis/vacuum.html, vous pourrez lire une des-
cription de ce qui se passe. Regardez aussi les sites http://www.sff.net/people/geoffrey.landis/
ebullism.html et http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/ask_astro/answers/970603.html. Ils four-

nissent tous des détails sur les effets du vide sur les êtres humains. Cité en page 111.
87 R. McN. Alexander, Leg design and jumping technique for humans, other vertebrates
and insects, Philosophical Transactions of the Royal Society in London B 347, pp. 235–249,
88 J. W. Glasheen & T. A. McMahon, A hydrodynamic model of locomotion in the
basilisk lizard, Nature 380, pp. 340–342, Pour des photographies, consultez aussi New Scien-
tist, p. 18, 30 mars 1996, ou Scientific American, pp. 48–49, septembre 1997, ou encore le
site Web de l ’auteur sur http://rjf2.biol.berkeley.edu/Full_Lab/FL_Personnel/J_Glasheen/
J_Glasheen.html.
Divers limicoles* ont également l ’aptitude à courir sur l ’eau, en utilisant le même pro-
cédé. Cité en page 118.
89 A. Fernandez–Nieves & de las Nieves, About the propulsion system of a kayak
and of Basiliscus basiliscus, European Journal of Physics 19, pp. 425–429, 1998. Cité en page
118.
90 M. Wittlinger, R. Wehner & H. Wolf, The ant odometer : stepping on stilts and
stumps, Science 312, pp. 1965–1967, 2006. Cité en page 119.
91 Le débat sur cette histoire ténébreuse est tiré du livre de Robert M. Pryce, Cook and
Peary, Stackpole Books, 1997. Voir aussi Wally Herbert, The Noose of Laurels, Double-
day 1989. Le récit déplorable de Robert Peary est également relaté dans le numéro centenaire
de National Geographic, septembre 1988. Comme la National Geographic Society avait fi-
nancé l ’effort de Peary et l ’avait soutenu jusqu ’à ce que le Congrès américain l ’ait déclaré
premier homme à avoir atteint le pôle, la rétractation (partielle) fut remarquée. (Le maga-
zine changea d ’avis une nouvelle fois un peu plus tard, pour vendre plus de numéros.) Par
ailleurs, les photographies de Cook, qui prétendit avoir atteint le pôle Nord avant même
Peary, ont le même problème de longueur d ’ombre. L’ histoire des deux hommes est truffée
de duperies concernant leurs « exploits ». Par conséquent, le premier homme à avoir atteint
le pôle Nord fut probablement Roald Amundsen, qui y arriva quelques années plus tard, et
qui fut également le premier homme à rallier le pôle Sud. Cité en page 120.
92 L’ histoire se trouve dans M. Nauenberg, Hooke, orbital motion, and Newton’s Principia,
American Journal of Physics 62, 1994, pp. 331–350. Cité en page 121.
93 Plus de détails sont donnés par D. Rawlins, dans Doubling your sunsets or how anyone
can measure the Earth’s size with wristwatch and meter stick, American Journal of Physics
47, 1979, pp. 126–128. Une autre évaluation simple du rayon de la Terre, en utilisant unique-
ment un sextant, est fournie par R. O ’ Keefe & B. Ghavimi–Alagha, dans The World
Trade Centre and the distance to the world ’s centre, American Journal of Physics 60, pp. 183–
185, 1992. Cité en page 122.
94 Plusieurs informations sur les mesures de distances astronomiques peuvent être compulsées
dans le merveilleux petit ouvrage de van Helden, Measuring the Universe, University of
Chicago Press, 1985, et dans Nigel Henbest & Heather Cooper, The Guide to the
Galaxy, Cambridge University Press, 1994. Cité en page 122.
* Oiseaux des marécages ou des rivages marins [N.d.T.].

338 bibliographie
95 Une foule de détails peut être relevée dans M. Jammer, Concepts of Mass in Classical and
Modern Physics, réimprimé par Dover, 1997, et dans Concepts of Force, a Study in the Foun-
dations of Mechanics, Harvard University Press, 1957. Ces manuels éclectiques qui traitent
le sujet de manière approfondie fournissent un grand nombre de détails et exposent divers
points de vue philosophiques, mais manquent de formulations et de conclusions claires sur
la description exacte de la nature, il n’apportent donc qu ’une aide restreinte sur les pro-

blèmes fondamentaux.
Jean Buridan (v. 1295 à v. 1366) critiqua la distinction entre les mouvements sublunaires
et supralunaires dans son œuvre De Caelo, un de ses nombreux travaux. Cité en page 122.
96 D. Topper & D. E. Vincent, An analysis of Newton’s projectile diagram, European Jour-
nal of Physics 20, pp. 59–66, 1999. Cité en page 122.
97 L’ histoire insensée du mètre est relatée dans le roman historique de Ken Alder, The Mea-
sure of All Things : The Seven-Year Odyssey and Hidden Error that Transformed the World,
The Free Press, 2003. Cité en page 125.
98 H. Edelmann, R. Napiwotzki, U. Heber, N. Christlieb & D. Reimers, HE
0437-5439 : an unbound hyper-velocity B-type star, The Astrophysical Journal 634, pp. L181–
L184, 2005. Cité en page 145.
99 Ceci est exposé par exemple par D.K. Firpić & I.V. Aniçin, The planets, after all,
may run only in perfect circles – but in the velocity space !, European Journal of Physics
14, pp. 255–258, 1993. Cité aux pages 145 et 378.
100 Concernant la mesure du nombre de dimensions spatiales via la gravité – et l ’échec
de la découverte d ’un indice pour un nombre différent de trois –, lisez la revue de
E. G. Adelberger, B. R. Heckel & A. E. Nelson, Tests of the gravitational
inverse-square law, Annual Review of Nuclear and Particle Science 53, pp. 77–121, 2003,
aussi sur http://www.arxiv.org/abs/hep-ph/0307284, ou la revue de J. A. Hewett &
M. Spiropulu, Particle physics probes of extra spacetime dimensions, Annual Review
of Nuclear and Particle Science 52, pp. 397–424, 2002, http://www.arxiv.org/abs/hep-ph/
0205106. Cité en page 127.
101 Il existe de nombreux livres expliquant l ’origine de la forme précise de la Terre, tel le livre
de poche S. Anders, Weil die Erde rotiert, Verlag Harri Deutsch, 1985. Cité en page 128.
102 La forme de la Terre est décrite avec plus de précision à l ’aide du Système géodésique
mondial. Pour une présentation plus étendue, consultez le site http://www.eurocontrol.be/
projects/eatchip/wgs84/start.html. Allez aussi sur le site du Service international de la rota-
tion terrestre sur http://hpiers.obspm.fr. Cité en page 128.
103 W. K. Hartman, R. J. Phillips & G. J. Taylor, editors, Origin of the Moon, Lunar
and Planetary Institute, 1986. Cité en page 132.
104 Si vous désirez vous informer sur le mouvement de la Lune dans tous ses détails fascinants,
jetez un œil sur Martin C. Gutzwiller, Moon–Earth–Sun : the oldest three body pro-
blem, Reviews of Modern Physics 70, pp. 589–639, 1998. Cité en page 132.
105 Dietrich Neumann, Physiologische Uhren von Insekten – Zur Ökophysiologie lunar-
periodisch kontrollierter Fortpflanzungszeiten, Naturwissenschaften 82, pp. 310–320, 1995.
Cité en page 132.
106 L’origine de la durée du cycle menstruel n’est pas encore déterminée avec exactitude, toute-
fois, nous avons des explications sur la façon dont elle se synchronise avec d ’autres cycles.
Pour un exposé général, lisez Arkady Pikovsky, Michael Rosenblum & Jür-
gen Kurths, Synchronization : A Universal Concept in Nonlinear Science, Cambridge Uni-
versity Press, 2002. Cité en page 132.
bibliographie 339
107 J. Laskkar, F. Joutel & P. Robutel, Stability of the Earth’s obliquity by the moon,
Nature 361, pp. 615–617, 1993. Cependant, ce sujet n’est pas entièrement compris, et d ’autres
opinions existent. Cité en page 132.
108 Neil F. Comins, What if the Moon Did not Exist ? – Voyages to Earths that Might Have
Been, Harper Collins, 1993. Cité en page 132.

109 Lisez par exemple l ’explication de J. J. Lissauer, It is not easy to make the moon, Nature
389, pp. 327–328, 1997. Cité en page 132.
110 Paul A. Wiegert, Kimmo A. Innanen & Seppo Mikkola, An asteroidal compa-
nion to the Earth, Nature 387, pp. 685–686, 12 juin 1997, en même temps que le commen-
taire aux pp. 651–652. Des détails sur l ’orbite et sur le fait que les points de Lagrange ne
forment pas toujours des triangles équilatéraux peuvent être comsultés dans F. Namouni,
A. A. Christou & C. D. Murray, Coorbital dynamics at large eccentricity and inclina-
tion, Physical Review Letters 83, pp. 2506–2509, 1999. Cité en page 135.
111 Simon Newcomb, Astronomical Papers of the American Ephemeris 1, p. 472, 1882. Cité en
page 136.
112 Une admirable introduction en est donnée dans le classique G. Falk & W. Ruppel, Me-
chanik, Relativität, Gravitation – ein Lehrbuch, Springer Verlag, Dritte Auflage, 1983. Cité
en page 136.
113 J. Soldner, Berliner Astronomisches Jahrbuch auf das Jahr 1804, 1801, p. 161. Cité en page
140.
114 L’équivalence fut testée avec précision d ’abord par Roland von E®tv®s, Annalen der
Physik & Chemie 59, p. 354, 1896, et par von E®tv®s, V. Pekàr & E. Fekete, Beiträge
zum Gesetz der Proportionalität von Trägheit und Gravität, Annalen der Physik 4, Leipzig
68, pp. 11–66, 1922. Il trouva un accord de 5 parties pour 109 . D’autres expériences furent
réalisées par P. G. Roll, R. Krotkow & R. H. Dicke, The equivalence of inertial and
passive gravitational mass, Annals of Physics (NY) 26, pp. 442–517, 1964, un des articles de
recherche les plus intéressants et les plus divertissants en physique expérimentale, et par
V. B. Braginsky & V. I. Panov, Soviet Physics – JETP 34, pp. 463–466, 1971. Des résul-
tats récents, avec des erreurs de moins d ’une partie pour 1012 , sont donnés par Y. Su & al.,
New tests of the universality of free fall, Physical Review D50, pp. 3614–3636, 1994. Diverses
expériences ont été proposées pour tester l ’équivalence dans l ’espace à moins d ’une partie
pour 1016 . Cité en page 141.
115 Voir L. Hodges, Gravitational field strength inside the Earth, American Journal of Physics
59, pp. 954–956, 1991. Cité en page 145.
116 P. Mohazzabi & M. C. James, Plumb line and the shape of the Earth, American Journal
of Physics 68, pp. 1038–1041, 2000. Cité en page 146.
117 De Neil de Gasse Tyson, The Universe Down to Earth, Columbia University Press, 1994.
Cité en page 147.
118 C ’est un petit exemple tiré du magnifique livre de Mark P. Silverman, And Yet It Moves :
Strange Systems and Subtle Questions in Physics, Cambridge University Press, 1993. C ’est un
véritable coffre au trésor pour quiconque est intéressé par les rouages de la physique. Cité
en page 148.
119 G. D. Quinlan, Planet X : a myth exposed, Nature 363, pp. 18–19, 1993. Cité en page 148.
120 Voir http://en.wikipedia.org/wiki/90377_Sedna. Cité en page 148.
121 Voir Robert Matthews, Not a snowball ’s chance..., New Scientist 12 juillet 1997,
pp. 24–27. L’affirmation originale est due à Louis A. Frank, J. B. Sigwarth &
340 bibliographie
J. D. Craven, On the influx of small comets into the Earth’s upper atmosphere, parts
I and II, Geophysical Research Letters 13, pp. 303–306, pp. 307–310, 1986. Les dernières
observations ont discrédité cette thèse. Cité en page 149.
122 La formulation par rayon est merveilleusement expliquée dans J. Evans, The ray form of
Newton’s law of motion, American Journal of Physics 61, pp. 347–350, 1993. Cité en page

150.
123 G. -L. Lesage, Lucrèce Newtonien, Nouveaux Mémoires de l ’Académie royale des sciences
et belles-lettres pp. 404–431, 1747, ou http://www3.bbaw.de/bibliothek/digital/struktur/
03-nouv/1782/jpg-0600/00000495.htm. Cité en page 150.
124 J. Laskar, A numerical experiment on the chaotic behaviour of the solar system, Nature
338, pp. 237–238, 1989, et J. Laskar, The chaotic motion of the solar system – A numerical
estimate of the size of the chaotic zones, Icarus 88, pp. 266–291, 1990. Le travail de Laskar fut
développé plus tard par Jack Wisdom, en utilisant des ordinateurs spécialement conçus et
en considérant uniquement les planètes, sans prendre en compte les corps plus petits. Pour
plus de détails, consultez G. J. Sussman & J. Wisdom, Chaotic Evolution of the Solar
System, Science 257, pp. 56–62, 1992. Aujourd ’ hui, de tels calculs numériques peuvent être
réalisés sur votre PC domestique à l ’aide d ’un programme source disponible gratuitement
sur Internet. Cité en page 151.
125 B. Dubrulle & F. Graner, Titius-Bode laws in the solar system. 1 : Scale invariance
explains everything, Astronomy and Astrophysics 282, pp. 262–268, 1994, et Titius-Bode laws
in the solar system. 2 : Build your own law from disk models, Astronomy and Astrophysics
282, pp. 269–276, 1994. Cité en page 152.
126 M. Lecar, Bode’s Law, Nature 242, pp. 318–319, 1973, et M. Henon, A comment on “The
resonant structure of the solar system” by A.M. Molchanov, Icarus 11, pp. 93–94, 1969. Cité
en page 152.
127 Cassius Dio, Historia Romana, v. 220, livre 37, 18. Pour une traduction anglaise, voir le site
http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Cassius_Dio/37*.html. Cité en page
153.
128 M. Bevis, D. Alsdorf, E. Kendrick, L. P. Fortes, B. Forsberg, R. Malley &
J. Becker, Seasonal fluctuations in the mass of the Amazon River system and Earth’s elas-
tic response, Geophysical Research Letters 32, p. L16308, 2005. Cité en page 154.
129 D. Hestenes, M. Wells & G. Swackhamer, Force concept inventory, Physics Tea-
cher 30, pp. 141–158, 1982. Les auteurs ont développé des tests pour vérifier la compréhen-
sion du concept de force physique chez les étudiants ; ce travail a attiré beaucoup d ’attention
dans le champ de l ’enseignement de la physique. Cité en page 157.
130 Pour une vue d ’ensemble du frottement, de la physique aux sciences économiques, à l ’archi-
tecture et à la théorie de l ’organisation, lisez N. Åkerman, editor, The Necessity of Friction
– Nineteen Essays on a Vital Force, Springer Verlag, 1993. Cité en page 160.
131 Voir M. Hirano, K. Shinjo, R. Kanecko & Y. Murata, Observation of superlubri-
city by scanning tunneling microscopy, Physical Review Letters 78, pp. 1448–1451, 1997. Voir
également la discussion de leurs résultats donnée par Serge Fayeulle, Superlubricity :
when friction stops, Physics World pp. 29–30, mai 1997. Cité en page 160.
132 C. Donald Ahrens, Meteorology Today : An Introduction to the Weather, Climate, and
the Environment, West Publishing Company, 1991. Cité en page 161.
133 Ce thème est abordé avec clarté par J. R. Mureika, What really are the best 100 m per-
formances ?, Athletics : Canada’s National Track and Field Running Magazine, juillet 1997.
bibliographie 341
L’article peut également être trouvé sur http://www.arxiv.org/abs/physics/9705004, avec

d ’autres articles du même auteur sur des sujets similaires. Cité en page 161.
134 F. P. B owden & D. Tabor, The Friction and Lubrication of Solids, Oxford University
Press, Part I, édition corrigée, 1954, et part II, 1964. Cité en page 161.
135 Un livre saisissant sur la violence humaine de James Gilligan, Violence – Our Deadly

Epidemic and its Causes, Grosset/Putnam, 1992. Cité en page 162.
136 Les principaux tests sur le hasard dans les séries numériques – et parmi eux le test du gorille –
peuvent être trouvés dans l ’article de référence de G. Marsaglia & W. W. Tsang, Some
difficult-to-pass tests of randomness, Journal of Statistical Software 7, p. 8, 2002. Il peut aussi
être téléchargé depuis l ’adresse http://www.jstatsoft.org/v07/i03/tuftests.pdf. Cité en page
165.
137 Pour un aspect de ce problème, consultez par exemple le livre fascinant de
Bert Hellinger, Zweierlei Glück, Carl Auer Systeme Verlag, 1997. L’auteur explique
comment vivre avec sérénité et avec la responsabilité la plus grande possible concernant nos
agissements, en réduisant notre implication dans le destin des autres. Il décrit une technique
simple et performante pour atteindre ce but.
Un point de vue complètement différent est donné par le lauréat du prix Nobel de la
paix Aung San Suu Kyi, Freedom from Fear, Penguin, 1991. Cité en page 167.
138 Henrik Walter, Neurophilosophie der Willensfreiheit, Mentis Verlag, Paderborn 1999.
Également disponible en traduction anglaise. Cité en page 167.
139 Giuseppe Fumagalli, Chi l ’ ha detto ?, Hoepli, 1983. Cité en page 168.
140 La magnifique histoire de la charrette qui indique toujours le sud est contée dans l ’Annexe B
de James Foster & J. D. Nightingale, A Short Course in General Relativity, Springer
Verlag, 2nd edition, 1998. De telles charrettes ont existé en Chine, comme le grand sinologue
Joseph Needham l ’a indiqué, mais on ignore comment elles étaient construites. La charrette
décrite par Foster et Nightingale est celle reconstruite en 1947 par George Lancaster, un
ingénieur anglais. Cité en page 170.
141 Voyez par exemple Z. Ghahramani, Building blocks of movement, Nature 407, pp. 682–
683, 2000. Les chercheurs qui étudient la commande des robots sont également intéressés
par ces sujets. Cité en page 170.
142 G. Gutierrez, C. Fehr, A. Calzadilla & D. Figueroa, Fluid flow up the wall of
a spinning egg, American Journal of Physics 66, pp. 442–445, 1998. Cité en page 171.
143 Un compte rendu historique en est donné dans Wolf gang Yourgray & Stan-
ley Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory, Dover, 1968.
Cité aux pages 173 et 181.
144 Max Päsler, Prinzipe der Mechanik, Walter de Gruyter & Co., 1968. Cité en page 179.
145 Les relations entre les éventuels lagrangiens sont analysées dans Herbert Goldstein,
Classical Mechanics, 2nd edition, Addison-Wesley, 1980. Cité en page 180.
146 C. G. Gray, G. Karl & V. A. Novikov, From Maupertuis to Schrödinger. Quantiza-
tion of classical variational principles, American Journal of Physics 67, pp. 959–961, 1999.
Cité en page 182.
147 La déclaration de Hemingway est rappelée par Marlene Dietrich dans Aa-
ron E. Hotchner, Papa Hemingway, Random House, 1966, en partie 1, chapitre 1.
Cité en page 182.
148 J. A. Moore, An innovation in physics instruction for nonscience majors, American Jour-
nal of Physics 46, pp. 607–612, 1978. Cité en page 182.
342 bibliographie
149 Consultez par exemple Alan P. B oss, Extrasolar planets, Physics Today 49, pp. 32–38. Sep-
tembre 1996. Les informations les plus à jour peuvent être consultées dans l ’encyclopédie
des planètes extrasolaires (« Extrasolar Planet Encyclopædia ») maintenue par Jean Schnei-
der sur http://www.obspm.fr/planets à l ’Observatoire de Paris. Cité en page 185.
150 Un bon article critique est David W. Hughes, Comets and Asteroids, Contemporary Phy-
sics 35, pp. 75–93, 1994. Cité en page 186.

151 G. B. West, J. H. Brown & B. J. Enquist, A general model for the origin of allometric
scaling laws in biology, Science 276, pp. 122–126, 4 avril 1997, avec un commentaire à la page
34 du même numéro. Les lois qui gouvernent les propriétés de ramification des vaisseaux
sanguins, des systèmes lymphatiques et des systèmes vasculaires dans les plantes sont expli-
quées. Pour en savoir plus à propos des plantes, lisez également l ’article de G. B. West,
J. H. Brown & B. J. Enquist, A general model for the structure and allometry of plant
vascular systems, Nature 400, pp. 664–667, 1999. Cité en page 187.
152 J. R. Banavar, A. Martin & A. Rinaldo, Size and form in efficient transportation
networks, Nature 399, pp. 130–132, 1999. Cité en page 187.
153 N. Moreira, New striders - new humanoids with efficient gaits change the robotics land-
scape, Science News Online, 6 août 2005. Cité en page 188.
154 John Mansley Robinson, An Introduction to Early Greek Philosophy, Houghton Muf-
fin 1968, chapitre 5. Cité en page 189.
155 Lisez par exemple B. B ower, A child ’s theory of mind, Science News 144, pp. 40–41. Cité
en page 191.
156 L’ouvrage le plus admirable sur le sujet est le texte de Branko Grünbaum &
G. C. Shephard, Tilings and Patterns, W.H. Freeman and Company, New York, 1987.
Il a été traduit dans plusieurs langues et réédité plusieurs fois. Cité en page 193.
157 U. Niederer, The maximal kinematical invariance group of the free Schrödinger equa-
tion, Helvetica Physica Acta 45, pp. 802–810, 1972. Consultez également l ’ introduction de
O. Jahn & V. V. Sreedhar, The maximal invariance group of Newton’s equations for a
free point particle, http://arxiv.org/abs/math-ph/0102011. Cité en page 199.
158 Ce récit est conté dans l ’ intéressante biographie d ’ Einstein écrite par A. Pais, ‘Subtle is the
Lord...’ – The Science and the Life of Albert Einstein, Oxford University Press, 1982. Cité en
page 200.
159 W. Zürn & R. Widmer-Schnidrig, Globale Eigenschwingungen der Erde, Physik Jour-
nal 1, pp. 49–55, 2002. Cité en page 207.
160 N. Gauthier, What happens to energy and momentum when two oppositely-moving
wave pulses overlap ?, American Journal of Physics 71, pp. 787–790, 2003. Cité en page 211.
161 On trouve un résumé récent et instructif sur la recherche actuelle concernant l ’ oreille et ses
détails fonctionnels sur http://www.physicsweb.org/article/world/15/5/8. Cité en page 213.
162 A. L. Hodgkin & A. F. Huxley, A quantitative description of membrane current and
its application to conduction and excitation in nerve, Journal of Physiology 117, pp. 500–544,
1952. Cet article célèbre de biologie théorique contribua à l ’attribution du prix Nobel de
médecine aux auteurs en 1963. Cité en page 217.
163 T. Filippov, The Versatile Soliton, Springer Verlag, 2000. Lisez aussi J. S. Russel, Report
of the Fourteenth Meeting of the British Association for the Advancement of Science, Mur-
ray, London, 1844, pp. 311–390. Cité aux pages 217 et 219.
164 N. J. Zabusky & M. D. Kruskal, Interaction of solitons in a collisionless plasma and
the recurrence of initial states, Physical Review Letters 15, pp. 240–243, 1965. Cité en page
219.
bibliographie 343
165 O. Muskens, De kortste knal ter wereld, Nederlands tijdschrift voor natuurkunde, pp. 70–
73, 2005. Cité en page 219.
166 E. Heller, Freak waves : just bad luck, or avoidable ?, Europhysics News, pp. 159–161,
septembre-octobre 2005, téléchargeable sur www.europhysicsnews.org. Cité en page 221.
167 Pour en savoir plus sur le canal sonore océanique, lisez le roman de Tom Clancy,

The Hunt for Red October. Lisez également le manuscrit de physique de R. A. Muller,
Government secrets of the oceans, atmosphere, and UFOs, pour cela connectez-vous
à l ’adresse http://web.archive.org/web/puisrecherchezhttp://muller.lbl.gov/teaching/
Physics10/chapters/9-SecretsofUFOs.html, 2001. Cité en page 222.
168 B. Wilson, R. S. Batty & L. M. Dill, Pacific and Atlantic herring produce burst pulse
sounds, Biology Letters 271, numéro S3, 7 février 2004. Cité en page 223.
169 Lisez par exemple l ’article de G. Fritsch, Infraschall, Physik in unserer Zeit 13, pp. 104–
110, 1982. Cité en page 224.
170 Les transformations en ondelettes furent développées par les mathématiciens français
Alex Grossmann, Jean Morlet and Thierry Paul. L’article fondateur est A. Grossmann,
J. Morlet & T. Paul, Integral transforms associated to square integrable representations,
Journal of Mathematical Physics 26, pp. 2473–2479, 1985. Pour une introduction moderne,
lisez Stéphane Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999. Cité
en page 224.
171 Jay Ingram, The Velocity of Honey, Viking, 2003. Cité en page 225.
172 M. B oiti, J. J. -P. Leon, L. Martina & F. Pempinelli, Scattering of localized soli-
tons in the plane, Physics Letters A 132, pp. 432–439, 1988, A. S. Fokas & P. M. Santini,
Coherent structures in multidimensions, Physics Review Letters 63, pp. 1329–1333, 1989,
J. Hietarinta & R. Hirota, Multidromion solutions to the Davey–Stewartson equa-
tion, Physics Letters A 145, pp. 237–244, 1990. Cité en page 225.
173 M. Ausloos, Proceedings of the Royal Society in London A 400, pp. 331–350, 1985. Cité en
page 227.
174 T. A. McMahob & J. Tyler B onner, Form und Leben – Konstruktion vom Reißbrett
der Natur, Spektrum Verlag, 1985. Cité en page 230.
175 G. W. Koch, S. C. Sillett, G. M. Jennings & S. D. Davis, The limits to tree height,
Nature 428, pp. 851–854, 2004. Cité en page 230.
176 Un article élémentaire expliquant la hauteur des arbres est le suivant : A. Mineyev, Trees
worthy of Paul Bunyan, Quantum pp. 4–10, janvier-février 1994. (Paul Bunyan est un bûche-
ron et un géant légendaire, il est le héros des pionniers des premières frontières des États-
Unis.) Remarquez que l ’acheminement des liquides dans les arbres ne fixe aucune limite
sur leur hauteur, puisque l ’eau est puisée le long des troncs des arbres (excepté au printemps,
lorsqu ’elle est puisée à partir des racines) par l ’évaporation au niveau des feuilles. Cela fonc-
tionne principalement sans aucune limite parce que les colonnes d ’ eau, quand la nucléation
est soigneusement évitée, peuvent être mises sous une tension élastique allant jusqu ’à plus
de 100 bars, équivalent à une hauteur de 1 000 m. Lisez aussi P. Nobel, Plant Physiology,
Academic Press, 2nd Edition, 1999. Cité en page 230.
177 De telles informations peuvent être recueillies à partir de l ’excellent article synthétique de
M. F. Ashby, On the engineering properties of materials, Acta Metallurgica 37, pp. 1273–
1293, 1989. Cet article détaille les divers critères généraux qui déterminent le choix des ma-
tériaux, et fournit de nombreux tableaux pour guider ce choix. Cité en page 231.
178 Pour une photographie d ’un unique atome de baryum – appelé Astrid – lisez
Hans Dehmelt, Experiments with an isolated subatomic particle at rest, Reviews of
344 bibliographie
Modern Physics 62, pp. 525–530, 1990. Pour une photographie antérieure d ’un ion baryum,
consultez W. Neuhauser, M. Hohenstatt, P. E. Toschek & H. Dehmelt, Loca-
lized visible Ba+ mono-ion oscillator, Physical Review A 22, pp. 1137–1140, 1980. Cité en
page 233.
179 Des hologrammes d ’atomes furent d ’abord réalisés par Hans-Werner Fink & al.,
Atomic resolution in lens-less low-energy electron holography, Physical Review Letters 67,

pp. 1543–1546, 1991. Cité en page 233.
180 Un laser à atome unique fut conçu en 1994 par K. An, J. J. Childs, R. R. Dasari &
M. S. Feld, Microlaser : a laser with one atom in an optical resonator, Physical Review
Letters 73, p. 3375, 1994. Cité en page 233.
181 La photographie de la page 234 est la première image qui révéla les structures subato-
miques (visibles commes des ombres sur les atomes). Elle fut publiée par F. J. Giessibl,
S. Hembacher, H. Bielefeldt & J. Mannhart, Subatomic features on the silicon
(111)-(7x7) surface observed by atomic force microscopy, Science 289, pp. 422–425, 2000.
Cité en page 233.
182 Consultez par exemple C. Schiller, A. A. Koomans, van Rooy, C. Schönenberger
& H. B. Elswijk, Decapitation of tungsten field emitter tips during sputter sharpening,
Surface Science Letters 339, pp. L925–L930, 1996. Cité en page 234.
183 U. Weierstall & J. C. H. Spence, An STM with time-of-flight analyzer for atomic spe-
cies identification, MSA 2000, Philadelphia, Microscopy and Microanalysis 6, supplément 2,
p. 718, 2000. Cité en page 234.
184 L’état actuel de notre compréhension de la turbulence est décrit dans ... Cité en page 237.
185 K. Weltner, A comparison of explanations of aerodynamical lifting force, American Jour-
nal of Physics 55, pp. 50–54, 1987, K. Weltner, Aerodynamic lifting force, The Physics
Teacher 28, pp. 78–82, 1990. Allez aussi sur les sites http://user.uni-frankfurt.de/~weltner/
Flight/PHYSIC4.htm et http://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html. Cité en page 237.
186 Lydéric B ocquet, The physics of stone skipping, American Journal of Physics 17, pp. 150–
155, 2003. Le détenteur du record actuel est Kurt Steiner, avec 40 ricochets. Consultez
http://pastoneskipping.com/steiner.htm et http://www.stoneskipping.com. Le site http://
www.yeeha.net/nassa/guin/g2.html est relatif à un recordman mondial antérieur, Jerdome
Coleman–McGhee. Cité en page 239.
187 S. F. Kistler & L. E. Scriven, The teapot effect : sheetforming flows with deflection,
wetting, and hysteresis, Journal of Fluid Mechanics 263, pp. 19–62, 1994. Cité en page 241.
188 E. Hollander, Over trechters en zo ..., Nederlands tijdschrift voor natuurkunde 68, p. 303,
189 P. Krehl, S. Engemann & D. Schwenkel, The puzzle of whip cracking – uncovered
by a correlation of whip-tip kinematics with shock wave emission, Shock Waves 8, pp. 1–
9, 1998. Les auteurs ont utilisé des caméras ultra-rapides pour étudier le mouvement du
fouet. Une nouvelle perspective a été dévoilée par A. Goriely & T. McMillen, Shape
of a cracking whip, Physical Review Letters 88, p. 244301, 2002. Cet article se concentre sur la
forme effilée du fouet. Toutefois, le désintérêt pour la houppe – une partie située à l ’extrémité
du fouet qui est nécessaire pour le faire claquer – dans le dernier article indique qu ’ il reste
encore beaucoup de choses à découvrir. Cité en page 245.
190 S. Dorbolo, H. Caps & N. Vandewalle, Fluid instabilities in the birth and death of
antibubbles, New Journal of Physics 5, p. 161, 2003. Cité en page 243.
191 Z. Sheng & K. Yamafuji, Realization of a Human Riding a Unicycle by a Robot, Procee-
dings of the 1995 IEEE International Conference on Robotics and Automation, vol. 2, pp. 1319–
bibliographie 345
1326, 1995. Cité en page 247.

192 Sur l ’utilisation humaine du monocycle, lisez Jack Wiley, The Complete Book of Unicy-
cling, Lodi, 1984, et Sebastian Hoeher, Einradfahren und die Physik, Reinbeck, 1991.
Cité en page 247.
193 W. Thomson, Lecture to the Royal Society of Edinburgh, 18 février 1867, Proceedings of

the Royal Society in Edinborough 6, p. 94, 1869. Cité en page 247.
194 T. T. Lim, A note on the leapfrogging between two coaxial vortex rings at low Reynolds
numbers, Physics of Fluids 9, pp. 239–241, 1997. Cité en page 244.
195 D. Karstädt, F. Pinno, K. P. Möllmann & M. Vollmer, Anschauliche Wärme-
lehre im Unterricht : ein Beitrag zur Visualisierung thermischer Vorgänge, Praxis der
Naturwissenschaften Physik 5-48, pp. 24–31, 1999, K. -P. Möllmann & M. Vollmer,
Eine etwas andere, physikalische Sehweise - Visualisierung von Energieumwandlungen
und Strahlungsphysik für die (Hochschul-)lehre, Physikalische Blätter 56, pp. 65–69, 2000,
D. Karstädt, K. P. Möllmann, F. Pinno & M. Vollmer, There is more to see than
eyes can detect : visualization of energy transfer processes and the laws of radiation for phy-
sics education, The Physics Teacher 39, pp. 371–376, 2001, Cité en page 251.
196 F. Herrmann, Mengenartige Größen im Physikunterricht, Physikalische Blätter 54,
pp. 830–832, septembre 1998. Consultez également ses notes de cours d ’ introduction à la
physique générale sur le site Web http://www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/~didaktik. Cité
aux pages 249 et 254.
197 La thermostatique est difficile à apprendre aussi parce qu ’elle ne fut pas explorée de ma-
nière systématique. Lisez C. Truesdell, The Tragicomical History of Thermodynamics
1822–1854, Springer Verlag, 1980. Un excellent ouvrage qui approfondit la thermostatique
et la thermodynamique est Linda Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, Wiley,
2nd edition, 1998. Cité en page 250.
198 L’expansion des gaz fut la principale méthode utilisée pour la définition de l ’ échelle de tem-
pérature officielle. Ce n’est qu ’en 1990 que d ’autres méthodes furent officiellement intro-
duites, telles que la thermométrie à rayonnement total (dans l ’ intervalle de 140 K à 373 K),
la thermométrie à bruit (2 K à 4 K et 900 K à 1 235 K), la thermométrie acoustique (autour
de 303 K), la thermométrie magnétique (0,5 K à 2,6 K) et la thermométrie à rayonnement
optique (plus de 730 K). La thermométrie à rayonnement constitue toujours une méthode
primordiale dans l ’ intervalle situé autour de 3 K à 1 000 K. Tout cela est expliqué en détail
dans R. L. Rusby, R. P. Hudson, M. Durieux, J. F. Schooley, P. P. M. Steur &
C. A. Swenson, The basis of the ITS-90, Metrologia 28, pp. 9–18, 1991. Sur le point d ’ébul-
lition de l ’eau voyez également la page 351. Cité en page 250.
199 Consultez par exemple le texte captivant de Gino Segrè, A Matter of Degrees : What Tem-
perature Reveals About the Past and Future of Our Species, Planet and Universe, Viking, New
York, 2002. Cité en page 251.
200 B. Polster, What is the best way to lace your shoes ?, Nature 420, p. 476, 5 décembre 2002.
Cité en page 255.
201 Consultez par exemple l ’article de H. Preston-Thomas, The international tempera-
ture scale of 1990 (ITS-90), Metrologia 27, pp. 3–10, 1990, et les errata de H. Preston-
Thomas, The international temperature scale of 1990 (ITS-90), Metrologia 27, p. 107, 1990,
Cité en page 259.
202 Pour un tour d ’ horizon, lisez Christian Enss & Siegfried Hunklinger, Low-
Temperature Physics, Springer, 2005. Cité en page 259.
346 bibliographie
203 Le célèbre article sur le mouvement brownien qui a tant contribué à la renommée d ’ Ein-
stein est le suivant : A. Einstein, Über die von der molekularkinetischen Theorie der
Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, An-
nalen der Physik 17, pp. 549–560, 1905. Durant les années qui suivirent, Einstein écrivit une
série d ’autres articles plus développés sur ce sujet. Par exemple, il publia sa thèse de doctorat
de 1905 : A. Einstein, Eine neue Bestimmung der Moleküldimensionen, Annalen der Phy-

sik 19, pp. 289–306, 1906, et il corrigea une petite erreur dans A. Einstein, Berichtigung
zu meiner Arbeit : ‘Eine neue Bestimmung der Moleküldimensionen’, Annalen der Physik
34, pp. 591–592, 1911, où, en utilisant des données récentes à l ’époque, il trouva la valeur de
6,6 ⋅ 1023 pour le nombre d ’Avogadro. Cité en page 259.
204 Les premiers tests de cette prédiction furent réalisés par J. Perrin, Comptes rendus de
l ’Académie des sciences 147, pp. 475–476, et pp. 530–532, 1908. D’une main de maître, il
résuma toute cette discussion dans Jean Perrin, Les atomes, Librairie Félix Alcan, Paris,
205 Pierre Gaspard & al., Experimental evidence for microscopic chaos, Nature 394, p. 865,
27 août 1998. Cité en page 261.
206 Ces points sont courageusement et clairement abordés, de par son style, par van Kampen,
Entropie, Nederlands tijdschrift voor natuurkunde 62, pp. 395–396, 3 décembre 1996. Cité
en page 262.
207 C ’est un résultat décevant pour tous les efforts accomplis jusqu ’à présent, comme Grégoire
Nicolis le souligne toujours dans ses cours universitaires. Seth Lloyd a réuni une liste de
31 définitions proposées pour la complexité, contenant entre autres, la dimension fractale,
la complexité grammaticale, la complexité calculatoire, la profondeur thermodynamique.
Lisez-en, par exemple, un bref résumé dans Scientific American p. 77, juin 1995. Cité en
page 263.
208 L’entropie minimum est discutée par L. Szilard, Über die Entropieverminderung in ei-
nem thermodynamischen System bei Eingriffen intelligenter Wesen, Zeitschrift für Physik
53, pp. 840–856, 1929. Cet article incontournable peut également être trouvé en langue an-
glaise dans ses travaux rassemblés. Cité en page 263.
209 G. Cohen-Tannoudji, Les constantes universelles, Pluriel, Hachette, 1998. Lisez aussi
L. Brillouin, Science and Information Theory, Academic Press, 1962. Cité aux pages 263
et 264.
210 Regardez par exemple A. E. Shalyt-Margolin & A. Ya. Tregubovich, Gene-
ralized uncertainty relation in thermodynamics, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0307018, ou
J. Uffink & van Lith-van Dis, Thermodynamic uncertainty relations, Foundations
of Physics 29, p. 655, 1999. Cité en page 264.
211 H. W. Zimmermann, Particle entropies and entropy quanta IV : the ideal gas, the second
law of thermodynamics, and the P-t uncertainty relation, Zeitschrift für physikalische Chemie
217, pp. 55–78, 2003, et H. W. Zimmermann, Particle entropies and entropy quanta V : the
P-t uncertainty relation, Zeitschrift für physikalische Chemie 217, pp. 1097–1108, 2003. Cité
en page 264.
212 B. Lavenda, Statistical Physics : A Probabilistic Approach, Wiley-Interscience, New York,
213 Cette citation est relevée dans l ’ introduction donnée par George Wald au texte de Law-
rence J. Henderson, The Fitness of the Environment, Macmillan, New York, 1913, réim-
pression de 1958. Cité en page 265.
bibliographie 347
214 L’ouvrage suivant est une introduction captivante à la chimie : John Emsley, Molecules at
an Exhibition, Oxford University Press, 1998. Cité en page 265.
215 Une excellente introduction à la physique de la chaleur se trouve dans le livre de
Linda Reichl, A Modern Course in Statistical Physics, Wiley, 2nd edition, 1998. Cité en
page 267.

