Courbes de Koch et variantes

I. Construction classique

L'itéré d'orde n, (n>1) de la courbe de Koch peut s'obtenir en remplaçant chaque segment AB de l'itéré d'ordre (n-1) par le motif ACDEB ci-dessous où le triangle CDE est équilatéral.


Si l'on prend pour comme ligne de départ (itéré d'orde 1) un segment, on obtient la Courbe de Koch classique :


Si l'on prend pour comme ligne de départ (itéré d'orde 1) un triangle équilatéral, on obtient le flocon de Koch classique :


On peut changer de motif et/ou de ligne brisée de départ :

départ : un carré, même motif que ci-dessus : voir l'animation

départ : un triangle, motif ci-dessus inversé : voir l'animation

départ : un carré, motif avec triangle rectangle isocèle : voir l'animation

départ : une ligne brisée, motif avec triangle équilatéral inversé : voir l'animation

départ : un carré, motif avec triangle isocèle : voir l'animation

départ : un pentagone, motif "quelconque" : voir l'animation

II. Construction par rotation d'un polygone

Une autre façon d'obtenir ces courbes dans le cas d'un motif formé de quatre segments égaux dont les deux intermédiaires peuvent être considérés comme deux cotés adjacents d'un polygone régulier Pn à n cotés est la suivante :
On considère un polygone semblable à Pn construit sur chaque segment AB d'un itéré et on le fait tourner de Pi/n autour de son centre ; ce polygone crée un triangle CDE sur AB, la ligne brisée ACDEB remplace AB dans le nouvel itéré.
départ : un segment AB ; polygone : un triangle équilatéral.


départ : un segment AB ; polygone : un carré : voir l'animation

départ : un triangle équilatéral ; polygone : un triangle équilatéral : voir l'animation

départ : un carré ; polygone : un triangle équilatéral : voir l'animation

départ : un carré ; polygone : un carré : voir l'animation

départ : un carré ; polygone : un carré inversé : voir l'animation

départ : un carré ; polygone : un triangle équilatéral inversé : voir l'animation

départ : un pentagone régulier ; polygone : un pentagone régulier : voir l'animation

départ : un polygone quelconque ; polygone : un carré : voir l'animation

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