Courbes, labyrinthe de Péano et variantes diverses
J'ai écrit deux programmes Maple qui permettent le tracé des courbes de Péano et des variantes par des méthodes différentes.
Le premier utilise les nombres complexes pour effectuer homothéties, symétries et translations :
programme Maple
Le second utilise les homothéties, symétries et translations traduites sur des listes :
programme Maple
Voir le site http://.mathcurve.com pour précisions mathématiques
I. Principe
On partage un carré en 9 carrés élémentaires 
et on joint le coin A au coin B en suivant les diagonales des carrés contigus pris dans l'ordre de numérotation. Ce chemin et son symétrique par rapport à la diagonale AB sont les seuls permettant de parcourir tous les carrés continûment.
La courbe de Péano est obtenu en reportant le motif de base 
ou son symétrique par rapport à la verticale
ramenés à la taille d'un petit carré dans les 9 carrés de façon que les diagonales tracées correspondent à la droite point d'entrée-point de sortie du motif adéquat.
Le motif de base est donc reporté dans les carrés 1,3,5,7,9 et son symétrique dans les carrés 2,4,6,8.
On joint les motifs dans l'ordre 1,2,..., 9 ; on obtient ainsi 
, nouveau motif avec lequel on recommence le processus précédent ... et ...etc.
On obtient ainsi des courbes qui "remplissent" de plus en plus le carré initial.
II. Généralisations de la courbe de Péano
On peut faire varier la forme en remplaçant le motif ci-dessus par un segment de longueur réglable K, centré au centre du carré et porté par sa diagonale montante.
Si on fait subir à ce segment la même opération que décrite initialement, on peut obtenir la même courbe pour K=0 et des formes proches pour des valeurs positives.
Voici des variantes de les courbes de Péano d'ordre 1 et 2 obtenues pour les valeurs de K comprises entre 0 et 1 ; les différentes positions du segment sont en bleu.
En introduisant les transformés par rotation de Pi/2 et symétrie d'un motif précédent obtenu pour une valeur de K,on a alors deux choix possibles pour chacun des 9 carrés donc 2^9 = 512 courbes possibles.
diagonale montante :
diagonale descendante :
.
Ces différentes courbes sont deux à deux symétriques par rapport à une diagonale du carré initial et deux à deux symétriques par rapport au centre de ce carré.
Avec le chemin symétrique par rapport à la diagonale AB, on obtient les 512 courbes symétriques par rapport à cette même diagonale.
Les deux programmes Maple permettent de tracer l'une quelconque de ces courbes.
Voici quelques courbes ainsi obtenues ( itérés d'ordre 2 ) :
| Péano
 |
Wunderlich
 |
Colonnes
 |
| Lsuites[100]
 |
Lsuites[200]
 |
Lsuites[300]
 |
III. Labyrinthe de Péano
Le labyrinthe est obtenu en prenant une courbe de départ différente
II. Motif de base avec ses extrémités sur un coté du carré
On peut remplacer le motif de base et ses différents symétriques et transformés par rotation de Pi/2 par:
Pour chaque coté du carré, on a deux motifs dont les extrémités sont portées par ce coté. Si l'on reporte ces motifs dans les 9 petits carrés de façon que les extrémités de deux motifs situés dans des carrés contigus soient portés par deux cotés ayant une extrémité commune afin de les joindre, deux chemins, symétriques, sont possibles conduisant à des solutions symétriques.
Il y a donc deux motifs possibles pour chacun des 9 petits carrés donc 2^9 = 512 courbes possibles de type Péano.
Les deux programmes Maple permettent de tracer l'une quelconque de ces courbes.
Ci-dessous, le chemin qui sera utilisé dans le programme Maple ( affiché avec un certain choix des motifs parmi les 512 possibles ).
On peut modifier quelque peu la forme en partant d'un segment horizontal de longueur variable (deuxième ligne du tableau ).
Voici quelques courbes possibles ( chercher les différences ! )
Début