216 Émile B orel, Introduction géométrique à la physique, Gauthier-Villars, 1912. Cité en page
268.
217 Consultez V. L. Telegdi, Enrico Fermi in America, Physics Today 55, pp. 38–43, juin 2002.
Cité en page 268.
218 K. Schmidt-Nielsen, Desert Animals : Physiological Problems of Heat and Water, Ox-
ford University Press, 1964. Cité en page 269.
219 Charles H. Bennett & Rolf Landauer, Fundamental Limits of Computation,
Scientific American 253 :1, pp. 48–56, 1985, explique pourquoi de l ’entropie est générée
lorsque de l ’ information est effacée, mais pas quand elle est acquise. La conclusion est :
nous devrions payer pour jeter la revue, non pour l ’acheter. Cité en page 271.
220 Lisez par exemple G. Swift, Thermoacoustic engines and refrigerators, Physics Today 48,
pp. 22–28, juillet 1995. Cité en page 274.
221 Cité dans D. Campbell, J. Crutchfield, J. Farmer & E. Jen, Experimental mathe-
matics : the role of computation in nonlinear science, Communications of the Association of
Computing Machinery 28, pp. 374–384, 1985. Cité en page 275.
222 Pour en savoir plus à propos des formes des flocons de neige, lisez l ’ouvrage de référence
de W. A. Bentley & W. J. Humphreys, Snow Crystals, Dover Publications, New York,
1962. Cette seconde édition de l ’original de 1931 laisse une large place au résultat de la passion
de Bentley qui l ’a occupé toute sa vie, à savoir plusieurs milliers de photos de flocons de
neige. Cité en page 275.
223 K. Schwenk, Why snakes have forked tongues, Science 263, pp. 1573–1577, 1994. Cité en
page 275.
224 P. B. Umbanhowar, F. Melo & H. L. Swinney, Localized excitations in a vertically
vibrated granular layer, Nature 382, pp. 793–796, 29 août 1996. Cité en page 276.
225 D. K. Campbell, S. Flach & Y. S. Kivshar, Localizing energy through nonlinearity
and discreteness, Physics Today 57, pp. 43–49, janvier 2004. Cité en page 277.
226 B. Andreotti, The song of dunes as a wave-particle mode locking, Physical Review Let-
ters 92, p. 238001, 2004. Cité en page 277.
227 K. Kötter, E. Goles & M. Markus, Shell structures with ‘magic numbers’ of spheres
in a swirled disk, Physical Review E 60, pp. 7182–7185, 1999. Cité en page 277.
228 Une bonne introduction est l ’ouvrage de Daniel Walgraef, Spatiotemporal Pattern For-
mation, With Examples in Physics, Chemistry and Materials Science, Springer 1996. Cité en
page 278.
229 Pour un bon aperçu, lisez la thèse de doctorat de Joceline Lega, Défauts topologiques
associés à la brisure de l ’ invariance de translation dans le temps, université de Nice, 1989.
Cité en page 279.
230 Une idée des mécanismes fascinants à la base du battement du cœur est fournie par
A. Babloyantz & A. Destexhe, Is the normal heart a periodic oscillator ?, Biological
Cybernetics 58, pp. 203–211, 1989. Cité en page 280.
231 Pour un bref survol actualisé du phénomène de la turbulence, lisez L. P. Kadanoff, A
model of turbulence, Physics Today 48, pp. 11–13, septembre 1995. Cité en page 281.
348 bibliographie
232 Pour une introduction limpide, regardez T. Schmidt & M. Mahrl, A simple mathema-
tical model of a dripping tap, European Journal of Physics 18, pp. 377–383, 1997. Cité en page
281.
233 Un aperçu de l ’ humour en science peut être compulsé dans la célèbre anthologie compilée
par R. L. Weber, édité par E. Mendoza, A Random Walk in Science, Institute of Physics,
1973. Elle est également disponible dans de nombreuses traductions. Cité en page 282.

234 K. Mertens, V. Putkaradze & P. Vorobieff, Braiding patterns on an inclined
plane, Nature 430, p. 165, 2004. Cité en page 283.
235 G. Müller, Starch columns : analog model for basalt columns, Journal of Geophysical Re-
search 103, pp. 15239–15253, 1998. Cité en page 283.
236 B. Hof, van Doorne, J. Westerweel, F. T. M. Nieuwstadt, H. Wedin,
R. Kerswell, F. Waleffe, H. Faisst & B. Eckhardt, Experimental observation
of nonlinear traveling waves in turbulent pipe flow, Science 305, pp. 1594–1598, 2004. Cité
en page 284.
237 Un livre éblouissant à ce sujet est Kenneth Laws & Martha Swope, Physics and the
Art of Dance : Understanding Movement, Oxford University Press 2002. Cité en page 284.
238 J. J. Lissauer, Chaotic motion in the solar system, Reviews of Modern Physics 71, pp. 835–
845, 1999. Cité en page 285.
239 Lisez Jean-Paul Dumont, Les écoles présocratiques, Folio Essais, Gallimard, 1991, p. 426.
Cité en page 285.
240 Pour avoir une synthèse claire des diverses conventions de signe en relativité géné-
rale, lisez la première de couverture de Charles W. Misner, Kip S. Thorne &
John A. Wheeler, Gravitation, Freeman, 1973. Nous employons les conventions de
signe de la gravitation de Hans C. Ohanian & Remo Ruffini, Gravitazione e spazio-
tempo, Zanichelli, 1997. Cité en page 289.
241 George Birkbeck Norman Hill, Johnsonian Miscellanies, Clarendon Press, 1897,
dans Seward ’s Biographiana. Cité en page 289.
242 Le premier enregistrement écrit de la lettre U semble être celui de Leon Bat-
tista Alberti, Grammatica della lingua toscana, 1442, la première grammaire d ’une
langue moderne (non latine), rédigée par un génie qui était à la fois intellectuel, architecte
et le père de la cryptologie. Le premier enregistrement écrit de la lettre J semble être celui
de Antonio de Nebrija, Gramática castellana, 1492. Avant de l ’écrire, Nebrija vécu
pendant dix ans en Italie, de telle sorte qu ’ il est possible que la distinction I/J soit aussi
d ’origine italienne. Nebrija était l ’un des savants espagnols les plus importants. Cité en
page 290.
243 Pour avoir plus d ’ informations concernant les lettres thorn et eth, jetez un œil sur le vaste ex-
posé qui peut être consulté sur le site Web www.everytype.com/standards/wynnyogh/thorn.
html. Cité en page 290.
244 Pour un récit historique moderne de la langue anglaise, lisez David Crystal, The Stories
of English, Allen Lane, 2004. Cité en page 290.
245 Hans Jensen, Die Schrift, Berlin, 1969, traduit en anglais dans Sign, Symbol and Script :
an Account of Man’s Efforts to Write, Putnam’s Sons, 1970. Cité en page 291.
246 David R. Lide, éditeur, CRC Handbook of Chemistry and Physics, 78th edition, CRC Press,
1997. Cette œuvre classique de référence paraît chaque année dans une nouvelle édition. L’al-
phabet hébreu complet en est donné à la page 2-90. La liste des abréviations des quantités
physiques utilisées dans les formules, et approuvée par l ’ ISO, l ’ UIPPA et l ’ UICPA, peut égale-
ment y être trouvée là.
bibliographie 349
Cependant la norme internationale ISO 31, qui définit ces abréviations, coûte environ
mille euros, n’est pas disponible sur Internet, et par conséquent peut être ignorée sans aucun
problème, de même que toutes les normes qui sont supposées être utilisées dans l ’enseigne-
ment, mais qui restent inaccessibles aux enseignants. Cité aux pages 293 et 295.
247 Lisez le texte formidable de Peter T. Daniels & William Bright, The World ’s Wri-
ting Systems, Oxford University Press, 1996. Cité en page 293.

248 Lisez par exemple l ’ouvrage fascinant de Steven B. Smith, The Great Mental Calculators
– The Psychology, Methods and Lives of the Calculating Prodigies, Columbia University Press,
1983. Ce livre expose également les techniques qu ’ ils utilisent, et que n’ importe qui d ’autre
peut utiliser pour les imiter. Cité en page 295.
249 Consultez par exemple l ’article « Mathematical notation » dans l ’ Encyclopedia of Mathema-
tics, 10 volumes, Kluwer Academic Publishers, 1988–1993. Mais avant tout, jetez un œil sur
le magnifique site Web très instructif members.aol.com/jeff570/mathsym.html. La princi-
pale source de référence de tous ces résultats est le vaste travail exemplaire de recherche de
Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, 2 volumes, The Open Court Publi-
shing Co., 1928–1929. Le symbole racine carrée est employé dans Christoff Rudolff,
Die Coss, Vuolfius Cephaleus Joanni Jung : Argentorati, 1525. (Le titre complet était Be-
hend vnnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeinlicklich die Coss
genent werden. Darinnen alles so treülich an tag gegeben, das auch allein auss vleissigem lesen
on allen mündtliche vnterricht mag begriffen werden, etc.) Cité en page 295.
250 J. Tschichold, Formenwamdlungen der et-Zeichen, Stempel AG, 1953. Cité en page 295.
251 Malcolm B. Parkes, Pause and Effect : An Introduction to the History of Punctuation in
the West, University of California Press, 1993. Cité en page 295.
252 Cela est expliqué par Berthold Louis Ullman, Ancient Writing and its Influence, 1932.
Cité en page 295.
253 Paul Lehmann, Erforschung des Mittelalters – Ausgewählte Abhandlungen und Aufsätze,
Anton Hiersemann, 1961, pp. 4–21. Cité en page 297.
254 Bernard Bischoff, Paläographie des römischen Altertums und des abendländischen Mit-
telalters, Erich Schmidt Verlag, 1979, pp. 215–219. Cité en page 297.
255 Hutton Webster, Rest Days : A Study in Early Law and Morality, MacMillan, 1916. La
découverte du jour de malchance dans le royaume de Babylone fut effectuée en 1869 par
George Smith, qui redécouvrit aussi la célèbre Épopée de Gilgamesh. Cité en page 297.
256 Les corrélations entre des racines grecques et de nombreux termes français – et par consé-
quent de nombreux mots anglais – peuvent être mises à profit pour construire rapidement
un vocabulaire du grec ancien sans faire un travail intense, comme l ’ indique la collection
pratique de J. Chaineux, Quelques racines grecques, Wetteren – De Meester, 1929. Lisez
aussi Donald M. Ayers, English Words from Latin and Greek Elements, University of
Arizona Press, 1986. Cité en page 299.
257 Afin d ’écrire correctement, lisez William Strunk & E. B. White, The Elements of Style,
Macmillan, 1935, 1979, ou Wolf Schneider, Deutsch für Kenner – Die neue Stilkunde,
Gruner und Jahr, 1987. Cité en page 299.
258 Le Système International d ’ Unités, Bureau International des Poids et Mesures, Pavillon de
Breteuil, Parc de Saint Cloud, 92310 Sèvres, France. Tous les nouveaux développements
concernant les unités du SI sont publiés dans la revue Metrologia, éditée par ce même or-
ganisme. Preuve du lent cheminement d ’une vieille institution, le BIPM inaugura son site
Web en 1998 seulement, il est dorénavant accessible sur www.bipm.fr. Consultez également
la page Web www.utc.fr/~tthomass/Themes/Unites/index.html, elle présente les biographies
350 bibliographie
des personnes qui ont donné leur nom aux diverses unités employées. Le site de son homo-
logue britannique, www.npl.co.uk/npl/reference, est nettement mieux : il fournit de nom-
breux détails ainsi que la version en langue anglaise des définitions des unités du SI. Cité en
page 300.
259 La bible dans le domaine de la mesure du temps est représentée par l ’ œuvre magistrale en
deux volumes de J. Vanier & C. Audoin, The Quantum Physics of Atomic Frequency

Standards, Adam Hilge, 1989. Un compte-rendu populaire se trouve dans Tony Jones,
Splitting the Second, Institute of Physics Publishing, 2000.
Le site opdaf1.obspm.fr/www/lexique.html donne un glossaire des termes employés dans
cette discipline. Sur les mesures de longueur, voir ... Sur les mesures de précision du courant
électrique, voir ... Sur les mesures de masse, notamment atomique, voir la page 61. Sur les
mesures de haute précision de la température, voir la page 345. Cité en page 301.
260 Les préfixes non officiels furent proposés pour la première fois dans les années 1990 par
Jeff K. Aronson de l ’ Université d ’Oxford, et devraient se généraliser à l ’avenir. Cité en page
302.
261 Pour plus d ’ informations sur les systèmes d ’unités électromagnétiques, consultez le livre de
référence de John David Jackson, Classical Electrodynamics, 3ème édition, Wiley, 1998.
Cité en page 305.
262 G. J. Stoney, On the physical units of nature, Philosophical Magazine 11, pp. 381–391, 1881.
Cité en page 305.
263 D.J. Bird & al., Evidence for correlated changes in the spectrum and composition of cos-
mic rays at extremely high energies, Physical Review Letters 71, pp. 3401–3404, 1993. Cité
en page 306.
264 P. J. Hakonen, R. T. Vuorinen & J. E. Martikainen, Nuclear antiferromagnetism
in rhodium metal at positive and negative nanokelvin temperatures, Physical Review Letters
70, pp. 2818–2821, 1993. Lisez également son article dans Scientific American, janvier 1994.
Cité en page 306.
265 G. Charpak & R. L. Garwin, The DARI, Europhysics News 33, pp. 14–17, janvier/février
266 Les valeurs mesurées des quantités physiques et les plages de valeurs qu ’elles prennent sont
assemblées dans Horst Völz & Peter Ackermann, Die Welt in Zahlen, Spektrum
Akademischer Verlag, 1996. Cité en page 307.
267 Lisez par exemple K. Codling & L. J. Frasinski, Coulomb explosion of simple mole-
cules in intense laser fields, Contemporary Physics 35, pp. 243–255, 1994. Cité en page 308.
268 A. Zeilinger, The Planck stroll, American Journal of Physics 58, p. 103, 1990. Pouvez-vous
Défi 569 e découvrir un autre exemple similaire ? Cité en page 308.
269 L’ horloge la plus précise construite en 2004, une horloge à fontaine atomique au césium,
avait une précision d ’une partie pour 1015 . Une précision plus élevée a été prévue comme
étant bientôt possible, entre autres par M. Takamoto, F. -L. Hong, R. Higashi &
H. Katori, An optical lattice clock, Nature 435, pp. 321–324, 2005. Cité en page 309.
270 J. Bergquist, ed., Proceedings of the Fifth Symposium on Frequency Standards and Metro-
logy, World Scientific, 1997. Cité en page 309.
271 Consultez les informations sur les mésons D±s , données par le « particle data group » sur pdg.
web.cern.ch/pdg. Cité en page 310.
272 Au sujet de la longue durée de vie du tantale 180, lisez D. Belic & al., Photoactivation
of 180 Tam and its implications for the nucleosynthesis of nature’s rarest naturally occurring
isotope, Physical Review Letters 83, pp. 5242–5245, 20 décembre 1999. Cité en page 310.
bibliographie 351
273 Consultez l ’étude donnée par L. Ju, D. G. Blair & C. Zhao, The detection of gravitatio-
nal waves, Reports on Progress in Physics 63, pp. 1317–1427, 2000. Cité en page 310.
274 Lisez l ’article clair et approfondi de G. E. Stedman, Ring laser tests of fundamental phy-
sics and geophysics, Reports on Progress in Physics 60, pp. 615–688, 1997. Cité en page 310.
275 D’après une communication privée de Richard Rusby, c ’est la valeur de 1997, alors

qu ’elle était estimée à 99.975°C en 1989, comme l ’ indiquent Gareth Jones & Ri-
chard Rusby, Official : water boils at 99.975°C, Physics World 2, pp. 23–24, septembre
1989, et R. L. Rusby, Ironing out the standard scale, Nature 338, p. 1169, mars 1989. Pour
plus d ’ informations sur les mesures de température, lisez la page 345. Cité en page 310.
276 J. Short, Newton’s apples fall from grace, New Scientist, 2098, p. 5, 6 septembre 1997. Vous
trouverez plus de détails dans R. G. Keesing, The history of Newton’s apple tree, Contem-
porary Physics 39, pp. 377–391, 1998. Cité en page 311.
277 Ces divers concepts font même l ’objet d ’une norme internationale distincte, l ’ ISO 5725,
dont la désignation est Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure.
Une excellente introduction en est donnée par John R. Taylor, An Introduction to Er-
ror Analysis : the Study of Uncertainties in Physical Measurements, 2nd edition, University
Science Books, Sausalito, 1997. Cité en page 312.
278 P. J. Mohr & B. N. Taylor, CODATA recommended values of the fundamental physi-
cal constants : 1998, Reviews of Modern Physics 59, p. 351, 2000. C ’est la compilation des
constantes résultant d ’un ajustement international et recommandée pour l ’usage interna-
tional par le Comité de données pour la Science et la Technologie (CODATA), un membre
du Conseil international pour la science, lequel compte également l ’ Union internationale
de physique pure et appliquée (UIPPA), l ’ Union internationale de chimie pure et appliquée
(UICPA) et d ’autres organisations. Le site Web de l ’ UICPA est www.iupac.org. Cité aux pages
312 et 313.
279 Les détails sont fournis dans la célèbre référence astronomique, Kenneth Seidelmann,
Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, 1992. Cité en page 317.
280 Pour plus d ’ informations concernant le nombre π, ainsi que d ’autres constantes, la page
Web oldweb.cecm.sfu.ca/pi/pi.html donne une grande quantité de données et de références.
Elle possède également un lien vers la synthèse qui en est faite sur mathworld.wolfram.com/
Pi.html et vers de nombreux autres sites sur ce sujet. Voici quelques formules simples sur π :
n 2n
π+3= ∑
∞
2n (106)
n=1 ( n )
ou l ’élégante formule découverte en 1996 par Bailey, Borwein et Plouffe :
π= ∑
∞
1 4 2 1 1
( − − − ). (107)
n=0 16 n 8n + 1 8n + 4 8n + 5 8n +6
Ce site développe aussi les nouvelles méthodes découvertes pour pouvoir calculer des
chiffres binaires, choisis au préalable, de π sans avoir à évaluer tous les précédents. En outre,
le nombre de chiffres (consécutifs) connus en 1999 était de plus de 1,2 million de millions, tel
que le cite Science News 162, p. 255, 14 décembre 2002. Ces méthodes passent avec succès tous
les tests aléatoires, comme l ’explique le site Web mathworld.wolfram.com/PiDigits.html. Ce-
pendant, cette propriété, désignée normalité, n’a jamais reçu de démonstration, c ’est la plus
grande question qui demeure ouverte au sujet de π. Il est probable que la théorie de la dyna-
mique du chaos conduise vers une solution à cette énigme dans les années à venir.
352 bibliographie
Une autre méthode permettant de calculer π ainsi que d ’autres constantes a été décou-
verte et publiée par D. V. Chudnovsky & G. V. Chudnovsky, The computation of
classical constants, Proceedings of the National Academy of Sciences (USA) 86, pp. 8178–8182,
1989. Les frères Chudnowsky avaient mis au point un supercalculateur dans l ’appartement
de Gregory avec environ 70 000 euros, et détinrent pendant plusieurs années le record du
calcul du plus grand nombre de chiffres de π. Ils engagèrent une rude compétition durant

plusieurs décennies avec Kanada Yasumasa, qui a battu le record en 2000, en effectuant le
calcul sur un supercalculateur de l ’ industrie. De nouvelles formules pour calculer π sont
toujours occasionnellement découvertes.
Pour le calcul de la constante d ’ Euler γ lisez aussi D. W. DeTemple, A quicker conver-
gence to Euler ’s constant, The Mathematical Intelligencer, pp. 468–470, mai 1993.
Remarquez que nous en savons peu concernant les propriétés élémentaires de certains
Défi 570 r nombres, par exemple nous ne savons toujours pas si π + e est un nombre rationnel ou pas !
Défi 571 s (On pense qu ’ il ne l ’est pas.) Voulez-vous devenir un mathématicien ? Cité en page 318.
I N DIC E S ET S OLU T ION S DE S DÉ F I S

N ’effectuez jamais un calcul avant que vous en
“ connaissiez la réponse.
Devise de John Wheeler
John Wheeler voulait que les gens évaluent, testent et devinent, mais il ne le disait ”
pas ouvertement. Une estimation correcte renforce l ’ inclination pour la physique, tandis
qu ’une erronée nous entraîne dans le plaisir de la découverte.
Challenge ??, page ??: Ces sujets sont tous repris plus loin dans le texte.
Challenge 1, page 9: N ’ hésitez pas à être revendicatif et strict. La prochaine version en bénéfi-
ciera forcément.
Challenge 2, page 16: Il existe de nombreuses façons de distinguer le véritable mouvement
d ’une illusion de mouvement : par exemple, seul le mouvement réel peut être utilisé pour mettre
quelque chose d ’autre en mouvement. De plus, les illusions de mouvement des figures font preuve
d ’un défaut important : rien ne bouge si la tête et la feuille restent fixes l ’une par rapport à l ’autre.
Autrement dit, l ’ illusion amplifie seulement le mouvement existant, il ne créé pas de mouvement
à partir de rien.
Challenge 3, page 16: Sans faire des expériences précises et détaillées, ces deux positions
peuvent trouver des exemples permettant de démontrer la validité de leur point de vue. La créa-
tion est soutenue par l ’apparition de moisissures ou de bactéries dans un verre d ’eau, elle est
également appuyée par son contraire, à savoir la disparition sans laisser de trace, telle que la dis-
parition du mouvement. Cependant, la conservation est soutenue, et la création contredite, par
toutes les investigations qui explorent avec beaucoup de soin des situations présumées d ’appari-
tion ou de disparition.
Challenge 5, page 18: Les partis politiques, les sectes, les organismes d ’aide et les thérapeutes
de toutes sortes ont typiquement ce genre de comportement.
Challenge 6, page 22: Ce problème n’est pas encore entièrement résolu pour le mouvement de
l ’espace vide, comme dans le cas des ondes gravitationnelles. De toute façon, le vide n’est pas
constitué de minuscules particules de taille finie, puisque cela contredirait la propriété de trans-
versalité des ondes gravitationnelles.
Challenge 7, page 24: Cette définition récursive est la suivante : les objets sont définis comme
étant ce qui bouge par rapport à la toile de fond de l ’espace, et l ’arrière-plan est défini comme
étant ce qui reste immuable lorsque les objets changent. Nous reviendrons à plusieurs reprises sur
cette question primordiale, au cours de notre aventure. Il faudra, malgré tout, une certaine dose
de patience pour la résoudre.
Challenge 8, page 26: Les trous ne sont pas des systèmes physiques, parce qu ’en général ils ne
peuvent pas être traqués.
Challenge 9, page 26: Regardez la page ??.
354 indices et solutions des défis

F I G U R E 150 Une bulle de savon pendant qu’elle éclate. (© Peter Wienerroither)
Challenge 10, page 26: Un fantôme peut être une image en mouvement, il ne peut pas être un
objet en mouvement, car les objets ne peuvent pas s’ interpénétrer. Regardez la page ??.
Challenge 11, page 27: Indice : oui, il existe un tel point.
Challenge 12, page 27: Si quelque chose pouvait cesser d ’être en mouvement, le mouvement
pourrait disparaître sans laisser de trace. Pour une démonstration précise, nous devrions montrer
que tous les atomes ne se déplacent plus. Jusqu ’à présent, cela n’a jamais été observé : le mouve-
ment est conservé. (Rien dans la nature ne peut disparaître sans laisser de trace.)
Challenge ??, page ??: Consultez la Figure 150 pour en voir une image intermédiaire. Une bulle
éclate à partir d ’un point, puis le bord du trou s’agrandit très rapidement, jusqu ’à ce qu ’ il dispa-
raisse aux antipodes. Pendant ce processus, le reste de la bulle garde sa forme sphérique, comme
indiqué dans la figure. Pour voir un film de ce processus, regardez www.youtube.com/watch?
v=SpcXtmkk26Q. Autrement dit, les dernières gouttelettes qui sont éjectées proviennent du point
de la bulle qui est à l ’opposé du point de crevaison, elles ne sont jamais éjectées depuis le centre
de la bulle.
Challenge 13, page 27: Cela signifierait en réalité que l ’espace est infini, cependant il est impos-
sible d ’observer que quelque chose se déplace « pour toujours » : personne ne vit assez longtemps.
Challenge 14, page 27: Comment mesureriez-vous ceci ?
Challenge 15, page 27: Le nombre de chiffres fiables dans un résultat de mesure est une quan-
tification élémentaire de la précision. Vous trouverez plus de détails en cherchant à « écart-type »
dans l ’ index.
Challenge 16, page 27: Non, la mémoire est nécessaire pour l ’observation et les mesures. C ’est
le cas pour les êtres humains et les dispositifs de mesure. La théorie quantique rendra cette affir-
mation particulièrement claire.
Challenge 17, page 27: Remarquez que vous n’avez jamais observé une vitesse nulle. Il y a tou-
jours une certaine marge d ’erreur dans la mesure qui nous empêche d ’affirmer que quelque chose
vaut zéro. Aucune exception !
Challenge 18, page 28: (264 − 1) = 18 446 744 073 700 551 615 grains de riz, étant donné une ré-
colte mondiale de 500 millions de tonnes par an, représentent à peu près 4 000 ans de récoltes de
riz. Ce calcul est simplifié par l ’utilisation de la formule 1+m+m 2 +m 3 +...m n = (m n+1 −1)/(m−1),
donnant la somme de ce que l ’on appelle la série géométrique. (Cette désignation est historique et
est utilisée pour faire la distinction avec la série arithmétique 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...n = n(n + 1)/2.)
Pouvez-vous démontrer ces deux expressions ?
Challenge 19, page 28: Dans des expériences parfaites, la flamme s’ incline vers l ’ intérieur.
indices et solutions des défis 355
Mais de telles expériences ne sont pas faciles à réaliser, et parfois la flamme penche vers l ’exté-
rieur. Essayez-le, tout simplement. Pouvez-vous expliquer ces deux observations ?
Challenge 20, page 28: Les accéléromètres sont les détecteurs de mouvement les plus simples.
Ils existent sous la forme de dispositifs piézo qui produisent un signal à chaque fois que la boîte
est accélérée et peuvent coûter un euro seulement. Un autre accéléromètre qui pourrait avoir du

succès à l ’avenir est un accéléromètre à interférence qui tire profit du mouvement d ’une grille
d ’ interférences, ce dispositif pourrait être intégré dans du silicium. D’autres accéléromètres plus
précis utilisent des gyroscopes ou des rayons lasers en boucle.
Les vélocimètres et les détecteurs de position peuvent aussi déceler le mouvement, ils re-
quièrent une roue ou, du moins, un procédé optique permettant d ’avoir une vision de l ’extérieur
de la boîte. Les tachygraphes dans les véhicules sont des exemples de vélocimètres, les souris d ’or-
dinateurs sont des exemples de détecteurs de position.
Un dispositif assez bon marché serait idéal pour mesurer la vitesse des skieurs ou des patineurs.
Aucun appareil de ce type n’existe encore.
Challenge 21, page 28: La balle roule vers le centre de la table, puisque ce point est légèrement
plus proche du centre de la Terre que le rebord, puis la balle prend de l ’élan et effectue une oscilla-
tion autour de ce centre. La période est de 84 min, comme l ’ indique le défi 300. (Cela n’a jamais
été observé jusqu ’à présent. Pourquoi ?)
Challenge 22, page 28: Seulement si l ’accélération ne s’annule jamais. Les accélérations
peuvent être ressenties. Les accéléromètres sont des dispositifs qui mesurent les accélérations et
déduisent alors la position. On les utilise dans les avions lors des vols qui traversent l ’atlantique.
Si la boîte n’est pas accélérée, il est impossible de dire si elle bouge ou reste sur place. Il est même
impossible de dire dans quelle direction nous nous déplaçons. (Fermez vos yeux dans un train la
nuit pour vous en rendre compte.)
Challenge 23, page 28: La longueur de corde nécessaire est nh, où n représente le nombre de
roues ou de poulies.
Challenge 24, page 28: Le bloc se déplace deux fois plus rapidement que les cylindres, indépen-
damment de leur rayon.
Challenge 25, page 28: On sait que cette méthode fonctionne, de la même manière, pour
d ’autres craintes.
Challenge 26, page 29: Il faut 11 passages pour trois couples. Il en faut 5 pour deux couples.
Pour quatre couples ou plus il n’y a pas de solution. Quelle est la solution s’ il y a n couples et
n − 1 places sur le bateau ?
Challenge 79, page 54: Indice : il existe un nombre infini de telles formes. Ces courbes sont
aussi appelées courbes de Reuleaux. Autre indice : les pièces de 20 p et 50 p en Grande-Bretagne
possèdent de telles formes. Eh oui, des formes autres que des cylindres sont également possibles :
considérez un cylindre carré torsadé, par exemple.
Challenge 27, page 30: Dans la vie quotidienne, cela est correct. Qu ’est-ce qui se passe lorsque
les effets quantiques sont pris en considération ?
Challenge 28, page 31: Il n’y a qu ’une seule possibilité : comparer la vitesse qui doit être mesu-
rée avec la vitesse de la lumière. En réalité, presque tous les manuels de physique, que ce soit pour
le collège et pour l ’université, commencent par la définition de l ’espace et du temps. Des manuels
sur la relativité, excellents par ailleurs, ont des difficultés à se débarrasser de cette habitude, même
ceux qui introduisent le k-calculus dorénavant standard (lequel constitue, en réalité, l ’approche
mentionnée ici). L’approche la plus logiquement claire consiste à commencer avec la notion de
vitesse.
Challenge 29, page 33: Considérez la variation moyenne de distance entre deux atomes voisins
situés dans un morceau de quartz durant le dernier million d ’années. Connaissez-vous quelque
chose d ’encore plus lent ?
Challenge ??, page ??: Il n’existe aucune manière de ressentir notre propre mouvement si nous
sommes dans le vide. Aucune manière en principe. On baptise souvent ce résultat le principe de
Page 84 relativité.
En fait, il existe une façon de mesurer notre mouvement dans l ’espace (même si ce n’est pas le

vide) : mesurez votre vitesse par rapport au rayonnement fossile de fond diffus. Ainsi nous devons
être prudents avec ce que nous voulons dire.
Challenge ??, page ??: La charge alaire P/A, le rapport entre le poids P et la surface de portance
A, est manifestement proportionnelle à la racine cubique du poids. (En réalité, P ∼ l 3 , A ∼ l 2 , l
étant la dimension de l ’objet volant.) Cette relation explique la ligne verte de tendance principale.
La charge alaire P/A est, comme toutes les forces dans les fluides, proportionnelle au carré
de la vitesse de croisière v : nous avons P/A = v 2 0,38 kg/m3 . Le facteur inexpliqué englobe la
densité de l ’air et un coefficient numérique général qui est difficile à évaluer. Cette relation relie
les échelles horizontales supérieure et inférieure dans le graphique.
Par conséquent, la vitesse de croisière est équivalente à la racine sixième du poids : v ∼ P 1/6 .
Autrement dit, un Airbus A380 est 750 000 millions de fois plus lourd qu ’une mouche drosophile,
mais seulement une centaine de fois plus rapide.
Challenge 30, page 34: De manière équivalente : les points dans l ’espace existent-ils ? L’ultime
étape de notre ascension examinera ce problème en détail, regardez la page ??.
Challenge 31, page 35: Toutes les sources d ’électricité doivent utiliser la même phase lors-
qu ’elles fournissent de la puissance électrique dans le réseau. Les horloges des ordinateurs sur
Internet doivent être synchronisées.
Challenge 32, page 36: Remarquez que ce décalage augmente quadratiquement avec le temps,
mais pas linéairement.
Challenge 33, page 36: Le temps naturel est mesuré avec le mouvement naturel. Le mouvement
naturel est le mouvement de la lumière. Le temps naturel est celui défini à l ’aide du mouvement
de la lumière.
Challenge 34, page 37: Galilée mesurait le temps avec une balance (et d ’autres dispositifs). Son
chronomètre était un tube rempli d ’eau, dirigé vers un seau, qu ’ il maintenait fermé avec son
pouce. Pour démarrer le chronomètre, il retirait son pouce, pour l ’arrêter, il le remettait dessus.
Le volume d ’eau dans le seau lui donnait alors une mesure de la durée écoulée. Cela est expliqué
dans son célèbre ouvrage Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a
due nuove scienze attenenti alla mecanica e i movimenti locali, généralement simplement appelé
les « Discours », qu ’ il publia en 1638 avec Louis Elsevier à Leyde aux Pays-Bas.
Challenge 35, page 38: Il n’existe aucune manière de définir un temps local aux pôles qui soit
cohérent avec tous les points voisins. (Pour les curieux, vérifiez-le sur le site Web www.arctic.noaa.
gov/gallery_np.html.)
Challenge 37, page 40: La forêt est emplie de lumière et donc de rayons lumineux : ils sont
droits, comme l ’ indiquent les rayons de soleil de la Figure 151.
Challenge 38, page 40: Une paire de muscles déplace le cristallin le long du troisième axe en
déformant l ’ œil d ’une forme oblongue en une forme sphérique, ou aplatie aux pôles.
Challenge 39, page 41: Vous pouvez résoudre cela en tentant de penser en quatre dimensions.
Essayez d ’ imaginer comment permuter la séquence lorsque deux objets traversent une région.
Remarque : il est généralement incorrect, dans ce domaine, d ’utiliser le temps à la place d ’une
quatrième dimension spatiale !
Challenge 40, page 42: Mesurez les distances en utilisant la lumière.

F I G U R E 151 Rayons de soleil dans une forêt. (© Fritz Bieri et Heinz Rieder)
Challenge 43, page 45: Il est plus facile de travailler avec le tore unité. Considérez l ’ intervalle
unitaire [0, 1] et assimilez tous les points extrémaux à un seul point. Définissez un ensemble B
dont les éléments sont un nombre réel b donné, issu de cet intervalle, plus tous les nombres qui dif-
fèrent de ce réel par un nombre rationnel. Le cercle unité peut être imaginé comme étant l ’union
de tous les ensembles B. (En réalité, chaque ensemble B est un exemplaire décalé de l ’ensemble
Q des nombres rationnels.) Maintenant construisez un ensemble A en prélevant un élément de
chaque ensemble B. Construisez alors la famille d ’ensembles constituée de l ’ensemble A et de ses
copies A q décalées d ’un nombre rationnel q. L’union de tous ces ensembles est le tore unité. Cette
famille d ’ensembles est infiniment dénombrable. Divisez-la alors en deux familles d ’ensembles
infiniment dénombrables. Il est facile de voir que chacune de ces deux familles peut être renumé-
rotée et ses éléments décalés de telle façon que chacune des deux familles forme un tore unité.
Les mathématiciens disent qu ’ il n’existe pas de mesure additive infiniment dénombrable de
Réf. 35 Rn ou que les ensembles tel que A ne sont pas mesurables. En raison de cette existence, la « dé-
multiplication » des longueurs est possible. Nous chercherons plus tard à savoir si le pain ou l ’ or
peuvent être démultipliés de cette manière.
Challenge 44, page 45: Astuce : commencez avec les triangles.
Challenge 45, page 45: La région située entre l ’axe des x et la courbe de la fonction qui assigne 1
à chaque nombre transcendant et 0 à chaque nombre non-transcendant en constitue un exemple.
Challenge 46, page 46: Utilisons la définition de la fonction donnée dans le texte. L’angle di-
èdre d ’un tétraèdre régulier est un multiple irrationnel de π, donc le tétraèdre possède un inva-
riant de Dehn non nul. Le cube possède un angle dièdre de π/2, donc l ’ invariant de Dehn du
cube est 0. Par conséquent, le cube n’est pas équidécomposable avec le tétraèdre régulier.
Challenge 47, page 47: Si vous pensez que vous pouvez montrer que l ’espace vide est continu,
vous avez tort. Vérifiez bien vos arguments. Si vous pensez que vous pouvez démontrer le
contraire, vous devez avoir raison – mais seulement si vous connaissez déjà ce qui sera expli-
qué dans la dernière partie de ce livre. Si ce n’est pas le cas, vérifiez votre argumentation. (Par
la suite, nous découvrirons que le vide possède un contenu en énergie fini. Si le vide était continu,
le paradoxe de Banach–Tarski pourrait être mis à profit pour démultiplier l ’énergie.)
Challenge 48, page 47: Bien évidemment, nous utilisons la lumière pour vérifier que le fil à
plomb est droit, donc les deux définitions doivent être équivalentes. Cela est vrai parce que les
lignes du champ de la gravité sont également des trajectoires possibles pour le mouvement de la

disques en papier
F I G U R E 152 Un moyen élémentaire de mesurer la vitesse des balles.
d b
L
R
F I G U R E 153 Quitter une place de parking – le rayon externe de manœuvre.
lumière. Toutefois, ce n’est pas toujours le cas : pouvez-vous en repérer les exceptions ?
La surface d ’une mer calme constitue une autre manière de contrôler la rectitude.
Un troisième procédé moins précis consiste à faire usage des détecteurs de rectitude situés dans
le cerveau. Le cerveau humain possède une faculté innée permettant de déterminer si un objet vu
avec les yeux est droit. Il y a des cellules spécifiques dans le cerveau qui s’activent lorsque c ’est
le cas. N ’ importe quel ouvrage sur la perception visuelle fournit plus de renseignements sur ce
sujet.
Challenge 49, page 48: La théorie de la Terre creuse est correcte si la formule des distances
est utilisée de manière cohérente. En particulier, nous devons faire l ’ hypothèse que les objets de-
viennent plus petits lorsqu ’ ils s’approchent du centre de la sphère creuse. De bonnes explications
de tous les phénomènes se trouvent sur www.geocities.com/inversedearth. Quelques supports
peuvent être trouvés sur Internet, également sous les désignations de système célestiocentrique,
théorie du monde intérieur ou théorie de la Terre concave. Il n’existe aucun argument pour pré-
férer une description plutôt que l ’autre, excepté peut-être pour des raisons de simplicité et de
facilité intellectuelle.
Challenge 51, page 49: Un indice est donné dans la Figure 152. Pour la mesure de la vitesse de
la lumière avec une méthode pratiquement identique, consultez la page 19.
Challenge ??, page ??: L’ours est blanc parce que la maison est évidemment située au Pôle Nord.
Mais il existe une infinité d ’emplacements supplémentaires (sans présence d ’ours) à proximité du
Pôle Sud : pouvez-vous les repérer ?
Challenge ??, page ??: Appelons L la longueur initiale du ruban élastique, v la vitesse de l ’escar-
got par rapport au ruban et V la vitesse du cheval par rapport au sol. La vitesse de l ’escargot par
rapport au sol est donnée par
=v+V
ds s
. (108)
dt L + Vt
C ’est ce que nous appelons une équation différentielle pour la position inconnue de l ’escargot
s(t). Vous pouvez vérifier – simplement en l ’ introduisant – que sa solution est donnée par
s(t) =
v
(L + V t) ln(1 + V t/L) . (109)
V
Par conséquent, l ’escargot rattrape le cheval en un temps

t rattrapage =
L V/v
(e − 1) (110)
V
qui est fini pour toute valeur de L, V et v. Vous pouvez vérifier néanmoins que cette durée est, en
vérité, extrêmement grande, si des valeurs relativistes pour les vitesses sont utilisées.
Challenge 52, page 49: La couleur est une propriété qui s’applique uniquement aux objets, et
non aux frontières des objets. Cette question montre qu ’ il est facile de poser des questions qui
n’ont aucun sens, même en physique.
Challenge 53, page 49: Vous pouvez facilement le faire vous-même. Vous pouvez même trou-
ver des sites Web sur ce sujet.
Challenge 57, page 50: Horloges avec deux aiguilles : 22 fois. Horloges avec trois aiguilles : 2
fois.
Challenge 58, page 50: Pour deux aiguilles, la réponse est 143 fois.
Challenge 59, page 50: La Terre tourne de 15 minutes par minute.
Challenge 60, page 50: Vous pourriez être étonnés, mais aucune donnée fiable n’existe sur cette
question. La vitesse la plus élevée concernant un lancer mesuré jusqu ’à présent semble être celle
d ’une balle de cricket à 45 m/s. De l ’autre côté, il y a beaucoup plus d ’ informations disponibles
concernant des vitesses atteintes à l ’aide de raquettes. Le smash rapide du badminton d ’environ
70 m/s semble être un bon candidat pour le record de vitesse à l ’aide d ’une raquette, les balles de
golf atteignent des vitesses similaires.
Challenge 61, page 50: Oui, elle le peut. En réalité, de nombreux chats peuvent également se
glisser en dessous.
Challenge 62, page 51: 1,8 km/h ou 0,5 m/s.
Challenge 64, page 51: Cet usage inhabituel reflète l ’ idée que nous sommes nous-mêmes ca-
pables de déterminer notre position, mais pas l ’ instant auquel nous nous situons. La section sur
Page 164 le déterminisme montrera comment cette distinction est erronée.
Challenge 65, page 51: Oui. Cependant, cela n’est pas évident puisque ceci implique que l ’es-
pace et le temps ne sont pas continus, contrairement à ce que nous apprenons au collège. Nous
trouverons la réponse dans la dernière partie de cet ouvrage.
Challenge 66, page 51: Pour une courbe, utilisez le rayon de courbure, défini en chaque point,
du cercle qui se rapproche de la courbe en ce point. Pour une surface, définissez deux directions
en chaque point et utilisez également deux cercles le long de ces directions.
Challenge 67, page 51: Elle se déplace d ’environ 1 cm en 50 ms.
Challenge 68, page 52: La surface du poumon est comprise entre 100 et 200 m2 , en fonction de
la source littéraire, et celle des intestins est comprise entre 200 et 400 m2 .
Challenge 81, page 55: Une telle limite n’existe pas en physique classique. Néanmoins, il y en
a une dans la nature, qui émerge dès que les effets quantiques sont pris en considération.
Challenge 69, page 52: La forme finale est un cube plein sans aucun trou.
Challenge 54, page 50: La distance requise est
√ √
= (L − b)2 − w 2 + 2w R 2 − (L − b)2 − L + b , (111)
d
Mouvement (schématique) supposé
du véhicule A :
m

deuxième point de rotation
(phase de redressement)
voiture B
w
T voiture A
R
x
b b
L
premier point de rotation
(phase de virage)
F I G U R E 154 Solution de l’énigme du stationnement du véhicule. (© Daniel Hawkins)
comme nous pouvons le déduire de la Figure 153.

Challenge 55, page 50: Un espacement minimum n’existe pas : n’ importe quelle valeur
conviendra ! Pouvez-vous expliciter cela ?
Challenge 56, page 50: La solution qui suit a été proposée par Daniel Hawkins.
Supposez que vous soyez assis dans une voiture A, stationnée derrière le véhicule B, comme
indiqué sur la Figure 154. Il y a deux méthodes élémentaires pour quitter une place de station-
nement tout en utilisant la marche arrière : en faisant tourner la voiture pour éloigner le centre
de rotation (vers la droite) par rapport à la voiture B et en décalant latéralement la voiture pour
éloigner le centre de rotation (plus loin sur le côté) par rapport à la voiture B. La première mé-
thode exige que la voiture A soit partiellement en diagonale, ce qui signifie que cette méthode ne
fonctionnera pas pour d inférieur à une certaine valeur, essentiellement celle donnée ci-dessus,
lorsque la marche arrière n’est pas requise. Nous nous pencherons donc sur la seconde méthode
(dessinée), laquelle fonctionnera pour une valeur infinitésimale de d.

Dans le cas où la distance d est inférieure à la distance minimale requise pour quitter la place
de stationnement sans utiliser la marche arrière, pour une géométrie donnée L, w, b, R, un essai
pour sortir de la place de parking entraînera que le coin de la voiture A touche la voiture B à
une distance T du côté de la voiture B, comme il est indiqué dans la Figure 154. Cette distance T
représente la grandeur par laquelle le véhicule A doit être décalé en translation afin de parvenir à

quitter l ’emplacement de parking.
Le procédé permettant de quitter la place de stationnement, indiqué dans le coin supérieur
gauche de la Figure 154, nécessite deux phases pour réussir : la phase de virage initiale et la phase
de redressement. En tournant et en redressant, nous réalisons un décalage vertical vers le bas
et un décalage horizontal vers la gauche, tout en préservant l ’orientation d ’origine. La dernière
partie est cruciale parce que si nous tentions de tourner jusqu ’à ce que le coin de la voiture A
touche la voiture B, celle-ci serait inclinée et tout tentative de redressement suivrait précisément la
même trajectoire arquée, vers l ’arrière, jusqu ’à la position de départ, tandis que le fait de tourner
le volant dans l ’autre direction permettrait de faire tourner davantage la voiture, comme dans la
première méthode décrite ci-dessus.
Notre but est de tourner aussi loin que nous le pouvons et de toujours être capable de redresser
complètement avant que le véhicule A ne touche la voiture B. Pour analyser précisément quelle
devrait être la grandeur de ce virage, nous devons d ’abord examiner les propriétés d ’une voiture
qui tourne.
L’ épure d ’Ackermann est le principe qui établit que pour qu ’une voiture tourne sans glisse-
ment, les quatre roues doivent tourner autour du même point. Cette idée fut brevetée par Rudolph
Ackermann en 1817. Certaines propriétés de l ’épure d ’Ackermann qui sont reliées à ce problème
sont les suivantes :
– Les roues arrière restent alignées, mais les roues avant (que nous contrôlons), doivent être
inclinées d ’un angle différent pour tourner autour du même centre.
– Les centres de rotation pour les virages à gauche et à droite sont situés sur des côtés opposés
par rapport à la voiture.
– Pour des grandeurs équivalentes de virages à gauche et à droite, les centres de rotation sont
équidistants du côté le plus proche de la voiture. La Figure 154 le montre de façon plus
évidente.
– Tous les centres de rotation possibles sont situés sur la même ligne, qui passe aussi toujours
par les roues arrière.
– Lorsque les roues arrière sont « droites » (ce qui signifiera par la suite qu ’elles possèdent
la même orientation qu ’en position initiale), elles seront verticalement alignées avec les
centres de rotation.
– Lorsque la voiture est en train de tourner autour d ’un centre, par exemple celui associé
au virage à gauche maximal, alors le centre potentiel associé au virage à droite maximal
tournera en même temps que la voiture. De manière similaire, lorsque le véhicule tourne
autour du centre droit, le centre gauche tourne.
Maintenant que nous connaissons les propriétés de l ’épure d ’Ackermann, nous pouvons dire
que pour maximiser le décalage vers le bas tout en préservant l ’orientation, nous devons tourner
à gauche autour du premier centre de telle façon que le second centre tourne d ’une distance ho-
rizontale d, comme indiqué sur la Figure 154. Lorsque cela est fait, nous freinons puis tournons
la direction vers le côté complètement opposé de telle manière que nous sommes dorénavant en
train de tourner à droite autour du second centre. Parce que nous nous sommes décalés vers la
gauche d ’une distance d, nous serons parfaitement redressés au moment exact où le véhicule A
vient en contact avec la voiture B. C ’est ce que nous cherchions, un décalage vers le bas de m
et un décalage vers la gauche de d tout en préservant l ’orientation de la voiture A. Un procédé
analogue peut être exécuté à l ’ inverse pour accomplir un autre décalage vers le bas de m et un
décalage vers la droite de d, déplaçant ainsi effectivement le véhicule A vers le bas d ’une distance
2m à partir de sa position initiale (avant toute manœuvre) tout en retrouvant la même orienta-
tion. Ceci peut être réitéré à l ’ infini, ce qui explique pourquoi il est possible de quitter une place
de stationnement avec une distance infinitésimale d entre les voitures A et B. Pour déterminer le
nombre de fois où cette procédure (les deux opérations de contournement et de redressement)

doit être réalisée, nous devons seulement diviser T (rappelez-vous que T est la distance à laquelle
le véhicule A doit être décalé vers le bas afin de tourner définitivement pour quitter l ’emplace-
ment de parking) par 2m, qui représente le décalage total vers le bas pour une itération de cette
procédure. Symboliquement,
n=
T
2m
.
Afin d ’obtenir une formule où n est une fonction de la géométrie du véhicule, nous devons
trouver une expression pour T et 2m. Pour simplifier les dérivations nous définissons une nouvelle
longueur x, également indiquée dans la Figure 154 :
√
x = R 2 − (L − b)2
√
T + (x − w) = R 2 − (L − b + d)2
√
T= R 2 − (L − b + d)2 − x + w
√ √
= R 2 − (L − b + d)2 − R 2 − (L − b)2 + w
√
(x + (x − w)) − m = (x + (x − w))2 − d 2
√
m = 2x − w − (2x − w)2 − d 2
√ √ √
= 2 R 2 − (L − b)2 − w − (2 R 2 − (L − b)2 − w)2 − d 2
√ √ √
= 2 R 2 − (L − b)2 − w − 4(R 2 − (L − b)2 ) − 4w R 2 − (L − b)2 + w 2 − d 2
√ √ √
= 2 R 2 − (L − b)2 − w − 4R 2 − 4(L − b)2 − 4w R 2 − (L − b)2 + w 2 − d 2
√ √ √
2m = 4 R 2 − (L − b)2 − 2w − 2 4R 2 − 4(L − b)2 − 4w R 2 − (L − b)2 + w 2 − d 2
n=
T
2m
√ √
R 2 − (L − b + d)2 − R 2 − (L − b)2 + w
= √ √ √
4 R 2 − (L − b)2 − 2w − 2 4R 2 − 4(L − b)2 − 4w R 2 − (L − b)2 + w 2 − d 2
La valeur de n doit toujours être arrondie à l ’entier supérieur pour déterminer le nombre de fois
où nous devons avancer puis reculer pour parvenir à quitter l ’emplacement de parking.
Challenge 63, page 51: Rien, ni une preuve ni une réfutation.
Challenge 70, page 52: Regardez la page 20.
Challenge 71, page 52: Un indice pour trouver la solution est donné par la Figure 155.
Challenge 72, page 52: Parce qu ’ ils sont ou ont été liquides.

F I G U R E 155 Un F I G U R E 156 La
dessin élémentaire trajectoire du point
qui démontre le situé au milieu des
théorème de deux extrémités des
Pythagore. aiguilles d’une
horloge.
1°
4°
3° 6°
2° 3°
3°
10°
F I G U R E 157 Les angles définis par les mains placées vers le ciel, lorsque les bras sont tendus.
Challenge 73, page 52: La forme est indiquée dans la Figure 156 : elle possède onze lobes.
Challenge 74, page 53: L’angle conique φ, c ’est-à-dire l ’angle entre l ’axe et le bord du cône
(ou de manière équivalente, la moitié de l ’ angle apical du cône) est relié à l ’angle solide Ω par la
relation Ω = 2π(1 − cos φ). Invoquez l ’aire d ’une calotte sphérique pour confirmer ce résultat.
Challenge 76, page 53: Regardez la Figure 157.
Challenge 78, page 53: Astuce : dessinez tous les objets concernés.
Challenge 80, page 54: Cette courbe est bien évidemment appelée caténaire, du latin « catena »
qui signifie chaîne. La formule d ’une caténaire est y = a cosh(x/a). Si vous approchez la chaîne
par des courts segments droits, vous pouvez fabriquer une arche constituée de blocs en bois qui
peuvent se maintenir en place sans recourir à de la colle. L’ arche de Saint Louis dans le Missouri
a la forme d ’une caténaire. Un pont suspendu possède la forme d ’une caténaire avant qu ’ il soit
chargé, c ’est-à-dire avant que la voie soit attachée à celui-ci. Lorsque le pont est achevé, la forme
se situe entre une caténaire et une parabole.
Challenge 82, page 55: L’ inverse des rayons, ou courbures, vérifient a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = (1/2)(a+
b + c + d)2 . Cette formule fut découverte par René Descartes. Si nous continuons à placer des
cercles dans les espaces vacants, nous obtenons ce que nous appelons des arrangements compacts
de cercles, un admirable domaine des mathématiques récréatives. Ils possèdent de nombreuses
propriétés surprenantes, telles que les relations intrigantes entre les coordonnées des centres des

F I G U R E 158 Une règle à calcul de haute précision, autour de 1970. (© Jörn Lütjens)
cercles et leurs courbures.
Challenge ??, page ??: Il y a deux solutions. (Pourquoi ?) Ce sont les deux solutions positives de
l 2 = (b + x)2 + (b + b 2 /x)2 , la hauteur est alors donnée par h = b + x. Les deux solutions sont
4,84 m et 1,26 m. Il existe des formules explicites pour ces solutions : pouvez-vous les découvrir ?
Challenge ??, page ??: La meilleure méthode consiste d ’abord à calculer la hauteur B à laquelle
l ’échelle bleue touche le mur. Elle est donnée comme étant une solution de B 4 − 2hB 3 − (r 2 −
b 2 )B 2 + 2h(r 2 − b 2 )B − h 2 (r 2 − b 2 ) = 0. Les solutions à valeurs entières sont discutées dans
Martin Gardner, Mathematical Circus, Spectrum, 1996.
Challenge 83, page 55: Une possibilité : utilisez l ’analogue tridimensionnel du théorème de Py-
thagore. La réponse est 9.
Challenge 84, page 55: Dessinez une échelle logarithmique, c ’est-à-dire placez chaque nombre
à une distance correspondant à son logarithme népérien. Un tel dispositif, appelé règle à calcul, est
montré sur la Figure 158. Les règles à calcul furent les précurseurs des calculatrices, elles étaient
employées partout dans le monde aux époques préhistoriques, c ’est-à-dire jusqu ’à environ 1970.
Consultez également la page Web www.oughtred.org.
Challenge 85, page 55: Deux fois plus. Construisez vous-même une maquette du Soleil et de la
Terre pour le vérifier.
Challenge 86, page 55: Le Soleil est exactement dans le dos de l ’observateur, il se couche, les
rayons proviennent de l ’arrière et pénètrent très profondément dans le ciel, dans la direction
opposée à celle du Soleil. Une situation légèrement différente – utile également pour se familiariser
avec le dessin en perspective – surgit lorsque vous avez un phare dans votre dos. Pouvez-vous
l ’esquisser ?
Challenge ??, page ??: Le volume est donné par V = ∫ Adx = ∫−1 4(1 − x 2 )dx = 16/3.
1
Challenge ??, page ??: Oui. Essayez-le avec un modèle en papier.

Challenge 87, page 56: Des problèmes surgissent lorsque les effets quantiques sont ajoutés. Un
univers bidimensionnel n’aurait pas de matière, puisque la matière est faite de particules de spin
1/2. Mais celles-ci n’existent pas en deux dimensions. Pouvez-vous repérer d ’autres raisons ?
Challenge ??, page ??: Deux dimensions ne permettent pas d ’ordonner des événements. Il de-
vient impossible de dire « avant » et « après ». Dans la vie courante et tous les domaines accessibles
aux mesures, le temps est certainement unidimensionnel.
Challenge 88, page 58: D’après x = дt 2 /2 vous obtenez la règle suivante : portez le nombre de
secondes au carré, multipliez par cinq et vous obtenez la profondeur en mètres.
Challenge 89, page 58: Expérimentez-le justement.
Challenge 90, page 58: Les académiciens suspendirent un boulet de canon à l ’aide d ’un mince
fil de fer juste en face de l ’ouverture du canon. Lorsque le coup de feu fut tiré, le second boulet

de canon volant percuta le fil métallique, assurant ainsi que les deux boulets partaient en même
temps. Un observateur situé très loin tentait alors de déterminer si les deux boulets touchaient
la terre au même instant. Cette expérience n’est pas facile, des minuscules erreurs sur l ’angle et
dans la résistance de l ’air faussent les résultats.
Challenge 91, page 59: Une parabole possède ce que nous dénommons un foyer ou point focal.
Toute la lumière émise de ce point, et réfléchie, part dans la même direction : tous les rayons
lumineux sont émis parallèlement. Le terme « foyer » – du mot latin focus qui désigne cheminée
– exprime le fait que c ’est le point le plus chaud lorsqu ’un miroir parabolique est illuminé. Où
se trouve le foyer de la parabole y = x 2 ? (Les ellipses possèdent deux foyers, avec une définition
cependant légèrement différente. Pouvez-vous les trouver ?)
Challenge 92, page 60: En négligeant la résistance de l ’air et en estimant l ’angle à 45°, nous
√
obtenons v = d д , ou environ 3,8 m/s. Cette vitesse est engendrée par un mécanisme de pres-
sion intégré, qui utilise la pression sanguine, et qui est soudainement relâché grâce à un système
mécanique situé à l ’extrémité du tube digestif. La référence citée donne plus d ’ informations.
Challenge 93, page 60: Sur un sol horizontal, pour une vitesse v et un angle α par rapport à
l ’ horizontale, en négligeant la résistance due à l ’air et la hauteur du lanceur, la distance d est
donnée par d = v 2 sin 2α/д.
Challenge 94, page 60: Marchez ou courez sous la pluie, mesurez votre vitesse v, et l ’angle α
selon lequel la pluie semble tomber par rapport à la verticale. La vitesse de la pluie est alors v pluie =
v/ tan α.
Challenge 95, page 60: Vérifiez votre calcul grâce à l ’ information que le record mondial de jon-
glage en 1998 s’est fait avec 9 balles.
Challenge 96, page 60: Le record du saut en longueur pourrait certainement être amélioré en
abandonnant le mètre-ruban sur le sable et en mesurant la véritable distance de saut à l ’aide
d ’un appareil photographique, cela permettrait aux athlètes de courir au plus près de leur vitesse
maximale. Le record pourrait également être amélioré par une petite marche inclinée ou par une
planche suspendue à un ressort à l ’emplacement du décollage, afin d ’augmenter l ’angle de l ’élan.
Challenge 97, page 60: On dit que c ’est vrai, puisque les gouttes d ’eau seraient alors des sphères
de glace et tomberaient avec une vitesse élevée.
Challenge 98, page 60: On trouve des affirmations contradictoires dans la littérature. Le fait est
que des gens ont été à l ’ hôpital parce qu ’ ils ont reçu une balle en chute libre, qui est allée se loger
directement dans leur crâne. (Voyez S. Mirsky, It is high, it is far, Scientific American p. 86,
février 2004.) De surcroît, le plomb contenu dans les balles est mauvais pour l ’environnement.
Challenge 424, page 230: Pour qu ’un animal de masse m puisse sauter, l ’énergie E nécessaire
est donnée par E = m дh, et le travail disponible pour un muscle est approximativement pro-
portionnel à sa masse W ∼ m. Nous obtenons donc que la hauteur h est indépendante de la
masse de l ’animal. Autrement dit, l ’ énergie mécanique spécifique des animaux est de l ’ordre de
1,5 ± 0,7 J/kg.
Challenge 99, page 60: Les pierres ne suivent jamais des paraboles : lorsque nous l ’étudions
scrupuleusement, c ’est-à-dire lorsque la variation de д avec la hauteur est prise en considération,
leur trajectoire précise se révèle être une ellipse. Cette courbe apparaît de la manière la plus fla-
grante pour des longs lancers, comme les lancers autour d ’une partie significative de la Terre, ou
pour des objets gravitants. En bref, les pierres suivent des paraboles uniquement si on présume
que la Terre est plate. Si sa courbure est prise en compte, elles suivent des ellipses.
Challenge 101, page 63: Un bon candidat d ’une accélération faible pour un système physique
pourrait être l ’accélération mesurée par les détecteurs d ’ondes gravitationnelles. Elles sont infé-
rieures à 10−13 m/s2 .

Challenge 103, page 64: L’ensemble de toutes les rotations autour d ’un point dans un plan
constitue véritablement un espace vectoriel. Qu ’en est-il de l ’ensemble de toutes les rotations
autour de tous les points situés dans un plan ? Et qu ’en est-il concernant les situations tridimen-
sionnelles ?
Challenge 104, page 64: Le produit scalaire entre deux vecteurs a et b est donné par
a ⋅ b = ab cos ∢(a, b) . (112)

En quoi cette forme diffère-t-elle du produit vectoriel ?
Challenge ??, page ??: En chute libre (lorsque l ’air n’est pas présent) ou à l ’ intérieur d ’une sta-
tion spatiale gravitant autour de la Terre, nous sommes accélérés mais nous ne ressentons rien du
tout. En réalité, cette non-différenciation ou cette équivalence entre l ’accélération et « l ’absence
de sensation » a constitué une étape cruciale pour Albert Einstein dans son développement de la
Challenge 105, page 64: Le professeur à l ’élève : Quelle est la dérivée de la vitesse ? L’accélé-
ration ! Quelle est la dérivée de l ’accélération ? Je ne sais pas. Le jerk ! Les dérivées quatrième,
cinquième et sixième de la position sont parfois dénommées snap, crackle et pop.
Challenge 107, page 66: Nous pouvons argumenter que toute source de lumière doit avoir une
taille finie.
Challenge 109, page 66: Ce que l ’ œil nu humain perçoit comme étant un minuscule point noir
est généralement un point de 50 µm environ de diamètre.
Challenge 110, page 66: Voyez la page ??.
Challenge 111, page 66: Nous devons vérifier attentivement si les étapes conceptuelles qui nous
ont conduit à extirper la notion de point à partir des observations sont correctes. Nous verrons
dans l ’ultime partie de cette aventure que ce n’est pas le cas.
Challenge 112, page 67: Nous pouvons faire tourner la main d ’une manière telle que le bras
décrive le mouvement détaillé. Regardez également la page ??.
Challenge 113, page 67: N ’ importe quel nombre, sans restriction.
Challenge 114, page 67: La circulation sanguine et nerveuse ne serait pas possible si la roue
avait un essieu. La méthode indiquée pour éviter d ’emmêler les connexions fonctionne unique-
ment lorsque la partie en rotation ne possède pas d ’essieu : la « roue » doit flotter ou être main-
tenue en place par d ’autres procédés. Il devient donc impossible de concevoir un essieu de roue
en utilisant un simple morceau de membrane. Et si une roue sans essieu pouvait être construite
(ce qui pourrait être possible), alors la roue écraserait régulièrement la connexion. Une telle
connexion sans essieu pourrait-elle servir à réaliser une hélice ?
Par ailleurs, il est toujours concevable que des animaux possèdent des roues sur des essieux,
si la roue est un objet « inerte ». Même si des technologies d ’alimentation sanguine comme les
réacteurs à flux continu étaient employés, les animaux ne pourraient pas faire croître une telle
roue détachée d ’une manière adaptée au reste du corps et ils rencontreraient des difficultés pour
reconstituer une roue endommagée. Les roues détachées ne peuvent pousser sur les animaux :
elles doivent être inertes.
Challenge 115, page 68: Le cerveau dans le crâne, les fabriques de sang dans les os ou la crois-
sance de l ’ œil en sont des exemples.
Challenge ??, page ??: En 2007, les plus vastes grandes roues de fête foraine permettant de trans-
porter des passagers faisaient environ 150 m de diamètre. Les plus grandes éoliennes font environ
125 m de diamètre. Les fours à ciment sont les plus longues roues : elles peuvent faire plus de
300 m le long de leur axe.
Challenge ??, page ??: La résistance de l ’air réduit la distance maximale, laquelle est atteinte
pour un angle d ’environ π/4 = 45°, de v 2 /д = 91,7 m environ jusqu ’à autour de 50 m.

Challenge 116, page 70: Nous pouvons ajouter également le Soleil, le ciel et le paysage à cette
liste.
Challenge 117, page 71: Les fantômes, les hallucinations, les apparitions d ’ Elvis ou les extrater-
restres doivent tous être l ’un ou l ’autre. Il n’y a pas de troisième alternative. Même les ombres
sont simplement des types particuliers d ’ images.
Challenge 118, page 71: Ce problème fut ardemment débattu au dix-septième siècle, même Ga-
lilée postulait que c ’était des images. Cependant, ce sont des objets, puisqu ’elles peuvent entrer
en collision avec d ’autres objets, comme l ’a montré la collision spectaculaire qui eut lieu entre
Jupiter et la comète Shoemaker–Levy 9 en 1994. Depuis ce temps, on a vu des satellites heurter
des comètes et elles ont même été prises pour cibles (et frappées).
Challenge 119, page 72: La vitesse minimale est approximativement celle à laquelle il est pos-
sible de rouler sans les mains. Si vous faites ainsi, et que vous poussez alors délicatement le guidon,
vous pouvez reproduire l ’expérience décrite ci-dessus. Soyez prudents : une poussée trop forte
vous fera gravement chuter.
Challenge 120, page 75: Si la boule en mouvement n’est pas en rotation, après la collision les
deux boules repartiront en faisant un angle droit entre elles.
Challenge 121, page 76: Une partie de l ’énergie est convertie en chaleur, le reste est transféré
au bloc de béton sous forme d ’énergie cinétique. Comme le bloc est massif, sa vitesse est petite et
facilement encaissée par le corps humain. Il paraît que cet effet fonctionne aussi avec des enclumes.
Dans une autre variante courante, l ’ individu n’est pas couché sur des clous, mais est suspendu en
l ’air : il se maintient horizontalement seulement, avec la tête et les épaules placées sur une chaise,
et les pieds sur une autre.
Challenge 122, page 76: Oui, la masse demeure valide aussi pour le magnétisme, parce que la
condition exacte n’est pas que l ’ interaction soit centrale, mais plutôt qu ’elle réalise une condition
plus générale, qui engendre des accélérations telles que celles produites par le magnétisme. Pouvez-
vous déduire cette condition à partir de la définition de la masse ?
Challenge 123, page 78: Le poids décroît à cause de l ’eau évaporée, évacuée par la transpiration
et, à une échelle plus petite, à cause du carbone expiré qui était lié au dioxyde de carbone.
Challenge 124, page 78: Plutôt que d ’utiliser les effets inertiels de la Terre, il est plus facile d ’en
déduire sa masse à partir de ses effets gravitationnels. Regardez le défi 235.
Challenge 128, page 79: À première vue, la relativité implique que les tachyons possèdent une
masse imaginaire. Cependant, ce facteur imaginaire peut être retiré de la relation masse–énergie
et masse–quantité de mouvement, de telle sorte que nous pouvons définir une valeur de masse
réelle pour les tachyons. Par conséquent plus les tachyons sont rapides et moins ils possèdent
d ’énergie et de quantité de mouvement. La quantité de mouvement et l ’énergie peuvent toutes
les deux prendre une valeur négative quelconque.
Challenge 129, page 80: Les jambes n’étant jamais parfaitement verticales, elles glissent immé-
diatement vers l ’extérieur. Une fois que le félidé ou la personne se trouve sur le sol, il est presque
impossible de rester debout plus longtemps.
Challenge 130, page 80: La conservation de la quantité de mouvement (du centre de masse)
impliquerait que l ’environnement tout entier puisse être accéléré dans la direction opposée. La
conservation de l ’énergie entraînerait qu ’une quantité colossale d ’énergie puisse être transférée
entre les deux emplacements, anéantissant tout ce qui se trouve entre eux. La téléportation contre-
dirait donc la conservation de l ’énergie et de la quantité de mouvement.
Challenge 131, page 81: La fraction des marées due à l ’effet du Soleil, du vent solaire et des
interactions entre les deux champs magnétiques est un exemple de mécanisme de frottement qui
existe entre la Terre et le Soleil.

Challenge 132, page 82: Avec ce facteur 1/2, l ’augmentation de l ’énergie (physique) cinétique
est équivalente au travail (physique) exercé sur un système : l ’énergie totale est donc conservée
uniquement si nous lui adjoignons le facteur 1/2.
Challenge 134, page 83: C ’est une application astucieuse de la conservation de la quantité de
mouvement.
Challenge 135, page 83: Ni l ’un ni l ’autre. Avec les freins serrés, les dégâts sont plus impor-
tants, mais toujours répartis de manière équitable entre les deux véhicules.
Challenge 136, page 84: Les appareils de chauffage, les locomotives, les moteurs dans les usines,
les fabriques d ’acier, les centrales électriques recouvrant les pertes dans le réseau électrique, etc.
Par ailleurs, les pays les plus riches dans le monde, tels que la Suède ou la Suisse, consomment
moitié moins d ’énergie par habitant que les États-Unis. Ce gaspillage constitue une des raisons
du niveau de vie moyen inférieur aux États-Unis.
Challenge 138, page 86: Si jamais la Terre voyait sa vitesse de rotation se modifier légèrement
et continuellement, nous marcherions penchés, l ’eau des océans s’écoulerait vers le nord, les
conditions atmosphériques seraient constamment orageuses et des tremblements de terre appa-
raîtraient à cause de la modification de la forme du globe.
Challenge 140, page 88: Jetez-le simplement en l ’air et comparez la dextérité nécessaire pour
le faire tourner autour de divers axes.
Challenge 141, page 88: Utilisez la définition du moment d ’ inertie et le théorème de Pythagore
pour chaque élément de masse du corps étudié.
Challenge 142, page 88: Suspendez ce corps en attachant la corde en deux points distincts. Le
point de croisement des lignes prolongées de la corde représente le centre de masse.
Challenge 143, page 88: Les sphères possèdent une orientation, parce que nous pouvons tou-
jours ajouter un minuscule point de repère sur leur surface. Cette possibilité n’est pas offerte
pour des objets microscopiques, et nous étudierons cette situation dans la partie concernant la
théorie quantique.
Challenge 146, page 90: Regardez les tableaux 15 et 16.
Challenge 147, page 90: Le mouvement rectiligne autopropulsé contredit la conservation de la
quantité de mouvement, le changement autopropulsé d ’orientation (à condition encore une fois
que le mouvement cesse) ne contredit aucune loi de conservation. Mais l ’explication profonde et
ultime de la différence sera dévoilée dans la dernière partie de notre aventure.
Challenge 148, page 90: Oui, le singe peut atteindre la banane. Il a juste besoin de tourner sur
lui-même. À chaque tour, le plateau tournera un petit peu plus en direction de la banane. Bien
sûr, d ’autres méthodes, comme le fait de souffler, d ’uriner, etc. dans une direction à angle droit
par rapport à l ’axe, sont également possibles.
Challenge 150, page 91: Les points qui se déplacent exactement le long de la direction radiale
de la roue forment un cercle situé sous l ’axe et au-dessus de la jante. Ce sont les points qui sont
nets dans la Figure 44 de la page 91.
Challenge 151, page 91: Utilisez la conservation du moment cinétique autour du point de
contact. Si on suppose que toute la masse de la roue est située dans la jante, alors la vitesse finale
de rotation est la moitié de celle initiale ; elle est indépendante du coefficient de frottement.
Challenge 154, page 96: La force de Coriolis peut être perçue comme étant la somme de deux
effets distincts, d ’ intensité égale. Le premier effet est le suivant : dans un référentiel en rotation, la
vitesse change dans le temps. Ce qu ’un observateur inertiel (qui n’est pas en rotation) considère
être une vitesse constante sera considérée par l ’observateur en rotation comme une vitesse qui
varie avec le temps. L’accélération mesurée par l ’observateur en rotation est négative, et propor-
tionnelle à la fréquence angulaire et à la vitesse.

Le deuxième effet est la variation de la vitesse dans l ’espace. Dans un référentiel en rotation,
des points distincts possèdent des vitesses différentes. Cet effet est négatif et proportionnel à la
fréquence angulaire et à la vitesse.
Au final, l ’ accélération de Coriolis (qui est la force de Coriolis divisée par la masse) est donc
aC = −2ω × v.
Challenge 155, page 97: Un pendule court de longueur L qui se balance en deux dimensions
(avec une amplitude ρ et une orientation φ) fait apparaître deux termes supplémentaires dans le
lagrangien L :
ρ2 l2 ρ2
L = T − V = m ρ̇ 2 (1 + 2 ) + z 2 − mω 20 ρ 2 (1 +
1 1
) (113)
2 L 2mρ 2 4 L2
où comme d ’ habitude la fréquence fondamentale est ω 20 = д/L et le moment cinétique est
l z = mρ 2 φ̇. Ces deux termes auxiliaires disparaissent lorsque L → ∞. Dans cette situation, si
le système oscille en formant une ellipse de demi axes a et b, cette ellipse est figée dans l ’espace,
et la fréquence est ω 0 . Pour un pendule de longueur finie L, la fréquence s’exprime plutôt comme
a2 + b2
ω = ω 0 (1 − ) ; (114)
16 L 2
qui plus est, l ’ellipse tourne avec une fréquence
Ω=ω
3 ab
. (115)
8 L2
(Ces formules peuvent être dérivées en utilisant le principe de moindre action, comme l ’ont in-
diqué C. G. Gray, G. Karl & V. A. Novikov, Progress in classical and quantum variational
principles, arxiv.org/abs/physics/0312071.) Autrement dit, un pendule court en mouvement ellip-
tique dénote une précession même sans la force de Coriolis. Puisque cette fréquence de précession
diminue avec 1/L 2 , cet effet est imperceptible pour des pendules longs, où seule la force de Co-
riolis demeure. Pour observer l ’effet de la force de Coriolis sur un pendule court, nous devons
donc faire attention qu ’ il ne commence pas à osciller selon une orbite elliptique en ajoutant un
procédé qui annule ce mouvement elliptique.
Challenge 156, page 97: L’accélération de Coriolis constitue l ’explication de la déviation par
rapport à la ligne droite. Elle est due à la variation de la vitesse avec la distance à l ’axe de rotation.
Maintenant imaginez un pendule, situé à Paris, qui se balance dans la direction Nord–Sud avec
une amplitude A. À l ’extrémité méridionale de cette oscillation, le pendule est éloigné de l ’axe
d ’une distance A sin φ, où φ représente la latitude. À ce point de l ’oscillation, le pivot du support
central dépasse le plan d ’oscillation du pendule avec une vitesse horizontale relative donnée par
v = 2πA sin φ/23 h 56 min. La période de la précession est donnée par TF = v/2πA, où 2πA est la
circonférence de l ’enveloppe de la trajectoire du pendule (relativement à la Terre). Cela conduit à
TF = 23 h 56 min/ sin φ. Pourquoi la valeur qui apparaît dans la formule n’est-elle pas 24 h, mais
23 h 56 min ?
Challenge 157, page 97: L’axe demeure figé par rapport aux étoiles éloignées, non par rapport
à l ’espace absolu (qui est une entité qui ne peut absolument pas être observée).
source
lumineuse
Ωt

t=0 t = 2πR/c
F I G U R E 159 Déduction de l’expression de l’effet Sagnac.
Challenge 158, page 98: La rotation entraîne une variation minuscule de la fréquence et donc
de la couleur pour la lumière qui circule.
Challenge 159, page 98: Le poids change en allant vers l ’est ou lors du déplacement vers l ’ouest
à cause de l ’accélération de Coriolis. Si la vitesse de rotation coïncide avec la fréquence d ’oscilla-
tion de la balance, cet effet est amplifié par résonance. Cette astuce était également employée par
Eötvös.
Challenge 160, page 98: L’accélération de Coriolis fait tourner la barre, car chaque corps en
mouvement est dévié vers le côté, et les deux déviations s’additionnent dans ce cas. La direction
de la déviation dépend de l ’endroit où l ’expérience est réalisée, dans l ’ hémisphère nord ou sud.
Challenge 161, page 98: Lorsqu ’on le tourne d ’un angle π autour d ’un axe Est–Ouest, la force
de Coriolis produit une vitesse de dérive du liquide autour du tube. Elle possède la valeur
v = 2ωr sin θ, (116)
tant que le frottement reste négligeable. Ici ω représente la vitesse angulaire de la Terre, θ la lati-
tude et r le (plus grand) rayon du tore. Pour un tube de 1 m de diamètre en Europe continentale,
cela donne une vitesse d ’environ 6,3 ⋅ 10−5 m/s.
Les mesures peuvent être facilitées si le tube voit son diamètre se restreindre à un unique
point, car alors la vitesse augmente dans cette situation. Une diminution de la surface d ’un fac-
teur 100 accroît la vitesse du même facteur. Lorsque cette expérience est réalisée, nous devons
soigneusement écarter tous les autres effets qui obligent l ’eau à se mouvoir, comme par exemple
des gradients de température à travers le système.
Challenge 162, page 99: Imaginez que de la lumière décrive une trajectoire circulaire (par
exemple, dans une boucle en fibre de verre) et que deux faisceaux se déplacent dans des directions
opposées, comme indiqué dans la Figure 159. Si la fibre tourne avec une fréquence de rotation Ω,
nous pouvons en déduire que, après un tour, la différence ∆L dans la longueur de la trajectoire
est
4πR 2 Ω
∆L = 2RΩt = . (117)
c
La différence de phase est donc
8π 2 R 2
∆φ = Ω (118)
cλ
si l ’ indice de réfraction est égal à 1. C ’est la formule requise pour l ’étude du principal cas de
l ’ effet Sagnac.
Challenge ??, page ??: La tige métallique est légèrement plus longue sur un côté de l ’axe.
Lorsque le fil qui le maintient est brûlé avec une bougie, son moment d ’ inertie décroît d ’un fac-
teur 104 , donc il commence à tourner avec une période de rotation (idéalement) de 104 fois celle
de la Terre, une cadence qui est aisément visible en envoyant un rayon lumineux sur le miroir et
en observant comment sa réflexion varie sur la paroi.
Challenge 163, page 102: Le résultat original de Bessel était 0,3136 ′′ , ou 657,7 mille rayons or-
bitaux, ce qui l ’amena à penser qu ’elle était à 10,3 années-lumière ou 97,5 Pm.
Challenge 165, page 105: La galaxie forme une bande laiteuse dans le ciel. Elle est donc une

structure aplatie. Cela est encore plus flagrant dans l ’ infrarouge, comme le montre plus clairement
la Figure 73 à la page 197. À partir de cet aplatissement (et de sa symétrie circulaire) nous pouvons
en déduire que la galaxie doit être en rotation. Donc il doit y avoir d ’autre matière dans l ’univers.
Challenge 166, page 106: L’auteur voulait probablement parler du « reste de l ’univers ». En réa-
lité, une partie en mouvement ne déplace jamais le centre de gravité d ’un système fermé. Mais
l ’ Univers est-il fermé ? Ou est-il un système ? L’ultime partie de notre aventure répondra à ces
questions.
Challenge 167, page 106: Indice : une énergie par unité de distance est une force.
Challenge 170, page 106: La balance réagit à votre battement de cœur. Le poids est majoritaire-
ment constant au cours du temps, excepté lorsque le cœur bat : pendant une brève durée, le poids
est dans une certaine mesure diminué à chaque battement. Cela est apparemment dû au sang qui
heurte l ’arche aortique lorsque le cœur le pompe vers le haut. La vitesse du sang est d ’environ
0,3 m/s lors de la contraction maximale du ventricule gauche. La distance à l ’arche aortique est de
quelques centimètres. Le temps qui s’écoule entre la contraction et le renversement de la direction
est d ’environ 15 ms.
Challenge 171, page 107: La conservation du moment cinétique sauve le verre. Essayez-le.
Challenge 172, page 107: Avant toutes choses, les données expérimentales de MacDougall sont
déficientes. Dans les six cas que MacDougall examina, il ne connaissait pas l ’ instant exact du dé-
cès. Sa revendication d ’une décroissance de la masse ne peut pas être déduite de ses propres in-
formations. Des mesures récentes sur des moutons mourants, qui possèdent à peu près la même
masse que les êtres humains, n’ont fait ressortir aucune variation de masse, mais des fluctuations
incontestables du poids de quelques douzaines de grammes lorsque le cœur s’arrête. Cette dimi-
nution temporaire du poids pourrait s’expliquer par l ’exhalation de l ’air ou d ’ humidité, par la
relaxation des muscles ou par l ’arrêt de la circulation sanguine. Cette question n’est pas élucidée.
Challenge 173, page 107: En considérant une montagne rectangulaire, la hauteur h au-dessus
de la croûte attenante et la profondeur d en dessous sont reliées par
=
h ρm − ρc
(119)
d ρc
où ρ c est la densité de la croûte et ρ m représente la densité du manteau. Pour les valeurs de densité
citées, le rapport est 6,7, conduisant à une profondeur supplémentaire de 6,7 km sous la montagne.
Challenge 177, page 108: Le comportement des sphères peut être expliqué simplement en re-
marquant que des ondes élastiques se propagent à travers la série de boules. Seule la propagation
de ces ondes élastiques, en particulier leur réflexion à l ’extrémité de la chaîne, explique que le
même nombre de boules qui tapent d ’un côté sont soulevées de l ’autre. Pour des durées plus
longues, le frottement fait que toutes les sphères oscillent en phase. Pouvez-vous confirmer ceci ?
Challenge 178, page 109: Lorsque le cylindre court frappe le long, deux ondes de compression
commencent à se propager, à partir du point de contact, à travers les deux cylindres. Lorsque
chaque onde de compression parvient à l ’extrémité, elle est réfléchie comme une onde d ’expan-
sion. Si la géométrie est soigneusement sélectionnée, l ’onde d ’expansion qui rebrousse chemin
dans le cylindre court peut se poursuivre dans le long (lequel est toujours dans sa phase de com-
pression). Pour des temps de contact suffisamment longs, les ondes provenant du cylindre court
peuvent donc déposer une grande quantité de leur énergie dans le cylindre long. La quantité de
mouvement est conservée, comme l ’énergie. Le cylindre long voit sa longueur osciller lorsqu ’ il
se détache, de telle sorte que toute son énergie n’est pas de l ’énergie de translation. Cette oscil-
lation est alors exploitée pour enfoncer des clous ou des forets dans des murs en pierre. Dans
les perceuses à percussion du marché, des rapports de longueur de 1 pour 10 sont couramment
exploités.

Challenge 179, page 109: Le transfert de quantité de mouvement au mur est double quand la
balle rebondit parfaitement.
Challenge 180, page 109: Si le bouchon se trouve dans sa position normale : ôtez le couvercle
plastique du bouchon, placez le chiffon autour de la bouteille (c ’est uniquement pour des raisons
de protection) et frappez plusieurs fois la bouteille sur le plancher ou sur une paroi de manière
inclinée, comme indiqué sur la Figure 38 de la page 79. À chaque coup donné, le bouchon sortira
un petit peu plus.
Si le bouchon est tombé dans la bouteille : placez la moitié du chiffon à l ’ intérieur de celle-ci,
secouez jusqu ’à ce que le bouchon tombe sur le chiffon. Tirez ce dernier vers l ’extérieur : d ’abord
lentement, jusqu ’à ce qu ’ il recouvre presque tout le bouchon, puis alors vigoureusement.
Challenge 182, page 110: Le microscope à force atomique.
Challenge 183, page 110: Utilisez la Figure 48 de la page 95 pour la seconde moitié de la trajec-
toire, puis réfléchissez soigneusement à la première moitié.
Challenge 184, page 110: Indice : le fait de lancer des fusées depuis l ’équateur permet d ’écono-
miser beaucoup d ’énergie, donc du carburant et du poids.
Challenge 185, page 111: Pour un homme qui court : E ≈ 0, 5 ⋅ 80 kg ⋅ (5 m/s)2 = 1 kJ ; pour une
balle de fusil : E ≈ 0, 5 ⋅ 0,04 kg ⋅ (500 m/s)2 = 5 kJ.
Challenge 186, page 111: La flamme s’ incline vers l ’ intérieur.
Challenge 187, page 111: La balle avance dans la direction vers laquelle elle est accélérée. Par
conséquent, nous pourrions imaginer que la balle placée dans un verre au repos est tirée vers le
haut parce que le plancher est accéléré vers le haut. Nous reviendrons sur cette question dans la
section sur la relativité générale.
Challenge 188, page 111: Il double pratiquement de taille.
Challenge 189, page 112: Pour votre examen il vaut mieux dire que la force centrifuge n’existe
pas. Mais puisque dans chaque système stationnaire il y a un équilibre entre les forces, cette dis-
cussion est en quelque sorte une diversion.
Challenge 191, page 112: Placez les tasses pleines de thé sur une planche et attachez celle-ci à
quatre longues cordes que vous gardez en main.
Challenge 192, page 112: Le frottement si les marées sur Terre en constituent la principale
cause.
Challenge ??, page ??: Au point le plus haut, l ’accélération est д sin α, où α représente l ’angle
que fait le pendule au point le plus élevé. Au point le plus bas, l ’accélération est v 2 /l, où l est la
longueur du pendule. La conservation de l ’énergie implique que v 2 = 2дl(1 − cos α). Donc ce
problème exige que sin α = 2(1 − cos α). Cela aboutit à cos α = 3/5.
Challenge ??, page ??: Nous avons besoin de l ’équation de la variation de la masse dm/dt =
πρ vapeur r 2 ∣v∣ due à la vapeur et de l ’évolution de la vitesse de la goutte m dv/dt = m д − v dm/dt.
Ces deux équations conduisent à
dv 2 2д v2
= −6 (120)
dr C r
où C = ρ vapeur /4ρ eau . L’astuce consiste à montrer que ceci peut se réécrire ainsi
d v 2 2д v2
r = −7 . (121)
dr r C r
Pour des durées assez longues, toutes les solutions physiquement raisonnables s’approchent de
v 2 /r = 2д/7C, cela implique que pour des durées assez longues,

dv v 2 д
= r=
дC 2
et t . (122)
dt r 7 14
Concernant ce fameux problème, consultez par exemple B. F. Edwards, J. W. Wilder &
E. E. Scime, Dynamics of falling raindrops, European Journal of Physics 22, pp. 113–118, 2001.
Challenge 195, page 113: Un tremblement de terre ayant une magnitude de Richter de 12 re-
présente 1 000 fois l ’énergie du séisme chilien de 1960 d ’une magnitude de 10. Ce dernier fut
provoqué par une fissure, qui se manifesta sur les 40 km de la croûte terrestre, sur une longueur
de 1 000 km, le long de laquelle les deux flancs glissèrent de 10 m l ’un par rapport à l ’autre. Seul
l ’ impact d ’une météorite pourrait conduire à des valeurs supérieures à 12.
Challenge 196, page 113: Ce n’est pas facile : le rôle est joué par une association de frottements
et de couples. Lisez par exemple l ’article J. Sauer, E. Schörner & C. Lennerz, Real-time
rigid body simulation of some classical mechanical toys, 10th European Simulation and Sympo-
sium and Exhibition (ESS ’ 98) 1998, pp. 93–98, ou www.lennerz.de/paper_ess98.pdf.
Challenge 198, page 113: Si une alliance de mariage tourne autour d ’un axe qui n’est pas un
axe principal, le moment cinétique et la vitesse ne sont pas parallèles.
Challenge 199, page 113: Oui, cela se produit deux fois par an. Pour minimiser les dommages,
les paraboles devraient être de couleur noire.
Challenge 200, page 113: Un missile tiré vers l ’arrière constituerait un moyen de défense par-
fait contre les avions qui attaqueraient par l ’arrière. Cependant, lorsqu ’ il est lancé, le missile est
réellement en train de voler à reculons par rapport à l ’air, ainsi il se retourne et devient alors une
menace pour l ’avion qui l ’a tiré. Les ingénieurs qui n’avaient pas pensé à cet effet ont faillit tuer
un pilote au cours du premier test de ce type.
Challenge 202, page 114: Quoi que fasse le singe, qu ’ il grimpe ou qu ’ il descende ou même
qu ’ il se laisse chuter, il reste à la même hauteur que la masse. Maintenant, que se passe-t-il s’ il y
a du frottement au niveau de la poulie ?
Challenge 204, page 114: Pesez la balle de munition et tirez-la contre une masse suspendue au
plafond. Nous pouvons déterminer la quantité de mouvement de la balle à partir de la masse et
de son angle de déviation.
Challenge 206, page 114: Oui, s’ il se déplace à un angle suffisamment grand par rapport à la
direction de mouvement du bateau.
Challenge 208, page 115: Le moment d ’ inertie est Θ = 25 mr 2 .
Challenge 209, page 115: Les moments d ’ inertie sont égaux aussi pour le cube, mais les valeurs
sont Θ = 61 ml 2 . Les efforts nécessaires pour mettre une sphère et un cube en rotation sont donc
différents.
Challenge 210, page 115: Lisez l ’article de C. Ucke & H. -J. Schlichting, Faszinierendes
Dynabee, Physik in unserer Zeit 33, pp. 230–231, 2002.
Challenge 211, page 115: Lisez l ’article de C. Ucke & H. -J. Schlichting, Die kreisende
Büroklammer, Physik in unserer Zeit 36, pp. 33–35, 2005.
Challenge 212, page 115: Oui. Pouvez-vous imaginer ce qui se passe pour un observateur situé
à l ’équateur ?
Challenge 213, page 115: Une ligne droite au zénith, et des cercles de plus en plus petits de
chaque côté. Un exemple peut être consulté sur le site Web antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap021115.
html.

Challenge ??, page ??: La courbe décrite par le milieu d ’une échelle qui glisse le long d ’un mur
est un cercle.
Challenge 216, page 116: Ce plan est spécifié dans les sites Web mentionnés, pour un homme
debout ce plan est le plan vertical contenant les deux yeux.
Challenge ??, page ??: Ces interrupteurs exploitent la puissance qui est absorbée lorsque l ’ inter-
rupteur est enfoncé et alimentent ainsi un minuscule émetteur qui actionne une télécommande
à haute fréquence pour allumer la lumière.
Challenge ??, page ??: Elle tire profit d ’un ingénieux arrangement de couches bimétalliques.
Celles-ci se meuvent chaque fois que la température change entre le jour et la nuit – et vice-versa
– et enroulent un ressort d ’ horloge. L’ horloge elle-même est une horloge mécanique ayant une
faible consommation d ’énergie.
Challenge 217, page 118: Comme nous l ’avons dit, les jambes sont plus faciles à faire croître, à
entretenir et à réparer que les roues. De surcroît, les jambes n’ont pas forcément besoin de surfaces
plates (ce que nous appelons des « rues ») pour agir.
Challenge 218, page 119: La formule de l ’escalier est un résultat empirique dévoilé par l ’expé-
rience, et est utilisée par les ingénieurs du monde entier. Son origine et son explication paraissent
historiquement confuses.
Challenge 219, page 119: La nature classique, ou telle que nous la connaissons dans la vie cou-
rante, possède une symétrie droite–gauche et exige donc un nombre pair de jambes. Pour pouvoir
marcher sur des surfaces bidimensionnelles il faut naturellement au minimum quatre jambes.
Challenge 221, page 120: La durée du jour varie avec la latitude. De même que la longueur
d ’une ombre ou la hauteur des étoiles la nuit, des réalités qui sont facilement vérifiées en télé-
phonant à un ami. Les navires qui émergent de l ’ horizon font d ’abord apparaître leurs mâts. Ces
arguments, ajoutés à l ’ombre ronde de la Terre au cours d ’une éclipse de lune et à l ’observation
que, quelque soit le lieu, toutes les choses chutent vers le bas, étaient tous déjà consignés par Aris-
tote dans son œuvre Traité du ciel. Nous avons dorénavant acquis la certitude que tout le monde
au cours des 2 500 dernières années savait que la Terre est sphérique. La légende qui stipule que
de nombreux individus continuaient à croire dans une Terre plate fut diffusée dans le monde –
comme controverse rhétorique – par Copernic. Ce récit continua alors à être de plus en plus exa-
géré pendant les siècles qui suivirent, parce qu ’un nouveau procédé pour diffuser les mensonges
Page ?? venait juste d ’être inventé : l ’ imprimerie. En vérité, depuis 2 500 ans, l ’ immense majorité des
gens sait que la Terre est une sphère.
Challenge 222, page 120: Robert Peary avait oublié qu ’à la date où il prétendit se trouver au
Pôle Nord, le 6 avril 1909, le Soleil était très bas à l ’ horizon, il projetait des ombres très longues,
d ’environ dix fois la hauteur des objets. Mais sur sa photographie les ombres sont beaucoup plus
courtes. (En réalité, la photo est prise de manière à masquer toutes les ombres aussi soigneuse-
ment que possible.) De façon intéressante, il parvint même à persuader, en 1911, le congrès améri-
cain de le déclarer officiellement comme étant le premier homme à se rendre au Pôle Nord. (Un
concurrent avait proclamé l ’avoir atteint auparavant, mais sa photographie révélait la même er-
reur.) Peary frauda également sur les distances parcourues les quelques jours précédents l ’arrivée,
il négligea aussi de mentionner que durant les derniers jours il était tiré par son partenaire Mat-
thew Henson, parce qu ’ il n’était plus capable de marcher. En réalité Matthew Henson avait plus
de mérite pour cette aventure que Peary. Henson, toutefois, ne savait pas que Peary mentait sur la
position qu ’ ils avaient atteint.
Challenge 223, page 120: Oui, cet effet a été mesuré pour des gratte-ciels. Pouvez-vous en esti-
mer les grandeurs ?
Challenge 224, page 122: La pointe du vecteur vitesse, lorsque son évolution dans le temps est

dessinée, engendre un cercle autour du centre de mouvement.
Challenge ??, page ??: Dessinez une figure de cette situation.
Challenge ??, page ??: Encore une fois, dessinez une figure de cette situation.
Challenge 227, page 122: La valeur du produit GM pour la Terre est 4,0 ⋅ 1014 m3 /s2 .
Challenge 228, page 122: Tous les points peuvent être atteints pour des inclinaisons en géné-
ral, mais lorsqu ’on tire horizontalement dans une direction donnée, seuls les points situés sur la
première moitié de la circonférence peuvent être atteints.
Challenge 230, page 123: Sur la Lune, l ’accélération gravitationnelle est de 1,6 m/s2 , environ
un sixième de la valeur sur Terre. Les valeurs de l ’accélération gravitationnelle à la surface des
planètes peuvent être trouvées sur de nombreux sites Internet.
Challenge 231, page 123: La réponse est la machine d ’Atwood : deux masses pratiquement
égales m 1 et m 2 sont reliées par une ficelle enroulée autour d ’une poulie bien graissée, de masse
négligeable. La masse la plus lourde chute très lentement. Pouvez-vous montrer que l ’accélération
a de cette chute « non libre » est donnée par a = д(m 1 − m 2 )/(m 1 + m 2 ) ? Autrement dit, plus la
différence de masse est petite, plus la chute est lente.
Challenge 232, page 124: Vous devriez impérativement essayer de comprendre l ’origine de
cette expression. Elle permet d ’appréhender un grand nombre de concepts essentiels de la mé-
canique. L’ idée est que pour des petites amplitudes, l ’accélération d ’un pendule de longueur l
est causée par la gravité. Le dessin d ’un diagramme des forces agissant sur un pendule à un angle
quelconque α révèle que
ma = −m д sin α
d2 α
ml = −m д sin α
dt 2
d2 α
l 2 = −д sin α . (123)
dt
Pour les petites amplitudes dont nous avons fait allusion (en deçà de 15°), nous pouvons faire
l ’approximation
d2 α
l 2 = −дα . (124)
dt
C ’est l ’équation d ’une oscillation harmonique (c ’est-à-dire d ’une oscillation sinusoïdale). Le
mouvement qui en résulte est :
α(t) = A sin(ωt + φ) . (125)
L’amplitude A et la phase φ dépendent des conditions initiales, toutefois la fréquence d ’oscillation
est déterminée par la longueur du pendule et l ’accélération de la gravité (vérifiez-le !) :
√
ω=
l
. (126)
д
(Pour des amplitudes arbitraires, la relation est beaucoup plus complexe : consultez Internet ou
des ouvrages spécialisés de mécanique pour plus de détails.)
Challenge 233, page 124: La vitesse de la marche est proportionnelle à l/T, ce qui fait qu ’elle
est proportionnelle à l 1/2 .
Challenge 235, page 125: Cavendish suspendit une tige horizontale dotée d ’une masse à
chaque extrémité, avec un long fil métallique. Il approcha alors une grosse masse à ce pendule de
torsion, en éliminant soigneusement tous les courants d ’air, et mesura de quel angle la tige avait

tourné.
Challenge 236, page 125: L’accélération due à la gravité est a = Gm/r 2 ≈ 5 nm/s2 pour une
masse de 75 kg. Pour une mouche de masse m mouche = 0,1 g qui se pose sur une personne avec
une vitesse v mouche = 1 cm/s et qui déforme la peau (sans perte d ’énergie) de d = 0,3 mm, une
personne serait accélérée de a = (v 2 /d)(m mouche /m) = 0,4 µm/s2 . La perte d ’énergie due à la
collision inélastique réduit cette valeur au moins d ’un facteur dix.
Challenge 238, page 127: La manière la plus facile de se le représenter consiste à imaginer la
gravité comme un flux qui émane d ’une sphère. Cela donne une dépendance en 1/r d−1 pour la
force et donc une dépendance en 1/r d−2 pour le potentiel.
Challenge 240, page 129: Puisque les trajectoires de la chute libre sont des ellipses, lesquelles
sont des courbes contenues dans un plan, cela est trivial.
Challenge 242, page 131: La faible accélération gravitationnelle de la Lune, 1,6 m/s2 , implique
que des molécules de gaz aux températures courantes peuvent échapper à son attraction.
Challenge 243, page 132: Un flash lumineux est envoyé vers la Lune, où plusieurs réflecteurs
ont été installés par les missions Lunokhod et Apollo. La précision de la mesure du temps que
met un flash pour aller et revenir est suffisante pour évaluer la variation de la distance de la Lune.
Pour plus d ’ informations, allez au défi 8.
Challenge ??, page ??: Les points de Lagrange L4 et L5 sont situés sur l ’orbite, à 60° devant et
derrière le corps qui gravite. Ils sont stables si le rapport entre la masse du corps central et celui
du corps gravitant est suffisamment grand (supérieur à 24,9).
Challenge ??, page ??: Le point de Lagrange L3 est situé sur l ’orbite, mais exactement de l ’autre
côté du corps central. Le point de Lagrange L1 est placé sur la ligne qui rejoint la planète au corps
central, tandis que L2 se tient à l ’extérieur de l ’orbite, sur la même ligne. Si R est le rayon de l ’or-
m 1/3
bite, la distance entre le corps qui gravite et le point L1 ou L2 est ( 3M ) R, ce qui donne environ
4 fois la distance de la Lune pour le système Soleil–Terre. L1, L2 et L3 sont des points instables,
mais des orbites stables existent effectivement autour d ’eux. De nombreux satellites tirent profit
de ces propriétés, y compris le célèbre satellite WMAP qui a mesuré les fluctuations du Big Bang,
qui est situé au point L2.
Challenge 250, page 136: C ’est un effet de résonance, de la même manière que la petite vibra-
tion d ’une ficelle peut engendrer une grande oscillation de l ’air et faire caisse de résonance dans
une guitare.
Challenge ??, page ??: L’expression de la grandeur des marées, à savoir 2GM/d 3 , peut être réex-
primée ainsi : (8/3)πGρ(R/d)3. Maintenant, R/d est approximativement identique pour le Soleil
et pour la Lune, comme le montre chaque éclipse. Donc la densité ρ doit être beaucoup plus élevée
pour la Lune.
Challenge 252, page 138: Le moment cinétique total de la Terre et de la Lune doit demeurer
constant.
Challenge 451, page 241: Soit ils sont tombés sur des pentes inclinées de montagnes enneigées,
soit ils sont tombés dans des arbres très hauts ou d ’autres structures molles. Le record fut de plus
de 7 km de chute libre sans dommages. Une affaire récente fit la une en 2007 et est contée dans
www.bbc.co.uk/jersey/content/articles/2006/12/20/michael_holmes_fall_feature.shtml.

F I G U R E 160 La célèbre « comète des vomissements », un KC-135, qui réalise un vol parabolique. (NASA)
Challenge ??, page ??: Pour quelques milliers d ’euros, vous pouvez ressentir la gravité zéro dans
un vol parabolique, tel que celui indiqué dans la Figure 160. (De nombreuses « photographies »
de vols paraboliques glanées sur Internet sont en réalité des images virtuelles. Qu ’en est-il de
celle-ci ?)
Challenge 258, page 143: Le centre de masse d ’un balai chute en suivant l ’accélération habi-
tuelle, l ’extrémité chute donc plus rapidement.
Challenge 259, page 143: Utilisez simplement la conservation de l ’énergie pour les deux
masses, celle du sauteur et celle de la corde. Pour plus de détails, y compris la confrontation de
la théorie aux mesures expérimentales, consultez N. Dubelaar & R. Brantjes, De valvers-
nelling bij bungee-jumping, Nederlands tijdschrift voor natuurkunde 69, pp. 316–318, octobre
2003.
Challenge 260, page 143: Environ 1 tonne.
Challenge 261, page 144: Environ 5 g.
Challenge 262, page 144: Votre poids est approximativement constant, donc la Terre doit être
ronde. Sur une Terre plate, le poids varierait d ’un endroit à l ’autre, en fonction de votre distance
à la bordure.
Challenge 263, page 144: Jamais personne n’a affirmé que le centre de masse est la même chose
que le centre de gravité ! L’attraction de la Lune est négligeable à la surface de la Terre.
Challenge 265, page 144: C ’est la masse de la Terre. Retournez tout simplement la table sur sa
tête.
Challenge ??, page ??: Oui ! Considérez les formules des marées, et utilisez le fait que la Lune et
le Soleil possèdent la même taille apparente dans le ciel.
Challenge 268, page 144: La Lune sera éloignée d ’environ 1,25 fois la distance actuelle. Le So-
leil ralentira alors la fréquence de rotation du système Terre–Lune, cette fois à cause du frottement
de marée beaucoup plus faible au niveau de la déformation du Soleil. Par conséquent, la Lune re-
couvrera des distances de plus en plus petites à la Terre. Néanmoins, d ’ ici là, le Soleil sera devenu
une géante rouge, après avoir ingurgité à la fois la Terre et la Lune.
Challenge 270, page 145: √ Comme Galilée l ’a déterminé, pour une oscillation (d ’une demi-
période) le rapport est 2 /π. (Regardez le défi 232.) Mais nous ne pouvons calculer de cette
manière guère plus de deux décimales, peut-être trois, du nombre π.

F I G U R E 161 L’analemme photographié, à l’heure locale de midi, de Janvier à Décembre 2002, au
Parthénon sur l’Acropole d’Athènes. (© Anthony Ayiomamitis)
Challenge 271, page 145: La conservation de la quantité de mouvement n’est pas un obstacle,
étant donné que n’ importe quelle raquette de tennis a le même effet sur une balle de tennis.
Challenge 272, page 145: En fait, dans l ’espace des vitesses, les mouvements elliptique, parabo-
Réf. 99 lique et hyperbolique sont tous décrits par des cercles. Dans tous les cas, l ’ hodographe est un
cercle.
Challenge 273, page 145: Cette question est ancestrale (elle était déjà soulevée du temps de
Newton) et profonde. Une raison est que les astres restent séparés par la rotation autour de la
galaxie. L’autre est que les galaxies restent distantes par la quantité de mouvement qu ’elles ont
acquis lors du Big Bang. Sans ce dernier, toutes les étoiles se seraient effondrées les unes dans les
autres. En ce sens, le Big Bang peut être déduit de l ’attraction de la gravitation et du ciel immuable
la nuit. Nous apprendrons plus tard que l ’obscurité du ciel nocturne apporte une deuxième pièce
à conviction à l ’existence du Big Bang.
Challenge 274, page 145: À cause de la présence du plateau, la masse effective de la Terre est
supérieure.
Challenge 275, page 145: L’alternative est claire dès que vous remarquez qu ’ il n’y a pas de sec-
tion de l ’orbite qui soit concave en direction du Soleil. Pouvez-vous montrer cela ?
Challenge 276, page 146: Il serait alors un trou noir : aucune lumière ne peut s’en échapper.
Nous discutons en détail des trous noirs dans le chapitre sur la relativité générale.
Challenge 277, page 146: Une tige reliée à deux corps.
Challenge 280, page 146: En utilisant une hauteur maximale de saut de h = 0,5 m sur Terre
et une densité estimée pour l ’astéroïde de ρ = 3 Mg/m3 , nous obtenons un rayon maximal de
R 2 = 3дh/4πGρ ≈ 703 m.
Challenge ??, page ??: La forme d ’une analemme à l ’ heure locale de midi est montrée dans la
Figure 161. L’extension verticale de l ’analemme est due à l ’obliquité de l ’écliptique sur l ’équateur
(elle est de 23,45°), et l ’extension horizontale est due à l ’ellipticité de l ’orbite autour du Soleil.
Challenge 281, page 148: Pour chaque paire d ’éléments opposés de la coquille (dessinés en
jaune), les deux attractions se compensent.
Challenge 282, page 148: Il n’existe aucun procédé applicable. Si les masses sur la coquille pou-
vaient se déplacer le long de la surface (de la même manière que les charges peuvent se mouvoir
dans un métal) cela pourrait être possible, à condition qu ’une masse suffisante soit disponible.
Challenge 283, page 149: La capture d ’un corps fluide reste possible s’ il est étiré par des forces
de marée.
Challenge 284, page 149: Ce tunnel serait une ellipse allongée située dans le plan de l ’équateur,
s’étalant d ’un point de l ’équateur au point situé aux antipodes. Le temps nécessaire pour effec-
tuer une révolution ne changerait pas, comparé à une Terre non-rotative. Lisez A. J. Simonson,
Falling down a hole through the Earth, Mathematics Magazine 77, pp. 171–188, juin 2004.
Challenge 286, page 149: Le centre de masse du Système solaire peut être éloigné du double du
rayon du Soleil à partir de son centre, il peut donc être situé à l ’extérieur du Soleil.
Challenge 287, page 150: Primo, au cours de la période estivale nordique, la Terre se déplace

plus rapidement autour du Soleil que pendant la période hivernale nordique. Secundo, les orbites
solaires peu profondes dans le ciel donnent des jours plus longs grâce à la lumière qui provient
du Soleil lorsqu ’ il est situé sous l ’ horizon.
Challenge 288, page 150: Mis à part la visibilité de la Lune, aucun effet sur les êtres humains
n’a jamais été décelé. Les effets gravitationnels – y compris les forces de marée – les effets élec-
triques, magnétiques et les variations dans le rayonnement cosmique sont tous largement noyés
par d ’autres effets. En réalité, la gravité exercée par les camions qui circulent, les champs électro-
magnétiques des usines, les intempéries et les variations du cycle solaire ont des répercussions
plus profondes que la Lune sur les êtres humains. L’ajustement du cycle menstruel avec la phase
lunaire est un pur effet de l ’ imagination.
Challenge 289, page 150: Il était ardu de mesurer les distances. Nous observons sans problème
qu ’une planète se trouve devant le Soleil, mais il est difficile de vérifier si une planète est située
derrière le Soleil.
Challenge 290, page 150: Consultez la référence mentionnée.
Challenge 291, page 150: C ’est vrai.
Challenge 295, page 151: Jamais. La Lune montre toujours la même face à la Terre. La Terre
change légèrement de position, à cause de l ’ellipticité de l ’orbite de la Lune. Évidemment, la Terre
exhibe des phases.
Challenge ??, page ??: Oui nous le pourrions, et cela a été maintes et maintes fois imaginé, à
commencer par Jules Verne. La vitesse nécessaire dépend de la direction du tir par rapport à la
rotation de la Terre.
Challenge 297, page 151: Ce qui compte c ’est la verticalité locale. Par rapport à celle-ci, la ri-
vière s’écoule toujours en descendant.
Challenge 298, page 151: Il n’existe pas de tels corps, comme le démontrera le chapitre sur la
Challenge 300, page 154: Cette oscillation est une oscillation purement harmonique ou sinu-
soïdale, puisque la force de rappel augmente linéairement
√ avec la distance au centre de la Terre.
La période T pour une Terre homogène est T = 2π R 3 /GM = 84 min.
Challenge 301, page 154: La période est la même pour tous les tunnels de ce type et donc, en
particulier, elle est identique car la période de 84 min est valide également pour le tunnel allant
d ’un pôle à l ’autre. Lisez par exemple, R. H. Romer, The answer is forty-two – many mechanics
problems, only one answer, Physics Teacher 41, pp. 286–290, Mai 2003.
Challenge 302, page 154: Il n’y a pas de réponse simple : la vitesse dépend de la latitude et
d ’autres paramètres.
Challenge ??, page ??: La force centrifuge doit être égale à la force gravitationnelle. Notons d
la densité linéaire constante et l la longueur inconnue. Nous avons alors GMd ∫R dr/r 2 =
R+l
ω 2 d ∫R r dr. Cela donne GMd l/(R 2 + Rl) = (2Rl + l 2 )ω 2 d/2, entraînant l = 0,14 Gm.
R+l
Challenge ??, page ??: Les anneaux intérieurs doivent tourner plus vite que les anneaux exté-
rieurs. Si ceux-ci étaient solides, ils se déchireraient. Mais ce raisonnement est correct uniquement
si les anneaux sont situés en deçà d ’une certaine limite, que nous appelons la limite de Roche. La
limite de Roche représente le rayon pour lequel la force gravitationnelle Fg contrebalance la force
de marée Fm à la surface du satellite. Pour un satellite de masse m et de rayon r, gravitant autour
d ’une masse centrale M à une distance d, étudions les forces qui agissent sur une petite masse µ
située sur sa surface. Nous obtenons la condition Gmµ/r 2 = 2GM µr/d 3 . Avec un peu de calcul
algébrique, nous obtenons la limite de Roche

d Roche = R(2
ρ M 1/3
) . (127)
ρm
En dessous de cette distance à une masse centrale M, les satellites fluides ne peuvent subsister. Le
calcul exposé ici n’est qu ’une approximation, la véritable limite de Roche est égale à environ deux
fois cette valeur.
Challenge 304, page 157: En réalité les muscles maintiennent un objet au-dessus du sol en le
soulevant et en le relâchant continuellement : cela requiert de l ’énergie et du travail.
Challenge 305, page 157: La consommation électrique d ’un escalier roulant qui monte s’ac-
croît en vérité lorsque la personne située dessus marche vers le haut. Mais de combien ?
Challenge 306, page 157: La connaissance c ’est le pouvoir, donc la puissance. Le temps c ’est de
l ’argent. Maintenant, la puissance est définie comme étant le travail effectué par unité de temps.
En insérant les équations précédentes et en effectuant la transformation appropriée nous obtenons
argent =
travail
, (128)
connaissance
ce qui démontre que moins vous savez, plus vous gagnez de l ’argent. Cela explique pourquoi les
scientifiques ont des salaires bas.
Challenge 309, page 158: L’absence de frottement statique empêcherait le fait que le fluide en-
vironnant s’accroche au corps, ce que nous dénommons la couche limite n’existerait plus. Les
ailes n’auraient alors plus aucun effet.
Challenge 310, page 161: Vrai ?
Challenge 314, page 161: En partant de dv/dt = д − v 2 (1/2cw Aρ/m) et en utilisant la nota-
tion c = 1/2cw Aρ, nous pouvons résoudre l ’équation pour v(t) en plaçant tous les termes qui
contiennent la variable v d ’un côté, tous
√ les termes√ en t de l ’autre, et en intégrant des deux côtés
de l ’équation. Nous obtenons v(t) = дm/c tanh c д/m t.
Challenge 316, page 163: L’espace des phases possède 3N coordonnées de position et 3N coor-
données de quantité de mouvement.
Page ?? Challenge 317, page 163: Le moulin à lumière en représente un exemple.
Challenge 318, page 163: La charge électrique.
Challenge 319, page 164: Si vous avez trouvé des raisons pour répondre par l ’affirmative,
quelque chose vous a échappé. Approfondissez vos arguments et vérifiez si les concepts que vous
utilisez s’appliquent à l ’ Univers. Définissez soigneusement, également, ce que vous entendez par
« Univers ».
Challenge 321, page 165: L’existence d ’un système qui exhibe un mouvement d ’énergie ou de
matière plus rapide que la lumière entraînerait que, pour de tels systèmes, il existe des observa-
teurs pour lesquels l ’ordre entre la cause et l ’effet est inversé. Un diagramme d ’espace-temps (et
un peu d ’exercice tiré de la section sur la relativité restreinte) montre cela.
Challenge 322, page 166: Si la reproductibilité n’existait pas, nous aurions des difficultés à véri-
fier les observations. La lecture d ’une horloge est également une observation. La correspondance
entre la reproductibilité et le temps deviendra cruciale dans la dernière partie de notre aventure.

F I G U R E 162 Le mécanisme situé à l’intérieur du chariot qui indique le sud.
Challenge 323, page 167: Même si les surprises étaient rares, chacune d ’elle ferait qu ’ il est im-
possible de définir le temps juste avant et juste après elle.
Challenge 326, page 167: Bien sûr, les lois morales sont des condensés de ce que les autres
pensent ou feront à propos des agissements personnels.
Challenge 327, page 168: L’espace-temps est défini en faisant appel à la matière, la matière est
définie en faisant usage de l ’espace-temps.
Challenge 328, page 168: En réalité la physique a été fondée sur une définition récursive pen-
dant des centaines d ’années. Il est donc possible malgré tout de bâtir une science exacte sur des
fondements instables. Néanmoins, l ’élimination de cette boucle est un objectif important.
Challenge 568, page 330: Par exemple, la vitesse à l ’ intérieur des matériaux est diminuée, mais
entre les atomes, la lumière voyage toujours à la vitesse qu ’elle a dans le vide.
Challenge 331, page 170: La Figure 162 révèle la reconstitution la plus vraisemblable d ’un cha-
riot qui pointe vers le sud.
Challenge 332, page 171: L’eau se redresse le long des côtés de l ’ œuf en rotation. La manière
la plus rapide de vider une bouteille d ’eau consiste à mettre l ’eau en rotation tout en la déversant.
Challenge 333, page 171: La bonne réponse est celle où la cheminée tombe comme un V, et non
pas comme un V inversé. Regardez le défi 258 sur les balais qui chutent en guise d ’ inspiration sur
la manière de déduire la solution. Il s’avère que la cheminée se brise (si elle n’est pas scellée à sa
base) à une hauteur comprise dans la moitié ou les deux tiers de la hauteur totale, en fonction de
l ’angle auquel cette chute se produit. Pour une solution exhaustive à ce problème, lisez l ’excellent
article de G. Vareschi & K. Kamiya, Toy models for the falling chimney, American Journal
of Physics 71, pp. 1025–1031, 2003.
Challenge 341, page 180: En une dimension, l ’expression F = ma peut être réécrite −dV/dx =
md2 x/dt 2 . Et cela peut se réexprimer ainsi d(−V)/dx − d/dt[d/dẋ( 21 m ẋ 2 )] = 0. Nous pouvons
extrapoler ce résultat en ∂/∂x( 21 m ẋ 2 − V (x)) − d/[∂/∂ ẋ( 21 m ẋ 2 − V (x))] = 0, ce qui représente
l ’équation de Lagrange appliquée à cette situation.
Challenge 343, page 181: Ne vous affligez pas. Jusqu ’à présent, personne n’a été capable d ’ ima-
giner un univers (ce qui n’est pas nécessairement la même chose qu ’un « monde ») différent de
celui que nous connaissons. Jusque là, ces tentatives ont toujours abouti à des incohérences lo-
giques.
Challenge 345, page 182: Les deux sont équivalents puisque les équations du mouvement dé-
coulent du principe de moindre action et, parallèlement, le principe de moindre action dérive des
équations du mouvement.

Challenge 347, page 183: Pour la gravitation, les trois phénomènes existent : rotation dans les
galaxies, pression dans les planètes et pression de dégénérescence de Pauli dans les astres. Contrai-
rement à l ’ interaction forte, le principe de Pauli agit dans les noyaux et dans les étoiles à neutron.
Dans ces dernières il est probable que la rotation et la pression complètent également la pression
de Pauli. Mais pour l ’ interaction électromagnétique il n’y a pas de composés autres que notre
matière de la vie courante, laquelle est organisée uniquement par le principe de Pauli.
Challenge 349, page 186: Le moment cinétique est la variation par rapport à l ’angle, tandis que
l ’énergie cinétique de rotation est, une nouvelle fois, la variation par rapport au temps, comme
toute forme d ’énergie.
Challenge 350, page 186: Pas de cette manière. Un minuscule changement peut avoir un effet
gigantesque, comme l ’ indique chaque interrupteur. Mais un minuscule changement dans le cer-
veau peut être transmis vers l ’extérieur, et cela se produira approximativement avec une dépen-
dance en 1/r 2 . Cela rend les effets si imperceptibles, que même avec les interrupteurs les plus
sensibles – lesquels de toute façon n’existent pas pour la pensée – aucun effet ne peut être accom-
pli.
Challenge 354, page 188: La relation est
=
c 1 sin α 1
. (129)
c2 α2
Le rapport spécifique des vitesses entre l ’air (ou le vide, ce qui est à peu près la même chose) et
un matériau donne l ’ indice de réfraction n :
n=
c 1 sin α 1
= . (130)
c0 α0
Challenge 355, page 188: Les gaz sont essentiellement constitués de vide. Leur indice de réfrac-
tion est proche de un.
Challenge 356, page 188: Les diamants étincellent aussi parce qu ’ ils agissent comme les
prismes : des couleurs différentes possèdent des indices de réfraction distincts. Donc leur éclat
est également dû à leur dispersion, par conséquent il est un mélange de toutes les couleurs de
l ’arc-en-ciel.
Challenge 357, page 188: Le principe sous-jacent à la croissance des arbres est simplement ce-
lui du minimum de l ’énergie potentielle, puisque l ’énergie cinétique est négligeable. La croissance
des vaisseaux sanguins dans le corps des animaux est minimisé pour l ’énergie de transport : c ’est
encore une fois un principe minimal. La réfraction de la lumière est la trajectoire du temps le plus
court, donc elle minimise aussi le changement, si nous nous représentons la lumière comme des
entités mobiles qui se meuvent, sans que l ’on fasse appel à l ’énergie potentielle.
Challenge 358, page 188: La relativité restreinte requiert l ’existence d ’une mesure invariante
de l ’action. Elle est présentée plus loin dans cette excursion.
Challenge 359, page 188: L’ Univers n’est pas un système physique. Nous disserterons en détail
Page ?? de ce problème plus tard.
Challenge ??, page ??: Utilisez soit la substitution u = tan t/2 ou employez l ’astuce historique
suivante sec φ = 21 ( 1+sin
cos φ
φ
cos φ
+ 1+sin φ
).
Challenge 360, page 189: Nous parlons à une personne parce que nous savons que quelqu ’un
peut nous comprendre. Donc nous supposons d ’une certaine manière qu ’elle perçoit les mêmes
choses que nous. Cela signifie que l ’observation est partiellement indépendante du point de vue.
Donc la nature est symétrique.
Challenge 361, page 190: La mémoire fonctionne parce que nous savons reconnaître des situa-

tions. Cela est possible car des situations demeurent identiques au cours du temps. La mémoire
n’aurait jamais évolué sans cette reproductibilité.
Challenge 362, page 191: Les différences de goût ne sont pas fondamentales, mais dues à des
points de vue différents et – principalement – aux expériences disparates des observateurs. La
même chose reste valable pour les sentiments et les jugements, comme le confirmera n’ importe
quel psychologue.
Challenge 363, page 193: Les nombres entiers sous l ’addition forment un groupe. L’ensemble
des couleurs de peinture sur la palette d ’un peintre, doté de l ’opération de mélange, forme-t-il
un groupe ?
Challenge 364, page 193: Il n’y a qu ’une seule opération de symétrie : une rotation de π en-
viron autour du point central. C ’est la raison pour laquelle on appellera plus tard le groupe D4
groupe de symétrie approximatif.
Challenge 370, page 197: Un scalaire représente la grandeur de tout vecteur, donc la grandeur
du vecteur-vitesse, définie comme étant v = ∣v∣, est un scalaire, alors que le vecteur vitesse v
ne l ’est pas. Ainsi la longueur d ’un vecteur (ou pseudo-vecteur) quelconque, tel que la force,
l ’accélération, le champ magnétique ou le champ électrique, est un scalaire, tandis que le vecteur
lui-même n’est pas un scalaire.
Challenge 373, page 198: La distribution de charge d ’un corps étendu peut être vue comme la
somme d ’une charge, d ’une charge dipolaire, d ’une charge quadrupolaire, d ’une charge octupo-
laire, etc. Le quadrupôle est décrit par un tenseur.
Faites le rapprochement : l ’ inertie, qui s’oppose au mouvement, d ’un corps étendu peut être
vue comme la somme d ’une masse, d ’une masse dipolaire, d ’une masse quadrupolaire, d ’une
masse octupolaire, etc. La masse quadrupolaire est décrite par le moment d ’ inertie.
Challenge 377, page 201: La charge conservée pour l ’ invariance par rotation est le moment
cinétique.
Challenge 380, page 205: Une oscillation possède une période dans le temps, c ’est-à-dire une
symétrie de translation discrète du temps. Une onde possède à la fois une symétrie de translation
discrète du temps et de translation discrète de l ’espace.
Challenge 381, page 205: Le renversement du mouvement est une symétrie pour tout système
fermé. En dépit des observations de la vie courante, des formulations de la thermodynamique et
de la conviction de plusieurs physiciens célèbres (qui forment cependant une minorité), tous les
systèmes idéalement fermés sont réversibles.
Challenge 390, page 211: L’énergie potentielle provient de la « courbure » du milieu : un simple
déplacement ne produit aucune courbure et donc ne contient pas d ’énergie. Seul le gradient ren-
ferme la notion de courbure.
Challenge 392, page 211: La phase change de π.
Challenge 394, page 212: Les ondes peuvent être amorties jusqu ’à des intensités extrêmement
faibles. Si cela n’est pas possible, alors l ’objet de l ’observation n’est pas une onde.
Challenge 395, page 213: La manière d ’observer la diffraction et l ’ interférence avec vos mains
nues est explicitée à la page ??.
Challenge 401, page 220: Si la distance à l ’amplificateur est de quelques mètres, et la distance
à l ’orchestre de 20 m, comme pour ceux qui peuvent se le permettre, l ’auditeur situé chez lui
l ’entend le premier.
Challenge 403, page 220: Une ellipse (comme pour les planètes autour du Soleil) avec le point
d ’attache pour centre (contrairement aux planètes, où le Soleil est situé à l ’un des foyers de l ’el-
lipse).

Challenge 406, page 221: La détonation du tonnerre ou le brouhaha de la circulation automo-
bile voit sa fréquence se réduire de plus en plus avec l ’augmentation de la distance.
Challenge 408, page 221: Ni l ’une ni l ’autre, ces deux possibilités vont à l ’encontre des proprié-
tés de l ’eau : dans les vagues de surface, les molécules d ’eau se déplacent en cercles.
Challenge 409, page 222: Les nageurs sont capables de parcourir une distance de 100 m en 48 s,
soit légèrement mieux que 2 m/s. Avec une longueur corporelle d ’environ 1,9 m, la vitesse cri-
tique est 1,7 m/s. Cela explique pourquoi pour une courte distance de natation, l ’entraînement
est important. Pour des distances plus longues la technique joue un rôle prépondérant, car la vi-
tesse critique n’a pas encore été atteinte. Cette formule prédit également que sur une distance
de 1 500 m, un nageur de 2 m de hauteur possède un avantage potentiel de plus de 45 s sur un
autre d ’une hauteur corporelle de 1,8 m. De surcroît, les nageurs plus hauts possèdent un privi-
lège supplémentaire : ils nagent sur des distances plus courtes (pourquoi ?). On prévoit donc que
les champions de la nage de longue distance deviendront de plus en plus grands au cours du temps.
C ’est déplorable pour un sport qui a pu jusqu ’à présent se vanter d ’avoir eu des champions de
toutes les tailles et carrures corporelles, contrairement à de nombreux autres sports.
Challenge 411, page 223: Pour atténuer les réflexions sonores et donc les effets de résonance.
Ils diffusent efficacement les fronts d ’ondes qui s’approchent.
Challenge 413, page 223: Les vagues dans une rivière ne sont jamais elliptiques, elles restent
circulaires.
Challenge 414, page 223: La lentille est un coussin de matériau qui est « transparent » au son. La
vitesse du son est plus rapide dans ce coussin que dans l ’air, contrairement à une lentille optique,
où la vitesse de la lumière est inférieure dans le verre. La forme est donc différente : le coussin
doit ressembler à une lentille biconcave.
Challenge 416, page 223: Le Soleil se trouve toujours à une position différente de celle où nous
le voyons. Quel en est l ’écart, mesuré en diamètres angulaires du Soleil ?
Challenge 417, page 223: Le cube 3 × 3 × 3 possède un système rigide de trois axes perpendicu-
laires, sur lequel un carré peut tourner sur chacune des 6 extrémités. Les autres carrés sont fixés
à des pièces se déplaçant autour de ces axes. Le cube 4 × 4 × 4 est différent cependant, vérifiez-le.
Jusqu ’ ici, la limite sur le nombre de segments semble être de 6. Un cube 7 × 7 × 7 nécessite des
segments de forme variable. Mais nous ne trouvons pas dans les magasins de cubes supérieurs à
5 × 5 × 5. En contrepartie, le site Web www.oinkleburger.com/Cube/applet permet de jouer avec
des cubes virtuels pouvant aller jusqu ’à 100 × 100 × 100 voire plus.
Challenge 419, page 224: Un tour d ’ horizon des systèmes en cours de test en ce moment peut
être lu dans K. -U. Graw, Energiereservoir Ozean, Physik in unserer Zeit 33, pp. 82–88, février
2002. Lisez aussi Oceans of electricity – new technologies convert the motion of waves into watts,
Science News 159, pp. 234–236, avril 2001.
Challenge 420, page 225: Dans la vie quotidienne, cette supposition est généralement justifiée,
puisque chaque point peut être approximativement représenté par un atome, et les atomes peuvent
être pistés. Cette hypothèse est discutable dans les situations telle que la turbulence, où tous les
points ne peuvent être assimilés à des atomes, et par dessus tout, dans le cas du mouvement du
vide lui-même. Autrement dit, pour les ondes gravitationnelles, et en particulier pour la théorie
quantique des ondes gravitationnelles, cette supposition n’est pas justifiée.
Challenge 422, page 227: Il y en a plein. L’une d ’elles serait que la transmission et donc le co-
efficient de réflexion pour des ondes serait à peu près indépendant de la longueur d ’onde.
Challenge 423, page 228: Une goutte d ’un diamètre de 3 mm recouvrirait une surface de 7,1 m2
d ’un film de 2 nm.
Challenge 426, page 231: La hauteur critique d ’une colonne de matière est donnée par h crit 4
=
m ρ 2 , où β ≈ 1, 9 est la constante déterminée par le calcul lorsqu ’une colonne cède sous son

β E
4π д
propre poids.
Challenge 429, page 233: Une possibilité consiste à décrire les particules que nous voyons
comme des objets étendus, donc comme des nuages. Une autre en est donnée dans la dernière
partie de ce texte.
Challenge 431, page √ 237: Cette constante k découle de la conservation de l ’énergie et de celle
de la masse : k = 2/(ρ(A21 /A22 − 1)) . Les sections efficaces sont notées A, l ’ indice 1 se réfère à
n’ importe quel point éloigné du rétrécissement, et l ’ indice 2 au rétrécissement.
Challenge ??, page ??: Des personnes constatent que dans certaines situations le frottement est
trop important, et commencent à aspirer par une extrémité du tube pour faire en sorte que l ’écou-
lement s’ initie, ce faisant elles peuvent inhaler ou avaler de l ’essence, ce qui est toxique.
Challenge 433, page 238: Jeter la pierre fait baisser le niveau, jeter l ’eau ou le morceau de bois
le laisse inchangé.
Challenge 434, page 238: Le navire s’élève plus haut vers le ciel. (Pourquoi ?)
Challenge 467, page 244: Aucun fil métallique ne permet de construire un câble aussi long.
Seule l ’ idée des nanotubes de carbone a fait ressurgir cet espoir, certains rêvent de voir un ma-
tériau de câble fondé sur eux, plus solide que n’ importe quel matériau connu jusqu ’à présent.
Néanmoins, on ne connaît pas encore de matériau ayant cette propriété. Ce système s’expose à de
nombreux dangers, tels que les défauts de fabrication, les éclairs, les tempêtes, les météorites et les
débris spatiaux. Ils conduiraient tous à la rupture des câbles – si de tels câbles pouvaient exister.
Mais le risque le plus important serait le manque de financement pour les construire.
Challenge 438, page 238: La pompe fonctionne en succion, mais la pression de l ’air autorise
une différence de hauteur de 10 m seulement pour de tels systèmes.
Challenge 439, page 238: Cet argument est compréhensible uniquement lorsque nous nous rap-
pelons que « le double de la quantité » signifie « deux fois plus de molécules ».
Challenge 440, page 239: L’alcool est congelé et le chocolat est placé autour de lui.
Challenge 441, page 239: L’auteur avait suggéré dans une édition plus ancienne qu ’une ma-
chine pourrait être fondée sur des dispositifs tels que ceux qui lancent les pigeons d ’argile utilisés
dans les disciplines sportives de tir et de ball trap. Depuis, Lydéric Bocquet et Christophe Clanet
ont construit une telle machine, mais en utilisant une conception différente, un schéma peut être
consulté sur le site Web lpmcn.univ-lyon1.fr/%7Elbocquet.
Challenge 442, page 239: La troisième composante de l ’ air est l ’ argon, un gaz noble, qui en
constitue environ 1 %. Le reste est composé de dioxyde de carbone, de vapeur d ’eau et d ’autres
gaz. Ces pourcentages sont-ils des pourcentages en volume ou en poids ?
Challenge ??, page ??: La plèvre située entre les poumons et le thorax est constamment en des-
sous de la pression atmosphérique. Un trou dans celle-ci, formé par exemple par une balle de fusil,
une épée ou lors d ’un accident, conduit à un affaissement des poumons – ce que l ’on dénomme le
pneumothorax – et provoque souvent la mort. Des opérations à poitrine ouverte sur des patients
sont devenues possibles, seulement depuis que le chirurgien Ferdinand Sauerbruch comprit en
1904 comment faire face à ce problème. De nos jours, les chirurgiens maintiennent les poumons
sous une pression inférieure à la pression atmosphérique jusqu ’à ce que tout soit refermé.
Challenge 443, page 240: Elle tire profit de la pression d ’air engendrée par l ’eau qui s’écoule
vers le bas.
Challenge 444, page 240: Oui. L’ampoule ne résistera pas à deux véhicules identiques, cepen-
dant.
Challenge ??, page ??: Le radon est environ 8 fois plus lourd que l ’air, c ’est le gaz le plus dense

qui soit connu. En comparaison, Ni(CO) est 6 fois plus lourd que l ’air, SiCl4 4 fois. La vapeur
de mercure (qui est évidemment aussi un gaz) est 7 fois plus lourde que l ’air. En comparaison, la
vapeur de brome est 5,5 fois plus lourde que l ’air.
Challenge 447, page 240: Aucune.
Challenge 448, page 240: Il passa les cordes dans la cabine en les faisant traverser du mercure
liquide.
Challenge 449, page 240: La pression détruit les poumons.
Challenge ??, page ??: Il n’existe aucune solution officielle concernant ces questions. Contrôlez
simplement vos hypothèses et vos calculs, soigneusement. Internet regorge d ’estimations de ce
type.
Challenge 452, page 241: La pression sanguine dans les pieds d ’un homme debout est d ’envi-
ron 27 kPa, le double de la pression au niveau du cœur.
Challenge 453, page 241: Le calcul donne N = J/ j = 0,0001 m3 /s/(7 µm2 0,0005 m/s), ou envi-
ron 6 ⋅ 109 . En réalité, ce nombre est beaucoup plus important, puisque la plupart des capillaires
sont fermés à un instant donné. Le rougissement du visage montre ce qui se passe lorsque tous
les petits vaisseaux sanguins sont ouverts en même temps.
Challenge 454, page 241: Le savon s’écoule vers le bas de la bulle, la rendant plus épaisse à sa
base et plus fine à son sommet, jusqu ’à ce qu ’elle éclate.
Challenge 469, page 244: Un tremblement de terre d ’amplitude moyenne serait engendré.
Challenge 470, page 245: Une stalactite contient un mince canal le long de son axe, à travers
duquel l ’eau s’écoule, tandis qu ’une stalagmite est entièrement pleine.
Challenge 471, page 245: Environ une partie pour mille.
Challenge 456, page 241: Pour que ceci puisse se produire, il faudrait que le frottement puisse
exister à l ’échelle microscopique et que l ’énergie puisse disparaître.
Challenge 457, page 241: L’entonnoir le plus long se vide avant celui qui est plus court. (Si vous
ne croyez pas en cela, essayez-le.) Dans le cas où la quantité d ’eau qui se trouve dans le tube de
l ’entonnoir peut être négligée, nous pouvons utiliser la conservation de l ’énergie pour le mouve-
ment fluide. Cela fait apparaître la célèbre équation de Bernoulli p/ρ + дh + v 2 /2 = const, où p
représente la pression, ρ la densité de l ’eau et д vaut 9,81 m/s2 . Par conséquent, la vitesse v est
supérieure pour des longueurs h plus grandes du tube de l ’entonnoir : l ’entonnoir le plus long se
vide le premier.
Mais cela est étonnant : la formule donne une simple relation de chute libre, puisque la pression
de l ’ air est la même au-dessus et en dessous et s’annule dans le calcul. L’expression de la vitesse
est donc indépendante du fait qu ’un tube soit présent ou non. La véritable explication pour le
vidage plus prompt de ce tube est donc que sa présence oblige qu ’ il y ait plus d ’eau qui s’écoule
qu ’en son absence. Sans tube, le diamètre de l ’écoulement d ’eau diminue pendant la chute. Avec
un tube, il demeure constant. Cette différence conduit à une évacuation plus rapide.
D’autre part, vous pouvez porter votre attention sur la valeur de la pression de l ’ eau à l ’ in-
térieur de l ’entonnoir. Vous découvrirez que la pression de l ’eau est inférieure au début du tube
d ’évacuation. Cette pression interne de l ’eau est plus basse pour des tubes plus longs et aspire
l ’eau plus rapidement dans ces situations.
Challenge 458, page 242: Les yeux des poissons sont positionnés de telle manière que la dimi-
nution de pression due à l ’écoulement soit compensée par l ’augmentation de pression de leur
emplacement. Par ailleurs, le cœur est positionné de telle manière qu ’ il profite de la pression
moindre.
Challenge 460, page 242: Le verre se fracasse, le verre est élastique, le verre témoigne de la pré-
sence d ’ondes sonores transversales, le verre ne s’écoule pas (contrairement à ce que de nombreux

ouvrages profèrent), pas même à l ’échelle séculaire, les molécules du verre sont figées dans l ’es-
pace, le verre est cristallin aux distances faibles, une vitre en verre soutenue à ses extrémités ne se
courbe pas en son milieu.
Challenge 461, page 242: Cette prouesse a été accomplie pour des montagnes plus petites, tel
que le Mont Blanc dans les Alpes. Aujourd ’ hui toutefois, il n’existe aucune manière de planer en
toute sécurité aux altitudes culminantes des montagnes de l ’ Himalaya.
Challenge 463, page 242: Pressez le mouchoir dans le fond du verre, et abaissez celui-ci dans
l ’eau en présentant d ’abord son ouverture, tout en maintenant cette ouverture horizontale. Cette
méthode est également employée pour faire descendre des individus sous la mer.
Challenge ??, page ??: Si vous soufflez dans une bouteille contenant une balle en papier, celle-ci
volera vers vous. Le fait de souffler dans un entonnoir laissera irrémédiablement la balle de ping-
pong à sa place, et plus vous soufflez fort plus elle se maintient. Le fait de souffler à travers un
entonnoir en direction d ’une chandelle fera incliner sa flamme dans votre direction.
Challenge 472, page 245: Bien que le noyau en fer de la Terre se soit formé de la manière décrite,
en collectant le fer issu des astéroïdes qui se sont écrasés puis qui ont sombré vers le centre de la
Terre, ce processus ne fonctionnera pas aujourd ’ hui : dans sa jeunesse, la Terre était beaucoup
plus liquide que de nos jours. Il est fort probable que le fer ne coulera pas. De plus, nous ne
connaissons aucun procédé permettant de concevoir la sonde de mesure qui pourrait envoyer
des ondes sonores assez puissantes pour cette entreprise. La résistance due à la température est
également un problème, mais il pourrait être levé.
Challenge 474, page 247: Les atomes ne sont pas infiniment durs, comme le montre la théorie
Page ?? quantique. Ils sont davantage assimilables à des nuages déformables.
Challenge 476, page 253: Dans 5 milliards d ’années, la situation actuelle cessera, et le Soleil
deviendra une géante rouge. Mais après cela, il continuera de brûler pendant une période encore
plus longue.
Challenge 480, page 257: Nous découvrirons plus tard que l ’ Univers n’est pas un système phy-
Page ?? sique, donc le concept d ’entropie ne peut s’y appliquer. Ainsi l ’ Univers n’est ni isolé ni fermé.
Challenge 483, page 258: La réponse dépend de la taille des ballons, puisque la pression n’est
pas une fonction monotone de la taille. Si le ballon le plus petit n’est pas trop petit, celui-ci gagne.
Challenge 485, page 259: Mesurez l ’aire de contact entre les pneus et la route (pour tous les
quatre) et multipliez alors par 200 kPa, la pression habituelle d ’un pneu. Vous obtenez le poids
du véhicule.
Challenge 489, page 261: Si la moyenne du carré du déplacement est proportionnelle au temps,
la matière est constituée de particules élémentaires. Ceci fut confirmé par les expériences de Jean
Perrin. L’étape suivante consiste à déduire le nombre de ces particules à partir de la constante de
proportionnalité. Cette constante, définie par ⟨d 2 ⟩ = 4Dt, est appelée la constante de diffusion
(le facteur 4 est valide pour un mouvement aléatoire en deux dimensions). Cette constante de
diffusion peut être déterminée en observant le mouvement d ’une particule au microscope.
Étudions une particule brownienne de rayon a. En deux dimensions, son déplacement au carré
est donné par
4kT
⟨d 2 ⟩ t, (131)
µ
où k représente la constante de Boltzmann et T la température. Cette relation se retrouve en

analysant le mouvement d ’une particule ayant une force de traînée −µv et qui est soumise à des
collisions aléatoires. Le coefficient de traînée linéaire µ d ’une sphère de rayon a est donné par
µ = 6πηa . (132)

Autrement dit, nous avons
6πηa ⟨d 2 ⟩
k= . (133)
4T t
Toutes les quantités situées à droite peuvent être mesurées, permettant ainsi de déterminer la
constante de Boltzmann k. Puisque la relation du gaz parfait montre que la constante du gaz
parfait R est reliée à la constante de Boltzmann par R = N A k, le nombre d ’Avogadro N A , qui
donne le nombre de molécules dans une mole, est également déterminé de cette manière.
Challenge 496, page 268: Oui, cet effet est facilement perceptible.
Challenge 498, page 269: L’air chaud est moins dense et cherche donc à s’élever.
Challenge 499, page 269: Gardez le papier toujours humide.
Challenge 501, page 269: L’air doit être déshumidifié.
Challenge 502, page 269: De manière générale, il est impossible de dessiner une droite passant
par trois points. Puisque le zéro absolu et le point triple de l ’eau ont leurs grandeurs fixées, on
peut parier qu ’à coup sûr le point d ’ébullition ne vaudra pas précisément 100°C.
Challenge 503, page 269: Non, car une molécule d ’eau est plus lourde que cette marge. Cepen-
dant, si l ’on considère de l ’eau contenant des impuretés, c ’est possible. Qu ’advient-il si le quan-
tum d ’action est pris en considération ?
Challenge 504, page 270: Le danger ne provient pas de la quantité d ’énergie, mais est dû à la
durée à laquelle elle devient disponible.
Challenge 505, page 270: Il y a plein de solutions sur Internet.
Challenge 507, page 271: Uniquement si c ’est un système isolé. L’ Univers est-il un système
fermé ? Est-ce un système ? Nous discuterons de cela dans l ’ultime partie de l ’ascension mon-
tagneuse.
Challenge 510, page 271: Pour des animaux si petits la température corporelle deviendrait trop
faible. Ils ne pourraient pas s’alimenter suffisamment rapidement pour obtenir l ’énergie néces-
saire afin de se réchauffer.
Challenge 519, page 272: Elle est d ’environ 10−9 fois celle de la Terre.
Challenge 521, page 273: L’épaisseur des sillons dans le cerveau, les bulles dans les poumons,
la densité des vaisseaux sanguins et la taille des cellules biologiques.
Challenge 522, page 273: La vapeur de mercure qui surplombe le liquide devient saturée.
Challenge 523, page 273: Un projet dédié de la NASA a étudié cette question. La Figure 163
donne un exemple de comparaison. Vous pouvez trouver plus de détails sur leur site Web.
Challenge 524, page 273: Les dangers sont dus aux orages et les risques financiers sont trop
importants.
Challenge 525, page 274: Le tourbillon à l ’ intérieur du tube est froid près de son axe et chaud
dans les régions éloignées de l ’axe. Par le truchement de la membrane située au milieu du tube
(indiquée dans la Figure 139 à la page 273) l ’air issu de la région proche de l ’axe est envoyé à
une extrémité et l ’air provenant de la région extérieure, à l ’autre extrémité. Le réchauffement de
la zone extérieure provient du travail que l ’air qui tourne à l ’ intérieur a dû effectuer sur l ’air
extérieur pour obtenir une rotation qui consomme du moment cinétique. Pour une explication

F I G U R E 163 Une bougie sur Terre et une en microgravité. (NASA)
détaillée, compulsez le magnifique livre de Mark P. Silverman, And Yet it Moves : Strange
Systems and Subtle Questions in Physics, Cambridge University Press, 1993, p. 221.
Challenge 526, page 274: Le blanc d ’ œuf durcit à 70°C, le jaune d ’ œuf de 65 à 68°C. Cuisinez
un œuf à cette dernière température, et l ’exploit devient possible.
Challenge ??, page ??: Dans le cas de l ’eau, après avoir effectué plusieurs tours, l ’encre est mé-
langée, et le fait de tourner en sens inverse accroît le mélange. Dans le cas de la glycérine, le fait
d ’effectuer quelques tours semble mélanger l ’encre, et le fait de tourner en sens inverse annule ce
mélange.
Challenge ??, page ??: Les températures négatives représentent un artifice conceptuel définis-
sable uniquement pour les systèmes ayant quelques états discrets. Ce ne sont pas de véritables
températures, parce qu ’elles ne décrivent pas des états d ’équilibre, et en réalité ne s’appliquent
jamais aux systèmes constitués d ’un continuum d ’états.
Challenge 530, page 275: Cela est également vrai pour la forme des corps humains, le contrôle
par le cerveau du mouvement de l ’ homme, la croissance des fleurs, les vagues de la mer, la for-
mation des nuages, les processus sous-jacents aux éruptions volcaniques, etc.
Challenge 535, page 280: Il y a beaucoup plus de papillons que de tornades. De surcroît, la
croyance dans l ’effet papillon masque totalement un aspect de la nature qui est essentiel pour
l ’auto-organisation : le frottement et la dissipation. L’effet papillon, en faisant la supposition qu ’ il
puisse exister, exige que la dissipation soit négligée. Il n’existe aucun fondement expérimental
pour cet effet, puisqu ’ il n’a jamais été observé.
Challenge 545, page 286: Ces trois déclarations sont toutes des balivernes. Un coefficient de
traînée implique que la surface d ’exposition de la voiture soit connue avec la même précision.
C ’est réellement extrêmement difficile à mesurer et à maintenir à une valeur constante. En fait,
la valeur de 0,375 pour la Ford Escort était une absurdité, comme l ’ont montré de nombreuses
autres mesures. La consommation de carburant est encore plus ridicule, puisqu ’elle implique que
les volumes de carburant et les distances peuvent être mesurés avec la même précision. Les son-
dages sont collectés en téléphonant à 2 000 personnes au maximum, à cause des difficultés pour
sélectionner le bon échantillon représentatif, cela donne une précision de 3 % au plus.
Challenge 546, page 286: Non. La nature ne permet pas d ’avoir plus de 20 chiffres de précision
environ, comme nous le découvrirons plus tard dans notre promenade. Ce n’est pas suffisant pour
un livre ordinaire. La question de savoir si un tel nombre peut représenter une partie de son propre
livre disparaît donc.
Challenge 548, page 288: Chaque mesure est une comparaison avec un étalon de référence,
chaque comparaison requiert de la lumière ou un certain autre champ électromagnétique. Cela
est également vrai pour les mesures de durées.
Challenge 549, page 288: Chaque mesure de masse est une comparaison avec un étalon stan-
dard, chaque comparaison requiert de la lumière ou un certain autre champ électromagnétique.
Challenge 550, page 288: Les mesures angulaires ont les mêmes propriétés que les mesures de
longueur ou de durée.
Challenge 554, page 305: Les limites de Planck peuvent être dépassées pour des observables

étendues pour lesquelles des systèmes à nombreuses particules peuvent dépasser les limites d ’une
particule unique, comme la masse, la quantité de mouvement, l ’énergie ou la résistance électrique.
Challenge 558, page 310: N ’oubliez pas la dilatation relativiste du temps.
Challenge 559, page 310: Environ 10 µg.
Challenge 560, page 310: Puisque la température du point triple de l ’eau est fixée, la tempéra-
ture du point d ’ébullition est également figée. Historiquement, la valeur du point triple n’a pas
été convenablement choisie.
Challenge 561, page 311: Il est probable que la quantité ayant la plus grande variation soit la
masse, où un préfixe pour 1 eV/c2 serait utile, de même que pour la masse totale présente dans
l ’ Univers, qui est environ 1090 fois plus grande.
Challenge 562, page 312: La formule avec n − 1 est un choix plus convenable. Pourquoi ?
Challenge 565, page 315: Non, seulement les propriétés des parties de l ’ Univers. L’ Univers lui-
même ne possède aucune propriété, comme indiqué à la page ??.
Challenge 566, page 317: Ce ralentissement progresse en proportion quadratique avec le temps,
parce que chaque nouveau ralentissement s’ajoute au précédent !
Challenge 567, page 319: Le double de ce nombre, le nombre constitué de la suite de tous les
nombres pairs, etc.
Challenge 570, page 352: Cela pourrait être résolu avec une astuce similaire à celle utilisée pour
l ’ irrationalité de chacun des deux termes de la somme, mais personne n’en a décelée une.
Challenge 571, page 352: Il y a toujours de nombreuses découvertes qui attendent d ’être révé-
lées en mathématiques modernes, particulièrement en topologie, en théorie des nombres et en
géométrie algébrique. Les mathématiques ont un avenir radieux.
C R É DI T S

R emerciements
Nombreux sont ceux qui ont su entretenir leur don de curiosité et qui ont apporté leur soutien
afin de mener à bien ce projet. Par-dessus tout, Saverio Pascazio a été – présent ou non – une ré-
férence constante pour ce projet. Fernand Mayné, Anna Koolen, Ata Masafumi, Roberto Crespi,
Serge Pahaut, Luca Bombelli, Herman Elswijk, Marcel Krijn, Marc de Jong, Martin van der Mark,
Kim Jalink, mes parents Peter et Isabella Schiller, Mike van Wijk, Renate Georgi, Paul Tegelaar,
Barbara et Edgar Augel, M. Jamil, Ron Murdock, Carol Pritchard, Richard Hoffman, Stephan
Schiller et, avant toutes choses, ma femme Britta ont tous apporté de précieux conseils et encou-
ragements.
De nombreuses personnes ont aidé ce projet grâce à leurs précieuses informations. Parmi les
plus pertinentes, il y a celles de Mikael Johansson, Bruno Barberi Gnecco, Lothar Beyer, les in-
nombrables améliorations apportées par Bert Sierra, les suggestions détaillées de Claudio Fari-
nati, les nombreuses améliorations d ’ Eric Sheldon, les avis développés d ’Andrew Young, l ’aide
persévérante et les conseils de Jonatan Kelu, les corrections d ’ Elmar Bartel, et en particulier l ’aide
considérable, passionnée et consciencieuse d ’Adrian Kubala.
Des renseignements importants ont été fournis par Bert Peeters, Anna Wierzbicka, William
Beaty, Jim Carr, John Merrit, John Baez, Frank DiFilippo, Jonathan Scott, Jon Thaler, Luca Bom-
belli, Douglas Singleton, George McQuarry, Tilman Hausherr, Brian Oberquell, Peer Zalm, Mar-
tin van der Mark, Vladimir Surdin, Julia Simon, Antonio Fermani, Don Page, Stephen Haley, Peter
Mayr, Allan Hayes, Norbert Dragon, Igor Ivanov, Doug Renselle, Wim de Muynck, Steve Carlip,
Tom Bruce, Ryan Budney, Gary Ruben, Chris Hillman, Olivier Glassey, Jochen Greiner, squark,
Martin Hardcastle, Mark Biggar, Pavel Kuzin, Douglas Brebner, Luciano Lombardi, Franco Ba-
gnoli, Lukas Fabian Moser, Dejan Corovic, Steve Carlip, Corrado Massa, Tom Helmond, Gary
Gibbons, Heinrich Neumaier, Peter Brown, Paul Vannoni, John Haber, Saverio Pascazio, Klaus
Finkenzeller, Leo Volin, Jeff Aronson, Roggie Boone, Lawrence Tuppen, Quentin David Jones,
Arnaldo Uguzzoni, Frans van Nieuwpoort, Alan Mahoney, Britta Schiller, Petr Danecek, Ingo
Thies, Vitaliy Solomatin, Carl Offner, Nuno Proença, Elena Colazingari, Paula Henderson, Daniel
Darre, Wolfgang Rankl, John Heumann, Joseph Kiss, Martha Weiss, Antonio González, Antonio
Martos, André Slabber, Ferdinand Bautista, Zoltán Gácsi, Pat Furrie, Michael Reppisch, Enrico
Pasi, Thomas Köppe, Martin Rivas, Herman Beeksma, Tom Helmond, John Brandes, Vlad Tarko,
Nadia Murillo, Ciprian Dobra, Romano Perini, Harald van Lintel, Andrea Conti, François Bel-
fort, Dirk Van de Moortel, Heinrich Neumaier, Jarosław Królikowski, John Dahlman, Fathi Na-
mouni, Paul Townsend, Sergei Emelin, Freeman Dyson, S.R. Madhu Rao, David Parks, Jürgen
Janek, Daniel Huber, Alfons Buchmann, William Purves, Pietro Redondi, Sergei Kopeikin, et de
nombreuses autres personnes qui souhaitent rester dans l ’anonymat.
Les outils logiciels ont été affinés grâce à l ’aide considérable de Michael Zedler et Achim Blu-
mensath sur les polices et la mise en page, et avec l ’assistance répétée et précieuse de Donald
Arseneau. L’aide provient également de Ulrike Fischer, Piet van Oostrum, Gerben Wierda, Klaus
392 crédits
Böhncke, Craig Upright, Herbert Voss, Andrew Trevorrow, Danie Els, Heiko Oberdiek, Sebastian
Rahtz, Don Story, Vincent Darley, Johan Linde, Joseph Hertzlinger, Rick Zaccone, John Warken-
tin, Ulrich Diez, Uwe Siart, Will Robertson, Joseph Wright Enrico Gregorio, Rolf Niepraschk et
Alexander Grahn.
Toutes les illustrations et animations dans ce texte ont été mises à disposition par leurs déten-
teurs des droits d ’auteurs. Je les remercie tous chaleureusement. Ils sont cités dans les sections des

crédits photographiques et filmographiques. Plus particulièrement, Lucas Barbosa et José Anto-
nio Díaz Navas ont produit des animations spécialement pour ce livre, et Luca Gastaldi, Antonio
Martos et Ulrich Kolberg ont composé des images spécifiquement pour celui-ci. La mise en page
et le design de ce livre sont dus à la consultation professionnelle de Ulrich Dirr. Les suggestions et
l ’assistance de ma femme Britta comptent également pour beaucoup dans le design de l ’ouvrage
et de son site Web.
Depuis Mai 2007, la Klaus Tschira Foundation supporte généreusement l ’édition et la publi-
cation électronique du livre Motion Mountain.
Crédits filmo graphiques
L’animation claire d ’une toupie suspendue, indiquée à la page ??, fut réalisée pour cet ou-
vrage par Lucas V. Barbosa. La ravissante animation de la lunaison à la page 130 fut calculée à
partir de données astronomiques récentes, est protégée par les droits d ’auteur et est aimablement
fournie par Martin Elsässer. Elle peut être retrouvée sur son site Web www.mondatlas.de/lunation.
html. Les films des solitons à la page 219 et ceux des dromions à la page 226 sont protégés par les
droits d ’auteur et sont gracieusement fournis par Jarmo Hietarinta. Ils peuvent être consultés sur
son site Web users.utu.fi/hietarin. La vidéo des anneaux tourbillonnants qui s’enchevêtrent à la
page 243 est protégée par les droits d ’auteur et est aimablement fournie par Lim Tee Tai. Elle peut
être retrouvée via son site Web sur la dynamique des fluides serve.me.nus.edu.sg. Le film de la
croissance d ’un flocon de neige à la page 278 est la propriété de Kenneth Libbrecht, qui l ’accorde
aimablement. Il peut être consulté sur son site Web www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals.
Crédits photo graphiques

La photographie de la montagne en couverture est aimablement fournie et est protégée par
les droits d ’auteur de Dave Thompson (www.daveontrek.co.uk). La photographie de l ’éclair à la
page 13 est la courtoisie de Harald Edens qui en détient les droits d ’auteur, et peut être retrouvée
sur les sites Web www.lightningsafety.noaa.gov/photos.htm et www.weather-photography.com.
L’ illusion du mouvement à la page ?? est protégée par les droits d ’auteur et aimablement fournie
par Michael Bach, on la retrouve sur son site Web www.michaelbach.de/ot/mot_rotsnake/index.
html. C ’est une variante de l ’ illusion de Kitaoka Akiyoshi que l ’on trouve sur www.ritsumei.ac.
jp/~akitaoka et utilisée ici avec sa permission. Les figures des pages 17, 46 et 142 ont été réalisées
spécialement pour cet ouvrage et sont la propriété de Luca Gastaldi. Les photographies à haute
résolution temporelle du rebond d ’une balle de tennis à la page ?? sont la propriété de la Fédéra-
tion Internationale de Tennis, et ont été aimablement fournies par Janet Page. Les représentations
de l ’ Etna aux pages ?? et 137 sont protégées par les droits d ’auteur et aimablement accordées par
Marco Fulle, elles sont tirées du magnifique site Web www.stromboli.net. La célèbre photographie
de la pointe des Poulains et de son phare de Philip Plisson à la page 21 est aimablement fournie
et protégée par les droits d ’auteur par Pêcheurs d ’ Images, consultez les sites Web www.plisson.
com et www.pecheurs-d-images.com. On la trouve également dans le Magnum opus de Plisson
La Mer, un livre renversant sur les photographies de la mer. L’ image à la page ?? d ’Alexander
Tsukanov qui saute d ’une roue ultime (un monocycle sans selle et sans fourche [N.d.T.]) à une
crédits 393
autre est protégée par les droits d ’auteur et aimablement fournie par le Cirque de Moscou. La pho-
tographie d ’une gazelle à la page ?? est protégée par les droits d ’auteur et aimablement accordée
par Tony Rodgers, elle est tirée de son site Web www.flickr.com/photos/moonm. Le graphique de
la page ?? a été redessiné et traduit du merveilleux livre de Henk Tennekes, De wetten van de
vliegkunst - Over stijgen, dalen, vliegen en zweven, Aramith Uitgevers, 1993. Les photographies de
la balle de ping-pong à la page 34, du robinet qui fuit à la page 236 et du tournesol à la page ?? sont

protégées par les droits d ’auteur et aimablement accordées par Andrew Davidhazy et sont retrou-
vées sur son site Web www.rit.edu/~andpph. La photographie du cadran solaire de précision à la
page ?? est protégée par les droits d ’auteur et aimablement fournie par Stefan Pietrzik, on la trouve
sur commons.wikimedia.org/wiki/Image:Präzissions-Sonnenuhr_mit_Sommerwalze.jpg. Le gra-
phique sur l ’échelle des rythmes biologiques à la page ?? est aimablement fourni et appartient à
Enrique Morgado. Les illustrations du pied à coulisse à vernier et de la vis micrométrique aux
pages ?? et 54 sont protégées par les droits d ’auteur de Medien Werkstatt, aimablement accordées
par Stephan Bogusch, et sont tirées de leurs cours d ’enseignement situés sur leur site Web www.
medien-werkstatt.de. La photo du tigre à la page ?? est la propriété du zoo de Naples (en Floride,
pas en Italie), et est aimablement fournie par Tim Tetzlaff, visitez leur site Web sur www.napleszoo.
com. Les autres instruments de mesure de longueur à la page ?? sont la propriété de Keyence et
Leica Geosystems, et aimablement fournis par eux, que l ’on retrouve sur www.leica-geosystems.
com. La photographie du cristal de gauche à la page ?? est protégée par les droits d ’auteur et
aimablement fournie par Stephan Wolfsried, on la trouve sur le site Web www.mindat.org. La
photographie du cristal de droite à la page ?? est aimablement fournie par Tullio Bernabei, sous
la protection des droits d ’auteur de Arch. Speleoresearch & Films/La Venta, et on la trouve sur
les sites Web www.laventa.it et www.naica.com.mx. La figure de la Terre creuse aux pages 49 et
264 sont aimablement fournies par Helmut Diel et furent dessinées par Isolde Diel. Les photogra-
phies de la Lune aux pages 54 et ??, ainsi que les analemmes à la page 147 et à la page 378, sont
la propriété et aimablement accordées par Anthony Ayiomamitis, le récit de ces photographies
est conté sur son merveilleux site Web www.perseus.gr. La photographie anticrépusculaire à la
page 55 est protégée par les droits d ’auteur et aimablement fournie par Peggy Peterson. La figure
de la chenille catapulte, à la page 59 est protégée par les droits d ’auteur et aimablement fournie
par Stanley Caveney. La photographie d ’un capteur d ’airbag à la page ?? est la propriété et aima-
blement accordée par Bosch ; l ’ image de l ’accéléromètre est la propriété et aimablement accordée
par Rieker Electronics ; les trois dessins de l ’oreille humaine sont la propriété de l ’université du
Northwestern et sont aimablement fournis par Tim Hain, on les retrouve sur son site Web www.
dizziness-and-balance.com/disorders/bppv/otoliths.html. La photographie d ’Orion à la page 65
est la propriété et aimablement accordée par Matthew Spinelli. La photographie de N. decemspi-
nosa à la page 68 est protégée par les droits d ’auteur et aimablement fournie par Robert Full,
on la trouve sur son site Web rjf9.biol.berkeley.edu/twiki/bin/view/PolyPEDAL/LabPhotographs.
La photographie de P. ruralis à la page 68 est protégée par les droits d ’auteur et aimablement
fournie par John Brackenbury, et fait partie de sa magnifique collection sur le site Web www.
sciencephoto.co.uk. La photographie du mille-pattes à la page 68 est la propriété et aimablement
accordée par David Parks, on la trouve sur son site Web www.mobot.org/mobot/madagascar/
image.asp?relation=A71. La photographie du gecko qui grimpe sur la fenêtre du bus à la page 68
est protégée par les droits d ’auteur et aimablement fournie par Marcel Berendsen, on la retrouve
sur sa page Web www.flickr.com/photos/berendm. La photographie de la comète McNaught à la
page ?? est la propriété et aimablement accordée par son découvreur Robert McNaught, elle est
tirée de son site Web www.mso.anu.edu.au/~rmn mais on la trouve aussi sur antwrp.gsfc.nasa.
gov/apod/ap070122.html. La photographie du kilogramme étalon à la page 72 est la propriété
et aimablement fournie par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). La photogra-
phie de la balance de Mendeleïev à la page ?? est la propriété de Thinktank Trust et aimablement
394 crédits
fournie par Jack Kirby, elle peut être retrouvée sur le site Web www.birminghamstories.co.uk. La
photographie de la balance de laboratoire à la page ?? est sous la protection des droits d ’auteur
et aimablement fournie par Mettler-Toledo. Le graphique de la décomposition de la marche hu-
maine à la page 92 est protégé par les droits d ’auteur et aimablement accordé par Ray McCoy. La
photographie du gyroscope de Foucault à la page 97 est aimablement fournie et est la propriété du
musée du CNAM, le Conservatoire National des Arts et Métiers à Paris, dont le site Web est www.

arts-et-metiers.net. La photographie du gyroscope laser à la page 97 est aimablement fournie et
est la propriété du JAXA, le Japan Aerospace Exploration Agency, on la retrouve sur leur site Web
jda.jaxa.jp. Le dessin du gyroscope laser de haute précision à la page ?? est aimablement fourni et
est la propriété du Bundesamt für Kartographie und Geodäsie. La photographie de l ’ instrument
est aimablement fournie et est la propriété de Carl Zeiss. Cette machine est située au Fundamen-
talstation Wettzell, et l ’adresse de son site Web est www.wettzell.ifag.de. L’ image sur la sonolumi-
nescence à la page 111 est gracieusement fournie par Detlev Lohse qui en détient les droits d ’au-
teur. La Figure 67 à la page 116 est aimablement fournie et est la propriété du projet international
Gemini (Gemini Observatory/Association d ’ Universités pour la Recherche en Astronomie) sur
www.ausgo.unsw.edu.au et www.gemini.edu. La photographie de l ’ horloge qui n’a pas besoin
d ’être remontée, à la page ??, est sous la protection des droits d ’auteur de Jaeger-LeCoultre et
aimablement fournie par Ralph Stieber. Son fonctionnement et son histoire sont décrits en détail
dans la brochure disponible chez cette compagnie. Son site Web est www.Jaeger-LeCoultre.com.
Le basilic qui court sur l ’eau, à la page 117 et en dernière de couverture, est aimablement fourni et
est la propriété du groupe belge TERRA vzw, on le retrouve sur leur site Web www.terra.vzw.org.
La photographie de l ’araignée d ’eau à la page 118 est gracieusement fournie et est la propriété de
Charles Lewallen. La photographie du robot sur l ’eau à la page 118 est gracieusement fournie et est
la propriété de l ’American Institute of Physics. La photographie de l ’ horloge à pendule de haute
précision à la page ?? est sous la protection des droits d ’auteur de Erwin Sattler OHG, et aimable-
ment fournie par Mme Stéphanie Sattler-Rick, on peut la trouver sur le site Web www.erwinsattler.
de. La figure de la triangulation du méridien de Paris à la page 124 est la propriété et est aimble-
ment fournie par Ken Alder, on la trouve sur son site Web www.kenalder.com. Le géoïde de la
page 127 est aimablement fourni et est la propriété de GFZ Potsdam, que l ’on retrouve sur www.
gfz-potsdam.de. La photographie des satellites de Galilée à la page ?? est aimable fournie et est la
propriété de Robin Scagell, elle est tirée de son site Web www.galaxypix.com. Les cartes lunaires à
la page 131 sont aimablement fournies par l ’ USGS Astrogeology Research Program, astrogeology.
usgs.gov, en particulier Mark Rosek et Trent Hare. Les photographies de la marée à la page ??
sont protégées par les droits d ’auteur et sont aimablement fournies par Gilles Régnier, on les
retrouve sur son site Web www.gillesregnier.com ; celui-ci montre également une animation de
cette marée pendant toute une journée. Les images des descentes rapides sur la neige à la page ??
sont la propriété et sont aimablement accordées par Simone Origone, www.simoneorigone.it, et
par Éric Barone, www.ericbarone.com. Les images des éclipses solaires à la page 153 sont aima-
blement fournies et sont la propriété du Centre National d ’ Études Spatiales, sur www.cnes.fr, et
de Laurent Laveder, d ’après son magnifique site www.PixHeaven.net. Les images des marguerites
à la page 171 sont protégées et sont aimablement fournies par Giorgio Di Iorio, que l ’on trouve
sur son site Web www.flickr.com/photos/gioischia, et Thomas Luethi, que l ’on trouve sur son
site Web www.tiptom.ch/album/blumen/. La photographie des feux d ’artifices à Chantilly à la
page ?? est aimblement fournie, est protégée par Christophe Blanc et est tirée de son magnifique
site Web sur christopheblanc.free.fr. La figure des myosotis à la page 190 est aimablement fournie
et est la propriété de Markku Savela. Les figures d ’ interférences à la page ?? sont la propriété et
sont aimablement fournies par Rüdiger Paschotta, on les retrouve sur son encyclopédie libre sur
les lasers sur www.rp-photonics.com. L’ image du soliton dans le canal à la page 218 est la pro-
priété et est aimablement fournie par Dugald Duncan, elle est tirée de sa page Web www.ma.hw.
crédits 395
ac.uk/solitons/soliton1.html. La montagne fractale à la page 228 est aimablement fournie et est la

propriété de Paul Martz, qui explique sur son site Web www.gameprogrammer.com/fractal.html
comment programmer de telles images. Les photographies du carbure de silicium à la page ?? sont
la propriété et aimablement fournies par Dietmar Siche. La photographie d ’un MFA à la page 234
est la propriété de Nanosurf (allez sur www.nanosurf.ch) et est utilisée avec l ’aimable permission
de Robert Sum. L’ image au MFA du silicium à la page 234 est la propriété de l ’ Universität Aug-

sburg et est reproduite avec l ’aimable autorisation de German Hammerl. La figure des atomes
d ’ hélium sur du métal à la page 234 est protégée par les droits d ’auteur et aimablement fournie
par IBM. La photographie d ’un unique ion baryum à la page ?? est sous la protection des droits
d ’auteur et aimablement fournie par Werner Neuhauser de l ’ Universität Hamburg. Les photogra-
phies du mouvement fluide à la page 236 sont protégées et aimablement accordées par John Bush,
Massachusetts Institute of Technology, et sont tirées de sa page Web www-math.mit.edu/~bush.
La photographie de l ’anneau de fumée sur l ’ Etna à la page ?? est aimablement fournie et est la
propriété de Daniela Szczepanski, on la retrouve sur ses grands sites Web www.vulkanarchiv.de
et www.vulkane.net. La photographie de l ’Atomium à la page 247 est aimablement fournie, est la
propriété de l ’Asbl Atomium Vzw et est reproduite ici avec leur permission, en coopération avec
la SABAM en Belgique. L’ image et l ’Atomium lui-même sont tous les deux sous la protection
des droits d ’auteur. Les photographies du jet granulaire dans le sable à la page 276 sont la pro-
priété et sont aimablement fournies par Amy Shen, qui découvrit ce phénomène avec Sigurdur
Thoroddsen. La photographie de l ’excavatrice à roue à godets à la page ?? est la propriété et est
aimablement fournie par RWE et peut être retrouvée sur leur site Web www.rwe.com. Les images
thermographiques d ’un vélo qui freine à la page 251 sont la propriété de Klaus-Peter Möllmann
et Michael Vollmer, Fachhochschule Brandenburg/Allemagne, et sont aimablement fournies par
Michael Vollmer et Frank Pinno. La photographie de la montgolfière à la page ?? est la propriété
de Johan de Jong et est aimablement fournie par le Dutch Balloon Register que l ’on retrouve sur
www.dutchballoonregister.nl. L’ image de l ’or au microscope à effet tunnel à la page 266 est ai-
mablement fournie par Sylvie Rousset et est la propriété du CNRS. Les photographies et la figure
à la page ?? sont protégées et aimablement accordées par Ernesto Altshuler, Claro Noda et leurs
collègues, on les retrouve sur leur site Web www.complexperiments.net. La photo des plissements
sur la route à la page ?? est gracieusement accordée par David Mays et est tirée de son article ?.
L’ image des ondes solitaires à la page 277 est aimablement fournie et est protégée par Paul Umban-
howar. Le dessin des sphères qui tournent à la page 277 est gracieusement fourni et est la propriété
de Karsten Kötter. La photo du fluide qui s’écoule sur un plateau incliné à la page 282 est aimable-
ment fournie et est la propriété de Vakhtang Putkaradze. Les photographies des colonnes rigides
à la page ?? sont protégées par les droits d ’auteur de Gerhard Müller (1940–2002), et sont mises
à disposition par Ingrid Hörnchen. La photographie des rayons de soleil à la page 357 est proté-
gée et aimablement fournie par Fritz Bieri et Heinz Rieder, on la trouve sur leur site Web www.
beatenbergbilder.ch. Le dessin à la page 360 est gracieusement fourni et est la propriété de Daniel
Hawkins. La photographie d ’une règle à calcul à la page 364 est aimablement fournie et est la
propriété de Jörn Lütjens, on la retrouve sur son site Web www.joernluetjens.de. La photographie
de la bulle de savon qui éclate, à la page 354, est protégée par les droits d ’auteur, est aimablement
fournie par Peter Wienerroither et on la retrouve sur sa page Web homepage.univie.ac.at/Peter.
Wienerroither. Les portraits historiques des physiciens dans ce texte ne sont pas protégés par des
droits d ’auteur, sauf lorsque c ’est mentionné. Tous les dessins qui ne sont pas explicitement cités
sont sous la protection des droits d ’auteur © 1997 – 2010 Christoph Schiller. Si vous soupçonnez
qu ’un droit d ’auteur est attribué ou obtenu de manière incorrecte, cela n’est pas intentionnel et
vous êtes aimablement invités à en faire part à l ’auteur.
crédits
396
I N DE X DE S NOM S

Les numéros de page en caractères italiques se réfèrent aux pages où la personne est présentée
A plus en détail.
Abe
A Atomium - SABAM 395 Becker, J. 340
Abe, F. 332 Atomium – SABAM 247 Beeksma, Herman 391
Ackermann, Peter 350 Audoin, C. 350 Behroozi, C.H. 330
Ackermann, Rudolph 361 Augel, Barbara et Edgar 391 Bekenstein, Jakob 274
Adelberger, E.G. 338 Ausloos, M. 343 Belfort, François 391
Adenauer, Konrad 142 Avogadro, Amadeo 233 Belic, D. 350
Aetius 71, 334 Axelrod, R. 328 Benka, S. 334
Ahlgren, A. 331 Ayiomamitis, Anthony 378, Bennet, C.L. 336
Ahrens, C. Donald 340 393 Bentley, W.A. 347
Aigler, M. 46 Berendsen, Marcel 393
Åkerman, N. 340 B Bergquist, J. 350
Alder, Ken 338, 394 Babinet, Jacques 301 Bernabei, Tullio 393
Alighieri, Dante 120 Babloyantz, A. 347 Bernoulli, Daniel 258
Alsdorf, D. 340 Bach, Michael 392 Bernoulli, J. 296
Altshuler, Ernesto 395 Baez, John 391 Bessel 101
Amundsen, Roald 120, 337 Bagnoli, Franco 391 Bevis, M. 340
An, K. 344 Banach, Stefan 45, 46, 228 Beyer, Lothar 391
Anders, S. 338 Banavar, J.R. 342 Bielefeldt, H. 344
Anderson, R. 335 Bandler, R. 328 Bieri, Fritz 357, 395
Andreotti, B. 347 Bandler, Richard 168, 328 Biggar, Mark 391
Aniçin, I.V. 338 Baptista van Helmont, Johan Bilger, H.R. 335
Arch. Speleoresearch & 258 Bird, D.J. 350
Films/La Venta 393 Barber, B.P. 337 Bischoff, Bernard 349
Archimède 72 Barberi Gnecco, Bruno 391 Blagden, Charles 269
Aristarchos 334 Barbosa, Lucas 392 Blair, D.G. 351
Aristarque de Samos 94, 102, Barbosa, Lucas V. 392 Blanc, Christophe 394
334 Barbour, John 331 Blumensath, Achim 391
Aristote 32, 38, 122, 332 Barone, Éric 394 Bocquet, Lydéric 344, 385
Armstrong, J.T. 333 Bartel, Elmar 391 Bogusch, Stephan 393
Aronson, Jeff 391 Battista Guglielmini, Bohr, Niels 264
Aronson, Jeff K. 350 Giovanni 94 Boiti 225
Arseneau, Donald 391 Batty, R.S. 343 Boiti, M. 343
Ashby, M.F. 343 Baudelaire, Charles 17 Boltzmann, Ludwig 179, 260
Astérix 244 Bautista, Ferdinand 391 Bombelli, Luca 391
Ata Masafumi 391 Beaty, William 391 Boone, Roggie 391
398 index des noms
Borel, Émile 268 Carr, Jim 391 95

Borel, Émile 347 Carroll, Lewis, ou Charles Cornell, E.A. 330
Borelli, G. 329 Lutwidge Dogson 264 Corovic, Dejan 391
Bosch 393 Cartesius 42 Costabel, Pierre 229
Bourbaki, N. 296 Casati, Roberto 333 Craven, J.D. 340
Bowden, F.P. 341 Cassus Dio 153 Crespi, Roberto 391

Bower, B. 342 Cauchy, Augustin-Louis 193 Crutchfield, J. 347
Boèce 326 Cavendish, Henry 125 Crystal, David 348
Brackenbury, John 393 Caveney, S. 332 César, Jules 297
Bradley, James 103, 103 Caveney, Stanley 59, 60, 393
Braginsky, V.B. 339 Cayley, Arthur 193 D
B Brahe, Tycho 120, 121
Brahm, A. de 295
Celsius, Anders 310
Chaineux, J. 349
d ’Aquin, Thomas 328
Dahlman, John 391
Brandes, John 391 Chan, M.A. 335 Danecek, Petr 391
B orel Brantjes, R. 377 Chandler, Seth 101 Daniel Titius, Johann 152
Brebner, Douglas 391 Charlemagne 295 Dante Alighieri 120
Brennan, Richard 329 Charpak, G. 350 Darius, J. 334
Bright, William 349 Childs, J.J. 344 Darley, Vincent 392
Brillouin, L. 346 Chomsky, Noam 331 Darre, Daniel 391
Brillouin, Léon 263 Christlieb, N. 338 Dasari, R.R. 344
Brooks, Mel 254 Christou, A.A. 339 Davidhazy, Andrew 236, 393
Brouwer, Luitzen 40 Chudnovsky, D.V. 352 Davis, S.D. 343
Brown, J.H. 342 Chudnovsky, G.V. 352 de Vries 218
Brown, Peter 391 Cirque de Moscou 393 Deaver, B.S. 313
Brown, Robert 259 Clancy, Tom 343 Dehmelt, H. 344
Bruce, Tom 391 Clanet, Christophe 385 Dehmelt, Hans 343
Brush, S. 336 Clarke 330 Dehn, Max 46
Buchmann, Alfons 391 Clausius, Rudolph 254, 260 Demko, T.M. 335
Buckley, Michael 328 Clavius, Christophorus 55 Denis Poisson, Siméon 126
Budney, Ryan 391 Cléobule 42 Descartes, R. 296
Bundesamt für Kartographie CNAM 394 Descartes, René 42, 363
und Geodäsie 394 CNRS 266, 395 Destexhe, A. 347
Bunyan, Paul 343 Codling, K. 350 DeTemple, D.W. 352
Buridan, Jean 122, 338 Cohen-Tannoudji, G. 346 Deutschmann, Matthias 325
Burša, Milan 332 Cohen-Tannoudji, Gilles 264 Dewdney, Alexander 56
Busche, Detlev 331 Colazingari, Elena 391 Dicke, R.H. 339
Bush, John 236, 395 Coleman–McGhee, Jerdome Diehl, Helmut 49
Böhncke, Klaus 391 344 Diel, Helmut 393
Colladon, Daniel 240 Diel, Isolde 393
C Collins, J.J. 329 Diez, Ulrich 392
Cajori, Florian 349 Compton, A.H. 336 DiFilippo, Frank 391
Calzadilla, A. 341 Compton, Arthur 98 Dill, L.M. 343
Campbell, D. 347 Conkling, J.A. 57 Dio, Cassius 340
Campbell, D.K. 347 Conservatoire National des Dirac, Paul 205, 296
Caps, H. 344 Arts et Métiers 394 Dirr, Ulrich 392
Carl Zeiss 394 Conti, Andrea 391 Dixon, Bernard 332
Carlip, Steve 391 Cooper, Heather 337 Di Iorio, Giorgio 394
Carlyle, Thomas 106 Cooper, J.N. 328 Dobra, Ciprian 391
Carnot, Sadi 84 Coriolis, Gustave-Gaspard 81, Dorbolo, S. 344
index des noms 399
Dorbolo, Stéphane 243 Evans, J. 340 Fumagalli, Giuseppe 334, 341

Dougherty, R. 331 Everitt, C.W. 313 Fundamentalstation Wettzell
Doyle, Arthur Conan 228 394
Dragon, Norbert 391 F Furrie, Pat 391
Dubelaar, N. 377 Fairbanks, J.D. 313 Fédération Internationale de
Dubrulle, B. 340 Faisst, H. 348 Tennis 392

Dumont, Jean-Paul 328, 334, Falk, G. 339
348 Farinati, Claudio 391 G
Duncan, Dugald 218, 394 Farmer, J. 347 Gabriel Stokes, George 237
Durieux, M. 345 Farrant, Penelope 333 Galilei, Galileo 30, 37, 54, 57,
Dusenbery, David 333 Fatio de Duillier, Nicolas 150 58, 84, 94, 124, 141, 144, 145,
D Dutton, Z. 330
Dyson, Freeman 391
Fayeulle, Serge 340
Fehr, C. 341
229, 230, 232, 356, 367
Galilée 94
Díaz Navas, José Antonio 392 Fekete, E. 339 Galois, Évariste 193
Dorb olo Démocrite 232 Feld, M.S. 344 Gardner, Martin 364
Fermani, Antonio 391 Garrett, A. 334
E Fernandez–Nieves, A. 337 Garwin, R.L. 350
Eőtvős, Roland von 98 Feynman, Richard P. 327 Gaspard, Pierre 261, 346
Earman, John 331 Fibonacci 294 Gastaldi, Luca 392
Eckhardt, B. 348 Figueroa, D. 341 Gauthier, N. 342
Eddington, Arthur 79 Filippov, T. 342 Gelb, M. 328
Edelmann, H. 338 Fink, Hans-Werner 344 Geng, Tao 188
Edens, Harald 392 Finkenzeller, Klaus 391 Georgi, Renate 391
Edwards, B.F. 373 Firpić, D.K. 338 Ghahramani, Z. 341
Einstein, A. 346 Fischer, Ulrike 391 Ghavimi–Alagha, B. 337
Einstein, Albert 17, 136, 139, Flach, S. 347 Gibbons, Gary 391
140, 181, 197, 200, 205, 259, Flachsel, Erwein 328 Giessibl, F.J. 344
261 Flindt, Rainer 330 Gilligan, James 341
Ekman, Walfrid 334 Fokas 225 Glassey, Olivier 391
Elert Bode, Johann 152 Fokas, A.S. 343 Gold, Tommy 213
Els, Danie 392 Foreman, M. 331 Goldstein, Herbert 341
Elsevier, Louis 356 Forsberg, B. 340 Goles, E. 347
Elswijk, H.B. 344 Fortes, L.P. 340 Golubitsky, M. 329
Elswijk, Herman B. 391 Foster, James 341 González, Antonio 391
Elsässer, Martin 130, 392 Foucault, Jean Bernard Léon Goriely, A. 344
Emelin, Sergei 391 96 Gottlieb Leidenfrost, Johann
Emerson, Ralph Waldo 220 Franklin, Benjamin 229 241
Emsley, John 347 Frasinski, L.J. 350 Gracovetsky, Serge 92, 334
Engels, Friedrich 164 Fray Richardson, Lewis 44 Grahn, Alexander 392
Engemann, S. 344 Frenzel 110 Graner, F. 340
Enquist, B.J. 342 Fresnel, Augustin 214 Graw, K.-U. 384
Enss, Christian 345 Friedman, David 156 Gray, C.G. 341, 369
Erdös, Paul 46 Friedrich Benzenberg, Johann Greenside, Henry 323
Erwin Sattler OHG 394 95 Gregorio, Enrico 392
Euclide 31 Fritsch, G. 343 Greiner, Jochen 391
Eukleidês 31 Frova, Andrea 332 Grimaldi, Francesco 221
Euler, L. 296 Full, Robert 393 Grinder, John 168, 328
Euler, Leonhard 101, 153, 156, Fulle, Marco 392 Gross, R.S. 336
336 Fumagalli 225 Grossmann, A. 343
400 index des noms
Grünbaum, Branko 342 Hewitt, John Suchocki & J

Gutierrez, G. 341 Leslie A. 327 Jacobi, Carl 180
Gácsi, Zoltán 391 Hewitt, Paul G. 327 Jaeger-LeCoultre 394
Hietarinta 225 Jahn, O. 342
H Hietarinta, J. 343 Jalink, Kim 391
Haber, John 391 Hietarinta, Jarmo 219, 226, 392 James, M.C. 339

Hagen, J.G. 335 Higashi, R. 350 Jamil, M. 391
Hagen, John 98 Hilbert, David 181, 200 Jammer, M. 338
Hain, Tim 393 Hillman, Chris 391 Janek, Jürgen 391
Hakonen, P.J. 350 Hipparque 101 Japan Aerospace Exploration
Halberg, F. 331 Hirano, M. 340 Agency 394
G Haley, Stephen 391
Halley, Edmund 133
Hirota 225
Hirota, R. 343
JAXA 394
Jeffreys, Harold 99
Halliwell, J.J. 331 Hodges, L. 339 Jen, E. 347
Grünbaum Hamilton, William 296 Hodgkin 217 Jennings, G.M. 343
Hammerl, German 395 Hodgkin, A.L. 342 Jensen, Hans 348
Hardcastle, Martin 391 Hoeher, Sebastian 345 Johansson, Mikael 391
Hardy, Godfrey H. 130 Hof, B. 348 Johnson, Ben 60, 332
Hare, Trent 394 Hohenstatt, M. 344 Johnson, Samuel 289, 320
Harriot, T. 296 Hollander, E. 344 Johnston, K.J. 333
Harris, S.E. 330 Hong, F.-L. 350 Jones, Gareth 351
Hartman, W.K. 338 Hooke 130 Jones, H. 296
Hausherr, Tilman 391 Hooke, Robert 121, 206 Jones, Quentin David 391
Hawkins, Daniel 360, 395 Horace, Quintus Horatius Jones, Tony 350
Hayes, Allan 391 Flaccus 162 Jong, Johan de 395
Hays, J.D. 336 Huber, Daniel 391 Jong, Marc de 391
Heath, Thomas 334 Hudson, R.P. 345 Joule, James 253
Heber, U. 338 Humphreys, Roberta 336 Joutel, F. 339
Heckel, B.R. 338 Humphreys, W.J. 347 Ju, L. 351
Heisenberg, Werner 237, 264 Hunklinger, Siegfried 345 Jules Verne 180
Heller, E. 343 Hunter, D.J. 333 Jürgens, H. 279
Hellinger, Bert 341 Huxley 217 Jürgens, Hartmut 44
Helmholtz, Hermann von 253 Huxley, A.F. 342
Helmond, Tom 391 Huygens, Christiaan 74, 122, K
Hembacher, S. 344 214 Köppe, Thomas 391
Henbest, Nigel 337 Huygens,Christiaan 123 Kadanoff, L.P. 347
Henderson, Paula 391 Héraclite 16 Kamiya, K. 381
Henon, M. 340 Héraclite d ’ Éphèse 25, 189 Kanada Yasumasa 352
Henson, Matthew 374 Hörnchen, Ingrid 395 Kanecko, R. 340
Hentig, Hartmut von 7 Kant, Emmanuel 139
Herbert, Wally 337 I Kantor, Yakov 323
Herrmann, F. 345 IBM 234 Karl, G. 341, 369
Herschel, William 104 Ifrah, G. 294 Karstädt, D. 345
Hertz, H.G. 334 Illich, Ivan 320, 322 Katori, H. 350
Hertz, Heinrich 179 Imae, Y. 333 Kawagishi, I. 333
Hertzlinger, Joseph 392 Imbrie, J. 336 Keesing, R.G. 330, 351
Hestenes, D. 340 Ingram, Jay 343 Kelu, Jonatan 391
Heumann, John 391 Ivanov, Igor 391 Kelvin 253
Hewett, J.A. 338 Ivry, R.B. 331 Kemp, David 213
index des noms 401
Kempf, Jürgen 331 Laskar, J. 340 Léonard de Pise 294

Kenderdine, M.A. 334 Laskar, Jacques 151 Lévy-Leblond, Jean-Marc 90,
Kendrick, E. 340 Laskkar, J. 339 150, 327
Kennard, E.H. 328 Laurent de Lavoisier, Antoine Lüders, Klaus 327
Kepler 129, 130 74 Lütjens, Jörn 364, 395
Kepler, Johannes 120, 129 Laveder, Laurent 394

Kerswell, R. 348 Lavenda, B. 346 M
Keyence 393 Laws, Kenneth 348 MacDonald, G.J.F. 335
Kirby, Jack 394 Le Verrier, Urbain 136 MacDougalls, Duncan 107
Kirchoff, Gustav 214 Lecar, M. 340 Mach, Ernst 76
Kiss, Joseph 391 Lega, Joceline 347 Maekawa, Y. 333
K Kistler 241
Kistler, S.F. 344
Legendre, A. 296
Lehmann, Paul 297, 349
Magariyama, Y. 333
Mahoney, Alan 391
Kitaoka Akiyoshi 392 Leibniz 81, 130, 173, 180, 330 Mahrl, M. 348
Kempf Kivshar, Y.S. 347 Leibniz, G. 296 Malin, D. 65
Klaus Tschira Foundation 392 Leibniz, Gottfried 175 Mallat, Stéphane 343
Koch, G.W. 343 Leica Geosystems 393 Malley, R. 340
Kolberg, Ulrich 392 Lennard, J. 295 Mandelbrot, Benoît 44, 227
Koolen, Anna 391 Lennerz, C. 373 Mandelstam, Stanley 341
Koomans, A.A. 344 Leon 225 Mannhart, J. 344
Kopeikin, Sergei 391 Leon, J. J.-P. 343 Marcus, Richard 328
Korteweg 218 Lesage, G.-L. 340 Mark, Martin van der 270
Krehl, P. 344 Leucippe d ’ Élée 232 Mark, Martin van der 391
Krehl, Peter 245 Lewallen, Charles 394 Markus, M. 347
Krijn, Marcel 391 Libbrecht, Kenneth 278, 392 Marsaglia, G. 341
Krotkow, R. 339 Lichtenberg, Georg Christoph Martikainen, J.E. 350
Kruskal, M.D. 342 30 Martin, A. 342
Kruskal, Martin 219 Lim Tee Tai 243, 244, 392 Martina 225
Królikowski, Jarosław 391 Lim, T.T. 345 Martina, L. 343
Kubala, Adrian 391 Linde, Johan 392 Martos, Antonio 391, 392
Kudo, S. 333 Lintel, Harald van 391 Martz, Paul 228, 395
Kurths, Jürgen 338 Lissauer, J.J. 339, 348 Marx, Groucho 291
Kuzin, Pavel 391 Liu, C. 330 Massa, Corrado 391
Kvale, E.P. 335 Lloyd, Seth 346 Matthews, Robert 339
Kötter, K. 347 Lodge, Oliver 99 Maupertuis 94
Kötter, Karsten 277, 395 Lodovico Lagrangia, Maynard, Finian 33
Küstner 336 Giuseppe 175 Mayné, Fernand 391
Küstner, Friedrich 101 Lohse, Detlev 394 Mayr, Peter 391
Lombardi, Luciano 391 Mays, David 395
L Loschmidt, Joseph 229 McCoy, Ray 92, 394
La Caille 121 Louis Lesage, Georges 150 McLaughlin, William 328
Lagrange 186 Louis Moreau de Maupertuis, McLean, H. 332
Lagrange, Joseph-Louis 175 Pierre 94 McMahob, T.A. 343
Lalande 121 Luca Bombelli 391 McMillen, T. 344
Lambeck, K. 335 Lucretius Carus, Titus 233 McNaught, Robert 393
Lancaster, George 341 Lucretius Carus, Titus 32 McQuarry, George 391
Landauer, Rolf 347 Lucrèce 32, 233 Medien Werkstatt 393
Lang, K.R. 65 Luethi, Thomas 394 Melo, F. 347
Larsen, Jeffrey 336 Luke, Lucky 244 Mendoza, E. 348
402 index des noms
Merckx, Eddy 85 Napiwotzki, R. 338 Parménide 17, 62

Merrit, John 391 Napoléon 135 Parménide d ’ Élée 16
Mertens, K. 348 Nassau, K. 70 Pascazio, Saverio 391
Mettler-Toledo 394 Nauenberg, M. 337 Paschotta, Rüdiger 394
Mettrie, J. Offrey de la 281 Navier, Claude 237 Pasi, Enrico 391
Michaelson, P.F. 313 Needham, Joseph 341 Paul, T. 343

Michel, Stanislav 81 Nelson, A.E. 338 Peano, G. 296
Michell, John 125 Neuhauser, W. 344 Peary, Robert 120, 337, 374
Michelson, Albert 98 Neuhauser, Werner 395 Pěč, Karel 332
Mikkola, Seppo 339 Neumaier, Heinrich 391 Peeters, Bert 391
Milankovitch, Milutin 103 Neumann, Dietrich 132, 338 Peitgen, H.-O. 279
M Mineyev, A. 343
Mirabel, I.F. 331
Newcomb, Simon 136, 339
Newton 130, 311, 330
Peitgen, Heinz-Otto 44
Pekàr, V. 339
Mirsky, S. 365 Newton, Isaac 30, 94, 121 Pempinelli, F. 343
Merckx Mohazzabi, P. 339 Nicolis, Grégoire 346 Perc, M. 334
Mohr, P.J. 351 Niederer, U. 199, 342 Perelman, Yakov 223, 327
Monitz, E.J. 334 Niepraschk, Rolf 392 Perini, Romano 391
Moore, J.A. 341 Nieuwpoort, Frans van 391 Perrin, J. 346
Moortel, Dirk Van de 391 Nieuwstadt, F.T.M. 348 Perrin, Jean 261, 346, 387
Moreira, N. 342 Nightingale, J.D. 341 Peterson, Peggy 55, 393
Morgado, Enrique 393 Nobel, P. 343 Petit, Jean-Pierre 325
Morlet, J. 343 Noda, Claro 395 Phillips, R.J. 338
Moser, Lukas Fabian 391 Noether, Emmy 200 Piaget, Jean 329
Mozurkewich, D. 333 Nolte, John 329 Piccard, Auguste 240
Muller, R.A. 343 Nonnius, Peter 54 Pietrzik, Stefan 393
Mulligan, J.F. 334 Novikov, V.A. 341, 369 Pikovsky, Arkady 338
Munk, W.H. 335 Nuñes, Pedro 54 Pinker, Steven 331
Muramoto, K. 333 Pinno, F. 345
Murata, Y. 340 O Pinno, Frank 395
Murdock, Ron 391 O’ Keefe, R. 337 Planck, Max 262
Mureika, J.R. 340 Oberdiek, Heiko 392 Platon 232, 285
Murillo, Nadia 391 Oberquell, Brian 391 Pline l ’Ancien, Gaius Plinius
Murphy, R. 296 Offner, Carl 391 Secundus 327
Murray, C.D. 339 Offrey de la Mettrie, J. 281 Plisson, Philip 21, 392
Muskens, O. 343 Oostrum, Piet van 391 Plutarque 168
Muynck, Wim de 391 Oppenheimer, Robert 182 Pohl, Robert 327
Möllmann, K.-P. 345 Origone, Simone 394 Pohl, Robert O. 327
Möllmann, K.P. 345 Oughtred, W. 296 Poincaré, Henri 105
Möllmann, Klaus-Peter 251, Poinsot, Louis 98
395 P Polster, B. 345
Müller, G. 348 Page, Don 391 Pompeius, Gnaeus 168
Müller, Gerhard 283, 395 Page, Janet 392 Prescott Joule, James 253
Pahaut, Serge 391 Preston-Thomas, H. 345
N Pais, A. 342 Price, R.H. 78
Namba, K. 333 Panov, V.I. 339 Pritchard, Carol 391
Namouni, F. 339 Pappus 72 Proença, Nuno 391
Namouni, Fathi 391 Park, David 327 Protagoras 311
Nanosurf 234 Parks, David 391, 393 Ptolémée 53
Nansen, Fridtjof 334 Parlett, Beresford 23 Purves, William 391
index des noms 403
Putkaradze, V. 348 Rudolff, Christoff 349 Schörner, E. 373

Putkaradze, Vakhtang 282, 395 Ruffini, Remo 348 Scime, E.E. 373
Putterman, S.J. 337 Ruga, Spurius Carvilius 290 Scott Russell, John 217
Pythagore 220 Ruppel, W. 339 Scott, Jonathan 391
Päsler, Max 341 Rusby, R.L. 345, 351 Scriven 241
Pérez–Mercader, J. 331 Rusby, Richard 351 Scriven, L.E. 344

Russel, Bertrand 177 Segrè, Gino 345
Q Russel, J.S. 342 Sexl, Roman 48
Quinlan, G.D. 339 Russo, Lucio 327 Shackleton, N.J. 336
Rutherford, Ernest 22 Shakespeare, William 21
R RWE 395 Shalyt-Margolin, A.E. 346
P Rahtz, Sebastian 392
Ramanujan, Srinivasa 130
Régnier, Gilles 394 Shapiro, A.H. 335
Shapiro, Asher 96
Randi, James 21 S Sheldon, Eric 391
Pu tkaradze Rankl, Wolfgang 391 S.R. Madhu Rao 391 Shen, Amy 395
Rawlins, D. 337 Sade, Donatien de 162 Sheng, Z. 344
Raymond, David 324 Sagnac, Georges 99 Shephard, G.C. 342
Recorde, R. 296 Sanctorius de Padoue 78 Sherham, roi 27
Recorde, Robert 295 Sands, R.B. Leighton & M. 327 Shinjo, K. 340
Redondi, Pietro 30, 229, 391 Santini 225 Short, J. 351
Rees, W.G. 327 Santini, P.M. 343 Siart, Uwe 392
Regiomontanus, J. 296 Santorio Santorio 78 Siche, Dietmar 395
Reichl, Linda 345, 347 Santorre Santario 78 Sierra, Bert 391
Reimers, D. 338 Sattler OHG, Erwin 394 Sigwarth, J.B. 339
Renselle, Doug 391 Sattler-Rick, Stéphanie 394 Sillett, S.C. 343
Reppisch, Michael 391 Sauer, J. 373 Silverman, M. 333
Richtmeyer, F.K. 328 Sauerbruch, Ferdinand 385 Simon Laplace, Pierre 135
Rieder, Heinz 357, 395 Saupe, D. 279 Simon, Julia 391
Rieflin, E. 333 Saupe, Dietmar 44 Simon, M.I. 333
Rieker Electronics 393 Savela, Markku 190, 394 Simonson, A.J. 379
Rinaldo, A. 342 Scagell, Robin 394 Simplicius de Cilicie 285
Rindt, Jochen 31 Schiller, Britta 391, 392 Singh, C. 334
Rivas, Martin 391 Schiller, C. 344 Singleton, Douglas 391
Robert Mayer, Julius 84, 251 Schiller, Christoph 194, 395 Sissa Ben Dahir 27
Robertson, Will 392 Schiller, Isabella 391 Slabber, André 391
Robutel, P. 339 Schiller, Peter 391 Smith, George 349
Rodgers, Tony 393 Schiller, Stephan 391 Smoluchowski, Marian von
Rodin, Auguste 123 Schlichting, H.-J. 373 261
Rodríguez, L.F. 331 Schmidt, Klaus T. 333 Socrate 285
Rohrbach, Klaus 336 Schmidt, T. 348 Soldner, J. 339
Roll, P.G. 339 Schmidt-Nielsen, K. 347 Soldner, Johann 140
Romer, R.H. 379 Schneider, Jean 342 Solomatin, Vitaliy 391
Rosek, Mark 394 Schneider, Wolf 349 Sonett, C.P. 335
Rosenblum, Michael 338 Schooley, J.F. 345 Spence, J.C.H. 344
roue ultime 392 Schulte 110 Spencer, R. 331
Rousset, Sylvie 395 Schwartz, Richard 328 Spiderman 244
Ruben, Gary 391 Schwenk, K. 347 Spinelli, Matthew 393
Rudolf Hertz, Heinrich 162 Schwenkel, D. 344 Spiropulu, M. 338
Rudolff, C. 296 Schönenberger, C. 344 Sreedhar, V.V. 342
404 index des noms
Stedman, G.E. 335, 351 253 Voltaire 153, 180, 311

Steiner, Kurt 344 Thomson, W. 345 von Smoluchowski, Marian
Stengel, Ingrid 331 Thomson-Kelvin 247 259
Stephenson, Richard 335 Thoroddsen, Sigurdur 395 Vorobieff, P. 348
Steur, P.P.M. 345 Topper, D. 338 Voss, Herbert 392
Stewart, I. 329 Torge, Wolfgang 332 Vuorinen, R.T. 350

Stewart, Ian 47 Toschek, P.E. 344 Völz, Horst 350
Stieber, Ralph 394 Townsend, Paul 391
Stoney, G.J. 350 Trefethen, L.M. 335 W
Stoney, George Johnston 305 Tregubovich, A.Ya. 346 Wagon, Stan 47, 331
Stong, C.L. 333 Trevorrow, Andrew 392 Wald, George 265
S Story, Don 392
Strunk, William 349
Truesdell, C. 345
Truesdell, Clifford 30
Waleffe, F. 348
Walgraef, Daniel 347
Su, Y. 339 Tsang, W.W. 341 Walker, Jearl 328
Stedman Sugiyama, S. 333 Tschichold, J. 349 Wallis, J. 296
Sum, Robert 395 Tsuboi, Chuji 332 Walter, Henrik 341
Surdin, Vladimir 391 Tsukanov, Alexander 392 Warkentin, John 392
Surry, D. 332 Tucholski, Kurt 191 Weber, R.L. 348
Sussman, G.J. 340 Tuppen, Lawrence 391 Webster, Hutton 349
Swackhamer, G. 340 Turner, M.S. 336 Wedin, H. 348
Swenson, C.A. 345 Twain, Mark 91 Wegener, Alfred 101, 336
Swift, G. 347 Wehner, R. 337
Swinney, H.L. 347 U Weierstall, U. 344
Swope, Martha 348 Ucke, C. 373 Weierstrass, K. 296
Szczepanski, Daniela 395 Uffink, J. 346 Weil, André 296
Szilard, L. 346 Uguzzoni, Arnaldo 391 Weiss, M. 332
Szilard, Leo 263 Ulam, Stanislaw 275 Weiss, Martha 391
Umbanhowar, P.B. 347 Wells, M. 340
T Umbanhowar, Paul 276, 277, Weltner, K. 344
Tabor, D. 341 395 Weninger, K.R. 337
Tait, P.G. 296 Universität Augsburg 234 West, G.B. 342
Takamoto, M. 350 université du Northwestern Westerweel, J. 348
Talleyrand 124 393 Weyl, Hermann 39
Tamman, Gustav 242 Upright, Craig 392 Wheeler, John 353
Tarko, Vlad 391 White, E.B. 349
Tarski, Alfred 46, 228 V White, M. 336
Tartaglia, Niccolo 29 Vandeginste, Eric 245, 247 Whitney, C.A. 65
Taylor, B.N. 351 Vandewalle, N. 344 Widmer-Schnidrig, R. 342
Taylor, G.J. 338 Vanier, J. 350 Wienerroither, Peter 354, 395
Taylor, J.H. 309 Vannoni, Paul 391 Wierda, Gerben 391
Tegelaar, Paul 391 Vareschi, G. 381 Wierzbicka, Anna 331, 391
Telegdi, V.L. 347 Verne, Jules 379 Wijk, Mike van 391
Tennekes, Henk 393 Vernier, Pierre 54 Wilder, J.W. 373
Tetzlaff, Tim 393 Vincent, D.E. 338 Wiley, Jack 345
Thaler, Jon 391 Vitali, Giuseppe 44 Wilhelm Bessel, Friedrich 102
Thies, Ingo 391 Viviani, Vincenzo 97 Wilhelm von Leibniz,
Thinktank Trust 393 Volin, Leo 391 Gottfried 62
Thompson, Dave 392 Vollmer, M. 345 Wilkie, Bernard 334
Thomson (Kelvin), William Vollmer, Michael 251, 395 Williams, G.E. 335
index des noms 405
Wilson, B. 343 Y Zanker, J. 330

Wisdom, J. 340 Yamafuji, K. 344 Zedler, Michael 391
Wise, N.W. 313 Young, Andrew 391 Zeilinger, A. 350
Wittgenstein, Ludwig 15, 23, Young, Thomas 82 Zhao, C. 351
25, 38, 64, 86, 164, 168, 267 Yourgray, Wolfgang 341 Ziegler, G.M. 46
Wittlinger, M. 337 Zimmermann, H.W. 346

Wittlinger, Matthias 119 Z Zimmermann, Herbert 264
Wolf, H. 337 Zabusky, N.J. 342 zoo de Naples 393
Wolfsried, Stephan 393 Zabusky, Norman 219 Zweck, Josef 336
Wolpert, Lewis 328 Zaccone, Rick 392 Zénon d ’ Élée 14, 16, 52, 62
Wright, Joseph 392 Zakharian, A. 335 Zürn, W. 342
W Wulfila 292 Zalm, Peer 391
Wilson
I N DE X DE S SU J ET S

Les numéros de page en caractères italiques se réfèrent aux pages où le mot-clé est défini ou pré-
senté en détail. L’ index des sujets joue donc le rôle d ’un glossaire.
Symboles accélération de marée 137 air 385

( 296 accélération gravitationnelle, Airbus 356
) 296 standard 63 alchimie 30
+ 296 accélérations, maximales 110 Aldébaran 66, 186
− 296 accéléromètre 355 aleph 293
⋅ 296 acier 245 Alice au pays des merveilles –
× 296 acier inoxydable 246 De l ’autre côté du miroir
∶ 296 aciers austénitiques 245 264
< 296 aciers ferritiques 245 Alpes 128, 151
= 296 aciers martensitiques 245 Alpha du Centaure 186
> 296 Acinonyx jubatus 33 alphabet 292
≠ 296 acteurs 322 alphabet cyrillique 292
√
296 action 174, 197 alphabet gotique 292
∇ 296 action physique 173 alphabet grec 291
∆ 296 action, principe de moindre alphabet hébreu 293
∞ 296 129 alphabet latin 289
action, quantum 263 alphabet phonématique 293
A actionneurs 159 Alphabet Phonétique
@ (arobase) 295 activité 19 International 289
a (année) 34 activité tectonique 132 alphasyllabaires 293
Abeilles à miel 77 addition 193 Altaïr 185
aberration 94, 102 additivité 32, 37, 41, 78 aléatoire 165
abjad 293 additivité de l ’aire et du amas de galaxies 184
absolu, espace 97 volume 45 Amazone 101, 221
abugida 293 ADN 43, 311 âme 107
abélien ou commutatif 193 ADN (humain) 185 amortissement 158, 206, 212
Academia del Cimento 58 adénosine triphosphate 334 amour 125
accents, dans la langue affaire Roswell 223 amplitude 208
grecque 292 âge de la Terre 317 ampoule, température 252
accumulation 248 âge de la Voie lactée 318 ampère 300
accélération 63 âge du Soleil 318 analemme 147
accélération angulaire 88 agrégats de matière 182 anges 19, 71
accélération centrifuge 112, 122 aiguille sur l ’eau 243 angle 88
accélération de Coriolis 96, aiguilles d ’une horloge 50 angle apical 363
335, 369 ailes 237 angle de mélange électrofaible
index des sujets 407
314 arobase 295 B

angle zénithal 122 arrangements compacts de Babylone 297
angle, plan 52 cercles 363 Babyloniens 152
angle, solide 52 arrière-plan 24, 25, 39 bactérie 85
angles dièdres 46 artefact 68 bactéries 68
angles entre les osselets 53 artilleurs et l ’effet Coriolis 96 baignoire, tourbillon 335

anneaux, astronomiques, et artéfact 301 balais 143, 381
marées 137 arènes 38 Balance 147
année tropicale 315 ascenseur spatial 244 balance 106, 245
année, nombre de jours 138 ash 290 balance de salle de bains 106
année-lumière 315 aspirées 292 Baleine 147
A Antarès 66, 186
anti-bulles 243
associativité 193
astre, âge 35
baleines 222, 224
balle de cricket 359
anti-hermitienne 195 astres sombres 185 balle de ping-pong 111
angle anti-unitaire 195 Astrid, un atome 343 balles de golf 359
antigravité 134, 143 astrologie 130, 147 ballons 258
antimatière 79 astronomes, les plus petits bandes dessinées 244
Antiqua 292 connus 132 barre de chocolat 227
antisymétrie 195 astronomy picture of the day barycentre 149
aphrophore 63 325 bases de lancement de fusées
aphélie 318 astrophysique 321 110
API 289 astéroïde 146 basilic 118
aplatissement de la Terre 94 astéroïdes 149, 186 Basiliscus basiliscus 117, 118
apogée 317 astéroïdes troyens 135 bateau 80
Apollo 376 atmosphère de la Lune 272 bateau en papier, compétition
appareil photographique 52 atomes 233 240
apprentissage 23 atomes, manipulation un à un bateaux, vitesse critique 222
apprentissage de la mécanique 233 Beaufort 33
157 atomique, microscope à force beauté 17, 275, 279
apprentissage, meilleure 234 beauté, origine 275
méthode 9 Atomium 247 becquerel 302
approximation du continu 66 ATP 80, 334 beer 243
arbre 311 atto 302 beth 293
arbre, croissance 187 attraper la banane 90 biche 23
arbre, généalogie 25 auto-adjointe 195 billard 75
arbre, hauteur limite 230 auto-organisation 172 bimorphes 159
arbres 230 auto-similarité 44 biographies de
arbres et pompage de l ’eau avancée du périhélie 104, 134 mathématiciens 324
343 avant Jésus-Christ 298 biologie 159
arc-en-ciel 198 avions 76 biologie quantitative 321
arche de Saint Louis 363 avions en papier 325 Bip Bip 244
archipallium 329 axe de la Terre 103 BIPM 300, 301
arcs de vin 282 axe de la Terre, mouvement bismuth 35
Arcturus 186 101 bobine 18
argent, définition axe, impossible chez les êtres Boraginaceae 190
humoristique 380 humains 366 bouchon 80, 109
argon 385 axe, Terre 103 bougie 28, 273
Aristote 374 azote 239 boulier 294
Armillaria ostoyae 43, 77 aînés 322 bouteille 80, 109
408 index des sujets
bouteille de vin 80, 109 centi 302 cinématique, viscosité 283

bouteille pleine 171 centre de gravité 146 cinétique, moment 88
bouton futur 265 centre de masse 88, 146 circalunaires 132
boîtes de conserves de petits centre galactique 105 circonspection 317
pois 114 cerveau 271 circulation sanguine 67
brebis, grec 292 cerveau et physique, paradoxe citations mathématiques 325

bruit 259 287 claquement du fouet 245
bruit de grenaille 232 Cetus 147 classique, mécanique 155
bruit, (physique) 217 chaleur 254 Clunio 132
buissons épineux 67 chaleur & pression 159 Coca Cola Light 243
bulles 241 champ gravitationnel 127 CODATA 351
B Bureau International des
Poids et Mesures 300
chandelle 307
changement 25
coefficient de traînée 161, 286
coin, film inférieur gauche 24,
Bélier 147 changement d ’esprit 20 25
b ou teille Bételgeuse 65, 186 chaos 278, 279, 280, 280 collisions 81, 159
chapitre, symbol 297 Commission Internationale
C charge 200 des Poids et Mesures 300
c. 298 charge de Noether 200 commune, mouche 125
cadrans solaires 38 charge du positron 313 compacité 37, 41
cailloux 65 charges, petites 240 complexes, écritures 293
calcul des variations 180 charrette orientée vers le sud complexité 263
calcul lunaire 122 170 complétude 37, 41, 78
calendrier 297, 298 chat 80 comète 133
calendrier grégorien 298 Chaussée des Géants 47 comète, de Halley 133
calendrier julien 297 chaînette 54 concaténation 192
calendrier lunaire 35 chenilles 60 concepts 287
calendrier moderne 298 cheval-vapeur 85 conditions initiales 163
calorie 310 cheveux, diamètre 43 configuration 25
Calpodes ethlius 60 chiffres arabes 294 Conférence Générale des
camarades 322 chiffres indiens 294, 294 Poids et Mesures 300, 311
caméscope 264 Chimborazo, mont 128 connaissance, définition
canal sonore 222 chimie 286 humoristique 380
canards, nage 222 chocolat 239 conservatifs 160
Cancer 147 chocolat, ne dure pas pour conservation 78, 205
candela 300 toujours 228 conservation de l ’énergie 84,
Canopus 185 Chomolungma, Mont 242 128, 201
canoë-kayak 118 Chomolungma, mont 128 conservation de la masse
Capella 186 chute 122 implique conservation de
Capricorne 147 chute d ’une averse 60 la quantité de mouvement
capture, gravitation chute de la Lune 122 76
universelle 149 chute et envol sont conservation de la quantité de
cartésiennes 42 indépendants 58 mouvement 79
Cataglyphis fortis 119 chute libre non verticale 95 conservation de la quantité de
caténaire 363 chute libre, vitesse 33 mouvement découle de la
causale 165 chute parabolique 59 conservation de la masse
causalité du mouvement 165 chutes du Niagara 281 76
cavitation 110 ciel, en déplacement 101 conservation du moment
ceinture de Kuiper 148, 184 cinglés 325 cinétique 129
Celsius 250 cinématique 57, 155 consommation de carburant
286 coordonnées rationnelles 319 cumulonimbus 222

consommation énergétique Copernicus 334 curiosité 18, 167
des premiers pays du coquille, gravité intérieure 148 curiosités 26
monde 84 corps 24 curvimètre 44
constance de la nature 16 corps connexes 67 cycle 216
constante cosmologique 315 corps humain, émission de cycle menstruel 338

constante de Boltzmann 258, lumière 308 cycles menstruels 132
259, 260, 263, 267, 314 corps, rigides 170 cémentite 246
constante de couplage de corpuscule 65 césium 35
Fermi 314 cortex 23
constante de couplage fort 314 cosmonautes 376 D
C constante de couplage gravit.
314
cosmos 25
couche d ’ Ekman 335
∂ 296
dx 296
constante de Hubble 315 couche limite 380 daleth 293
consommation constante de la loi du couleur blanche ne persiste dame, circonspecte 180
déplacement de Wien 315 jamais 255 de vision nocturne, lunettes
constante de Planck originale coulomb 302 308
313 couple 88 degré Celsius 302
constante de Planck réduite couples 196 degré de liberté
313 courbe de sinus 206 thermodynamique 267
constante de Rydberg 314 courbes de Reuleaux 355 degré, unité d ’angle 302
constante de courbure 51 densité baryonique 316
Stefan–Boltzmann 315 courir diminue le poids 144 densité de photons 316
constante de structure fine courir sur l ’eau 337 densité lumineuse 308
303, 314, 314 courriel 322 densité moyenne de la Terre
constante du gaz parfait 250, course cycliste 72 317
388 course en arrière 115 dents 275
constante du ressort 206 court, instant 16 description 57
constante gravitationnelle 121 CPT 203 descriptions, exactitude des
constante magnétique 314 crackle 366 287
constante électrique 314 crayon, invention 30 dessins en coins 24
constellation du Serpentaire criquets 117 diagramme d ’espace des
147 croissance 20, 172, 275 phases 59
constellations 65, 147 croissance capillaire 33 diagramme d ’espace des états
contenant 39 croissance d ’un nodule de 59
continuité 23, 32, 37, 40, 41, 78, manganèse en plaine diagramme d ’espace-temps 59
197 abyssale 33 diamant 188
contraintes 179 croissance des arbres 33 diamant, brisure 244
contraintes anholonomiques croissance du lichen 33 Dieu 106, 118, 135, 328, 330
179 croissance humaine 33 diffraction 212
contraintes non croyances 21 diffusion 271, 273
holonomiques 179 création 16 différentielle 61
convection 256 création du mouvement 79 digamma 291
Convention du Mètre 300 créature vivante, la plus dilatations 199
conversion de bits en entropie grande 43 dimensionalité 32, 41
315 crête d ’onde 212 dimensions 40
coordonnées 41 cuillère 113 direction 32
coordonnées généralisées 179, cuisine 286 discernement 32
181 culture de l ’esprit 139 disparition du mouvement 79
dispersion 212, 213 dégénérescence 271 effet Sagnac 99, 370

dispositifs antigravitants 143 déjections 60 effets magnétiques 159
disques durs, frottements 162 délibéré, mouvement 160 effets électriques 159
dissipatifs 160 démarche 92 effort 156
dissipatifs, systèmes 162 déplacement 19 eicosane 261
distance 43 déplacement d ’un élasticité 159

distance moyenne de la Lune spermatozoïde 33 électromagnétisme 125
317 déplacement des continents électronvolt 305
distinction 37, 41, 78 33, 101 Élée 232
distinguer 23 déplacement du ketchup 33 élément d ’un ensemble 32, 37,
distribution gaussienne 261 dérivée 61 41, 78
D distribution, normale
gaussienne 261
dérivée en un point 61
détecteurs de mouvement 28
élément inverse 193
élément neutre 193
divergence 126 déterminisme 165, 166, 281 éléments 25
dispersion doctorat, s’amuser pendant déviation de la lumière à éléphants 222, 275
284 proximité d ’une masse 140 ellipse 123, 133
DoLittle 180 dévonienne 138 émergence 281
données solaires 325 émergentes, propriétés 281
double personnalité 166 E émettre des ondes 213
dromion 225 e.g. 298 EMS98 113
durée 35 eau 343 énergie 81, 82, 82, 158, 186, 197
durée du jour, passé 35 eaux mortes 209 énergie cinétique 81, 95
Dutch Balloon Register 395 écart-type 286, 312 énergie d ’une onde 211
duvet 256 échappement, vitesse 146 énergie d ’une vague 224
dx 296 échelle de longueur 273 énergie de rotation 89
dyadique, produit 296 échelle de Mercalli 113 énergie mécanique spécifique
dynabee 115 échelle de température 345 365
dynamique 155 écho 213 énergie potentielle 127
déca 302 éclair 307 énergie thermique 251
déci 302 éclair, vitesse 34 énergie, généralisation
découpage des volumes 46 éclairement lumineux 307 d ’échelle 197
Défi sur le stationnement 50 éclairement énergétique 307 énergie, indépendance pour
défi, classement 9 écliptique 129 l ’observateur 197
défi, niveau 9 écoulement 248 enfance 33, 39
défis 9, 16, 18, 22–24, 26–31, écoulement de l ’énergie 79 énigme de Peirce 49
33–56, 58–64, 66–68, 70–72, écoulement de la quantité de énigme des horloges 50
75, 76, 78–86, 88–92, 95–99, mouvement 79 énigme du mouvement
102, 103, 105–116, 118–120, écoulement du temps 38 circulaire 54
122–138, 140–146, 148–151, écriture 289 énigmes d ’ horloges 328
153–155, 157–159, 161, écriture gothique 292 ensembles, connexes 62
163–171, 174, 175, 177, écriture runique 290 entonnoir 241, 243
179–184, 186–191, 193–201, effet catapulte 145 entropie 249, 254, 287
205, 206, 208–214, 216, 217, effet de fronde entropie, minimale dans la
220–225, 227, 228, 230, 231, gravitationnelle 145 nature 263
233, 235, 237–245, 247, 251, effet de serre 257 entropie, quantum 264
253, 255–266, 268–276, effet Josephson 301 entropie, état de plus haute
279–283, 286–288, 302, 303, effet Leidenfrost 241 274
305–307, 310–313, 315, 317, effet papillon 280 Epargyreus clarus 60, 332
319, 330, 350, 352 effet photoacoustique 270, 271 épaules 92
épiderme 67 complet 163 familiarité 23

éponymes 299 état de mouvement 26 fantômes 26, 71
épouse 333 état, physiquel 26 farad 302
EPR 299 états 25, 168 faucon pèlerin 33
épure d ’Ackermann 361 étendue 235 faux 287
équation de Bernoulli 235 étendus non rigides, corps 170 femmes 132, 332

équation de éternité 81 femmes, dangers de leur
Davey–Stewartson 225 eth 290, 348 observation 116
équation de Korteweg–de ethel 290 femto 302
Vries 219 éthique 167 feuille, chute 243
équation de Poisson 126 Étoile polaire 185 feuilles d ’arbre et rotation de
équation différentielle 359 étoile à neutrons 184 la Terre 99
epiderme équations d ’évolution 164 étoile, classes 185 Fiat Cinquecento 240
équations de Lagrange du étoiles 65, 185 figures en coins 24
mouvement 180 être vivant, le plus lourd 77 fil à plomb 47
équations de Navier–Stokes étude de l ’urine 283 filament incandescent 252
237 étude de Shell 334 film en coin, inférieur gauche
équilibre 254, 256 étude des toilettes 283 24, 25
ères glaciaires 336 Eucalyptus regnans 230 film saccadé 24
erreurs aléatoires 312 évaporation 271 film saccadé, explication 57
erreurs systématiques 312 événement 34 fini 267
ESA 324 Everest, Mont 242 flagelles 68
escaliers 38 Everest, mont 128 flamme 28, 111, 269
Escherichia coli 68 évier, tourbillon 335 flocon de neige, chute 33
espace 168 évolution 25 flocons de neige 347
espace blanc 297 évolution biologique 20, 275 flux d ’entropie 256
espace des configurations 59, évolution cosmique 20 flux d ’énergie 307
59 exa 302 flèche du temps 39
espace des phases 25, 163 exactitude 286, 312 flûte 206
espace euclidien 41, 41 excentricité 134 fonction delta 215
espace galiléen 41 excentricité de l ’orbite de la fonction lagrangienne 175
espace indispensable 42 Terre 104 fonctions de Bessel 102
espace vectoriel 64 exclusif 163 force 76, 88
espace vectoriel euclidien 31, existence des nœuds 41 force atomique, microscope
32 expansion 250 372
espace vectoriel, euclidien 64 expansion de l ’univers 105 force centrale 76
espace vide 126, 211 expansions 199 force centrifuge 128
espace, absolu 41 explosions nucléaires 222 force de Coriolis 334, 369
espace, ascenseur 244 exposant de Lyapounov 280 force de traînée 158
espace, physique 39 expérience du film d ’ huile force, definition 156
espace, relatif ou absolu 42 229 force, physique 156
espace-temps 25 expérience du seau, Newton force, usage de 156
espace-temps, relatif ou 106 Ford et la précision 286
absolu 43 extinction des feux 215 formation du système solaire
essieu de roue, effet 366 extrémale 177 100
et al. 298 forme 41, 65, 235
étalon, pomme 311 F forme de la Terre 146
état 163 facteur Q 206 forme de tresses 283
état d ’une masse ponctuelle, Falco peregrinus 33 forme, optimale 161
formulation par rayon 150 gouttes de pluie 161 Hollywood, films 173, 227, 333
formule de l ’escalier 119 GPS 35 hollywoodien 180
formule de Stirling 271 gradient 125 holonomiques 180
formules, ISO 348 Grande Grèce 232 holonomiques–rhéonomiques
formules, les aimer 28 grandes marées 138 179
forêt 23 grandeurs 197 holonomiques–

fouet, vitesse 33 gravitation 120, 159 scléronomiques
four à ciment 367 gravitation et mesures 287 179
foyer 365 gravitationnelle, masse 140 homogénéité 37, 41
fractales 44, 63, 227 gravité à l ’ intérieur des homomorphisme 195
frontières 70 coquilles de matière 148 Hooke 129
F frottement 80, 158, 158, 255,
265
gravité, action réciproque 125
gravité, centre de 146
hopi 331
horloge 36, 81, 124
frottement d ’adhérence 158 gravité, essentiel 150 horloge, actionnée par la
formulation frottement dynamique 160 gray 302, 306 pression de l ’air 81
frottement entre les planètes grec, alphabet 291 horloge, permutation des
et le Soleil 81 groupe de galaxies 184 aiguilles 50
frottement planète–Soleil 81 groupe, mathématique 193 horloges 36, 168
frottement Soleil–planète 81 gruyère 227 houppe 344
frottement statique 158, 161 grâce 91, 284, 328 Hubble, télescope spatial 325
frottement, importance du 255 Gulf Stream 335 huile 80, 241
frottements produits par les GUT 204 humour 282
marées 138 guépard 33, 63 humour, physique 325
Froude, nombre critique 222 guépards 117 hydrogène atomique 309
fréquence 208 gymnastes 90 hyperbole 133
fréquence de rotation 87 gyroscope 97 hyperbolique 133
fumée 260 géants 230 Hébreu, alphabet 293
futhark 290 Gémeaux 147 hélice 366
futhorc 290, 292 générateurs 200 hélices dans la nature 67
futur, bouton 265 géocentrique, système 150 hélicité des escaliers 38
futur, déterminé 165 géodésiques 162 hélicoptère 242
futur, se rappeler 264 géoïde 128 hélicoptères 325
héliocentrique, système 150
G H hélium 184, 252, 271
Gaia 280 hanches 92 hélium, superfluide 240
galagos 117 hareng, pet 223 hérésie 229
galette, pure 234 harmonique, mouvement 206
galette, silicium 234 hasard 165 I
galvanomètre 159 haut-parleur avec laser 270 i.e. 298
gaussienne, distribution 261 haut-parleur invisible 270 ibid. 298
gaz 258 hecto 302 IBM 395
gaz parfait 250, 258 Helmholtz 84 iceberg 77
Gerridae 118 henry 302 idem 298
giga 302 hermitienne 195 idéal 42
gimel 293 hertz 302 Île de l ’ Expérience 20
gnomonique 36 Hesperiidae 60 Ile de l ’ Expérience 15
gnomons 36 heure 302 Ile,Expérience 15
Gondwana 101 Himalaya, âge 35 illico presto 81
goutte 161 hodographe 59, 122, 145 illimité 197
illusion sur la taille de la Lune intervalles de temps 37 kilotonne 83

53 intégration 45, 175 Klitzing, von – constante 315
Illusions d ’optique 325 invariance 78, 192 koppa 291
image 71 invariance d ’échelle 230 képhir 185
images 25 invariance par translation 37,
imaginer 191 41 L

imprévisible 165 invisibilité des objets 66 l ’ infini 16
impulsion 202 invisible, haut-parleur 270 l ’ Épi 185
impédance caractéristique du Io 138 l ’état permet la distinction 26
vide 314 ionosphère, ombre 115 la variation d ’orientation ne
impénétrabilité 78 irréductible 195 nécessite pas de toile de
I impénétrabilité de la matière
30
irréversibilité du mouvement
165
fond 90
lacets 40
incertitude totale 312 irréversibles 255 lacets des chaussures 255
illusion inclinaison de l ’orbite de la isolé, système 257 lagrangien 175
Terre 104 isomorphisme 195 lagrangien non unique 180
indice de réfraction 188, 382 isotoméographe 98 laminarité 235
indices 292 Istiophorus platypterus 33 lancer 22
inductions 201 italique 289 lancer, importance du 22
indépendance des points de langues sur Terre 293
vue 190 J largeur totale de la courbe à la
inertie 71 jambe 124 moitié du maximum 312
inertielle, masse 140 jauge, changement 192 laser en anneau 335
inf. 298 jerk 163, 366 laser, haut-parleur 270
infini 32, 37, 41, 78 jeter 347 latin 299
infini en physique 62 jeu 21 Latin, alphabet 289
infinitude 32, 37, 41 jeu d ’échecs 27 le mouvement 25
infinitude, ouverture 78 jouets, physique 325 le mouvement est le
information 262 Joule 84 changement d ’état des
information, effacement 271 joule 302 objets 26
information, quantum 264 jour intercalaire 297 le mouvement est le
informatique théorique 321 jour sidéral 315 changement de position
infrasons 224 jour, longueur 138 dans le temps 57
injectif 195 jour, unité de temps 302 le temps est ce que nous lisons
inoxydable, acier 246 journée ensoleillée 307 sur une horloge 36
insecte claqueur 117 jours de la semaine, ordre des le temps est déduit en
insectes 132, 273 153 comparant des
instabilité 23 Jupiter 150, 185 mouvements 35
instant 30, 34 juristes 72 Lego 233
instant humain 35 Jésus 118 les atomes ne sont pas
Institut Clay de indivisibles 268
mathématiques 237 K librations 131
intensité lumineuse 307 k-calculus 355 libre arbitre 166
interaction 25, 156 katal 302 ligne droite 51
interférence 211 Kelvin 84 limicoles 337
interféromètre 76, 98 kelvin 300 limite de Roche 379
interféromètres 310 kilo 302 Lion 147
interféromètres en anneau 310 kilogramme 300 litre 302
Internet 321, 322 kilogramme standard 73 livre et physique, paradoxe
287 mach 76 matrice, transposée 195

livres 289 machine 68 Mentos 243
livres, information et entropie machine d ’Atwood 375 Mercure 136
262 machine à mouvement merde 60, 332
logarithmes 130 perpétuel 81 mesurable 32, 37, 41, 78
« loi » de Bernoulli 241 machines à café 255 mesure 31

« loi » de Listing 116 magie 325 mesure de Banach 45
« loi » de l ’attraction magnitude de Richter 112 mesure de la vitesse d ’une
universelle 122 magnétisation des roches 101 balle 49
« loi » universelle de la magnétisme 76 mesure de la vitesse de la
gravitation 121 magnéton nucléaire 315 lumière 49
L loi de Bode 152
loi de Laplace–Gauss 312
marbre, recouvert d ’ huile 80
marche 255
mesures 288
mesures et gravitation 287
loi de Titius 152 marche, robot 188 MFA, microscope à force
livres loi normale 261 Mars 306 atomique 234
longueur 40, 43, 64, 288 marée, accélération 137 micro 302
longueur d ’onde 209, 212 marées 96, 132, 136, 335 microscope à force atomique
longueur d ’onde de Compton marées et frottements 138 234, 235, 372
315 masse 73, 78, 158, 288 microscopes à force atomique
longueur d ’onde de de masse conservée 74 162
Broglie 301 masse de Jupiter 318 microscopes à force latérale
longueur de côte infinie 44 masse de la Lune 317 162
longueur de la côte 44 masse de la Voie lactée 318 mile 303
longueur gravitationnelle de masse du Soleil 317 milieu ambiant 24
la Terre 317 masse gravitationnelle 140 milli 302
longueur, saut 332 masse inertielle 71, 140 minimale, vitesse 27
lumen 302 masse ponctuelle 65 minuscules comètes 148
luminosité 307 masse, centre de 146 minute 302, 318
luminosité du Soleil 317 masse, galiléenne 78 minéralogie 324
lumière 159 masse, négative 78, 79 miroir cosmique 325
lumière, vitesse de groupe masse, équivalence entre moindre effort 187
lente 330 gravitationnelle et mois 297
Lune 122 inertielle 141 mole 300
Lune, atmosphère 272 mater les jolies filles 115 molécules 233
Lune, chute 122 math forum 324 moment 36
Lune, dangers 138 mathématiciens 324 moment cinétique 87, 88, 112
Lune, phases 150 mathématiques 31, 321 moment cinétique,
Lune, taille angulaire 53 matins, quiétude 222 extrinsèque 88
lunes de Jupiter 152 matière 65, 71 moment cinétique,
lunettes de vision nocturne matière en forme de coquille, intrinsèque 88
308 gravité intérieure 148 moment d ’ inertie 87, 88, 198,
Lunokhod 376 matière, impénétrabilité 30 205
lustre 124 matrice, adjointe 195 moment d ’ inertie,
lux 302, 307 matrice, antisymétrique 195 extrinsèque 88
lévitation 134 matrice, conjuguée complexe moment d ’ inertie,
lézard 118 195 intrinsèque 88
matrice, orthogonale 195 monde 14, 25
M matrice, réelle 195 monocycle 72, 247
M82, galaxie 63 matrice, symétrique 195 Montagne Mouvement 15
morale 167 multiplication 192 nombre infini de préfixes du

mort 14, 81, 168, 200, 229 munition, vitesse 33 SI 311
morts 87 myosotis 189 nombres 197
moteur de fusée 159 mystère 15 nombres réels 37, 41
moteur flagellaire 85 mystère du mouvement 14 non-causalité 165
moteur à ultrasons 159 mètre 300 nonius 54

moteur, linéaire 159 mécanique 155 normale, loi 312
moteur, électrostatique 159 mécanique classique 155 normalité 351
moteurs 159 mécanique des fluides 170 normalité de π 319
moteurs thermoacoustiques mécanique des milieux norme 64
274 continus 171 notation exponentielle 51
M motif aléatoire 24
mouches 24
mécanique quantique 155, 321
mécanique statistique 171
notation positionnelle 294
notes de cours 324
moulin solaire 159 méga 302 nuage d ’Oort 148, 184
morale mouvement 21, 168 mégatonne 83 nucléaire 159
mouvement brownien 261 mémoire 27, 255 nucléon 235
mouvement comme illusion mémoriser 23 numérotation Olympique des
16, 17 méridien 124 années 298
mouvement de l ’œil 40 Mésopotamie 289 nutation 103
mouvement dû aux particules métallurgie 286 néocortex 329
22 métrique 32, 37, 41, 78
mouvement et contorsion de météorites 224 O
forme 67 ∅ 296
mouvement et unités de N objet 24, 32, 71
mesure 301 nabla 296 objets 25, 168
mouvement fluide naines 185 obliquité 103
stationnaire 235 naines brunes 185 observables 26, 197
mouvement fondé sur le nano 302 observables, discrètes 197
frottement 158 Nanoarchaeum equitans 185 observations physiques 191
mouvement harmonique 206 NASA 306 obturateur 52
mouvement n’existe pas 16 NASA 325 octet 196
mouvement perpétuel 79 natation, olympique 222 océanographie 225
mouvement perpétuel, nature 25 odomètre 44
première et seconde espèce naturel 42 œil 24
81 navigateur 322 office des montgolfières,
mouvement polaire 101 navigation 80 hollandais 395
mouvement relatif 24 navire 77, 238 ohm 302
mouvement volontaire 164 navires et relativité 84 ombre de l ’ ionosphère 115
mouvement, manifestations 15 Neptune 148, 150 ombre de la Terre 115
mouvement, non-Fourier 330 neutrino 235 ombre de la Terre pendant
mouvement, passif 21 Newton 38 une éclipse 122
mouvement, simple 22 newton 302 ombre des cadrans solaires 38
mouvement, supraluminique NGC 2240 252 ombres 70, 333
265 Niagara 228 ombres et attraction des corps
mouvement, volontaire 21 Nit 308 150
mouvements passifs 164 niveaux des défis 16 onde statique 213
mouvements volontaires 158 nombre d ’Avogadro 229, 314 onde, harmonique 208
moyenne 180 nombre de Loschmidt 229 onde, linéaire 208
multiplet 193 nombre de Reynolds 283 onde, réflexion 211
onde, sinusoïdales 208 paris, comment en gagner 98 physique mathématique 321

ondes de choc 225 parsec 315 physique Newtonienne 30
ondes de gravité 210 particle data group 323 physique newtonienne 155
ondes de tension superficielle particule 65 physique numérique des
210 particule ponctuelle 65 hautes énergies 321
ondes solitaires 218 parties 64, 266 physique phénoménologique

ondes, eau 210 pascal 302 des hautes énergies 321
ondes, longitudinales 209 passif, mouvement 160 physique théorique des hautes
ondes, transverses 209 passim 298 énergies 321
op. cit. 298 paupière 51 physique théorique nucléaire
Ophiuchus 147 peine de mort 229 321
O opérateur 126
opérations de symétrie 192
pendule 124
pendule court 369
physique, définition périmée
21
opérations à poitrine ouverte perceuses à percussion 109 physique, problèmes 323
onde 385 perfectionné 294 physique, quotidien 26
or 357 performance des jambes 117 piccolissimi quanti 229
ordinateurs 271 perles 244 pico 302
ordre 37, 41, 78, 275 perlite 246 pics de glace 245
oreille 40, 43, 213, 232, 342 permittivité diélectrique du pied 241
organisations croyantes 71 vide 313 pierre celtique 113
originalité 26 perméabilité magnétique du pierres 22, 34, 58, 60, 80, 95,
origine, humain 14 vide 313 113, 121, 123, 143, 145, 153,
Orion 65 pet comme moyen de 214, 223, 255
orthogonalité 64 communication 223 pigeons 92
oscillation 206 petit pois, découpage 47 pingouins 92
oscillation, harmonique ou petits pois 114 piézoélectricité 159
linéaire 206 petits pois ou raviolis 114 Planck, unités corrigées 305
oscillons 276 phanérophyte, monopodiale planète 81
osmose 159, 271 187 planètes extrasolaires 185
otoacoustique 213 phase 208, 209 planètes gazeuses 185
OVNI 223 Philaenus spumarius 63 planétoïdes 184, 186
oxygène 239 Phileas Fogg 180 platitude 48
phot 308 plomb 240
P physiciens 323 pluie, chute 33
π et la gravité 123 physique 14 plus petit temps mesuré 35
π, normalité de 318 physique de la matière plus petite distance vérifiée
pain 229, 357 condensée 321 expérimentalement 51
parabole 54, 59, 123, 133 physique des basses Pluton 148
parabolique 133 températures 259 plèvre 385
parachutes 160 physique des dessins animés, pneumothorax 385
paradoxe sur la physique des ‘lois’ 70 poids 140, 158
livres 287 physique des milieux continus poids de la Lune 151
parallaxe 94, 102 247 point d ’exclamation 295
parallélépipède 89 physique expérimentale des point focal 365
paramètre d ’ordre 278 hautes énergies 321 point, mathématiques 41
parapluie 60 physique expérimentale points 30, 66
pardon 22 nucléaire 321 points de Lagrange 135
parenthèses 295 physique galiléenne 26, 30, 155 points de libration 135
paresse, universelle, loi de 177 physique générale 321 points de vue 189
points spatiaux 66 processus 255 périodes glaciaires 103

Poissons 147 processus, instantané 167 péta 302
poissons, yeux 242 Procyon 185 pôle Nord 38, 101, 128
polarisation 212 prodiges 295 pôle Sud 128
pomme étalon 311 prodiges du calcul 295
pommes 72 produit de Kronecker 296 Q

pommiers 311 produit du temps par la bande quadruplets 196
ponctuel pour l ’œil nu 66 passante 216 quantique, mécanique 155
pop 366 produit dyadique 296 quantité de matière 74, 78
Pororoca 221 produit scalaire 41, 64 quantité de mouvement 74, 79,
position 25 produit tensoriel 296 82, 158, 186, 211
P positions 64
positivité 78
produit vectoriel 89
profil aérodynamique 161
quantité de mouvement
comme un liquide 156
potentiel, gravitationnel 125 promenade de Planck 309 quantité de mouvement totale
points pouce 53 prononciation érasmienne 292 74
poulie 159 propriété immobile 72 quantité de mouvement,
poulie composée 28 propriété invariante 189 écoulement 156
pouls 124 propriété mobile 72 quantités 197
pralines 239 propriétés émergentes 281 quantités conservées 16
pression 158, 232, 258 proton, âge 35 quantités extensibles 79
pression de l ’air 81 protonvolt 306 quantités étendues 249
pression sanguine 241 précession 103 quantités, conservées 16
principale découverte de la précession d ’un pendule 97 quantités, extensibles 79
science moderne 265 précession, équinoxes 101 quantum d ’entropie 264
principe d ’exclusion 183 précision 18, 27, 31, 57, 286, quantum d ’ information 264
principe d ’ invariance de 312, 313 quantum de conductance 315
jauge 192 précision et plaisir 18 quantum du flux magnétique
principe de Bernoulli 258 préfixes 302, 350 315
principe de Hamilton 173 préfixes du SI 311 quartz 207
principe de Huygens 214 préfixes, SI 302 quasar 184
principe de la trajectoire la prépublications électroniques qui glisse, échelle 109
plus courte 162 321, 323 qui indique toujours le sud,
principe de Mach 76 pseudo-vecteur 112 charrette 341
principe de moindre action PSR 1257+12 185 quiétude des matins 222
129, 177 PSR 1913+16 35
principe de relativité 192, 356 psychokinésie 21 R
principe extrémal 173 puces 117 R-complex 329
principe variationnel 173, 177 puissance 307 radian 301
prisme 333 puissance d ’ isolation 256 radio speed 34
prismes de Dove 333 puissance, définition radioactivité 306
prix, un million de dollars 237 humoristique 380 rang 198
prière, effets 186 puissance, physique 84, 157 rapport de fréquence de
problème du mois en maths pulsar, période 35 Josephson 315
324 pulsation 213 rapport de masse
problème à plusieurs corps pyramide 89 proton–électron 315
285 pèse-personne 245 raviolis 114
problèmes auditifs 224 périgée 317 rayon classique de l ’électron
problèmes de Fermi 268 périhélie 136, 318 315
problèmes de physique 323 période 208 rayon de Bohr 315
rayon de la Lune 317 roue de Compton 98 savon, bulles 241

rayon de la Terre 317 roues chez les êtres vivants 67 scalaire 190, 197
rayon de Schwarzschild roues en rotation 90 scharfes S 290
comme unité de longueur roues naturelles 68 sciences non linéaires 321
305 roulette et mécanique Scorpion 147
rayonnement 71, 256 Galiléenne 108 seau 18

rayons cosmiques 132 Rubik’s Cube 223 seconde 300, 302, 318
rayons de soleil 356 rues 374 sections coniques 133
recherches 162 rugby 82 Sedna 148
reconnaître 23, 23 rythmites tidales 335 semaine 297
recouvrement des impôts 300 règle de la main droite 89 sens de rotation sur la piste
R rectitude 40, 47, 48
relation d ’ incertitude 216
règle à calcul 129, 364
règles de calcul 55
d ’athlétisme 38
Sequoiadendron giganteum 77
relation d ’ incertitude de la règles graduées 168 service au badminton, record
rayon thermodynamique 263 réchauffement global 257 33
relation d ’ indétermination récipients 42 Service international de la
216 réductible 195 rotation terrestre 309, 336,
relation d ’ indétermination de réflexion des ondes 211 338
la thermodynamique 263 réforme du Calendrier Service international des
relations 25 grégorien 55 latitudes 101, 336
relativité générale et réfraction 188, 212 sexe 14, 22, 125
cosmologie quantique 321 référentiels 189 sexisme en physique 233
relativité restreinte avant Régulus 185 sextant 337
quatre ans 191 réseau global d ’ infrason 224 sha 291
relativité, principe galiléen 85 résistance de l ’air 161 SI, unités 300
renversement d ’espace 199 réticence à tourner 87 SI, unités supplémentaires 301
repos 17 réversibilité du mouvement siemens 302
repos, galiléen 61 165 sievert 302, 306
reproductibilité 190 réversibles 255 significatif 18
représentation 194 rêves d ’étoiles 325 Simon, Julia 333
représentation des simulateur du Système solaire
observables 198 S 325
représentations 193 sable 276 singulets 196
ressort 206 Sagarmatha, mont 128, 242 singulière 195
ressources 322 Sagittaire 105, 147 Sirius 66, 185
Rigel 185 saison 129 sirène 220
robinets d ’eau 281 Salmonella 68 Sloan Digital Sky Survey 325
robot 341 sampi 291 smash du badminton 359
robot, marche 188 san 291 smiley 295
roches sédimentaires 101 sans dimension 314 snap 366
Rostock, Université de 240 satellite 66, 113 soirées, manque de quiétude
rotation 90 satellite, artificiel 66 222
rotation de la Terre 309 satellites 149, 184 Soleil 77, 81, 150, 186
rotation de la Terre, variation satellites géostationnaires 135 Soleil se lèvera vraiment
99 satellites observables 325 demain 128
rotation des bras 105 satellites Pioneer 63 Soleil, arrêt 244
rotation horaire 38 Saturne 137, 149 Soleil, taille angulaire 53
rotation, absolue ou relative saut 117 soliton 219
106 saut en longueur 60, 83, 332 solitons 218
sonar 225 symétrique 189 temps crucial 37

sonoluminescence 110 système célestiocentrique 358 temps d ’obturation 52
soucoupes volantes 223 système d ’unités de temps des éphémérides 36
source 126 Heaviside–Lorentz 305 temps galiléen 37
sources 126 système d ’unités gaussiennes temps local 35
sous–marins 222 305 temps propre 36

sous-groupe 193 système d ’unités temps universel coordonné 35,
spectre photoacoustique 271 électromagnétiques 305 309
spineurs 197 système d ’unités temps, absolu 37
spirales d ’ Ekman 335 électrostatiques 305 temps, définition du 201
spiritualité 167 système de numération grec temps, flèche 39
S squark 391
stalactite 245
294
système de numération
temps, relatif ou absolu 42
temps, écoulement 38
stalagmites 33 romain 294 température 249, 250, 250
sonar stationnaire 177 système fermé 257 température absolue 250
stationnaires 26 système géocentrique 150 température du fond diffus
stationnement de véhicule 50 Système géodésique mondial micro-onde 316
stigma 291 318, 338 température la plus basse 251
Stoney, unités 305 système héliocentrique 150 température, minimale dans
structures coopératives 278 Système International l ’univers 252
stéradian 301 d ’ Unités (SI) 300 tenseur 198, 198
succession 34, 37, 41, 78 système isolé 255, 257 tenseur, ordre 198
sud, charrette orientée vers système limbique 329 tension superficielle 161
170 système physique 26 tensoriel, produit 296
superamas galactique 184 système solaire 184 Terre 94, 256
superfluidité 240 système solaire, avenir du 151 Terre vue de l ’espace 325
supergéantes 186 systèmes conservatifs 179 Terre, aplatie 94
superlubrification 160 systèmes dissipatifs 162, 179, Terre, creuse 48
supermarché 38 278 Terre, découpage 47
supernovae 110 systèmes holonomiques 179 Terre, forme 128
superposition 211 systèmes simples 281 Terre, masse 125
surf 221 systèmes, conservatifs 127 Terre, ombre 115
surface 40 séisme, déclenchement 244 Terre, plate 366
surface algébrique 325 séismes 112, 336 Terre, rotation 309
surjectif 195 série arithmétique 354 Terre, s’arrête de tourner 128
surprises 167, 201 série géométrique 354 Terre, vitesse 34
syllabaire 293 Terre, âge 35
syllabiques, alphabets 293 T tesla 302
symboles 295 taille 39 test du gorille pour les
symétrie 192 taille de la Lune, apparente 122 nombres aléatoires 165
symétrie de permutation 192 taille de la Voie lactée 318 testicule 333
symétrie du lagrangien tout taille des chaussures 311 thermodynamique 253
entier 198 tantale 35 thermodynamique, deuxième
symétrie, basse 189 taupin 117 principe 271
symétrie, diagonale 195 Taureau 147 thermodynamique, premier
symétrie, discrète 192 tectonique 336 « principe » de la 84
symétrie, externe 192 tectonique des plaques 101 thermodynamique, premier
symétrie, interne 192 temps 26, 34, 168, 288 principe 253
symétries de jauge 200 temps absolu 37 thermodynamique, principe
zéro 250 tourbillon en anneau 244 U

thermodynamique, relation tourbillonnement 105 udeko 302
d ’ incertitude 263 tourbillons 237 udekta 302
thermodynamique, second tourbillons en anneaux UICPA 351
« principe » de la 84 imbriqués 244 UIPPA 351
thermodynamique, second trajectoire 57 unicité 37, 41

principe 255 trajectoire de la Lune autour Unicode 293
thermodynamique, troisième du Soleil 145 Union Géodésique et
principe 251 trajet 57 Géophysique
thermométrie 345 transformations 20, 192 Internationale 318
thermométrie acoustique 345 transforme 80 unitaires 195
T thermométrie magnétique 345 transformée de Fourier 224
thermométrie à bruit 345 transformée en ondelettes 224
unité 256, 300
unité astronomique 315
thermométrie à rayonnement translation du temps 199 unités 41
thermodynamique345 transport d ’ Ekman 335 unités astronomiques 152
thermométrie à rayonnement transsubstantiation 229 unités de base 300
optique 345 travail 82, 95, 179 unités de Planck corrigées 305
thermostatique 253 travail, physique 157 unités de Stoney 305
thorn 290, 290, 348 tremblement de terre 112, 368 unités naturelles de Planck 303
thriller 180 tremblement de terre, unités SI 312
théière 241 déclenché par les hommes unités, non SI 303
théorie de jauge 39 244 unités, véritables naturelles
théorie de la Terre concave 358 tremblements de terre 112, 132, 305
théorie de la Terre creuse 48 336 univers 25, 164
théorie du monde intérieur triboscopes 162 univers bidimensionnel 56
358 tronc cérébral 23 univers, bidimensionnel 56
théorie quantique 24, 229 trous 26 univers, description par la
théorème de Noether 200 trous noirs 165 gravitation universelle 142
théorème de Pythagore 52 troyen, astéroïde 135 universalité de la gravitation
théorème des axes parallèles trépied 159 135
de Steiner 88 tsunami 210 universelle, paresse, principe
théorème ou paradoxe de tube de Compton 98 de 169
Banach–Tarski 228 tube de Venturi 237 URL 322
théorème ou paradoxe de tube à tourbillons 274 UseNet 322
Banach-Tarski 46 tube à tourbillons de UTC 35
tmesure du temps, idéal 36 Ranque-Hilsch 273
TNT, contenu énergétique 315 TUC 35 V
tog 256 tunnel à travers la Terre 153 vagues 210
tokamak 252 turbulence 237, 281 vagues océaniques, les plus
Tokharien 333 Tyrannosaurus rex 118 hautes 220
tonne 302 télescope 221 vagues, courtes 210
topologie 41 télépathie 186 vagues, longues 210
totale, énergie 127 téléphone, vitesse 34 vagues, peu profondes 210
toucher 71 téléportation 80 vagues, profondes 210
tour de lumière 34 télévision 23 vagues, vitesse de groupe 222
tourbillon circulaire 284 témoignage 333 valeurs propres 195
tourbillon dans une baignoire téra 302 variables 26
ou un évier 335 tétraèdre 52, 89 variance 312
tourbillon de baignoire 96 variation de la quantité de
mouvement 156 vitesse du lancer, record 33 weber 302

variation de la rotation de la vitesse du signal nerveux 33 Weib 332
Terre 99 vitesse du son 33, 76, 99 weko 302
Varuna 184 vitesse galiléenne 31 wekta 302
vecteur 64, 198 vitesse infinie 288 Wirbelrohr 273
vendeko 302 vitesse n’est pas Galiléenne 32 WMAP 376

vendekta 302 vitesse propre 34 world question center 325
vernier 54 vitesse, la plus élevée 34 World Wide Web 322
verre 242 voiles 237 wyn 290
Verseau 147 voilier 33
vide 233 voiture, poids 259 X
V vide, exposition humaine 111
vie, la plus courte 35
volcans 336
volt 302
xenno 302
xenta 302
vieille dame circonspecte 180 volume 46
variation Vierge 147 voyage dans l ’espace 110 Y
vin 229 voyages dans le temps 105 yeux des poissons 242
vis viva 81 Vulcain 136 Yo-Yo 123
vision aristotélicienne 157 Vulcanoïdes 186 yocto 302
vitesse 61, 208, 288 Véga 185 yogh 290
vitesse angulaire 87, 88 Véga au pôle Nord 101 yot 291
vitesse comme une dérivée 62 véhicules 286 yotta 302
vitesse d ’oiseau 33 vélaires 291
vitesse d ’échappement 146 véliplanchistes 90 Z
vitesse de l ’électron 33 vélo 71 zepto 302
vitesse de la lumière à vélo, poids 259 zetta 302
l ’ intérieur du Soleil 33 vélocimètre 355 zippo 280
vitesse de la Terre dans vérifier 191 Zodiaque 129
l ’univers 105 zénith 113
vitesse de lancer, record 50 W zéro 294
vitesse de marche 124 watt 302
vitesse de rotation 87 waw 291
LA MONTAGNE MOUVEMENT
L’Aventure de la Physique – Vol. I
Chute, Flux et Chaleur
Pourquoi le changement et le mouvement existent-ils ?

Comment l’arc-en-ciel se forme-t-il ?
De tous les voyages possibles, lequel est le plus fantastique ?
L’ « espace vide » est-il réellement vide ?
Comment pouvons-nous faire léviter des objets ?
À partir de quelle distance entre deux points
devient-il impossible d’en intercaler un troisième ?
Que signifie « quantique » ?
Quels problèmes demeurent sans réponse en physique ?
En répondant à ces questions ainsi qu’à d’autres sur le

mouvement, cette collection constitue une introduction
à la physique moderne qui se veut divertissante tout en
mettant l’esprit à l’épreuve, chaque page proposant
une surprise ou un défi à l’ imagination.
En partant de la vie quotidienne, cette aventure
donne un aperçu des derniers résultats en mécanique,
thermodynamique, électrodynamique, relativité,
disponible gratuitement sur www.motionmountain.net
mécanique quantique, gravité quantique et leur

unification. Ce texte s’adresse aux étudiants du premier
cycle universitaire et à tous ceux qui s’ intéressent
à la physique.
Christoph Schiller, titulaire d’un doctorat de l’ Université

Libre de Bruxelles, est physicien et vulgarisateur de la
physique.

La Montagne Mouvement 1 - Chute, Flux Et Chaleur

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Christoph Schiller

Chute, Flux et Chaleur

Traduit de l’anglais par Benoît CLENET

23e édition, disponible gratuitement sur

Proprietas scriptoris © Christophori Schiller

Omnia proprietatis iura reservantur et vindicantur.

Copyright © 2009 Christoph Schiller,

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La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

Ce livre s’adresse à toute personne curieuse de la nature et du mouvement. La curio-

PHYSIQUE : Description unifiée du mouvement Pourquoi le mouve-

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

Comment les Relativité restreinte

Physique galiléenne, chaleur et électricité

Munich, 10 Janvier 2009.

Je remercie Benoît Clénet pour sa traduction de ce volume. Sa patience, son énergie

D’après mon expérience d ’enseignant, je connais une méthode d ’apprentissage qui

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

C omment u tiliser ce livre ?

Appel à contribu tion

Ce texte est et demeurera librement téléchargeable depuis Internet. En échange,

La Montagne Mouvement – L’Aventure de la Physique

206 10 Mouvements élémentaires des corps étendus – vibrations et

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Dans notre apprentissage du mouvement des objets,

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raoum ! L’éclair, frappant l ’arbre situé à proximité, interrompt brutalement notre

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partie I : mc, rg & em

F I G U R E 2 L’Île de l’Expérience, avec la Montagne Mouvement et la piste à suivre (mc : mécanique

Pour aiguiser l ’esprit sur le problème de l ’existence du mouvement, regardez la Fi-

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C omment devrions-nous parler du mouvement ?

Réf. 7 * Charles Baudelaire (n. Paris 1821, d. Paris 1867).

Anaximander Empedocles Eudoxus Ctesibius Strabo Frontinus Cleomedes

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Alexander Ptolemaios II Ptolemaios VIII Caesar Nero Trajan

600 BCE 500 400 300 200 100 1 100 200

Socrates Plato Ptolemaios I Cicero Seneca

Anaxagoras Aristarchus Asclepiades Livius Dioscorides Ptolemy

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objets images états interactions E des phases espace-temps

Les aspects correspondants :

masse intensité instant source dimension courbure

monde – nature – univers – cosmos

Le monde a-t-il besoin d ’ états ?

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Curiosités et défis amusants sur le mouvement